精品解析：湖南省邵阳市海谊中学2024-2025学年高二上学期分班（入学）考试数学试题

海谊中学2024年高二分班考试数学卷 时间:90分钟 满分:100分 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 3. 函数的零点是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 命题“对，都有”的否定为（ ） A. 对，都有 B. 对，都有 C. ，使得 D. ，使得 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. 2 B. C. D. 7 已知空间向量，且，则（ ） A 10 B. 6 C. 4 D. 8. 已知， 则的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 不等式的解集是 二、多选题（每小题4分，共8分，部分答对得2分，答错或漏答得0分） 11. 容量为100的样本数据分布在中，分组列表后得到如下频率分布直方图.对于下列说法，正确的选项有（ ） A. 样本数据分布在的频率为 B. 样本数据分布在频数为40 C. 估计总体数据大约有10%分布 D. 样本数据分布在的频数为40 12. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. 与共线 C. 与所成角为锐角 D. ，，，可作为空间向量的一组基底 三、填空题（每小题4分，共12分） 13. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为______. 14. 已知，，点在轴上，且，则点的坐标为______. 15. 一个总体分为，两层，其个体数之比为，用分层抽样法用总体中抽取一个容量为的样本.已知层中甲被抽到的概率为，则总体中的个体数是______ 四、解答题（每小题10分，共40分） 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． （1）求角的值； （2）求的值． 17. 给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索： （1）图象初探 （i）列表如下 . 请直接写出的值； （ii）请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象. （2）性质再探 请结合函数的图象，写出当__________，有最小值为__________； （3）学以致用 某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为平方米，深为米.已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米. 设水池底面一边长为米，水池总造价为千元，可得到与的函数关系式为：.根据以上信息，请回答以下问题： （i）水池总造价的最低费用为__________千元： （ii）若该农户预算不超过千元，请直接写出的值应控制在什么范围？ 18. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）求证：，并指出取等条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海谊中学2024年高二分班考试数学卷 时间:90分钟 满分:100分 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用并集的运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 2. 设函数，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 函数的零点是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的根即可求解. 【详解】令，解得， 故零点为， 故选：A 4. 命题“对，都有”的否定为（ ） A. 对，都有 B. 对，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再直接写出否定即可. 【详解】命题“对，都有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是：，使得. 故选：C. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，解得. 故选：A. 6. 已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，列出公式，计算可得答案. 【详解】因为，所以. 根据投影向量的定义可知：在方向上的投影向量为. 故选：C. 7. 已知空间向量，且，则（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算. 【详解】因为，所以, 即，则. 故选：C. 8. 已知， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的取值范围，求出的取值范围. 【详解】由题意得，所以． 故选：B. 9. 如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，连接，易证平面，即为直线与平面所成角. 【详解】取的中点为，连接，可得， ∵平面，平面，∴， ∴又，，平面， ∴平面，又，∴平面， ∴为直线与平面所成角，设，， ∴， 则， ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 故选：B. 10. 已知函数图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 不等式的解集是 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解. 【详解】由题图知抛物线开口向上，所以， 抛物线与轴交点纵坐标为正，所以， 因为，所以， 由韦达定理， 即，，对称轴， 则.所以A错误，B,C正确. 不等式 可化为， 即，解得 或. 所以不等式的解集是.D正确. 故选：A. 二、多选题（每小题4分，共8分，部分答对得2分，答错或漏答得0分） 11. 容量为100的样本数据分布在中，分组列表后得到如下频率分布直方图.对于下列说法，正确的选项有（ ） A. 样本数据分布在频率为 B. 样本数据分布在的频数为40 C. 估计总体数据大约有10%分布在 D. 样本数据分布在的频数为40 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率直方图，计算各选项对应区间的频率、频数，并估计的数据分布占比即可. 【详解】A：由图知：的频率为，正确； B：由图知：的频数为，正确； C：由图知：的频率为，估计总体数据大约有40%分布在，错误； D：由图知：样本数据分布在的频数为，正确. 故选：ABD 12. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. 与共线 C. 与所成角为锐角 D. ，，，可作为空间向量一组基底 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得. 【详解】对A：，故与不垂直，故A错误； 对B：由、，有，故与共线，故B正确； 对C：，且与不共线， 故与所成角为锐角，故C正确； 对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（每小题4分，共12分） 13. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为______. 【答案】16 【解析】 【分析】先将数据按照从小到大顺序排列，再根据中位数定义计算即得. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：， 故其中位数第五个数：16. 故答案为：16. 14. 已知，，点在轴上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式列出方程即可得解. 【详解】设点P的坐标为， 依题意得，解得， 所以点P的坐标为. 故答案为： 15. 一个总体分为，两层，其个体数之比为，用分层抽样法用总体中抽取一个容量为的样本.已知层中甲被抽到的概率为，则总体中的个体数是______ 【答案】280 【解析】 【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论. 【详解】由层中甲被抽到的概率为，得层中每个个体抽到的概率都为， 因此总体中每个个体抽到的概率都为，而样本容量为10， 所以总体中的个体数为. 故答案为：280 四、解答题（每小题10分，共40分） 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． （1）求角的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可； （2）结合正弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 由， 则， 又，则； 【小问2详解】 由（1）知，又， 则由正弦定理知，，即 . 17. 给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索： （1）图象初探 （i）列表如下 . 请直接写出的值； （ii）请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象. （2）性质再探 请结合函数的图象，写出当__________，有最小值为__________； （3）学以致用 某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为平方米，深为米.已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米. 设水池底面一边长为米，水池总造价为千元，可得到与的函数关系式为：.根据以上信息，请回答以下问题： （i）水池总造价的最低费用为__________千元： （ii）若该农户预算不超过千元，请直接写出的值应控制在什么范围？ 【答案】（1）（i），；（ii）描点、图象见解析 （2）时，有最小值 （3）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）（i）代入解析式即可求解；（ii）用平滑的曲线连接起来，即可得到简图； （2）根据图象即可观察得到； （3）（i）根据（2）中函数的最小值，即可求解；（ii）将问题转化为解方程即可得到结果. 【小问1详解】 （i）当时，； 当时，；即. （ii）所描出的两点及所画函数图象如图所示： 【小问2详解】 观察图象知，图象最低点坐标为， 即当时，有最小值. 【小问3详解】 （i）， 当时，由（2）知，有最小值， 当时，有最小值. （ii）解方程，整理得：， 解得：， 则当时，该农户预算不超过千元. 18. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）求证：，并指出取等条件． 【答案】（1）； （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）由题意得和全都互质，所以，则答案可求； （3）分， 和三种情况讨论即可. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ，要使得最小，就得使和全都互质， 当中所有元素互质的时候，， 即， 解得：就是所求的最小值； 【小问3详解】 当时，取等号 当时，取等号 当时不妨令，则 有 其中中元素的个数为个， 即， 当且仅当，此时中只有个元素．（或指出为等比数列）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $