2.4 线段的垂直平分线-【探究在线】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版）

2.4 线段的垂直平分线 ⑤第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 识要点分类练 基础在线》识 知识点1线段垂直平分线的性质 1.如图，点P是线段AB的垂直平分线上的一个 点，PA=6cm,则线段PB的长为 () 第5题图 第7题图 A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 6.如图，直线PO与AB交于点O,PA=PB,则 下列结论中正确的是 ( A.AO=BO B.PO⊥AB 第1题图 第2题图 C.PO是AB的垂直平分线 2.如图，已知∠A=35°，CD为AB的垂直平分 D.点P在AB的垂直平分线上 线，则∠BCE= 7.如图，下列说法正确的是 3.(中考·鄂尔多斯)如图，在△ABC中，边BC A.若AC=AD,则CD垂直平分AB 的垂直平分线DE交AB于点D,连接DC,若 B.若BC=BD,则CD垂直平分AB AB=3.7,AC=2.3,则△ADC的周长是 C.若AC=AD,BC=BD,则AB垂直平分CD D.若AC=AD,BC=BD,则CD垂直平分AB 8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC边的 GOH 垂直平分线MN经过点A.求证：点A在线段 CD的垂直平分线上. 第3题图 第4题图 知识点2线段垂直平分线的判定 4.如图，点E,F,G,Q,H在一条直线上，且EF= GH,直线！为线段FG的垂直平分线.下列说法 正确的是 ) A.l是线段EH的垂直平分线 B.l是线段EQ的垂直平分线 C.l是线段FH的垂直平分线 D.EH是l的垂直平分线 5.如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD, 则AD DC,点D在 的垂直平分 线上 45探究在线八年级数学（上）·X灯 ②能力在线》 方法规律综合辣 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC D为△ABC外一点，且AD=BD,DE⊥AC 9.如图，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P, 交CA的延长线于点E. 作直线DE交AB于点D,交BC的延长线于点 求证：DE=AE+BC E.若∠DPA=∠A,则点D在 A.BC的垂直平分线上 B.BE的垂直平分线上 C.AC的垂直平分线上 D.以上答案都不对 第9题图 第10题图 3 拓展在线》培犹拔尖提升练 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D,E是 13.如图，已知锐角三角形ABC中，AB,AC边的垂 边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线 直平分线交于点O,∠BAC=a(0°<a<90). 段AD,CD平分∠BCE,AC=5cm,则BD (1)求∠BOC的度数（用含a的式子表示）： 的长为 ( (2)试判断∠ABO十∠ACB是不是定值.若 A.5 cm B.6 cm 是，求出定值；若不是，请说明理由. C.7cm D.8 cm 11.如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，D,F分别 为AB,AC的中点，ED⊥AB,GF⊥AC,若BC= 21cm,求EG的长. 第2章46 ©第2课时 作线段的垂直平分线 ①基础在线 知识受点分类练 两弧交于点D,连接CA,CB,CD,下列结论不 一定正确的是 知识点1作线段的垂直平分线 A.CD⊥I 1,如图的尺规作图是作 B.点A,B关于直线CD对称 A.线段的垂直平分线 C.点C,D关于直线l对称 B.一个半径为定值的圆 D.CD平分∠ACB C.一条直线的平行线 6.(1)如图，点P是△ABC的边BC上的一点， D.以上都不对 请过点P画出AB,BC的垂线，分别交AB于 2.(中考·赤峰)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB 点M,N,并指出哪条线段的长度表示点P到 =90°，AB=8,BC-5. 