高二数学上学期第一次月考（范围：第1章到第2章）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

高二上学期第一次月考 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线，则直线在轴上的截距为（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】C 【详解】直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为． 故选：C. 2．过点且与直线垂直的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1， 又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：， 即， 故选：C 3．过点，半径最小的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点，半径最小的圆,即以为直径， 则圆心为中点，半径为， 则圆方程为：. 故选：A 4．已知点在直线上，且点到直线的距离等于，则的坐标（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为点在直线上，设点的坐标为， 则点到直线的距离等为，解得或， 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或. 故选：B. 5．设，过定点的直线和过定点的直线交于点．则的值为（    ） A．5 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【详解】直线过定点，直线过定点， 且直线和直线满足，故两直线垂直， 故. 故选：A. 6．已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内含 D．内切 【答案】C 【详解】圆即圆的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 因为，解得或（舍去）， 从而，所以， 因为， 所以圆M与圆的位置关系是内含. 故选：C. 7．在平面直角坐标系中，点，，若在直线上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点，，所以，， 作以为底的等腰直角三角形，则在轴上， 当点在上方时，以点为圆心，的长为半径作，如图， 此时上存在点满足. 设直线与相切，切点为，易知此时的值最大， 设直线与轴、轴分别交于、两点，连接，则. 可得，所以， 因为，所以，所以， 所以， 当点在下方时，同理得的最小值为， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 8．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和. 过作轴，过点作轴， 显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置. 易得，所以的最小值为. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．已知直线，下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【详解】对于A，设垂直于直线的直线方程为， 将点代入得，因此所求直线方程为，A正确； 对于B，直线的方程化为：， 由，得，因此直线过定点，B错误； 对于C，当时，直线的斜率为，而直线的斜率为，，与不垂直，C错误； 对于D，当时，直线的斜率为，等于直线的斜率，又直线在上的截距分别为，因此，D正确. 故选：AD 10．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可知，直线过定点，圆的圆心为原点，半径为3， 设圆心到直线的距离为， 当时，； 当与直线不垂直时，总有， 综上，，所以点到的最大距离为，故A正确； 对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得， 所以，故B正确； 对于C，若为圆的切线，则，解得， 另一条切线为，斜率不存在，故C错误； 对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，当直线与圆相切时， 点到的距离取最大值，故D正确. 故选：ABD 11．已知与交于两点，为曲线上的动点，则（    ） A．到直线距离最小值为 B． C．存在点，使得为等边三角形 D．最小值为2 【答案】AB 【详解】设， 对A，则点到直线的距离， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对，联立有，解得或， 则不妨假设， 则， 令则， 则， 当，即，即或（舍去）时取等，故B正确.，D不正确，最小值为1. 对C，若要为等边三角形，则首先点为线段的垂直平分线和曲线的交点，则垂直平分线的所在直线的方程为， 将其与曲线联立得 解得或（舍去）， 此时，而，则 ， 则不存在点，使得为等边三角形，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若经过，两点的直线的倾斜角为，则 ． 【答案】 【详解】依题意，，解得. 故答案为： 13．已知圆与圆相交于两点，则 . 【答案】2 【详解】由题意可知两圆公共弦所在的直线方程为，如下图所示： 所以点到直线的距离为， 又易知，所以向量在向量方向上的投影为， 所以，同理可得， 所以. 故答案为： 14．已知曲线的方程为，下列说法中正确的序号是 . ①无论取何值，曲线都关于原点中心对称； ②无论取何值，曲线关于直线和对称； ③存在唯一的实数使得曲线表示两条直线； ④当时，曲线上任意两点间距离的最大值为. 【答案】①②④ 【详解】①设曲线上任意一点，则成立. 由， 得点关于原点的对称点也在曲线上. 故无论取何值，曲线都关于原点中心对称，①正确； ②设曲线上任意一点，则成立. 由， 得点关于的对称点也在曲线上. 又， 即点关于的对称点也在曲线上. 故无论取何值，曲线关于直线和对称，②正确； ③当时，曲线方程为， 方程可变形为， 即曲线表示两条直线，或； 当时，曲线方程为， 方程可变形为， 即曲线表示两条直线，或， 故使得曲线表示两条直线的实数不唯一，故③不正确； ④当时，， 设曲线上任意一点， 当时，则， 即， 当时，则， 即，即， 由①所得曲线关于原点对称性可知， 当时，； 当时，. 综上，对于曲线上任意一点，都有， 即曲线上任意两点间距离小于或等于圆的直径， 又存在两点两点都在曲线上，且， 故曲线上任意两点间距离最大值为，故④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 【答案】（1）① 答案见解析；②答案见解析；（2）． 【详解】（1）①标准方程为，圆心为，半径为3； ②圆的标准方程为，圆心为，半径为. （2）由点在圆的内部， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 16．已知直线：和直线：，其中m为实数． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 【答案】(1)或0 (2)或． 【详解】（1）由题意得，解得或0； （2）由在直线上，得，解得，可得， 显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为， 令，可得，再令，可得， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或， 即或． 17．已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为 整理得， 圆心到直线的距离， 所以所求弦长为； （2）由题设可知直线l的方程为， 设，， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以 18．已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】(1)答案见解析； (2)平行时距离为，相交时最大夹角为． 【详解】（1），且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． 19．已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二上学期第一次月考 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线，则直线在轴上的截距为（    ） A． B．5 C． D．2 2．过点且与直线垂直的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．过点，半径最小的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知点在直线上，且点到直线的距离等于，则的坐标（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．设，过定点的直线和过定点的直线交于点．则的值为（    ） A．5 B． C． D．与的取值有关 6．已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内含 D．内切 7．在平面直角坐标系中，点，，若在直线上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．已知直线，下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时， 10．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 11．已知与交于两点，为曲线上的动点，则（    ） A．到直线距离最小值为 B． C．存在点，使得为等边三角形 D．最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若经过，两点的直线的倾斜角为，则 ． 13．已知圆与圆相交于两点，则 . 14．已知曲线的方程为，下列说法中正确的序号是 . ①无论取何值，曲线都关于原点中心对称； ②无论取何值，曲线关于直线和对称； ③存在唯一的实数使得曲线表示两条直线； ④当时，曲线上任意两点间距离的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 16．已知直线：和直线：，其中m为实数． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 17．已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 18．已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 19．已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$