精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

青铜峡市宁朔中学2024-2025学年第一学期 高三年级数学月考测试卷 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数（i为虚数单位），则在复平面内复数z所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z所对应的点的坐标得答案． 【详解】∵z==， ∴在复平面内复数z所对应的点的坐标为（，﹣），在第四象限． 故选：D． 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出两圆的圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意知， ，则， ，则， 又，有， 所以圆与圆相交. 故选：C. 3. 函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（ ） A. 13 B. 16 C. D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像过定点得，则有，由，利用基本不等式可得最小值. 【详解】函数的图像恒过定点， 点A在直线上，有，又， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16. 故选：B. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 5. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是数列的前项和，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本量法求得，再根据等差数列求和公式求解即可. 【详解】∵成等比数列，∴， ∴=，，解得. 故 . 故选：D 6. 学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，结合隔板法可得结果. 【详解】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球， 由隔板法可知，不同的分配方案种数为. 故选：C. 7. 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为. 故选：B. 8. 已知函数.若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，转化为，然后构造，得到，从而求得的取值范围. 【详解】根据题意，不妨取，则可转化为， 即. 令，则对任意，，且， 都有， 所以在上单调递增，即在上恒成立， 即在上恒成立. 令，，则，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以， 即实数a的取值范围是， 故选:A 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设，，为实数，且，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用不等式的性质可判断AB；利用指数函数的单调性可判断C；利用对数函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确； 对于B，当时，不成立，所以B错误； 对于C，因为，函数是上的减函数，所以，所以C正确； 对于D，因为，所以，因为是上的增函数，所以，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查代数式大小的比较，属于基础题. 10. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式中的常数项是-240 C. 展开式中各项系数之和为1 D. 展开式中的二项式系数之和为64 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】的展开式共有7项，故A错误； 的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故B错误； 令，则展开式中各项系数之和为，故C正确； 的展开式中的二项式系数之和为，故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的增区间为 C. 点是函数图象的一个对称中心 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角的正余弦公式可得，结合正弦型函数的性质依次判断选项即可得出结果. 【详解】由. 对于选项A，函数的最小正周期为，故A选项正确； 对于选项B，令， 可得， 函数的增区间为，故B选项错误； 对于C选项，由，可知点不是函数图象的一个对称中心，故C选项错误； 对于选项D，由，故D选项正确. 故选：AD 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标的线性运算求得，利用向量平行的坐标表示得到方程求得的值，进而利用向量的模的坐标公式求得结论. 【详解】∵，，∴， 又∵，， ∴,∴,∴, ∴， 故答案为： 13. 已知函数，则在处的切线方程是___________. 【答案】. 【解析】 【分析】先求出函数的导数，然后求出和的值，根据直线的点斜式方程写出切线方程即可得解. 【详解】，， ，， 故切线方程为：，即． 故答案为：． 14. 定义在R上的函数f(x)满足+>1, ,则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据，利用导数研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，利用单调性转化不等式，从而可得结果. 【详解】设， 则 ， ，在定义域上单调递增， ， 又， ， 即不等式的解集为，故答案为. 【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 四､解答题：（本题共5小题，共77分）. 15. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcosC+csinB． （1）求角B的度数； （2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为三个角的关系式，再利用内角和定理转化为两个角的三角关系式，约去，即可求出角B的大小； （2）利用余弦定理得到关于和的关系式，利用完全平方公式将其转化为和与积的等式，即可求得，再由三角形的面积公式得到结果. 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 则， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴； 由余弦定理得， 代入数据得，解得， ∴． 故的面积为. 16. 已知数列的前项和满足，且． （1）求数列的前项和； （2）求数列的通项公式； （3）记，为前项和，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义求出通项； （2）利用前项和公式求数列通项； （3）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由已知， 数列是公差为的等差数列，且首项， ，即. 【小问2详解】 由（1）知当时，， 又也满足上式，． 【小问3详解】 由（2）知，， 17. 如图，三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC为直角三角形，AB=BC=2，D为AC的中点，PD=DB，PD⊥DB，PB⊥CD. （1）求证：PD⊥平面BCD； （2）求PA与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1）∵，D为AC的中点， ∴， ∵，，BD、平面PBD， ∴平面PBD，而平面PBD， ∴，又，，CD、平面BCD， ∴平面BCD. （2）. 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，根据线面垂直的判定及性质可得，结合PD⊥DB，由线面垂直的判定即可证结论. （2）构建空间直角坐标系，求PA的方向向量与平面PBC的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面BCD，， 故以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设平面PBC的法向量为，则，令，则， 设PA与平面PBC所成角为θ，则， 故PA与平面PBC所成角的正弦值为. 18. 已经函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ①当时，的递减区间是，无递增区间；②当时，的递增区间是，递减区间是. (2) . 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）求出导函数，由于定义域是，可按和分类讨论的正负，得单调区间． （Ⅱ）由函数在处取极值得且可得的具体数值，而不等式可转化为，这样只要求得的最小值即可． 详解：（Ⅰ）在区间上，. ①若，则，是区间上的减函数； ②若，令得. 在区间上，，函数是减函数； 在区间 上，，函数是增函数； 综上所述，①当时，的递减区间是，无递增区间； ②当时，的递增区间是，递减区间是． （II）因为函数在处取得极值，所以 解得，经检验满足题意． 由已知，则 令，则 易得在上递减，在上递增， 所以，即. 点睛：本题考查用导数求函数的单调区间、函数极值，用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立通常通过分离参数法转化为求函数的最值． 19. 已知椭圆经过点，且左､右焦点分别为，过的一条直线与椭圆交于两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与斜率之和为定值. 【答案】（1） （2） 如图，依题设直线方程为：，即，代入， 整理可得：， 由，解得或. 设，则 则直线与斜率之和为： 为定值，故得证. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆经过的点和椭圆的定义式，结合条件，即可分别求出的值，进而得到椭圆方程； （2）依题设直线的方程，与椭圆方程联立，消元整理成一元二次方程，写出韦达定理，计算化简即可证明. 【小问1详解】 因椭圆经过点，可得， 由的周长为，可得，解得， 故椭圆方程为：； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆相交产生的定值问题，属于较难题.解题的关键在于将直线方程与椭圆方程联立消元后，列出韦达定理，化简时，要先利用直线方程消去，通分后将其整理成关于和的对称式，代入韦达定理，化简即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2024-2025学年第一学期 高三年级数学月考测试卷 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数（i为虚数单位），则在复平面内复数z所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 3. 函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（ ） A. 13 B. 16 C. D. 28 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是数列的前项和，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 0 6. 学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案. A. B. C. D. 7. 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设，，为实数，且，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式中的常数项是-240 C. 展开式中各项系数之和为1 D. 展开式中的二项式系数之和为64 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的增区间为 C. 点是函数图象的一个对称中心 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，若，则__________. 13. 已知函数，则在处的切线方程是___________. 14. 定义在R上的函数f(x)满足+>1, ,则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为_________. 四､解答题：（本题共5小题，共77分）. 15. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcosC+csinB． （1）求角B的度数； （2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积. 16. 已知数列的前项和满足，且． （1）求数列的前项和； （2）求数列的通项公式； （3）记，为前项和，求． 17. 如图，三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC为直角三角形，AB=BC=2，D为AC的中点，PD=DB，PD⊥DB，PB⊥CD. （1）求证：PD⊥平面BCD； （2）求PA与平面PBC所成角的正弦值. 18. 已经函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆经过点，且左､右焦点分别为，过的一条直线与椭圆交于两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与斜率之和为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $