精品解析：吉林省长春吉大附中实验学校2024-2025学年高一上学期月考测试（一）数学试卷

2024-2025学年上学期高一年级 月考测试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 若集合，则集合 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并集运算的定义可得. 【详解】，， 根据并集运算的定义可得， . 故选：A. 2. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题：，，则是，. 故选：C. 3. 王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，“有志”不一定“能至”， 但“能至”一定“有志”， 所以“有志”是“能至”的必要不充分条件. 故选：D. 4. “生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】利用三集合容斥原理即可求解． 【详解】设是会打乒乓球的老师，是会打羽毛球的老师，是会打篮球的老师， 由题意得，，，，， 所以， 所以， 而中，含有3次， 所以会且仅会其中两个体育项目的教师人数为． 故选：B． 5. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定即可. 【详解】对于A，若，则，即A错误； 对于B，由，结合糖水不等式可知， 或作差法证，即，即B正确； 对于C、D，取，则满足，， 但，，即C、D错误； 故选：B 6. 已知，当时，取得最小值为b，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】变形后根据基本不等式求出，并得到等号成立的条件，得到答案. 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故，. 故选：C 7. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可 【详解】因为方程的两根分别是和， 所以，解得或， ，， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C 8. 若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数的不等式恒成立，即可求解. 【详解】关于x的方程有两个实根，即方程有两个实根， 所以 ，即对任意实数恒成立， 所以，即，得. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，，则（ ） A. 的子集有个 B. C. D. 中的元素个数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求出集合，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确； 由，，得，所以，故B不正确； 由，，所以，所以， 故C正确； 由，得中的元素个数为，故D正确. 故选：ACD. 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 对任意恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的解集是，可得且方程的根为，再结合韦达定理求出的关系，再逐一判断即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以且方程的根为， 则，所以，故A正确； 则，故B正确； 则，故C错误； 对于D，因为， 所以对任意恒成立，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，且，则实数m的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【详解】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 13. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 14. 对于一个由整数组成的集合A，A中所有元素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为A的“大和数”.已知集合，则B的“小和数”为_________，B的“大和数”为_________. 【答案】 ①. 20 ②. 1280 【解析】 【分析】根据“小和数”的定义直接求解第一个空，集合中一共有7个元素，则一共有个子集，对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，再结合“大和数”的定义求解第二个空． 【详解】由题意可知，的“小和数”为， 集合中一共有7个元素，则一共有个子集， 对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，且无重复， 则与的“小和数”之和为的“小和数”， 这样的子集对共有个， 其中时，，考虑非空子集，则子集对有对， 则的“大和数”为． 故答案为：20；1280． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补的运算，即可求得答案; （2）由题意讨论集合B是否为空集，不为空集时，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，当时，， 又因为，所以． 因为或， 所以或； 【小问2详解】 时， 当时，，解得， 当时，或，解得或， 综上，实数的取值范围是或. 16. 已知命题：，为假命题，非空集合. （1）求实数a的取值集合A； （2）设：；：，若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）命题为假命题，则，使，求解即可；（2）依题意B是A的真子集，由包含关系求实数的范围. 【小问1详解】 命题：，为假命题， 则，，即， 时，，则有， 所以. 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，则B是A的真子集， 又，所以有，解得， 实数的范围为. 17. （1）已知且，试比较与的大小； （2）已知且，且，求证：. 【答案】（1）； （2）证明：，是正数，且， ， 当且仅当时取等号， 成立． 【解析】 【分析】（1）利用作差法，结合配方，分解因式即可比较； （2）展开利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】（1）因为，，所以，，， 由题意， 所以（当且仅当时取等号）． （2）略 18. 原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会.杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会.运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入.据了解，该公司原有员工200人，平均投入万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有名，调整后运营人员的人均投入调整为万元/人，服务人员的人均投入增加． （1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？ （2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求的最大值及此时运营人员的人数． 【答案】（1）150人 （2）的最大值为7，此时运营人员有100人． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得不等式，解不等式即可求得调整后服务人员最多有150人； （2）分别计算出调整后服务人员的总投入和运营人员的总投入，即可得，由基本不等式即可求得的最大值为7，此时运营人员有100人. 【小问1详解】 由题意可知，调整后的服务人员有人，人均投入为万元/人， 从而可得， 解得． 即调整后服务人员最多有150人． 【小问2详解】 由题意，得 得 整理，得 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以． 所以的最大值为7，此时运营人员有100人． 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式； （3）当时，不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）分为，以及讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案； （2）原不等式可化为．先求解的解集，进而解出时，得出的解集．然后分为与，结合的范围得出两根的大小关系，进而得出答案； （3）不等式转化为，分离参数得出，换元，整理得出，进而根据基本不等式，得出，即可得出范围． 【小问1详解】 ①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 则应有， 即，解得． 综上，的取值范围是． 【小问2详解】 由已知可得， 即，即． 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，可得或． ①当，又可得时，即时，有， 则解不等式可得，或； ②当，即时有， 解不等式可得，． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【小问3详解】 不等式，即， 即． 由恒成立，则在时有解， 设，时有， ， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期高一年级 月考测试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 若集合，则集合 （ ） A. B. C. D. 2. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 4. “生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 35 5. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，当时，取得最小值为b，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8 7. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，，则（ ） A. 的子集有个 B. C. D. 中的元素个数为 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 对任意恒成立 11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，且，则实数m的值为______． 13. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 14. 对于一个由整数组成的集合A，A中所有元素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为A的“大和数”.已知集合，则B的“小和数”为_________，B的“大和数”为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知命题：，为假命题，非空集合. （1）求实数a的取值集合A； （2）设：；：，若是的必要不充分条件，求实数的范围. 17. （1）已知且，试比较与的大小； （2）已知且，且，求证：. 18. 原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会.杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会.运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入.据了解，该公司原有员工200人，平均投入万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有名，调整后运营人员的人均投入调整为万元/人，服务人员的人均投入增加． （1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？ （2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求的最大值及此时运营人员的人数． 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式； （3）当时，不等式有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $