精品解析：山东省临沂市第十八中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

高一数学阶段试题1（集合，逻辑，不等式） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知集合，若，则a的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 4 4 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、多选题 9. 下面命题正确是（ ） A. “”是“”充分不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 11. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题 12. 已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为_______. 13. 已知正实数满足，则最小值为__________. 14. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 四、解答题 15. 已知集合，或. （1）若全集，求、； （2）若全集，求. 16. 已知集合，，命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 17. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根． （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若、有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 19. 求的最大值与最小值之积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学阶段试题1（集合，逻辑，不等式） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案. 【详解】命题，的否定为，. 故选：C. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C，从而得解. 【详解】对于A，若，取，则，故A错误； 对于B，若，取，则，故B错误； 对于C，若，则由不等式的性质可知，故C正确. 对于D，若，取，此时无意义，故D错误 故选：C. 3. 已知集合，若，则a的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再利用求得的范围，判断即得. 【详解】由可得，由可得， 依题意，，故得. 故选：D. 4. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、讨论，利用可得答案. 【详解】因为，所以， ①时，，解得； ②时，则有，解得. 综上，m的取值范围是. 故选：D. 5. 如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小. 【详解】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以. 故选：B 6. 已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据p为假命题可得为真命题，由此得，求得答案. 【详解】由题意命题p:的否定为：为真命题， 即，故 ，即， 故选：D 7. 若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整体法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】设，故且， 所以，故， 由于，，所以，即， 故最小值为，此时， 故选：B. 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式可得，令，则转化为，求出的范围可得答案. 【详解】因为，，且， 所以， 即，当且仅当时取等号， 令，则， 所以，得， 所以，得， 即，所以的最小值为4. 故选：C 二、多选题 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；根据一元二次方程根的分布判断B的真假. 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 10. 下列结论中，错误结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为， 所以取得最大值时的值为，故A错误； 对于B，令， 若，，，，当时取等号， 所以，则，则的最大值为，故B错误； 对于C，函数， 令，当时，解得，不满足题意，故C错误； 对于D，若，，且， 所以， 当时，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABC. 11. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；利用基本不等式可判断CD. 【详解】对于A选项，若，则，故A选项错误； 对于B选项，， 由于，故，，故， 即，故B选项正确； 对于C选项，∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，因为，，根据基本不等式， ， 当且，即时取得等号， 此时，故D选项正确． 故选：BCD． 三、填空题 12. 已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】依题意，集合S中的元素，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可. 【详解】因为非空集合，且若，则必有， 则有1必有6，有2必有5，有3必有4， 又集合S是U的真子集，那么满足上述条件的集合S可能为： ，，，，，，共6个. 所以满足条件的集合S共有6个. 故答案为：6. 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由于，所以原不等式化为，给不等式两边同乘以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因， 所以由，得， 因为， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 故答案为： 14. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得 ，所以 ，分类讨论当 和 时情况，即可得出结果. 【详解】由题意，得 ，所以 . 由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1， 若 ，则 ，于是 ； 此时且 ，无正整数解； 若，集合有共同元素1和9，则， 所以 ，且，而， 所以， 当 时， ； 当 时， ； 因此满足条件的共有2个，分别为. 故答案为: 或 四、解答题 15. 已知集合，或. （1）若全集，求、； （2）若全集，求. 【答案】（1）或，或； （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用并集、补集、交集的定义直接求解即可. 【小问1详解】 集合，或，则或， 或，所以或. 【小问2详解】 由或，得， 所以. 16. 已知集合，，命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，故可列出关于的方程组求解. 【详解】由题意，所以，即，解得， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为. 17. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根． （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若、有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，若为真，即即可求解； （2） 由、一真一假，分别讨论两种情况即可. 【小问1详解】 对于命题，因关于的方程无实数根， 所以，即. 因为真，故实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题为真，因关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，即或. 、有且仅有一个为真命题，所以、一真一假， 当真假时， ，即或； 当假真时， ，即. 综上所述：实数的取值范围为. 18. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 【答案】（1）40 （2）102万平方米，售价为30欧元. 【解析】 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得； （2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 则有， 解得：， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. 【小问2详解】 ， 整理得：， 除以得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该种玻璃销售量至少达到102万平方米时， 才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和， 此时的售价为30欧元/平方米. 19. 求的最大值与最小值之积． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式结合不等式的性质应用求出最值计算即得. 【详解】因为,所以, 因为,所以 当或者时，等号成立． 同时 当时，等号成立因此最大值和最小值的乘积为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$