专题13 函数的奇偶性（七大题型+优选题，60题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题13 函数的奇偶性（七大题型+优选题，60题） 函数奇偶性的定义与判断 1．（23-24高一上·江苏·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列四个函数中，在定义域上是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）（多选）下列说法中正确的有（    ） A．若定义在上的函数满足，则函数不是偶函数 B．若定义在上的函数满足，则函数不是奇函数 C．若定义在上的函数满足，则函数不是单调减函数 D．若定义在上的函数满足，则函数是单调减函数 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，是奇函数． (1)求实数m的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对于任意，恒成立，求实数n的取值范围． 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数. (1)求的解析式，并证明是奇函数. (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并求的值域； (2)设函数，求的最大值，并求的最小值． 8．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若函数在上的最小值为7，求实数的值. 由奇偶性求函数解析式 9．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏·期中）（多选）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（    ） A． B．0 C． D．1 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 12．（23-24高一上·江苏无锡·期中）设函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； 13．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 14．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，， (1)现已画出函数在轴左侧的图象，请将函数的图象补充完整，并写出函数的解析式和单调减区间； (2)若函数，求函数的最大值. 15．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）定义在上的函数是奇函数，当时，． (1)利用函数单调性的定义，证明：在上是单调增函数 (2)求函数的解析式． 16．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明. 函数奇偶性的应用 17．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数是偶函数，对于，当时，都有恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，且，那么的值为（    ） A．1 B．5 C． D．3 19．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·江苏连云港·期中）是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 21．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 22．（23-24高一上·江苏泰州·期中）函数，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 23．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）关于函数的下列四个说法中，正确的是（    ） A．若对一切实数成立，则是增函数 B．若对一切实数成立，则 C．若对一切实数成立，则的图象关于轴对称 D．若对一切实数成立，其中且，则是奇函数或偶函数 24．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 抽象函数的奇偶性 25．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 26．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D．在区间上有最大值 27．（22-23高一上·江苏盐城·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．在区间上有最大值 D．的解集为 由奇偶性求参数 29．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是偶函数，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则 . 31．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， . 32．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数是奇函数． (1)求函数的定义域并求的值； (2)求证：函数在上单调递增. 33．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为偶函数，函数的定义域为. (1)判断并用定义证明在区间上的单调性； (2)解不等式； (3)若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 34．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数和的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论. 由函数奇偶性解不等式 35．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是上的奇函数，且，；定义域为的函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 38．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 39．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数， (1)求的值； (2)用定义证明函数在上单调递增； (3)若，求实数的取值范围. 40．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式. 奇偶函数对称性的应用 41．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（    ） A． B． C．0 D．2 42．（23-24高一上·江苏常州·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．值域为 C．当时，恒有成立 D．若，且，则 43．（23-24高一上·江苏淮安·期中）（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则下列函数图象成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知定义在R上的偶函数满足：当时， (1)在平面直角坐标系中画出函数在R上的图象，并根据图像写出单调递减区间； (2)求出时的解析式； (3)由图象写出不等式的解集. 45．（22-23高一上·江苏淮安·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且 (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上单调递减; (3)求函数在的值域. 一、单选题 46．（22-23高一上·江苏淮安·期中）函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，均有，则实数t的最大值是（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 47．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．的增区间为 D． 48．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数，以下四个结论正确的是 A．的值域是； B．对任意，都有； C．若规定，，则对任意的， D．对任意的，若函数恒成立，则当时，或. 49．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 50．（23-24高一上·江苏南通·期中）定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，.以下描述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．是上的奇函数 D．若，则 51．（23-24高一上·江苏南京·期中）当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．存在无数多个，有 D．存在无限实数集，对于，当时，有 52．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数，则（    ） A．是上的奇函数 B．当时，的解集为 C．当时，在上单调递减 D．当时，值域为 三、填空题 53．（23-24高一上·江苏南京·期中）若定义在上的函数，则称为狄迪克雷函数.对于狄迪克雷函数，下列结论中正确的是 （填序号即可）． ①函数为偶函数； ②对于任意，都有； ③对于任意两数，都有； ④对于任意，都有. 四、解答题 54．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数满足（且）． (1)判断函数的奇偶性及单调性； (2)若的定义域为时，恒成立，求实数m的取值范围； (3)当时，恒成立，求a的取值范围． 55．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知二次函数的图象过点，且. (1)求的解析式； (2)已知.，求函数在上的最小值（直接写出答案）； (3)若，若函数在上是单调函数，求的取值范围. 56．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由; (3)当时，对任意的，恒有成立，求的最大值. 57．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数 (1)若，写出函数在上的单调区间，并求在内的最小值; (2)设关于对的不等式的解集为 A，且，求实数的取值范围. 58．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 59．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值. 60．（23-24高一上·江苏南京·期中）设为实数，函数. (1)当时，判断函数的奇偶性并说明理由； (2)若在区间上为增函数，求的取值范围； (3)求在上的最大值. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 函数的奇偶性（七大题型+优选题，60题） 函数奇偶性的定义与判断 1．（23-24高一上·江苏·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的解析式确定图象. 【详解】由题可得，，解得， 所以函数的定义域为， 又因为， 所以函数为奇函数，排除选项A； 当时，，所以，排除选项B； 当时，，所以，排除选项C,D正确； 故选:D. 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性以及函数值的正负排除可得答案. 【详解】当时，函数，排除BC； 又，即函数为奇函数，排除D. 故选：A. 3．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列四个函数中，在定义域上是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由偶函数的定义和在上单调递增判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，且，为偶函数，对称轴，开口向上，且在上单调递增，故A正确； 对于B，，不是偶函数，故B错误； 对于C，在时，为反比例函数的一支，在单调递减，故C错误； 对于D，的定义域为，且，为偶函数；且由指数函数的性质可知在单调递增，故D正确； 故选：AD 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）（多选）下列说法中正确的有（    ） A．若定义在上的函数满足，则函数不是偶函数 B．若定义在上的函数满足，则函数不是奇函数 C．若定义在上的函数满足，则函数不是单调减函数 D．若定义在上的函数满足，则函数是单调减函数 【答案】AC 【分析】根据函数奇偶性和单调性的特点逐一判断即可. 【详解】对于A：若定义在上的函数满足，则函数不是偶函数，A正确； 对于B：若定义在上的函数满足，则函数有可能是奇函数，如，B错误； 对于C：若定义在上的函数满足，明显不满足对任意，都有，则函数不是单调减函数，C正确； 对于D：若定义在上的函数满足，由于不一定满足单调性定义中的任意性，故函数可能不是单调函数，D错误. 故选：AC. 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，是奇函数． (1)求实数m的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对于任意，恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析；在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用定义域上奇函数满足，并用定义验证即可. （2）利用定义法分别在和上判断函数的单调性即可. （3）将对于任意，恒成立，转换为恒成立，然后求实数n的取值范围. 【详解】（1），是奇函数，所以， 当时，， ，，是奇函数，所以； （2）函数在上单调递增，在上单调递减，证明如下： ，且，有 ， ①当时，，，即， 又，所以，即， 所以函数在上单调递减． ②当时，，，即， 又，所以，即， 所以函数在上单调递增． （3）对于任意，恒成立， 只需，即． 由（2）得． 又，时，，所以， 所以，n的取值范围是． 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数. (1)求的解析式，并证明是奇函数. (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析； (2) 【分析】（1）应用换元法可得，写出对应分段函数形式，利用奇偶性定义证函数的奇偶性； （2）根据奇函数性质有，结合其解析式列不等式组，注意分类讨论求参数范围. 【详解】（1）令，则，即， 当，则； 当，则； 当，则； 所以，显然， 由，则，故， 由，则，故， 由，则，故， 由，则，故， 综上，解析式为，且为奇函数. （2）由题设， 当，则，可得； 当，则，可得； 综上，，即实数的取值范围. 7．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并求的值域； (2)设函数，求的最大值，并求的最小值． 【答案】(1)为偶函数， (2)， 【分析】（1）根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，然后对平方，借助的值域求的值域. （2）由（1）知，得，令，转化为求函数在上的最大值，分，和三种情况讨论，即可求出，然后求出的最小值． 【详解】（1）由且，得． 则函数的定义域为， ，所以为偶函数. ，且， 得， 则函数的值域为. （2）令，所以 可转化为函数 ， 易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线． ①若，即，则； ②若，即，则； ③若，即，则． 综上可得， 当时，； 当时，，当且仅当，即，所以等号取不到； 当时，； 所以时，取到最小值，且最小值为. 8．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若函数在上的最小值为7，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)或. 【分析】（1）分和两种情况，利用函数奇偶性的定义分析判断即可； （2）分，，和四种情况结合二次函数的单调性，从而可求出函数的最小值，然后列方程求解即可. 【详解】（1）若，则，定义域关于原点对称， ，故是奇函数； 若，则不是奇函数， 又，故不是偶函数， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 综上，当时，函数是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数. （2）①当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增. 所以，即， 解得（舍）或； ②当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以， 即（舍去）； ③当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为， 当时，，所以，即， 得，均舍； 当时，，则，即， 得（舍去），； ④当时，， 因为，则此时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，得，均舍. 综上，或. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性的判断，考查由函数的最值求参数，第（2）问解题的关键是分情况讨论去掉绝对值，转化为二次函数的闭区间的最值问题，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 由奇偶性求函数解析式 9．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合是定义在上的奇函数，得到，作出函数图象，根据函数图象平移变换求解. 【详解】解：由题设知：，又是定义在上的奇函数，即， ∴当时，，即，而； 当时，，即，而； ∴综上，有，可得如下函数图象， 的图象可以看作的图象向左或向右平移个单位长度而得到的， 若对任意的，成立， 当时， 则的图象至少向左平移6个单位长度； 当时， 则的图象至多向右平移2个单位长度； 所以或. 故选：D. 10．（23-24高一上·江苏·期中）（多选）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【分析】由奇偶性联立方程得出，进而由得出，构造函数，讨论可能值即可. 【详解】由题意得：为奇函数，；为偶函数，； 将代入到得：， 与原式联立可得：， 又因为，等价于 整理得，令，则在为单调递减， 当时，，所以函数为减函数加减函数，则在为单调递减，则A正确； 当时，，则在为单调递减，则B正确； 当时，为对勾函数，根据对勾函数的性质可知，，即，所以在为单调递减，C正确. 当时，为对勾函数，根据对勾函数的性质可知，，即，在为单调递增，D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：利用单调性解决函数中的参数问题，关键在于运用奇偶性解出对应的函数解析式，在把不等式转换为函数单调性对应的式子进行单调性分析. 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 12．（23-24高一上·江苏无锡·期中）设函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； 【答案】(1) (2)在上单调递减；证明见解析 【分析】（1）根据奇函数的性质求解当时的解析式，从而得解； （2）利用单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】（1）因为当时，， 设，则，则， 又是定义在上的奇函数， 所以， 故； （2）函数在上单调递减，证明如下： 当时,， 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，， 故，则， 所以函数在上单调递减. 13．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由换元法令，求得，代入化简即可得出答案； （2）根据是定义域为的奇函数，，当时，，可求出时函数，的解析式；再由的单调性即可求出的值域． 【详解】（1）令，则， 所以， 所以的解析式为； （2）因为函数是定义域为的奇函数，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，， 因为当时，， 因为在上单调递增，所以， 当时，， 因为在上单调递增，所以， 当时，，所以的值域为. 14．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，， (1)现已画出函数在轴左侧的图象，请将函数的图象补充完整，并写出函数的解析式和单调减区间； (2)若函数，求函数的最大值. 【答案】(1)图象见解析，，单调递减区间为和 (2) 【分析】（1）利用偶函数性质将图象补充完整，根据偶函数性质求解的解析式，通过图象求单调减区间； （2）分类讨论求解函数的最大值. 【详解】（1）如图所示，根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象， 当时，则，因为函数为偶函数，所以， 所以函数的解析式为， 可得的单调递减区间为和； （2）当时，， 可得其对称轴的方程为且开口向上， ①当时，即时，； ②当时，即时，， 综上可得，. 15．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）定义在上的函数是奇函数，当时，． (1)利用函数单调性的定义，证明：在上是单调增函数 (2)求函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）任取，通过判断的符号来证明单调性即可； （2）利用可得函数解析式. 【详解】（1）任取， 则， ， ， ，即， 在上是单调增函数； （2）当时，由函数是奇函数得 ，， 又， . 16．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明. 【答案】(1)， (2)函数在区间上是增函数，证明见解析； 【分析】（1）当时，由即可求得解析式，结合可得最终结果； （2）利用定义法证明函数单调性即可. 【详解】（1）由时，可知，， 又为奇函数，故，并且， 函数在上的解析式为； （2）单调递增. 证明：设，且， 则 ， ， ， 又 ，， ，即， 函数在区间上是增函数，得证. 函数奇偶性的应用 17．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数是偶函数，对于，当时，都有恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小. 【详解】对于，当时，都有恒成立， 则在上单调递增，有， 又函数是偶函数，，，， 所以. 故选：A 18．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，且，那么的值为（    ） A．1 B．5 C． D．3 【答案】B 【分析】由可得，即可得出答案. 【详解】因为，则 则， 令，即，因为， 所以. 故选：B. 19．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时函数解析式已知，利用函数为奇函数有，求时的解析式. 【详解】为奇函数，当时，， 则当时，，. 故选：D 20．（23-24高一上·江苏连云港·期中）是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】从的结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，，再由依次求解. 【详解】若，， 则有， 取，则有，即， 是定义在上的偶函数， ， 则，解得：， 则， 取，则有，即， 故选：A. 21．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性及单调性取特殊函数可判断AD，利用偶函数及单调性判断B，根据定义域判断C. 【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 取，满足条件，但，故A错误； 由偶函数及单调性知成立，故B正确； 因为函数定义域为，故无意义，故不成立，故C错误； 取，满足题意，但在上单调递增，故D错误. 故选：B 22．（23-24高一上·江苏泰州·期中）函数，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由题意求出，则，令，结合即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 令，得，又，所以. 故选：A 23．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）关于函数的下列四个说法中，正确的是（    ） A．若对一切实数成立，则是增函数 B．若对一切实数成立，则 C．若对一切实数成立，则的图象关于轴对称 D．若对一切实数成立，其中且，则是奇函数或偶函数 【答案】BC 【分析】取特殊函数判断AD，根据所给性质推理判断BC. 【详解】若，其中表示不超过的最大整数，显然， 即对一切实数成立，但不是增函数，故A错； 由可得， 所以，故B正确； 由可得，即，所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确； 若，满足，但函数是非奇非偶函数，故D错误. 故选：BC 24．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质计算可得. 【详解】因为奇函数满足当时，， 所以. 故答案为： 抽象函数的奇偶性 25．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】D 【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】令，则，，，选项A错误； 令，，则，即，则，选项B错误； ，不是奇函数，选项C错误； 令，则，即，故，为偶函数，选项D正确； 故选：D． 26．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D．在区间上有最大值 【答案】ABC 【分析】利用赋值法对ABC进行逐项分析判断即可；对于D选项，结合题意及函数的特征，可设，即可判断. 【详解】对于A，依题意，取，可得，解得，故A正确； 对于B，由于函数的定义域为，在中，取，可得，所以，则函数为奇函数，故B正确； 对于C，取，由可得：，则有，故C正确； 对于D，由于函数为定义在上的奇函数，且，若，则在区间上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，故D错误. 故选：ABC. 27．（22-23高一上·江苏盐城·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 【答案】AB 【分析】由抽象函数满足，令可得，利用奇偶性，单调性的定义可推导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间上的最大值，利用单调性解不等式可得解集. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 令，得，即 ，A正确， 令，得，即，函数为奇函数，B正确， 设，则，， 由题，，即， 所以，函数在R上单调递减，所以C错误， 不等式可化为，由在R上单调递减，所以，即，不等式解集为，D错误. 故选：AB. 28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．在区间上有最大值 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】A.由 ，利用赋值法求解判断；B. 由 ，令，由奇偶性的定义判断；C.判断函数的单调性求解；D.利用函数的奇偶性和单调性求解判断. 【详解】解：因为函数满足， 所以，即，则； 令，则，故为奇函数， 设，且，则， 即，所以在R上是减函数， 所以在区间上有最大值， 由，得， 由在R上是减函数，得，即， 解得，所以的解集为， 故选：ABD 由奇偶性求参数 29．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是偶函数，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于为偶函数，所以，化简可求出实数k的值. 【详解】解：定义域为， ∵是偶函数， ∴， 即， ∴，即， 即， ∵，∴，得． 故选：C 30．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则 . 【答案】-1 【分析】根据函数的奇偶性结合，列式求值，即得答案. 【详解】由题意知函数为上的奇函数，， 故，即， 故答案为：-1 31．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， . 【答案】 0 / 【分析】根据奇函数定义求出；根据的解集为，且且，满足，求出即可. 【详解】的定义域为，又函数是奇函数，所以定义域关于对称， 从而，即.当时，，.故； ，不等式组等价于， 因为其解集为，是开区间，所以函数在不单调，所以； 又，所以，因此，是的两个正根，即， 所以，解得， 又因为，所以， 即，解得或（舍）. 故答案为：0；. 【点睛】关键点睛：本题主要考察型函数的图象问题，根据的解集为开区间确定函数在不单调，从而确定“，是的两个正根”是解题的关键. 32．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数是奇函数． (1)求函数的定义域并求的值； (2)求证：函数在上单调递增. 【答案】(1)定义域为， (2)证明见解析 【分析】（1）根据分母不为零求出函数的定义域，由奇函数的定义有求出参数的值； （2）根据单调性的定义即可证明； 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以恒成立，即， 所以，则，所以的定义域为； （2）由（1）知，任取，且， 则， 因为，所以，，则， 所以，即， 所以， 所以函数在上单调递增； 33．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为偶函数，函数的定义域为. (1)判断并用定义证明在区间上的单调性； (2)解不等式； (3)若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数为偶函数得到，设，计算得到证明； （2）确定为奇函数得到单调区间，题目转化为，解得答案. （3）根据单调性计算值域得到，为方程的两个实数根，根据根的范围得到不等式，解得答案，或确定，得到不等关系，解得答案. 【详解】（1）函数在上单调递减， 函数为偶函数，故对称轴为，得，，， 不妨设， 则， 因为，所以，， 即，，，即， 所以函数在上单调递减， （2），，， 函数为奇函数，故函数在上单调递减. ，即，即， 因为函数在和上单调递减， 所以，或，或，解得， 故不等式的解集为. （3）函数在上单调递减，所以在上的值域为， 由题意得，，化简得， 所以，为方程的两个实数根， 因为要存在实数，， 所以方程有两个大于1的不相等的实数根， 法1：，或，解得， 所以实数的取值范围为 法2：由条件，，所以，故，解得， 所以实数的取值范围为. 34．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数和的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论. 【答案】(1)， (2)在上是增函数，证明见解析 【分析】（1）利用奇函数性质，结合已知列方程组即可求解； （2）根据步骤取值、作差、变形、定号、下结论逐步进行即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数， 所以得， 又因为，所以， 经检验，当，时，，是奇函数， 所以，. （2）由（1）可知，设 所以 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上是增函数． 由函数奇偶性解不等式 35．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性以及当时的解析式，求出的解析式，解不等式，可得x的取值范围，进而结合，再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知为定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，， 故， 又，得或， 解得或，则； 所以时，， 当时，，解得或，则， 当时，，满足； 当时，，解得，则， 综上，a的取值范围为， 故选：C 【点睛】易错点点睛：本题考查了函数奇偶性以及分段函数的性质问题，涉及到解不等式以及复合函数问题，易错点首先是利用奇偶性求的解析式，其次是求出的x的范围后，要分类讨论a的范围，再求解相应不等式，这里也很容易出错. 36．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“中心捺函数”的定义以及函数的单调性、奇偶性，化简不等式，求得，进而求得正确答案. 【详解】对任意，都有， 则在上单调递减. 函数是以为中心的“中心捺函数”， 所以函数在上单调递减，则在上单调递减， 且关于对称，即是奇函数， 所以，即， 所以， 若，则，没有意义， 若，则，没有意义， 所以且， 由两边除以得， 解得，所以， 所以. 