精品解析：山东省沂水县第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

沂水县第一中学2024级高一开学考试（数学） 考试范围：初中衔接教材+集合第1、2节 [时间：120分钟　　满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列语言叙述中，能表示集合的是（ ） A. 数轴上离原点距离很近的所有点 B. 德育中学的全体高一学生 C. 某高一年级全体视力差的学生 D. 与大小相仿的所有三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中元素的确定性逐个判断即可. 【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误； 对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确； 对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误； 对D，与大小相仿所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误 故选：B 2. 若集合，则应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用元素的互异性即可求得应满足的范围. 【详解】由元素的互异性可知，所以. 故选：A 3. 下列集合与集合相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过确认各个选项中的集合中的元素即可得到结果. 【详解】集合表示数字和的集合. 对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误； 对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误； 对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确； 对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误. 故选：C. 4. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式与绝对值定义化简即可得. 【详解】， ∵， ∴，∴， ∴. 故选：B． 5. 若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因式分解后系数一一对应即可得解. 【详解】． ，，． 故选：A． 6. 如图，直线与双曲线相交于点、，那么不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助图象观察一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的的范围即可. 【详解】不等式的解集从图形上来看就是直线在双曲线的上方部分所对应的的范围， 观察图象，可得不等式的解集是或. 故选：C． 7. 已知为非零实数，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的值进行分类讨论，由此求得集合. 【详解】当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，. 故． 故选：C 8. 设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解. 【详解】，， 中元素为点，故， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列说法正确的有（　　） A. N与N*是同一个集合 B. N中的元素都是Z中的元素 C. Q中的元素都是Z中的元素 D. Q中的元素都是R中的元素 【答案】BD 【解析】 【分析】根据常用数集表示的含义，即可根据选项逐一判断. 【详解】因为N*表示正整数集，N表示自然数集，不是同一个集合， Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集， 所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确． 故选：BD 10. 下列集合中子集个数等于1的是（ ） A. B. 是边长分别为的三角形} C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】只有空集的子集个数为1，所以转化为判断集合是否为空集. 【详解】A．，子集数为1； B．是边长分别为的三角形}，子集个数为1； C．，子集个数为1： D．是非空集，集合含有1个元素，所以子集个数为2． 故选：ABC 11. 如图，抛物线经过点，．下列结论中正确是（ ） A. B. C. 若抛物线上有点，，，则 D. 方程的解为， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二次函数图象可知：，，，可得，可判断A；将点，代入，可得，可求得，可判断B；由图象可得，可判断C；将，，代入，解出方程，可判断D. 【详解】根据二次函数图象可知：，，， 所以，所以，故A正确； 将点，代入得，， ②①得，所以， 再代入①得，，故B错误； 因为，所以，， 因为，所以， 根据图象知：与相比，离对称轴更远，， 所以，故C正确； 因为方程，由上知， 则，所以，故D错误. 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】借助一元二次方程的定义和根与系数的关系计算即可. 【详解】∵方程是一元二次方程，∴，即. 又方程有两个实数根，∴，解得， ∴的取值范围是且. 故答案为：且. 13. 若集合，，且，则实数的值是_________. 【答案】或0 【解析】 【分析】分、和分别计算即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，； 当时，， 综上，的值为或. 故答案为：或. 14. 已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】依题意，集合S中的元素，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可. 【详解】因为非空集合，且若，则必有， 则有1必有6，有2必有5，有3必有4， 又集合S是U的真子集，那么满足上述条件的集合S可能为： ，，，，，，共6个. 所以满足条件的集合S共有6个. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算： （2）求不等式组的解集． （3）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据根式、绝对值等运算求得正确答案. （2）通过解一元一次不等式组来求得正确答案. （3）化简所求表达式，从而求得正确的答案. 【详解】（1）原式. （2）， 由不等式①得：； 由不等式②得：； ∴原不等式组的解集为；   （3）原式 ；   当时，原式． 16. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 (单位：m)，与墙平行的一边长为 (单位：m)，面积为 (单位：)． （1）直接写出与，与之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． （3）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）能， （3）当时，有最大值 【解析】 【分析】（1）借助矩形周长与面积的定义求解； （2）得到取值范围后，令，解方程即可； （3）借助二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ，， ，； 【小问2详解】 ，， ，，当时，， ，，， 当时，矩形实验田的面积能达到； 【小问3详解】 ， 当时，有最大值． 17. （1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）分与计算即可得； （2）由题意可得的所有可能，再分类逐个计算并判断即可得. 【详解】（1）， 当，即时，，满足； 当时，， 因此，要使，则需，解得， 综上所述，的取值范围是或； （2）， 因为，所以或或或， 当时，方程的判别式，即； 当时，由韦达定理有，所以； 当时，有，不成立； 当时，有，不成立； 综上所述，实数a的取值范围为． 18. 已知函数（为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． （1）若，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； （3）当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】（1） （2）或 （3）个 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，得到，得出函数，由， 结合二次函数的性质，列出关于的方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，化简得到，由，得出不等式，求得的取值范围，进而得到整数的个数. 【小问1详解】 解：当时，可得 ， 所以，当时，取得最小值. 【小问2详解】 解：因为点在双曲线上，可得， 所以 ， 又因为， 所以，化解得，解得或，则点或，所以点P到y轴的距离为2或1. 【小问3详解】 解：由 ， 因为，可得， 所以， 又因为，所以，整理得， 因为，所以，所以整数a有4个． 19. 设数集由实数构成，且满足：若（且），则. （1）若，试证明中还有另外两个元素； （2）集合是否为双元素集合，并说明理由； （3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】（1）证明见解析； （2）不是，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【小问1详解】 由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. 【小问2详解】 由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. 【小问3详解】 由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沂水县第一中学2024级高一开学考试（数学） 考试范围：初中衔接教材+集合第1、2节 [时间：120分钟　　满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列语言叙述中，能表示集合的是（ ） A. 数轴上离原点距离很近的所有点 B. 德育中学的全体高一学生 C. 某高一年级全体视力差的学生 D. 与大小相仿的所有三角形 2. 若集合，则应满足（ ） A. B. C. D. 3. 下列集合与集合相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则（ ） A B. C. D. 6. 如图，直线与双曲线相交于点、，那么不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知为非零实数，则集合为（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列说法正确的有（　　） A. N与N*是同一个集合 B. N中的元素都是Z中的元素 C. Q中的元素都是Z中的元素 D. Q中的元素都是R中的元素 10. 下列集合中子集个数等于1的是（ ） A. B. 是边长分别为的三角形} C. D 11. 如图，抛物线经过点，．下列结论中正确是（ ） A. B. C. 若抛物线上有点，，，则 D. 方程的解为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______． 13. 若集合，，且，则实数值是_________. 14. 已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算： （2）求不等式组的解集． （3）先化简，再求值：，其中 16. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 (单位：m)，与墙平行的一边长为 (单位：m)，面积为 (单位：)． （1）直接写出与，与之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． （3）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 17. （1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 18. 已知函数（为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． （1）若，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； （3）当，且时，分析并确定整数a的个数． 19. 设数集由实数构成，且满足：若（且），则. （1）若，试证明中还有另外两个元素； （2）集合是否为双元素集合，并说明理由； （3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$