第3章 实数知识归纳与题型训练（7题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙教版2024）

第3章 实数知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、平方根 平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，记作； 平方根的性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根； 算术平方根：正数的正平方根称为算术平方根，记作；0的算术平方根是0. 要点诠释： （1）开平方：求一个数的平方根的运算； （2）开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根； （3） 二、从有理数到实数 无理数：无线不循环小数叫作无理数. 实数：有理数和无理数统称实数 实数和数轴的关系： 1、实数和数轴上的点一一对应； 2、在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大 要点诠释： 无理数常见的3种形式： （1） 开方开不尽的数，如； （2） 及含的数，如； （3） 直接展示的无限不循环小数的形式，如0.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”）； 三、立方根 立方根的定义：一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根，记作； 立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 要点诠释： （1）开立方：求一个数的立方根的运算； （2）开立方是立方运算的逆运算，因此，可以运用立方运算求一个数的立方根； （3）立方根的化简： 四、实数的运算 实数的运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 要点诠释： （1）有理数中的各种概念，如相反数、绝对值、倒数等，在实数范围内同样适用； （2）有理数的各种简便运算律在实数范围内同样适用； （3）实数的化简常用知识储备： 题型一　平方根与算术平方根 例题： 1．（2024春•云梦县期末）64的平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 2．（2023秋•德清县期末）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±4 B．（﹣3）2的算术平方根是﹣3 C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根 3．（2023秋•鄞州区月考）平方根是±的数是（　　） A． B． C． D．± 4．（2023秋•湖州期末）（1）观察发现： a（a＞0） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中x＝　 　，y＝　 　； （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 　 　移动 　 　位； （3）规律运用： ①已知，则 　 　； ②已知，，则m＝　 　． 巩固训练 5．（2023秋•嘉兴期末）4的平方根是 　 　． 6．（2024•宁波模拟）设一个正数的两个平方根是a﹣1和a+3，则这个正数为 　 　． 7．（2023秋•绍兴期中）的算术平方根是 　 　． 8．（2023秋•慈溪市校级期中）有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为81时，输出的y是（　　） A．9 B．3 C．±3 D． 9．（2023秋•鄞州区月考）求的平方根，用式子来表示正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二　绝对值与算术平方根的非负性 例题： 1．（2023秋•富阳区校级期中）若，则（b﹣a）2023的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．52023 D．2024 2．（2023秋•西湖区校级期中），则x+y+z的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023秋•义乌市期中）若实数x、y、z满足+（y﹣3）2+|z+6|＝0，则xyz的算术平方根是（　　） A．36 B．±6 C．6 D． 巩固训练 4．（2023秋•江干区校级期中）以下4个等式：①a+b＝0；②ab＝0；③；④a2+|b﹣1|＝0，a一定是零的等式序号为 　 　． 5．（2023春•衢州期末）当x＝　 　时，的值最小． 6．（2023秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣9，求这个数是多少？ （2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根． 题型三　无理数与实数 例题： 1．（2023秋•东阳市月考）在实数3.14159，，﹣4，π，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋•富阳区校级期中）下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若a，b互为相反数，则＝﹣1；③若a为任意有理数，则a﹣|a|≤0；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•安吉县期中）把下列各数的序号填在相应的横线上： ①﹣2，②π，③，④﹣3，⑤，⑥﹣0.3，⑦，⑧0，⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． 整数 　 　； 负分数 　 　； 无理数 　 　． 巩固训练 4．（2023秋•瑞安市月考）下列各数中，无理数是（　　） A．0. B． C． D．3.121121121112 5．（2023•鄞州区模拟）两个无理数，它们的和为1，这两个无理数可以是　 　（只要写出两个就行） 6．（2023秋•义乌市期中）写出一个同时符合下列条件的数：　 　． （1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小． 7．（2023秋•新昌县校级期中）下列判断正确的是（　　） A．无限小数一定是无理数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．实数包括有理数，0，无理数 D．实数的绝对值都是正数 8．（2023秋•西湖区校级月考）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）： ①﹣2，②π，③，④﹣|﹣3|，⑤，⑥﹣0.3，⑦，⑧，⑨0，⑩1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． 正数：{ 　 　…}； 整数：{ 　 　…}； 分数：{ 　 　…}； 非负有理数：{ 　 　…}； 无理数：{ 　 　…}； 负实数：{ 　 　…}． 题型四　立方根与平方根 例题： 1．（2023•浙江）﹣8的立方根是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在 2．（2023•江北区开学）下列计算正确的是（　　） A．＝±3 B．＝﹣2 C．＝﹣3 D．+＝ 3．（2023秋•嵊州市期中）立方根是它本身的数有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，是一块体积为216立方厘米的立方体铁块． （1）求出这个铁块的棱长． （2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 巩固训练 5．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，二阶魔方为2×2×2的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为72cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　）cm． A．3 B． C． D． 6．（2023秋•西湖区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．的立方根是2 B．﹣3是27负的立方根 C．的立方根是± D．（﹣1）2的立方根是﹣1 7．（2023秋•安吉县期中）正数x的两个平方根分别为3和2a+7． （1）求a的值； （2）求36﹣x的立方根． 8．（2023秋•绍兴期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8． （1）若a＜b，求a+b的值； （2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值． 题型五　实数的性质与估算 例题： 1．（2023春•利川市期末）化简：|﹣2|＝　 　． 2．（2023春•玉环市期末）实数在哪两个相邻的整数之间（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 3．（2023秋•西湖区校级期中）解答下列问题： （1）已知a，b互为倒数，c是最小的正整数，d是绝对值最小的数，|x+2|＝0，求的值； （2）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4，求ab+5的平方根． 巩固训练 4．（2023秋•江北区月考）5的相反数为 　 　，＝　 　，＝　 　． 5．（2023秋•瑞安市期中）估算的值是在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 6．（2023秋•西湖区校级期中）材料：∵4＜6＜9，∴，即2＜＜3，∴的整数部分是2，小数部分为． 问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求的小数部分； （2）求3a﹣b+c的平方根． 题型六　实数与数轴、实数的大小比较 例题： 1．（2023秋•义乌市期中）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住的数是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•镇海区校级期中）长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B、C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝3．若长方形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D所对应的数为2；绕点D翻转第2次；继续翻转，则翻转2023次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是 　 　． 3．（2023秋•平湖市校级期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 0，3.5，﹣4，，． 巩固训练 4．（2023秋•婺城区校级期中）如图，实数在数轴上的对应点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 5．（2023秋•柯城区校级期中）图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64，图中阴影部分是一个正方形ABCD，现把正方形ABCD放到数轴上（如图2），使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 　 　. 6．（2023秋•拱墅区校级期中）已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足（c﹣6）2+|a+2b|＝0两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB． （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒6个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，试探究AB和BC之间的数量关系； （3）若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B变为以每秒m（m＞0）个单位长度的速度向右运动，当t＝2时，AC＝2BC，求m的值． 题型七　实数的运算 例题： 1．（2023秋•滨江区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值是本身的数是0 B．正有理数和负有理数统称有理数 C．两个无理数的和一定是无理数 D．当a≤0时，|a|＝﹣a成立 2．（2023春•玉环市期末）下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•下城区校级期中）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”＝，则1※2+2※3+3※4+…+2023※2024的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•婺城区校级月考）计算： （1）4﹣（﹣3）2×2； （2）． 巩固训练 5．（2023秋•瑞安市期中）计算：＝　 　． 6．（2023秋•拱墅区校级期中）计算． （1）18﹣|﹣2|； （2）（﹣4）×5×（﹣0.25）； （3）﹣﹣+； （4）32×（﹣）3﹣|﹣2|； （5）﹣（）÷（﹣）； （6）﹣14+×[|﹣2|﹣（﹣3）3﹣（﹣2）3]+（﹣）2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 实数知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、平方根 平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，记作； 平方根的性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根； 算术平方根：正数的正平方根称为算术平方根，记作；0的算术平方根是0. 要点诠释： （1）开平方：求一个数的平方根的运算； （2）开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根； （3） 二、从有理数到实数 无理数：无线不循环小数叫作无理数. 实数：有理数和无理数统称实数 实数和数轴的关系： 1、实数和数轴上的点一一对应； 2、在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大 要点诠释： 无理数常见的3种形式： （1） 开方开不尽的数，如； （2） 及含的数，如； （3） 直接展示的无限不循环小数的形式，如0.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”）； 三、立方根 立方根的定义：一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根，记作； 立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 要点诠释： （1）开立方：求一个数的立方根的运算； （2）开立方是立方运算的逆运算，因此，可以运用立方运算求一个数的立方根； （3）立方根的化简： 四、实数的运算 实数的运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 要点诠释： （1）有理数中的各种概念，如相反数、绝对值、倒数等，在实数范围内同样适用； （2）有理数的各种简便运算律在实数范围内同样适用； （3）实数的化简常用知识储备： 题型一　平方根与算术平方根 例题： 1．（2024春•云梦县期末）64的平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 【分析】±8的平方都等于64，可得64的平方根是±8． 【解答】解：∵±8的平方都等于64； ∴64的平方根是±8． 故选：C． 2．（2023秋•德清县期末）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±4 B．（﹣3）2的算术平方根是﹣3 C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的概念判断各选项即可． 【解答】解：A、＝4的平方根是±2，故A选项错误； B、（﹣3）2的算术平方根是3，故B选项错误； C、负数有立方根，故C选项错误； D、是2的算术平方根，故D选项正确． 故选：D． 3．（2023秋•鄞州区月考）平方根是±的数是（　　） A． B． C． D．± 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【解答】解：∵（）2＝， ∴平方根是±的数是， 故选：C． 4．（2023秋•湖州期末）（1）观察发现： a（a＞0） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中x＝　0.1　，y＝　10　； （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 　右　移动 　1　位； （3）规律运用： ①已知，则 　22.4　； ②已知，，则m＝　50　． 【分析】（1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【解答】解：（1），， 故答案为：0.1，10； （2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则m＝50， 故答案为：22.4，50． 巩固训练 5．（2023秋•嘉兴期末）4的平方根是 　±2　． 【分析】根据平方根的知识得出结论即可． 【解答】解：4的平方根是±2． 故答案为：±2． 6．（2024•宁波模拟）设一个正数的两个平方根是a﹣1和a+3，则这个正数为 　4　． 【分析】首先根据一个正数的平方根互为相反数得a﹣1+a+3＝0，由此解出a，进而再求出这个正数的两个平方根，然后再根据平方根的定义即可求出这个正数． 【解答】解：∵一个正数的两个平方根是a﹣1和a+3， ∴a﹣1+a+3＝0， 解得：a＝﹣1， ∴a﹣1＝﹣2，a+3＝2， ∵（﹣2）2＝4，22＝4， ∴这个正数为4． 故答案为：4． 7．（2023秋•绍兴期中）的算术平方根是 　2　． 【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：＝4，则其算术平方根为2， 故答案为：2． 8．（2023秋•慈溪市校级期中）有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为81时，输出的y是（　　） A．9 B．3 C．±3 D． 【分析】将81 代入得9，9是有理数，再将9代入得3，3是有理数，再将3代入得，是无理数，故y＝． 【解答】解：∵，9是有理数， ∴，3是有理数， ∴，， ∴， 故选：D． 9．（2023秋•鄞州区月考）求的平方根，用式子来表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：根据平方根的定义可知， 的平方根为＝±． 故选：C． 题型二　绝对值与算术平方根的非负性 例题： 1．（2023秋•富阳区校级期中）若，则（b﹣a）2023的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．52023 D．2024 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a+2＝0，b+3＝0， ∴a＝﹣2，b＝﹣3， ∴（b﹣a）2023＝﹣1， 故选：A． 2．（2023秋•西湖区校级期中），则x+y+z的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】直接利用非负数的性质得出x，y，z的值，进而得出答案． 【解答】解：∵|x+2|++（2y﹣8）2＝0， ∴x+2＝0，z﹣1＝0，2y﹣8＝0， 解得：x＝﹣2，z＝1，y＝4， ∴x+y+z＝﹣2+1+4＝3． 故选：D． 3．（2023秋•义乌市期中）若实数x、y、z满足+（y﹣3）2+|z+6|＝0，则xyz的算术平方根是（　　） A．36 B．±6 C．6 D． 【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y、z的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答． 【解答】解：由题意得，x+2＝0，y﹣3＝0，z+6＝0， 解得x＝﹣2，y＝3，z＝﹣6， 所以，xyz＝（﹣2）×3×（﹣6）＝36， 所以，xyz的算术平方根是6． 故选：C． 巩固训练 4．（2023秋•江干区校级期中）以下4个等式：①a+b＝0；②ab＝0；③；④a2+|b﹣1|＝0，a一定是零的等式序号为 　③④　． 【分析】根据等式的性质、绝对值和算术平方根的非负性，对等式进行分析即可得出答案． 【解答】解：①在a+b＝0中，a与b互为相反数，∴a不一定为零，不符合题意； ②在ab＝0中，当b＝0，a≠0时，等式ab＝0仍成立，∴a不一定为零，不符合题意； ③在+＝0中，∵≥0，≥0，∴a＝0，b＝0，符合题意； ④在a2+|b﹣1|＝0中，∵a2≥0，|b﹣1|≥0，∴a＝0，b＝1，符合题意， 综上所述，a一定是零的等式序号为③④． 故答案为：③④． 5．（2023春•衢州期末）当x＝　1　时，的值最小． 【分析】根据算术平方根的非负性，得出当x﹣1＝0时的值最小． 【解答】解：∵≥0， ∴的最小值是0， ∵＝0，即x﹣1＝0， ∴x＝1， 故答案为：1． 6．（2023秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣9，求这个数是多少？ （2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根． 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案； （2）根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案． 【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣9， ∴（a+3）+（2a﹣9）＝0， 解得a＝2， ∴a+3＝5， ∴这个数是25； （2）由题意得： 2m+1＝0，3n﹣2＝0， ∴m＝﹣，n＝， ∴m2+n2＝（﹣）2+（）2＝+＝， ∴m2+n2的平方根是±． 题型三　无理数与实数 例题： 1．（2023秋•东阳市月考）在实数3.14159，，﹣4，π，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数的定义即可解答． 【解答】解：和π是无理数，共2个． 故选：B． 2．（2023秋•富阳区校级期中）下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若a，b互为相反数，则＝﹣1；③若a为任意有理数，则a﹣|a|≤0；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数的定义和倒数的定义可判断①；根据相反数的定义和0不能做分母可判断②；根据绝对值的性质可判断③；根据有理数的大小比较方法可判断④． 【解答】解：①无理数的倒数还是无理数，正确； ②当a＝b＝0时，无意义，故若a，b互为相反数，则说法错误； ③若a为任意有理数，则a﹣|a|≤0，正确； ④两个负数比较，绝对值大的反而小，故原说法错误． 综上可知正确的有①③共两个． 故选：B． 3．（2023秋•安吉县期中）把下列各数的序号填在相应的横线上： ①﹣2，②π，③，④﹣3，⑤，⑥﹣0.3，⑦，⑧0，⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． 整数 　①④⑧　； 负分数 　③⑥　； 无理数 　②⑦⑨　． 【分析】根据实数的分类及定义即可求得答案． 【解答】解：整数：①④⑧； 负分数：③⑥； 无理数：②⑦⑨； 故答案为：①④⑧；③⑥；②⑦⑨． 巩固训练 4．（2023秋•瑞安市月考）下列各数中，无理数是（　　） A．0. B． C． D．3.121121121112 【分析】有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断． 【解答】解：A．是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意； B．是无理数，故本选项符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意； D．3.121121121112是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意． 故选：B． 5．（2023•鄞州区模拟）两个无理数，它们的和为1，这两个无理数可以是　π，1﹣π（答案不唯一）　（只要写出两个就行） 【分析】根据无理数的意义，可得答案． 【解答】解：π+（1﹣π）＝1， 故答案为：π，1﹣π（答案不唯一）． 6．（2023秋•义乌市期中）写出一个同时符合下列条件的数：　﹣　． （1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小． 【分析】根据无理数的定义求解即可． 【解答】解：写出一个同时符合下列条件的数﹣， 故答案为：﹣． 7．（2023秋•新昌县校级期中）下列判断正确的是（　　） A．无限小数一定是无理数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．实数包括有理数，0，无理数 D．实数的绝对值都是正数 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，绝对值，无理数的定义等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．根据实数与数轴的关系，绝对值，无理数的定义，进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知，无限循环小数是有理数，A错误，故不符合要求； 实数与数轴上的点一一对应，B正确，故符合要求； 实数包括有理数，无理数，C错误，故不符合要求； 实数的绝对值都是非负数，D错误，故不符合要求； 故选：B． 8．（2023秋•西湖区校级月考）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）： ①﹣2，②π，③，④﹣|﹣3|，⑤，⑥﹣0.3，⑦，⑧，⑨0，⑩1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． 正数：{ 　②⑤⑧⑩　…}； 整数：{ 　①④⑦⑨　…}； 分数：{ 　③⑤⑥　…}； 非负有理数：{ 　⑤⑨　…}； 无理数：{ 　②⑧⑩　…}； 负实数：{ 　①③④⑥⑦　…}． 【分析】根据实数的分类，逐一判断即可解答． 【解答】解：正数：{②⑤⑧⑩…}； 整数：{①④⑦⑨…}； 分数：{③⑤⑥…}； 非负有理数：{⑤⑨…}； 无理数：{②⑧⑩…}； 负实数：{①③④⑥⑦…}； 故答案为：②⑤⑧⑩； ①④⑦⑨； ③⑤⑥； ⑤⑨； ②⑧⑩； ①③④⑥⑦． 题型四　立方根与平方根 例题： 1．（2023•浙江）﹣8的立方根是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在 【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案． 【解答】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2， 故选：A． 2．（2023•江北区开学）下列计算正确的是（　　） A．＝±3 B．＝﹣2 C．＝﹣3 D．+＝ 【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案． 【解答】解：（A）原式＝3，故A错误； （B）原式＝﹣2，故B正确； （C）原式＝＝﹣3，故C错误； （D）与不是同类二次根式，故D错误； 故选：B． 3．（2023秋•嵊州市期中）立方根是它本身的数有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据立方根的定义即可解答． 【解答】解：立方根是它本身的数有﹣1，0，1， 所以有3个， 故选：D． 4．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，是一块体积为216立方厘米的立方体铁块． （1）求出这个铁块的棱长． （2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【分析】（1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意列出式子再进行计算即可． 【解答】解：（1）由题可知，铁块的棱长为＝＝6（厘米）； （2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为a厘米， 2×23+a×a×8＝216， 16+8a2＝216， 解得a＝5． 答：长方体铁块底面正方形的边长为5厘米． 巩固训练 5．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，二阶魔方为2×2×2的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为72cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　）cm． A．3 B． C． D． 【分析】根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【解答】解：由题意可得每个方块的体积为72÷8＝9（cm3）， 则其边长为cm， 故选：D． 6．（2023秋•西湖区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．的立方根是2 B．﹣3是27负的立方根 C．的立方根是± D．（﹣1）2的立方根是﹣1 【分析】根据立方根的定义进行判断即可． 【解答】解：A.的立方根，就是8的立方根，8的立方根是2，因此选项A符合题意； B.27的立方根是3，﹣27的立方根是﹣3，因此选项B不符合题意； C.的立方根是，因此选项C不符合题意； D．（﹣1）2的立方根，即1的立方根是1，因此选项D不符合题意； 故选：A． 7．（2023秋•安吉县期中）正数x的两个平方根分别为3和2a+7． （1）求a的值； （2）求36﹣x的立方根． 【分析】（1）根据平方根的性质可得3+2a+7＝0，解得a的值即可； （2）根据平方根的定义求得x的值，然后求得36﹣x的值，最后根据立方根的定义求得答案即可． 【解答】解：（1）∵正数x的两个平方根分别为3和2a+7， ∴3+2a+7＝0， 解得：a＝﹣5； （2）∵正数x的两个平方根分别为3和2a+7， ∴x＝32＝9， ∴36﹣x＝36﹣9＝27， 则36﹣x的立方根为3． 8．（2023秋•绍兴期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8． （1）若a＜b，求a+b的值； （2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值． 【分析】（1）利用绝对值的定义求出a的值，利用平方根的定义求出b的值，利用立方根的定义求c的值，代入即可求出a+b的值； （2）根据ab小于0，得到ab异号，求出a与b的值，代入所求式子中计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8． ∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2， ∵a＜b， ∴a＝﹣5，b＝±2， ∴a+b＝﹣5+2＝﹣3或a+b＝﹣5﹣2＝﹣7， 即a+b的值为﹣3或﹣7； （2）∵abc＞0，c＝﹣2， ∴ab＜0， ∴a＝5，b＝﹣2 或 a＝﹣5，b＝2， ∴当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝15， 当 a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣7， ∴a﹣3b﹣2c＝15 或﹣7． 题型五　实数的性质与估算 例题： 1．（2023春•利川市期末）化简：|﹣2|＝　2﹣　． 【分析】根据绝对值的概念计算即可． 【解答】解：因为1＜＜2， 所以﹣2＜0． 所以|﹣2|＝2﹣． 故答案为：2﹣． 2．（2023春•玉环市期末）实数在哪两个相邻的整数之间（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴， 即2＜＜3， 故选：C． 3．（2023秋•西湖区校级期中）解答下列问题： （1）已知a，b互为倒数，c是最小的正整数，d是绝对值最小的数，|x+2|＝0，求的值； （2）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4，求ab+5的平方根． 【分析】（1）根据a，b互为倒数，c是最小的正整数，d是绝对值最小的数，|x+2|＝0，即可求出ab、c、d、x的值，然后代入要求的式子计算即可； （2）根据9的平方根是±3得出2a﹣1＝9，即可求出a的值，根据16的算术平方根是4得出a+3b﹣1＝16，即可求出b的值，然后根据平方根的定义求出ab+5的平方根即可． 