故选：C 【点睛】函数的单调性的定义有多种形式，如：任取，通过计算得到，即可判断出函数函数的单调性；也可以形如：或等形式，也可以判断出函数的单调性. 37．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是上的奇函数，且，；定义域为的函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析所以是上的减函数，且，然后利用函数的性质将等价转化，分类讨论即可求得答案. 【详解】，，所以在单调递减， 又是上的奇函数，所以是上的减函数，且， 或， 即或 解得. 故答案为： 38．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递减；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得，再将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可； （3）根据题意，由函数的奇偶性以及单调性化简，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由基函数的性质可知，，所以，即， 因为，所以，即. （2）函数在上单调递减. 证明：任取， 则， 因为，则，，则， 即，所以函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，且为奇函数， 则， 所以，解得， 则不等式的解集为. 39．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数， (1)求的值； (2)用定义证明函数在上单调递增； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出的值，然后再代入计算即可得出答案； （2），作差整理得出.根据已知范围，得出，即可得出证明； （3）先根据定义判断函数的奇偶性，进而转化为.然后根据函数的单调性结合定义域，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，， 所以，. （2）， 则 . 因为， 所以，，，， 所以，， 所以，， 所以，函数在上单调递增. （3）由已知，定义域为，关于原点对称. 又，所以为奇函数. 由可得，. 由（2）函数在上单调递增， 可得，解得. 40．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质可得、，求出m、n的值，检验即可； （2）由（1），利用定义法证明函数的单调性即可求解； （3）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）因为奇函数的定义域为，所. 故有，解得.所以. 由即，解得. 此时，满足，为奇函数， 故. （2）证明：由（1）知， 任取， 则＝＝， 因为，所以，故， 又因为，所以，而，故， 即，所以函数在上为增函数． （3）函数是定义在上的奇函数， 由，得， 又在上为增函数， 所以，解得. 奇偶函数对称性的应用 41．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】首先根据题意得到关于对称，即，从而得到，再解方程即可. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 所以关于对称，即. 当时，， 当时，，， 所以. 因为， 所以或， 解得，，，， 所以. 故选：A 42．（23-24高一上·江苏常州·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．值域为 C．当时，恒有成立 D．若，且，则 【答案】ACD 【分析】先判断的奇偶性，再在上，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断AB；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将代入判断D. 【详解】对于AB，因为，则由解析式知的定义域为， 又，所以为奇函数， 当时，由对勾函数性质知：在上单调递减，在上单调递增，且值域为， 而在上递增，所以在上单调递减，在上单调递增，且， 由奇函数的对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且， 所以值域为，故A正确，B错误； 对于C，当时， 恒成立， 所以恒有成立，故C正确； 对于D，由， 因为，且， 所以，故，当且仅当时等号成立， 而时，，故等号不成立，所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：对于D 选项，根据解析式推导出，进而得到为关键. 43．（23-24高一上·江苏淮安·期中）（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则下列函数图象成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合新定义，根据函数图象成中心对称的充要条件逐项判断即可. 【详解】对于选项A，设的图象关于点成中心对称图形， 则为奇函数， 所以，所以， 因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得， 所以的对称中心为，符合题意； 对于选项B，因为， 所以关于直线对称，结合函数在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 对于选项C，设的图象关于点成中心对称图形， 则为奇函数， 所以， 所以， 因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得， 所以的对称中心为，符合题意； 对于选项D，设的图象关于点成中心对称图形， 则为奇函数， 所以， 所以， 化简得， 因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得， 所以的对称中心为，符合题意. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：按照函数成中心对称的充要条件转化为奇函数问题，利用奇函数定义求解即可. 44．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知定义在R上的偶函数满足：当时， (1)在平面直角坐标系中画出函数在R上的图象，并根据图像写出单调递减区间； (2)求出时的解析式； (3)由图象写出不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析； (2)， (3)或． 【分析】（1）作出二次函数在的图象，再将其关于轴对称即可得． （2）根据偶函数的定义求解； （3）由图象分类讨论可得． 【详解】（1）先作出二次函数在的图象，再将关于原点对称，两者结合即得函数图象，如图： （2）时，； （3）或， 由图象得或， 所以不等式的解集为或． 45．