2.2 命题与证明-【探究在线】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版）

2.2 命题与证明 ©第1课时 定义与命题 A.如果a=b,那么a=b 基础在线》 识要点分美练 B.如果a=|b,那么a=b 知识点1定义 C.如果a≠b,那么la≠|b 1,下列语句中，属于定义的是 D.如果|a≠|b,那么a≠b A.两点之间，线段最短 能力在线沙方法起律解合练 B.予独爱莲之出淤泥而不染 C.点到直线的距离就是该点到这条直线的垂 7.下列语句中是命题的有 线段的长度 ①画线段AB=2cm:②同一平面内两条直线 D.三角形的高、角平分线和中线都是线段 不相交就平行：③(a一2)>0：④如果两个角 2.说出等边三角形的定义： 相等，那么这两个角的补角相等吗？ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点2命题及命题的构成 8.(1)命题“能被4整除的数一定能被2整除”的逆 3.下列语句中，是命题的是 命题是 ,这 A.两点确定一条直线吗 个逆命题的条件是 ,结论 B.在线段AB上任取一点 是 C.作∠A的平分线AM (2)将命题“钝角大于它的补角”改写成“如 D.两个锐角的和大于直角 果…，那么…”的形式是 4.将命题“锐角小于90”写成“如果…，那 么…”的形式是 3 拓展在线沙特代拔尖提升练 5.判断下列语句是否为命题，如果是，请写出它 9.已知命题“如果两条平行线被第三条直线所 的条件和结论 截，那么一对内错角的平分线互相平行.” (1)画一个60的角： (1)写出命题的题设和结论： (2)同角的余角相等. (2)画出符合命题的几何图形： (3)写出命题的逆命题 知识点3互逆命题 6.已知命题：如果a=b,那么a=|b,则该命题 的逆命题是 37探究在线八年级数学（上）·X灯 ©第2课时 真假命题与定理 基础在线 知识要点分类练 2 能力在线沙方法规律综合练 知识点1真命题与假命题 8.下列命题中，不是基本事实的是 1.下列命题中，属于真命题的是 A.两点确定一条直线 A.相等的角是对顶角 B.两点之间线段最短 C.同位角相等，两直线平行 B.一个角的补角大于这个角 D.同角（或等角）的余角相等 C.绝对值最小的数是0 9.判断下列两个定理是否有逆定理，若有，请写 D.两个负数的差一定是负数 出它的逆定理：若没有，请说明理由. 2.下列四个命题：①对顶角相等：②同位角相等： (1)两直线平行，同旁内角互补： ③两点之间线段最短：④若OA=OB,则点O (2)邻补角互补. 是AB的中点，其中假命题有 个 知识点2举反例 3.在证明命题“若a>1,则a>1”是假命题时， 下列选项中所举反例不正确的是 A.a=2 B.a=-2 10.如图，给出下列条件：①AB∥CD,②∠B C.a=-3 D.a=-4 ∠C.③∠E=∠F.请以其中两个作条件，一 4.请给出命题：“如果两个数的积是正数，那么这 个作结论，构成一个数学命题，其中真命题有 两个数一定都是正数”是假命题的一个反例： 哪些？请一一写出来 知识点3 基本事实与定理 5.“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直”是 ( A.定义 B.定理 C.基本事实 D.假命题 3 拓展在线沙持优拔尖提升练 6.下列叙述错误的是 11.命题：若a>b,则a>b.请判断这个命题的 A.基本事实都是真命题 真假.若是假命题，请举一个反例，并适当修改 B.命题不一定是真命题 命题的条件使其成为一个真命题， C.定理一定是真命题 D.推论不一定是真命题 7.