【解答】解：（1）∵a，b互为倒数， ∴ab＝1， ∵c是最小的正整数， ∴c＝1， ∵d是绝对值最小的数， ∴d＝0， ∵|x+2|＝0， ∴x+2＝0， ∴x＝﹣2， ∴ ＝ ＝3﹣4﹣1 ＝﹣2； （2）∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， ∴a＝5， ∵a+3b﹣1的算术平方根是4， ∴a+3b﹣1＝16， ∴b＝4， ∴ab+5＝5×4+5＝25， ∵25的平方根是±5， ∴ab+5的平方根±5． 巩固训练 4．（2023秋•江北区月考）5的相反数为 　﹣5　，＝　2　，＝　4　． 【分析】根据相反数的定义，平方根的意义、立方根的意义即可得出答案． 【解答】解：根据相反数的定义可知：5的相反数是﹣5， 根据平方根的意义得：＝2， 根据立方根的意义得：＝4． 故答案为：﹣5；2；4． 5．（2023秋•瑞安市期中）估算的值是在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【分析】先估算出的范围，再求出+2的范围，即可得出选项． 【解答】解：∵3＜＜4， ∴5＜+2＜6， 即+2在5和6之间， 故选：C． 6．（2023秋•西湖区校级期中）材料：∵4＜6＜9，∴，即2＜＜3，∴的整数部分是2，小数部分为． 问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求的小数部分； （2）求3a﹣b+c的平方根． 【分析】（1）估算出的范围，即可得到的小数部分； （2）根据5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分求出a，b，c的值，然后求出3a﹣b+c的值，再求它的平方根． 【解答】解：（1）∵9＜15＜16， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是﹣3； （2）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴5a+2＝33＝27，3a+b﹣1＝42＝16，c＝3， ∴a＝5，b＝2，c＝3， ∴3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16， ∴3a﹣b+c的平方根是±4． 题型六　实数与数轴、实数的大小比较 例题： 1．（2023秋•义乌市期中）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、、、的大小即可． 【解答】解：数轴被墨迹污染的数介在1与2之间， ∵12＝1，22＝4，32＝9， ∴1＜＜2，2＜＜3，2＜＜3，2＜＜3， 故选：A． 2．（2023秋•镇海区校级期中）长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B、C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝3．若长方形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D所对应的数为2；绕点D翻转第2次；继续翻转，则翻转2023次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是 　4046　． 【分析】由题意知，每4次翻转为一个循环组依次循环，且矩形周长为8，计算2023被4除的余数即可求得答案． 【解答】解：由题意得： 第一次翻转，右边的点移动3个单位， 第二次翻转，右边的点移动1个单位， 第三次翻转，右边的点移动3个单位， 第四次翻转，右边的点移动1个单位， ∴翻转4次，为一个周期， ∴一个周期，右边的点移动8个单位， ∵2023÷4＝505⋯3， ∴右边的点移动505×8+7＝4047， ∴﹣1+4047＝4046， 故答案为：4046． 3．（2023秋•平湖市校级期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 0，3.5，﹣4，，． 【分析】利用s实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵＝﹣＝﹣2.， |﹣4|＝4，|﹣2.|＝2.， 4＞2.， 在数轴上表示为： ∴． 巩固训练 4．（2023秋•婺城区校级期中）如图，实数在数轴上的对应点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【分析】根据无理数估算方法估算的大小，即可判断． 【解答】解：∵1＜2＜4， ∴， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是B点， 故选：B． 5．（2023秋•柯城区校级期中）图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64，图中阴影部分是一个正方形ABCD，现把正方形ABCD放到数轴上（如图2），使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 　﹣1﹣　. 【分析】首先根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长，再根据魔方的棱长为4，得出小立方体的棱长为2，得到正方形ABCD的面积，开平方即可求出边长，最后根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数． 【解答】解：∵＝4， ∴这个魔方的棱长为4， ∴小立方体的棱长为2， ∴正方形ABCD的面积为：×2×2×4＝8， ∴边长为＝， ∴D在数轴上表示的数为﹣1﹣． 故答案为：﹣1﹣． 6．