31.1.4 圆周角 重难点专项练习（七大题型）数学人教版五四制九年级上册

31.1.4《圆周角》 分层练习 考查题型一 圆周角的概念 1．（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 3．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 4．下面图形中的角，是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 考查题型二 圆周角定理 1．（2023秋·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，的半径与弦相等，C点为上一点，则的度数是 °．    2．（2020秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则 ．      3．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，是的直径，，则 ．    4．如图，是上的三个点，，则度数是 ．    考查题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 1．（2023·浙江·模拟预测）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点E，交于点D，求弦的长．    2．（2023秋·吉林延边·九年级统考期末）如图，中，弦与相交于点H，，连接、．求证：．    3．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）如图，已知是的直径，弦于点，点在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长； 4．（2021秋·广东韶关·九年级校考期中）三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D．求证：．    考查题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．（2023秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）如图，是的直径，点C是上不与A、B重合的点，点D是的中点，连接．求证：． 2．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，中，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、，．求证：D是的中点．    3．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图，是的直径，C，D两点在上，．    (1)求证：． (2)若求的半径． 4．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期中）如图，四边形内接于，为的直径，．    (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，求的长度． 考查题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，四边形内接于，，是弧的中点，，． 求：（1）圆的半径； （2）四边形的面积． 2．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市文园中学校考期中）已知：如图，内接于，是的弦，，垂足为，点为弧上一点，且． （1）求证：是的直径； （2）若，，求的长． 3．（2019秋·浙江杭州·九年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连结BD， （1）求证：； （2）当AB=10，BD=8，求CD和BE的长．    4．（2023秋·江苏南通·九年级启东折桂中学校考阶段练习）如图，四边形内接于，连接、相交于点E．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 考查题型六 创新作图 1．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C为与网格线的交点，其中B，C为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画出圆心O，再在上画点D，使； (2)在图2中，先画的中点E，再画弦． 2．（2020春·江西南昌·九年级阶段练习）在圆中，点、、在上，请仅用无刻度的直尺作图： （1）在图1中，以点或点为顶点作一锐角，使该锐角与互余； （2）在图2中，弦平行弦，过点作直线将的面积平分． 3．（2021秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）如图，点是圆的五等分点，请仅用无刻度的直尺，分别按要求作图．    （1）在图①中作的平分线； （2）在图②中以为边作矩形． 4．如图，是内接三角形，点D是BC的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）如图1，画出弦AE，使AE平分∠BAC； （2）如图2，∠BAF是的一个外角，画出∠BAF的平分线． 考查题型七 已知圆内接四边形求角度 1．（2021秋·陕西延安·九年级校考阶段练习）在的内接四边形中，，，若点在上，连接、、，求的度数． 2．（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，求和的度数．    3．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：． 4．（2023秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证； (2)若，，求的度数． 1．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，等边内接于，是上任一点（点不与点、重合），连、，过点作交的延长线于点．    (1)填空： 度， 度； (2)求证：是等边三角形； (3)若，且点可以运动到上的任意位置，则的最大值为 ．（直接填空） 2．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，在半径为5的中，为的直径，⊥弦交于D，垂足是H，交于E，过点E作交于F，且，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，内接于，弦，垂足为．点，点关于对称，连接并延长交于点．    (1)连接，求证：； (2)求证：点，点关于对称； (3)若，求面积的最大值． 4．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 31.1.4《圆周角》 分层练习 考查题型一 圆周角的概念 1．（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的都不是圆周角，C中的是圆周角， 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 2．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【详解】解：根据圆周角定义：可得是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D． 故选B． 【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 3．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项C中的角是圆周角． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义． 4．下面图形中的角，是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义即可得． 【详解】圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角， 观察四个选项可知，只有选项B中的角满足定义， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角，熟练掌握定义是解题关键． 考查题型二 圆周角定理 1．（2023秋·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，的半径与弦相等，C点为上一点，则的度数是 °．    【答案】30 【分析】根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵的半径与弦相等， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 2．（2020秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则 ．      【答案】/30度 【分析】根据补角性质求出的度数，再利用一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，根据定理得出两角之间的数量关系是解题的关键． 3．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，是的直径，，则 ．    【答案】/108度 【分析】根据圆周角定理即可推出，通过计算即可推出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，关键在于根据圆周角定理推出，然后认真的进行计算． 4．如图，是上的三个点，，则度数是 ．    【答案】 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键． 