定理“对顶角相等”的逆命题 定理， (填“是”或“不是”) 第2章38 第3课时 命题的证明 ①基础在线》 知识受点分类练 知识点2反证法 4.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个 知识点1命题的证明 角是直角”，应先假设这个三角形中() 1,如图，已知AB⊥BC,DC⊥BC,∠1=∠2.求 A.有两个角是直角 B.有两个角是钝角 证：BE∥CF C.有两个角是锐角 D.三个角都是直角 现有下列步骤：①，∠2=∠1：②∴.∠ABC= 5.用反证法证明“在同一平面内，a,b,c互不重 ∠BCD=90°：③.BE∥CF:④AB⊥BC, 合，若a∥b,b∥c,则a∥c"时，应假设 DC⊥BC:⑤∴.∠EBC=∠FCB.那么能体现 证明顺序的是 6.用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如 A.①②③④⑤ B.③④⑤②① 果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行 C.④②①⑤③ D.⑤②③①④ 已知：如图，直线11,2被13所截，∠1十∠2子 180°. 第1题图 第2题图 2.如图，点C,O,D在一条直线上，∠1=∠3.求 证：A,O,B三点在一条直线上 求证：l与l2不平行. 证明：点C,O,D在一条直线上( 证明：假设 .∠2+∠3=180°( 则∠1+∠2 180°（两直线平行，同旁内 ∠1=∠3( 角互补)， .∠1+∠2=180°( 这与 矛盾， ,A,O,B三点在一条直线上 故 不成立， 请根据以上证明过程填写证明的依据 所以 3.已知：如图，AD⊥BC,EG⊥BC,∠1=∠E.求 2 能力在线》方法规律综合练 证：AD平分∠BAC. 7.如图，下列判断错误的是 A.,∠1=∠4，.AB∥CD B.∠2=∠3，∴.AB∥CD C..∠1+∠2+∠B=180°，.AD∥BC D.:∠3+∠4十∠D=180°，.AD∥BC 39探究在线八年级数学（上）·X灯 8.用反证法证明：过直线外一点有且只有一条直 3 拓展在线》培代提尖提井紫 线与已知直线平行. 10.(1)已知：如图①，BE⊥DE,∠1=∠B,∠2 ∠D,试确定AB与CD的位置关系，并说明 理由： (2)在(1)的条件下，若图形变化为如图②所 示，且满足∠1十∠2=90°，那么AB与CD还 满足上述关系吗？若满足，则对其进行证明. 图① 图② 9.(1)如图，DE∥BC,∠1=∠3，CD⊥AB.求证： FG⊥AB: (2)若把(1)的条件中的“DE∥BC”与结论中 的“FG⊥AB”对调，命题成立吗？说明理由： (3)若把(1)的条件中的“∠1=∠3”与结论中 的“FG⊥AB”对调，命题成立吗？说明理由 第2章40依心素秀提并 号×(+)-2-清 w兽 断以∠AC一∠ACD== 又因为∠AC+∠BD=∠B+∠D.∠BMD ∠cC-号∠Aa L线及5.BACH4.DT,△ADC AD ∠B=9, 圆为∠民4k+∠A0=18”-∠A出-13- ×+- 我25.110,6线16 断以0一金2十2一0十 管力在线 质H∠CAB+∠CA-∠BAN+∠ABn E:因为左边一号×出12-右 所以2a一30： 1l,D12,A3,714,1m ②当点P在线段CF上时.延长AD交于点F, 1,(1因为BE为△ABD的角平分线，∠AE-16, 边，所数等式现立： 链周. 所以∠ABD2∠AHE=3, 第2章三角形 为将△AT沿AP程折得△AP入 衡1以∠A里=1”-∠CAH+2A)=9G- 24 (2因为AD为△倒C的中线，BD一， 所以ACAD 2.1三角形 7.