（2023秋•拱墅区校级期中）已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足（c﹣6）2+|a+2b|＝0两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB． （1）a＝　﹣2　，b＝　1　，c＝　6　； （2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒6个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，试探究AB和BC之间的数量关系； （3）若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B变为以每秒m（m＞0）个单位长度的速度向右运动，当t＝2时，AC＝2BC，求m的值． 【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值； （2）根据题意得：t秒后，A表示的数为﹣2t﹣2，B表示的数为2t+1，C表示的数为6t+6，然后分别表示出线段长度作差即可求解； （3）分别求出当t＝2时，A、B、C表示的数，得到AC和BC，根据AC＝2BC列出方长，解之即可． 【解答】解：（1）（1）∵（c﹣6）2+|a+2b|＝0，b是最小的正整数， ∴c﹣6＝0，a+2b＝0，b＝1， ∴a＝﹣2，b＝1，c＝6， 故答案为：﹣2，1，6； （2）∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和6个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后，A表示的数为﹣2t﹣2，B表示的数为2t+1，C表示的数为6t+6， ∴BC＝6t+6﹣（2t+1）＝4t+5，AB＝2t+1﹣（﹣2t﹣2）＝4t+3， ∴BC﹣AB＝4t+5﹣（4t+3）＝2， ∴BC﹣AB＝2； （3）当t＝2时，点A表示﹣4﹣2＝﹣6，点B表示1+2m，点C表示6+6×2＝18， ∴AC＝18﹣（﹣6）＝24，BC＝|18﹣1﹣2m|＝|17﹣2m|， ∵AC＝2BC， 则24＝2|17﹣2m|， 则24＝2（17﹣2m），或24＝2（2m﹣17）， 解得：m＝或． 题型七　实数的运算 例题： 1．（2023秋•滨江区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值是本身的数是0 B．正有理数和负有理数统称有理数 C．两个无理数的和一定是无理数 D．当a≤0时，|a|＝﹣a成立 【分析】根据绝对值的意义，实数的运算，有理数的分类，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、绝对值是本身的数是正数和0，故A不符合题意； B、正有理数，负有理数和0统称有理数，故B不符合题意； C、两个无理数的和可能是有理数，也可能是无理数，故C不符合题意； D、当a≤0时，|a|＝﹣a成立，故D符合题意； 故选：D． 2．（2023春•玉环市期末）下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根及绝对值的意义逐项求解即可． 【解答】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（2023秋•下城区校级期中）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”＝，则1※2+2※3+3※4+…+2023※2024的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据新定义列式计算即可． 【解答】解：原式＝+++…+ ＝﹣1+﹣+﹣+﹣…﹣+ ＝﹣1+ ＝﹣， 故选：D． 4．（2023秋•婺城区校级月考）计算： （1）4﹣（﹣3）2×2； （2）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算减法即可； （2）根据有理数的乘方、算术平方根、立方根的运算法则分别计算即可． 【解答】解：（1）4﹣（﹣3）2×2 ＝4﹣9×2 ＝4﹣18 ＝﹣14； （2） ＝﹣9+5﹣3 ＝﹣7． 巩固训练 5．（2023秋•瑞安市期中）计算：＝　2　． 【分析】原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用二次根式的化简公式化简，即可得到结果． 【解答】解：原式＝﹣2+4 ＝2． 故答案为：2． 6．（2023秋•拱墅区校级期中）计算． （1）18﹣|﹣2|； （2）（﹣4）×5×（﹣0.25）； （3）﹣﹣+； （4）32×（﹣）3﹣|﹣2|； （5）﹣（）÷（﹣）； （6）﹣14+×[|﹣2|﹣（﹣3）3﹣（﹣2）3]+（﹣）2． 【分析】（1）根据去绝对值和有理数减法法则运算即可； （2）根据乘法交换律和有理数乘法运算法则运算即可； （3）根据开平方和开立方及有理数加减混合运算法则运算即可； （4）根据乘方立方和去绝对值运算法则运算即可； （5）根据乘法分配律运算即可； （6）根据有理数混合运算法则运算即可． 【解答】解：（1）18﹣|﹣2| ＝18﹣2 ＝16； （2）（﹣4）×5×（﹣0.25） ＝（﹣4）×（﹣0.25）×5 ＝1×5 ＝5； （3）﹣﹣+ ＝4﹣3++ ＝3； （4）32×（﹣）3﹣|﹣2| ＝9×﹣（2﹣） ＝﹣﹣2+ ＝﹣+； （5）﹣（）÷（﹣） ＝﹣（）×（﹣60） ＝20﹣45+24 ＝﹣1； （6）﹣14+×[|﹣2|﹣（﹣3）3﹣（﹣2）3]+（﹣）2． ＝﹣1+×（2+27+8）+ ＝﹣1+×37+ ＝﹣1++ ＝﹣1++ ＝﹣1+ ＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$