线段AB的距离？ (1)作BC的垂直平分线，分别交 (2)尺规作出△ABC中BC边的垂直平分线 AB,BC于点D,H;(要求：尺规作 EF,分别交AB,BC于点E,F,并写出直线 图，不写作法，保留作图痕迹) PN与EF的位置关系， (2)在(1)的条件下，连接CD,则 △BCD的周长为 知识点2过一点作已知直线的垂线 3.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的 垂线，下列作图中正确的是 3 拓展在线》婚代拔尖提升然 7.如图，点A,B,C表示三个村庄，现要建一座深 能力在线》 :方法律综合 井水泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输 水管长度相同，水泵站应建在何处？请画示意 4.观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边 图，并说明理由。 AB上的中线是 A & B 5.如图，C,E是直线l两侧的点，以点C为圆心， CE长为半径画弧交1于A,B两点，又分别以 点A,B为圆心，大于2AB的长为半径画孤， 47探究在线八年级数学（上）·X灯第2课时真限命题与定限 粘展在线 后属在线 量专短《分类讨论想想在等膜三物形中的应用 基避在线 10,(1AB∥CD理由如下： 15,《101901m-2 L.D'或0”之.45成9”怎7填84,7友20 1,C42a.A 如图①，过点E作ENA,渊∠EN一∠B, 《2)F明，设∠AED=,∠C0D=A 5,设AB-ACrm,C方， 4.如一1×一1)=2，的一2与中1帝品鱼数 ∠1-∠B.∠BEN=∠1 CD-CR.AE-AD. #AH+A+-7m.1x+5=27 5,C6D7.不是 ELDE,÷,∠HbN+∠DEN=∠ED=9G ∠AEDm∠ADE=a,∠D=∠DCm6, :BD是C边上的中线，AD=D 能力在雄 ∠1+∠2=0.4∠2=∠DEN ∠EDB=13一4一，∠AC3=1a 当△AD的周长一△CD的周长=3m时，可斜 8,0 "∠I=∠D,∠D=∠DEN.END (180°-2a1-(18-2h)1a+26-38r, r-yus. B.(1们有逆定是，送定理是：问旁内角互补，两直线平行. FN及AB.AB∥(D (2)及看连定理，理白：国为其逆命题是：互补的角是 (2满足.蓝明如下，如阴e,过点E作上N《A ∴号∠AIc-∠EDB-0 海0 一y=3 第补角，它是餐命题 ·∠BEN一∠H ∠AC=g(9产-∠FB. 每LB=AC=lnt,C=7m 0,如果①知，那么①( ∠B=∠1，∠BEN=∠1 目∠A仪C是∠EDB的倍余角， 当△CBD的风长一△ABD的周长=3m时，可得 如梨①①，都么： G⊥DE,÷∠H5-∠EN十∠N-, 《)由(2)每∠D=45"- 如暴①，那么①， 又：∠1+∠2m0,1∠DEV=∠2 BFDE,∠EDH=∠DBF后'， =指， 以上霉是真合题. ∠2-∠D.÷∠0BN-∠D :CD=D,∠DC=5+a=∠ 色相 拓腿在线 ENCD. ∠DhP=4-a+ 图AB=AC-8m,-116m 1山.这是个餐命想.反树：当ā■，+m一2时，满泥 ENA,.A8CD ÷∠(PB=∠D+∠=. 第上，△AHC各边的卡为0m:16m,7出减 w6门a一1--2，n<,第夜合曾的第 第2保时等盛三角形竹判定 8m,sm-11m, 件为若ab0,这时自题为真角整 基图在线 6.2减40成10 第3时命湖的纸明 1.De@ 之4线段的至直平分线 基在线 2,(11等腰 第1球时线授的海皇平分找的进嘴和料定 L.C乏已知羊角的定又已知等量代模 2)证明，（平分∠AW,∠P=∠ 基健在线 2.3等里三角形 AD DC.EGLEC. DNAE.÷∠DO-∠HP. 易】谋时平樱三角醋的椎质 1.C2.7m164.A3=AC6D1.C AD/EG ∠P=∠DPA 越穗在线 成准接AC, ,∠E=∠CAD,∠1=∠AU ∴，M0=PD,甲公D时'是等幅京角形 ”AN原直平分， X∠1=∠E,品∠CAD=∠BAD CD(18ACo(3C4D￥ 3,∠A■（答案不率一） 5AB-AC. 甲AD平分∠BAC 4.△A是等边三角思，，∠物的 AAD. ,A三4与不平行 三：在△AC中，A=AC,AD是∠4C的平分线， DEL.