(1)4610 新以倒■10，设点A列C边的距离为A。 第1深时三角形的有关概高风三垃美马 国为∠CTD-■，∠ACB-0', (2如图中AAH1于点H 基调在线 期5e=赏， 所以∠ADC=∠ACDm0'-。 由1)可知∠HAE-16, 又国为∠Ax-∠AFC十∠CD,∠AC 因为AH∥DF,N以∠DFE 2,s△ABD.△CD AC AD∠AD 所以A=能=江 10 ∠AC+∠H4D. ∠HAE-1o, d.3△AC,△AHD.△AB店 答，点A到C边的断离为12 所以∠ADC-∠AC∠AD叶∠7)-r+3ta 4,35.416.A7C 拓展在线 断以0--切+十山，所级2：十0， (m站论：∠DFE-专型 1a号 综上新述，当点P在线度E上用，一产知当 由如下， 8.(1因为+0<7，所以不罪胜或三角形 42)112 点P在线段E上封，2知十 如图，年AHL:十点H,FD (2国为3十3一4：需以不能厘表三角形， a时为Sw支AP·,s一壹P·D5 微专题3与三角形角平分线有关的计算 C于点D, (31因为3+4，十>8，所以时以能式三角形. L,设∠A)-∠=， 国为∠AB-∠AAB 0,6 S.m-8P.DE:S.-+ ∠AY=∠， ∠AH.∠RMH='-∠B 能力在线 在△AC中，∠A十1x十y-1n,① 10,C11,Bt2,38 在△仪C中.∠议'十十y180, ∠E-18r-∠B-∠O 13.(1)树为u,,c是三角思的三边长， 质以BPDE+号AP,DF-AP·BC 出@.得4+y=1o一∠@ 斯以u一一<U,4一一C04一<， 义BPAP, 以∠HAE--∠B-∠C--∠m 把@代人①.得∠A十213-∠HC)-18, 所以原式-一十6十一6十十一r十d十b一十期 两号A·DE+号Ar·DE-A· 甲8∠C=1°+∠A, -☑B-∠0-e 十， (2)者4世5.64，c=3时，单式=0+4十112， 即DE+DF=C=5 所级∠0-的+号∠A 因为AH∥FD,斯以∠DFE=∠HA: 14①当底边长是书四时，设鞭长为无m,期2和十州 第3深时三角导岭内角和与外扇 2,114(2111 藏硫在域 陈H∠DsE-g 28,解挥.物10：符合三角形的三边关系。 所以此时其余西边的长均为0m: 1.8r2.30”0a,D 3∠A与∠E的数量关系是∠B-立∠ 2.生命蹈与证阴 ②当假长为等cm时.设底边长为ym:拥8X1十y 1时为∠A70°，∠B一0°，所以∠A=180-70 军1课时定义与命题 用由： 一以，解得￥=12，符合三角形的三边关系 一10'=0，国为CD平分∠ACB.所以∠ACD一 慧健在线 所以北时其余周边的长分别为8m:t2 专∠B=专×=0 四为ET分∠C所以∠2-∠AC 1.C 括展在线 背为CE平分∠cD,所以∠1=子∠AD 工三条边原相等的三角形叫作等追三角无 15,10h+2h=2十2山可变为6'一4=2r一2h, 元.直角R△AC,ACCA山AC=GB 3.0 (6+)6=)=2a44=6), 长C7,AC,外BCBA 国为∠AD=∠A十∠AC,∠1=∠十∠E 1如果一个角是民角，都么这个角小于0 断以6十g+2)(w一r)0, 10.∠1<∠2<∠31L.90 能力在舰 所以∠E∠1-∠2-了∠AD-F∠A .1》不是命题.因为授有作出列新. 程为，，为△A仪C的三条边长， (2是角圈.条件是：写个角是同一个角的余角 所以十十2,20，所以一c=0,再A-r 12.A11D14.4 -∠AcD-∠A)-∠ 结论是，这背个角相等 所以AA是等糖三角限. 15,(1)国为∠F-10.∠C= 4.B .