考查题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 1．（2023·浙江·模拟预测）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点E，交于点D，求弦的长．    【答案】 【分析】连接，，利用圆周角定理及勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图所示：    为的直径，且， ，， 是的角平分线， ， ， 为等腰三角形， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理及勾股定理，添加辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 2．（2023秋·吉林延边·九年级统考期末）如图，中，弦与相交于点H，，连接、．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用证明，得出． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 3．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）如图，已知是的直径，弦于点，点在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，等量代换，即可得证； （2）连接，先求得半径为，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴, ∴， ∴； （2）解：连接，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2021秋·广东韶关·九年级校考期中）三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据内心的性质可得，根据圆周角的定义可得，再根据三角形外角的性质和角的和差可得，最后根据等角对等边的性质即可解答． 【详解】证明：如图，连接，    ∵点E是的内心， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 考查题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．（2023秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）如图，是的直径，点C是上不与A、B重合的点，点D是的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】圆周角定理得到，弧，弦，角之间的关系，得到，三线合一，得到，即可得证． 【详解】证明：点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的性质、平行线的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 2．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，中，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、，．求证：D是的中点．    【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理得到，从而有，得出，根据圆周角定理的推论可得，然后根据等腰三角形的三线合一的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵， ， 即D是的中点． 【点睛】本题考查圆周角定理，也考查了等腰三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图，是的直径，C，D两点在上，．    (1)求证：． (2)若求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由圆周角定理，得，由直径所对圆周角是直角，得，从而，于是； （2）连接，由直径，得，于是得，半径为3 ． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵ ∴． （2）连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为3 ．    【点睛】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角是直角；运用圆周角定理寻求等角是解题的关键． 4．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期中）如图，四边形内接于，为的直径，．    (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，求的长度． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可； 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形． （2）解：是等腰直角三角形， ， ， 中，，，则， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 考查题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，四边形内接于，，是弧的中点，，． 求：（1）圆的半径； （2）四边形的面积． 【答案】（1）5；（2）49． 【分析】（1）连AC，由∠ADC=90°，得到AC为直径，利用勾股定理求出AC，从而求出半径； （2）根据直径可知∠ABC=90°，再结合B是弧AC的中点，得到为等腰直角三角形，利用勾股定理可求出AB长，从而计算面积即可． 【详解】解：（1）如图，连接AC， ∵∠ADC=90°， ∴AC为直径， ∵AD=8，CD=6， ∴在中，， ∴圆的半径为5； （2）∵AC为直径， ∴∠ABC=90°， 又∵B是弧AC的中点， ∴AB=BC，即△ABC为等腰直角三角形， ∴在中，， ∴， ∴四边形ABCD的面积为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 2．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市文园中学校考期中）已知：如图，内接于，是的弦，，垂足为，点为弧上一点，且． （1）求证：是的直径； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先根据圆周角定理得出，，再根据垂直的定义、等量代换得出，然后根据圆周角定理即可得证； （2）先根据圆周角定理得出，从而可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，从而可得是等腰直角三角形，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的直径； （2）如图，连接 ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴ 由三角形的内角和定理得： 解得 ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟记圆周角定理是解题关键． 3．（2019秋·浙江杭州·九年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连结BD， （1）求证：； （2）当AB=10，BD=8，求CD和BE的长．    【答案】（1）证明见解析；（2）CD=4；BE=． 【分析】（1）如图，连接DE、AE，由AB是直径可得∠ADB=∠AEB=90°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得BE=CE，根据直角三角形斜边中线的性质可得DE=BE=CE，根据圆心角、弧、弦的关系可得； （2）利用勾股定理可求出AD的长，进而可求出CD的长；利用勾股定理可求出BC的长，根据BE=CE即可得出BE的长． 【详解】（1）∵AB为直径， ∴∠ADB=∠AEB=90°， ∵AB=AC， ∴BE=CE， ∵DE为Rt△CDB斜边中线， ∴DE=BE， ∴．    （2）∵∠ADB=90°，AB=10，BD=8， ∴AD==6， ∵AB=AC， ∴CD=AC-AD=4； ∴BC==， ∴BE=BC=． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，直径所对的圆周角等于90°（直角）；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两组弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 4．（2023秋·江苏南通·九年级启东折桂中学校考阶段练习）如图，四边形内接于，连接、相交于点E．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用得到，则，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论； （2）作直径，连接，如图2，先利用垂直定义得到，再利用圆周角定理得到，，，然后根据等角的余角相等得到结论． 【详解】（1）， ， 即， ， ， ； （2）作直径，连接，如图2，    ， ， ， ，， ， 为直径， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 考查题型六 创新作图 1．