∠DE-9, 5AC-AD. 6.了8%=∠1+∠2≠1如°程位4与4不平行 BD-CD. ,∠BDE=]0. 成A在找设D的康直平分线上， 能九在肤 ,△ABD的周长为12 :FD⊥AB.∠ADF一，二∠DF=, 能力在线 7.A ABBD+AD12. 同理：∠DEFG0,△DEF为等边三角形 生.日10，A -2AB中2BDt1AD=14, 8,已划：加图，直汉1及外一应P 能力在域 品AH+AC+C+2AD@24 1l,连接AE,A 5,D6,等履三角形 FD为B的中点ED1B, ,△AC的周长为14，AB+AC+C-14 7.(1160°2∠A-30+∠CAD .沿=E4. 求证：过点P有且只有一条直线与（平行， 14+2AD=24.hAD-5, 8,11= △AE为等翼二角形： 正明：假议过点严有两条九提h与平行：荷： t受mA6n (2CD=E.果由如下， 义，∠B=30,,∠A= AB=A.∠C=∠A 7:△A风C是等三角形，D为AC的中点。 同理可得∠AGE=0, BD1AC∠ABm6,∠B0C=9G, ,'DEN∠AE∠C,∠AED=∠AIC ,△A之G为等边三角形，，AE一G一A 甲￥81.6.0》 ,CE=D,∴.∠=∠E ∠ADE=,∠AD.AD=AE, 又AE-BE,CC,.BEGG 这与ah相突u都过点P)才雨： N∠AB=∠B+∠ED1,∠E730 .AC-ADAR-AE.CD BE 又E++G汇=BC=2Em,i=7m 位限设不规文，国此过直改外一点有且只有一条自 .∠BDE-∠C+∠X-I2 由(1》，周∠E6D=∠ED8- 2,连擅D 钱与已每直线平行， HE-ED.CD-ED. &D1,0减5 YAC-BC.DAD ,(1证图：，D08B.∠1=∠2. 能力在线 佑属在线 ·么C,点口都在线段AB的垂有 '∠1■∠8， 0,C11.日12，A13.70 B,1i正明：在△A中，：LB=AC,∠A=∠ 线上 ∠1=∠3，∴.CD/FG- 14.EF+G=AD理由如下 ∠A=6,,∠A0=∠C=7巴. ,D需直平分AB ”CDLAB,FG⊥AH 生接，那Sa-9m十5u BD平分∠AC,∠1=∠2-3 六∠ADm45, (2)成这痒由如下， ∠A■∠I:∠BD=∠C=2. 又E1C.∠CDE=45", F,⊥AH,DLAB.TD8Fr,∠2=∠3， EF+TAC EG 六△AD与△C暮是等腰三角形 :DE■E=AE+AC=AE+政 ”∠1=∠3，∠1=∠1.÷E0 21圆②，③得 船展在线 (a)成立，理由如下：F1A8.D上AB 13.11连报M ,CDNG,∠2=∠3 :A,AC边转采直平分线空写 DE∥，∠1-∠2.∠1-∠4 义n-豆·ADBF+衡-An 点0， 深究在线·八年返双学上)·) 21 ,A=M=( .在的△A[中，2x+10x=间，解得r=7.6, ,∠ACB=∠CAD+∠D,∠D=∠+∠E, ∠A-∠CA ∠QH=∠M,∠A∠MC, ∠ADC=1or ∠CAD+∠B+∠CE十∠D+∠E-∠AC事+ 在△ABD和△AD中 :∠O+∠B-1-1(∠0AB+∠0C的 X《1),DE项直平分AB,G系直平分AC ∠AE+∠ETD-10, Al-AC. 10-2∠BAC-1sn-a+ .EB-EA.FA-FC. 艺.5全等三角形 ∠AD4∠AD. ∴，∠=83一∠(C+∠COX)m2a ∠KME∠B,∠F∠C 第1球时会等三角形的枫壶和性质 AD-AD. 12)∠A十∠AB是堂值：星由如于 ,在△AC中，∠A=1. 基智在线 △ABD2△AD5MS r)=(T,,∠C=∠XH ∠B+∠=， 1.C2D1,点C点D点 五.AI=AC,∠B=∠ :∠01B-∠0.∠OA=∠AC ∠BAE十∠F=0'. 4.△AC2△HAD∠CAB与∠[IA,∠A仪与 住△ABD阳△E中， ∠0-13-2∠HA0=9g- .∠E1F=∠B1C-C∠BAE+∠FAC1w86. ∠BAD AB与HA,HHC与AD AB=AC。 《):C=1落m 5.B9.目7.74 ∠=∠C ∠A+∠A+∠('+∠A=I, .△AEF的周长为LE+F+EF=E+下+E 8.△AD≌△CF, BD=CE. ∠A)十∠A---(9产一-， =C'=1m ADe BC. △ABDa△ACEESAS. 数∠A浙？