篇长BA至点E,期∠HAD-∠DAN (21a十2-24=（年—r)一0=《t一4十6）iw W以∠LBF=∠E1C一∠F=45-015 能力在线 =∠(ALP=∠EAP, -1一6). 因为∠F-9r, 7.目 以∠AC=∠FC-∠AIFm90一15， 所以AP为AM0的外角∠OAE的 四为4，A,为△A仪C的三是边长。 民(1》随黄2驱席的数一定南菌4驱除能毅2整除 平分规+ 所以u-1十>0，a-一6<0 (2国为∠=3AENC,所以∠AE-C-, 的数这十数一是量数楚障 所以g一6十2-<0 因为∠EG 又☒为B”平分∠O出A, (2)如果·个角是艳角：那么这个角大于它的补角 第？课时三角形岭青，角平合气，中线 所以∠AFD=∠CAE+∠E-0+45= 所∠P-∠8M-×0-5 玛展在线 基甜在线 拓展在镀 可，7 (1)题设：两条平行线被第三条直线所截， 14.(1》24 G.1)45 结论：一内销角的平分线点相平行 1,A 2.3△ABC,△CD,△ACD (2D当点P在悦段BE上时，如圆 ()∠AB的度数不改爱. 《2)如能图为所作，腾法不情一 因为将△A沿AP德新得△A'D (3边命面，两条直战整第三条直线所 3,( 因为AD平登∠BMN,C平分∠AHM, 用以AC=A 双如果一对内情静的平分视互阳平行，常名这两备 因为∠CD=s:∠AB=0, 西联∠NAD-∠AD-专∠HAN,∠AC 直线平行. 20 深究在线·八年吸数学（上）·灯 第？课时真限命题与定厘 粘展在线 后属在战 微专想（分类讨论想想在等膜三角形中的应用 基避在线 10,(1AB∥CD理由如下： 15,《1019010→20 1L.D或40°2.45境9”天7填8,70友20 1,C42a.A 如图①，过点E作ENA,渊∠EN一∠B, 《2)甚明，设∠A上D=e,∠BD=A 5,设AB-ACxm,C-方m, 4.如一1×（一1）=2,1一2与时1酯是负数 ∠1-∠B.∠BEN=∠1 CD-CR.AE-AD. “AH+A+-27m.3x+y=27 5,《D7.不是 片BE上DE,∠HbN+∠DEN=∠ED=9G .∠AEDm∠ADE=a,∠D=∠DCm6, :BD是C边上的中线，AD=D 能力在线 ∠1+∠2=0.4∠2=∠DEN ∠EDB=13一4一，∠A=1- 当△AD的周数一△CD的周长一3m时，可斜 8,0 ∠I=∠D,∠D=∠DEN.ND (180°-2a)-(18-2h)1a+26-38, r-yus. 日.(11有边定是，逆定月是，同旁内角互补，两直生平行. FN及AB..AB∥(D ()及看连定理，程由：国为其逆命题是：互补的角是 (2满足.蓝明如下，如阴e,过点E作上N《A ∴∠AIx-∠EDB-0 …0 军补角，它是餐命题， ·∠BEN=A, ∠AC=(9产-∠FDB. 每B=AC=lnl,C=7m 0,加果①知，那么① W∠B=∠I,∠BEN=∠1 目∠AC是∠EDB的倍余角， 当△CBD的风长一△ABD的周长=3m时，可哥 如梨①①，那么： ELDE,÷∠H5-∠BFN+∠N=r. ()由(2)等∠DB=45'. 如暴2①，都么①， 又：∠1+∠2=0,1∠DEN=∠2 BFDE.∠FDH=∠DBF后 =指， 以上幕是真合题 ∠2-∠D.÷∠DEN-∠D :CU=D,5∠DC=5+a∠ 二用1， 拓展在线 EN/CD. ∠DBP=4-a+ 图AB-AC-8gm,-116m 1山.这是个餐命题：反树：当a■：+m一2时，请是 ÷∠(PB=∠DP+∠=了. 第上，△AHC各边的卡为10：16m,7出减 w>6,知1#=1，=2，a≤，稳校合当的第 第2保时等盛三角形竹定 8m.sm-11m, 件为若ab0.