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C为与网格线的交点，其中B，C为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画出圆心O，再在上画点D，使； (2)在图2中，先画的中点E，再画弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点D，连接，然后作的垂直平分线交于点O，即可； （2）取点G，连接，并延长交圆O于点E，再点F，连接，即可． 【详解】（1）解：如图，点O，点D即为所求； （2）解：如图，点E，弦即为所求． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，确定圆心的位置，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 2．（2020春·江西南昌·九年级阶段练习）在圆中，点、、在上，请仅用无刻度的直尺作图： （1）在图1中，以点或点为顶点作一锐角，使该锐角与互余； （2）在图2中，弦平行弦，过点作直线将的面积平分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）作直径CE，连接BE，则∠CBE=90°，所以∠E与∠BCE互余，根据圆周角定理得到∠A=∠E，于是得到∠BCE与∠CAB互余； （2）连接点O和CD与AB的交点，此直线与BC相交于点F，由于AD∥BC，则四边形ADBC为等腰梯形，从而得到OF垂直平分BC，然后根据三角形面积公式可判断直线AF将△ACB的面积平分． 【详解】解：（1）如图1，∠BCE为所作； （2）如图2，AF为所作． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．（2021秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）如图，点是圆的五等分点，请仅用无刻度的直尺，分别按要求作图．    （1）在图①中作的平分线； （2）在图②中以为边作矩形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解； 【分析】（1）根据同圆中，等弧所对的圆周角相等，而是圆的五等分点，所以，那么连接即可得到的平分线； （2）先根据圆的五等分点确定直径，再结合直径所对的圆周角为直角，即可确定矩形； 【详解】（1）作的平分线如下所示： （2）以为边作矩形如下所示： 过点连接和的交点并延长与圆交于点,即为圆的直径，连接,；过点连接和的交点并延长与圆交于点,即为圆的直径，，所以四边形即为矩形. 【点睛】本题主要考查圆的基本概念，以及圆周角相关的性质定理，熟练掌握圆周角的相关定理是求解本题的关键. 4．如图，是内接三角形，点D是BC的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）如图1，画出弦AE，使AE平分∠BAC； （2）如图2，∠BAF是的一个外角，画出∠BAF的平分线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接OD，延长OD交于E，连接AE，根据垂径定理可得，根据圆周角定理可得∠BAE=∠CAE，即可得答案； （2）连接OD，延长OD交于E，连接AE，反向延长OD，交于H，作射线AH，由（1）可知∠BAE=∠CAE，由HE是直径可得∠EAH=∠BAE+∠BAH=90°，根据平角的定义可得∠CAE+∠FAH=90°，即可证明∠BAH=∠FAH，可得答案. 【详解】（1）如图，连接OD，延长OD交于E，连接AE， ∵OE为半径，D为BC中点， ∴， ∴∠BAE=∠CAE， ∴AE为∠BAC的角平分线，弦即为所求. （2）如图，连接OD，延长OD交于E，连接AE，反向延长OD，交于H，作射线AH， ∵HE是直径，点A在上， ∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=90°， ∴∠CAE+∠FAH=90°， 由（1）可知∠BAE=∠CAE， ∴∠BAH=∠FAH， ∴AH平分∠BAF，射线即为所求． 【点睛】本题考查垂径定理及圆周角定理，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；直径所对的圆周角是直角（90°）；熟练掌握相关定理是解题关键. 考查题型七 已知圆内接四边形求角度 1．（2021秋·陕西延安·九年级校考阶段练习）在的内接四边形中，，，若点在上，连接、、，求的度数． 【答案】 【分析】根据圆内接四边形的性质可求得，根据等边对等角可得，求得，根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，求和的度数．    【答案】， 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理求出的度数；根据圆周角定理求出，进而求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：，， ， ， ； 由圆周角定理得：， ， 四边形是的内接四边形， ． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据弧与弦的关系，得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，是四边形的一个外角，得出，进而得出，根据，即可得证． 【详解】证明：， ∴ ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 由圆周角定理得，， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，弦与弧的关系，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2023秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：四边形内接于圆， ， ， ； （2）解：， ， ． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 1．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，等边内接于，是上任一点（点不与点、重合），连、，过点作交的延长线于点．    (1)填空： 度， 度； (2)求证：是等边三角形； (3)若，且点可以运动到上的任意位置，则的最大值为 ．（直接填空） 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求出答案； （2）由平行线的性质可得出，．再根据，可得出，从而可求出，即，即证明是等边三角形； （3）如图1，连接交于点，以为边，在外作等边三角形，则，由，得点在的外接圆上运动，当点与点重合时，最长，先证四边形是菱形，得，，，进而利用勾股定理求得，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：如图，以为边，在外作等边三角形，连接交于点，则，    ∵，， ∴， ∴点在的外接圆上运动，当点与点重合时，最长， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、含的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．解题的关键是熟练掌握相关的定理和利用数形结合的思想解题． 2．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，在半径为5的中，为的直径，⊥弦交于D，垂足是H，交于E，过点E作交于F，且，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得到，等边对等角，得到，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，得到，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得解． 【详解】（1）证明：连接．    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 3．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，内接于，弦，垂足为．点，点关于对称，连接并延长交于点．    (1)连接，求证：； (2)求证：点，点关于对称； (3)若，求面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据，得出，根据，得出，可得，可得，得出即可； （2）连接．根据点，点关于对称，得出垂直平分，可得，根据同弧所对圆周角性质，，得出，，根据，得出，根据，得出即可； （3）连接，延长，交于点，连接，设与交于点，先证明为等边三角形，得到，等边对等角，得到，推出，进而得到，连接，过点作，垂径定理求出的长，得到当，即：三点共线时，的面积最大，求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，连接． 点，点关于对称， 垂直平分， ， ，， ，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴点，点关于对称． （3）连接，延长，交于点，连接，设与交于点，    由（2）得：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，过点作于N，则：， ∴， ∴， ∴， ∵，而， ∴当时，即：三点共线，时，最大，最大为：． 【点睛】本题考查直线垂直性质，互余性质，等腰三角形内角和性质，轴对称性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，通过辅助线画出准确图形是解题关键．本题的综合性强，难度大，属于压轴题． 4．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$