+∠AC甲是定自 ABAC. YD-BCCD. AD-AE 吊1保时作线授的金直平分线 -点A在线段C的系直平分线上.且∠AC 二D-A-D-8-6-3(em), 不正确，理由：情用5以”来正明两个三角形全等. 基础在线 ∠ACH. 3.20 ∠D不是D与AD的类角，∠(CMD位不是(CD 1.A :零边三角思AD和等边三角形A君， 健力在战 与AD的夹角 2,1 ∠ABD=∠E=G0, 10C11,1 能力在版 :g<∠BAC<0, 12.1D,△ABXa△EH 7.08u ∠AC-∠ABD=∠ACH-∠ACE 2AD-BC-5 am. .(103,81 B∠F=∠PB,.FB=, 又”E为BD的中点， (2)量明：如出， 点F在线取C的霜直平分汉上， 4',3,B3.74, 佳力在线 “,再么确定一条直线， 六bE-D-普m .∠A0M=37”-∠AUB 4.B.C 直线AF是处取H的系直平分线： 2)沿与AC系直.理由组下， 74”.04=B=1. 6.(1如 肆直线AF⊥C :△ABDA△C.山∠ABD-∠EBC国 .∠A0=∠AM0∠A0=T-1T=37 线取严M的长度为意P到线爱A日 0段测评2（之1-2.1】 又”点A,B,C在间-条直线上 1'=2'. 的距高. 1.A2,C1B4C5,B4.D ÷.∠EC￥∠AD=10”. AAO'ABOA(SASI. (2上加图，直复F为所求作的直是 7题果两个角是对顶角，军么这两个角相等 ∠E段-90DH与AC看直 AA-AB 严N与E苹的位置美系是平行 我39，°10，AB11,40°18∠1一∠2-180 1入1DB和AAC和AE,食相是时应边：∠ 阳展在线 韬展在线 13.(1高. 程∠DE,∠B阳∠D.∠C和∠E是对应角 1U,11正明：在△ACE面△HCE中 7,注接AA,,分别年AB.的原直里分线，丙线安 ()∠CF=48 (2)△LBq△ADE,∠MC■∠BME AC=BC. 于西人店0即为渊求，指隐 1.(14=C, ÷∠AD=∠GAE ∠1=∠g. 微表题3线段重直平分战的性板废用的三种夹塑 .∠C=∠1- :∠BAE-∠DMC+∠HAD+∠AEI' CERCE. L.(“AB的垂直平分线MN交AB于点D, HBF⊥AC干点F ∠DAC0, :△ACEa△E8As3 Ag-I. .∠FC-0, ∠B4D-20 gAE一BE理由如下t △BE的周装为E十E十=AE+E+ ∠FBC=0-36=51 T△A△ADE,∠B∠D 在E上截取C下一DE: AC+BC. (证期：：BA=C,BF⊥C于点F, 义∠底A=∠E, AD-C. ”AC=1后销，△以E的得长为4 ∠ABF=∠FBC .∠D5H-∠HAD=2 在△ADE和△F中， ∠1=∠4： -24-15=pm. DE度， 拓展在线 DE-CF. (21证：：∠Am8,AH=AC ∠Em∠FBC, 1L1),△R4a△AE,.AD=CE,D=A局 ,AADE9△政F$AS. 8∠2C1-∠1-183-36的=7. ·∠E-∠ABF AE-AD+DE. ,AE=F,∠AED=∠CP .D=DE. ∴)=DE+E ∠AED+∠EF-Nr,∠下H+∠EFB-Ik HAB的意直平分线MN交AB下点D 15,(1∠1=∠Ht∠，∠2=∠ (g)当∠ADB=0时，BD ∠BEF=∠EFR .BEBF,AEBE AB=,·∠AHB=A=36 ∠D, 理由如下，'△AE2△E 第多深时全等三角形的月定2—A5A 由一角无的外角生质，得 义∠1+∠2+∠C=10, ∠AD=∠A=9. 基硅在拔 ∠EC=∠A+∠ABE=+36=72, ”∠A+∠B+∠E十∠D十∠E 号H∠ADB∠BDE-0, 1.C2.11.∠D-∠成ABD四 ∴∠E℃=∠C,,C=E ∠(EAm∠DE=0.,DE. 1伊 2."∠14∠3-24p ()无变化 第2闲时全董三角形竹判发1一一5A图 .(1D5A4DE,∠B-5 设∠1=2r.则∠2=5 "∠HAC-∠C+∠E,∠EAD-∠B+∠D 基脑在线 ∠ABE=∠E=50 :E是找段AB的垂直平分域 .∠AD+∠H+∠C+∠D+∠E=∠HAC+ 1.C上D 又：∠AD=0°， AD=HD.∠B-∠2=3￥ ∠CADT∠EAD=IM 3.∠1=∠或∠A-∠DE)△DE ∠D尾=∠AHD一∠A6E- ∠AD-∠2十∠B=IO (3》无变化 4,NAD平分∠BAC ()证明：在△AHC和△BED中， 22 -深究在线·八年吸数学（上）·X灯