这时自题为真命整 基图在线 6.2减40成10 第3第时命湖的纸明 1.①心@ 三4线段的重直平分线 基烟在线 2,(11等履 第1球时线授的海直平分找的进嘴和料定 L.C乏已知羊角的定又已知等量代模 2)证明，（平分∠W,∠P=∠M 基健在线 .ADLBC.EGLEC. 2.3等里三角形 DNA.÷∠DO=∠HP. 易】谋时手根三角酯的战质 1.C2.7m164.A3.=AC6DT.C AD/EG ∠P=∠DPA 东雀接C一 :∠E=∠CAD,∠1-∠IADU 葱璃在线 六，M0=PD,异AD州'是等颗三角形. ”AN原直平分， X∠1=∠E,∠CAD∠BAD 3,∠A=(答案不率一) 5AB-AC. 甲AD平分∠BAC 4.△A汇是等边三角里，，∠n- AAD. 4,A三4与不平行 1:在△AC中，A=AC,AD是∠4C的平登线， DELB,∠DH=90, 5AC-AD. 6.了84一∠1+∠2≠1°程设4与4不平行 BD-CD. ,∠BDE30 成A在线设CD的康直平分线上 能九在肤 ,△ABD的周长为12， FDLA,.∠ADF-G,∠EDF-, 能力在线 7.A A+BD+AD12. 柯理.∠DEF*G0,△DEF为等边三角形 生，日10，A -2AB十2BD+1AD=14, 8,已划：加图，直汉1及外应P 籍力在域 品AB+A+BC+2AD幽4 1L,连接AE,A 5,D6,等履三角形 FD为AB的中点.D1AB, ,△AC的周长为14，AB+AC+C-14 7.(1160°2∠A0=30+∠AD .沿=4. 求证：过点P有且只有一条直现与（平行， 14+2AD=24.4D=5, 8,11= △A为等翼二角形， 正明：假议过点严有两条直线uh与平行，如荷， t受=mA6n (2CD=以，理由如下， 义，∠H=30,,∠A=0 AB=AC.∴.∠C=∠A 7:△AC是等诗三角形，D为AC的中点。 同理可得∠AGE=40, ,'DEr.∠AE∠C,∠AED=∠AIC 8D1A∠ABm6,∠B0C=0, ,△A之G为等边三角形，AE一G-A位 甲￥84.6.4》 ,E=CD,∴.∠=∠E ∴∠ADE=,∠AED..AD=AE AE-BE.AG-GC.BE-EG-GC. 这与a,相交(u,都过点P)寿雨 A-一ADAB-AE,事DwBE N∠AH=∠B+∠ED,∠E730f 又IE++G==2Im,.元=7m. 位影设不规文，国此过直浅外一点有且只有一条自 .∠BDE-∠HCt∠BXC-I2 由(1》，周∠EBD=∠ED8- 2,连援D 线与已妇直线平行， HE-ED.CD-ED. &D,0减 YAC-BC.DAD ,(1证用.，D08B.∠1-∠2. 能力在线 佑属在战 么C,点口都在线段AB的辱有 '∠1=∠8. 0,C11.日12.A13,70 0,(1i证明：在△AC中，：LB=AC,∠AC-∠ 线上 ∠2=∠8，∴.CDNF0 14.EF+℃=AD理山如下 ∠A=6,,∠AC=∠C=72. .D直平分AB ”CDLAB,FG⊥AH 连接，期S如-5m十5w 华BD平分∠AC,∠1=∠2-3 ∠ADm4, (2)成这.痒由如下， ∠L=∠1：∠BD=∠C=7. 又，E1AC.∠CDE=15", F,⊥AB.CDLAB.1CD8Fr,∠2=∠3， 是，EE+aC, 六△AD与△DC暮是等魔三角形 ,DE■E=AE+AC=AE+政 ”∠1=∠3，÷∠1=∠1.÷E∥ 21因②，③所 船展在线 (3)成立，理由如下：F1A图.D上AB 13.11连报M) ,CDNG,∠2=∠ :A,AC边的采直平分线空写 DE∥C,∠1-∠2.品∠1-∠4 点0， 深究在纸·八年返双学上)·)- 21