（22-23高一上·江苏淮安·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且 (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上单调递减; (3)求函数在的值域. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到方程，求出，再根据求出a，即得到解析式；（2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论；（3）根据奇函数的性质可得为在为减函数，利用单调性求值域. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 则，即， 整理得，即， 所以， 又因为，解得， 所以. （2）对，且， 则 ∵，则， ∴，即， 故在上单调递减. （3）∵函数为奇函数且在为减函数，则函数为在为减函数， ∴函数在为减函数，且， 故函数在的值域为. 一、单选题 46．（22-23高一上·江苏淮安·期中）函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，均有，则实数t的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解. 【详解】因为，所以，则， 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 则由得， 又因为在上是增函数，所以， 两边平方化简得在恒成立， 令，则， 又因为开口向上，对称轴为， 所以在单调递增， 则，解得， 又因为，所以， 所以的最大值为. 故选：B. 二、多选题 47．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．的增区间为 D． 【答案】ABC 【分析】对于A，根据函数表达式直接求值即可；对于B，当时，，利用基本不等式求出最大值进而得到答案；对于C，先研究函数在上的奇偶性，再在利用定义法求解单调性，结合函数周期性进而得到增区间；对于D，举反例直接说明即可. 【详解】对于A，当时，，此时函数周期为， 故，故A正确； 对于B，当时， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，又因为当时，，函数周期为，所以的最大值为2，故B正确； 对于C，当时，，此时，所以在上为偶函数， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，， 所以，所以， 所以在单调递增， 根据周期性可知，的增区间为，故C正确； 对于D，取，则， 此时，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性、周期性、奇偶性的综合应用.关键点在于利用函数单调性和奇偶性的单调性研究函数，并利用函数的周期性进行巧妙转化进而求解答案.本题考查了逻辑推理能力、转化与化归能力、计算能力，属于中难题. 48．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数，以下四个结论正确的是 A．的值域是； B．对任意，都有； C．若规定，，则对任意的， D．对任意的，若函数恒成立，则当时，或. 【答案】ABC 【分析】根据函数的值域、单调性、不等式恒成立等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于函数，， ，所以为奇函数， 当时，， 由于，所以， 而是奇函数，所以当时，， 综上所述，的值域为，A选项正确. 当时，为增函数， 而是奇函数，在上单调递增， 所以对任意，都有，所以B选项正确. ，， ， 以此类推可得，所以C选项正确. 对任意的，函数恒成立， ， 所以恒成立，所以，即， 若，则，， 解得或或，所以D选项错误. 故选：ABC 49．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】ABC 【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D． 【详解】为奇函数，为偶函数， 所以的图象关于点对称且关于直线对称，故C正确； 所以，，， ，所以是周期函数，4是它的一个周期． ， ，故B正确； ，是偶函数，A正确； 对任意的，且，都有，即时， ，所以在是单调递增， ，，， ，∴，故D错． 故选：ABC． 【点睛】关键点睛：本题的关键是得到函数的对称性、单调性和周期性，再利用这些性质逐项分析即可. 50．（23-24高一上·江苏南通·期中）定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，.以下描述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．是上的奇函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】结合对“向上取整函数”定义的理解，可得AD；B项整体换元求解方程；C项取特值即可. 【详解】由表示不小于的最小整数， 则有且，即， A项，， 则， 即， 则，故A正确； B项，令，则，解得，又为整数， 则，或， 当时，即，则； 当时，即，则， 故，则，故B正确； C项，，则，， 则不是上的奇函数，故C错误； D项， ， 若，则， 即，则， 又，由不等式的性质，， 则，故D正确. 故选：ABD. 51．（23-24高一上·江苏南京·期中）当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．存在无数多个，有 D．存在无限实数集，对于，当时，有 【答案】BCD 【分析】取特殊范围探究规律，然后作出函数图象观察即可得答案. 【详解】首先注意定义域，即，由定义可知时， 即的定义域为．故A错． 不妨取一些特殊范围进行观察： 时，，即； 时，，即； 时，，即； 接下来我们不妨找到一般性规律，且时有： 时，，即； 作出函数图象如图： 由图可知，函数的值域为，B正确； 存在无数个，使得，故C正确； 由图可知，存在无数递减区间，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】本题难点在于对新定义的理解，然后通过特殊范围探究函数规律，最后利用函数图象即可求解. 52．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数，则（    ） A．是上的奇函数 B．当时，的解集为 C．当时，在上单调递减 D．当时，值域为 【答案】ABD 【分析】对于A，直接由奇函数的定义即可判断；对于B，直接分类讨论解绝对值不等式即可判断；对于C，举出反例，推翻C选项；对于D，通过令换元法，然后再分类讨论求出的值域即可判断. 【详解】对于A，首先的定义域是关于原点对称，其次， 即是上的奇函数，故A正确； 对于B，当时，，所以或， 解得或，即当时，的解集为，故B正确； 对于C，不妨取，此时，对，有，故C错误； 对于D，当时，令，此时， 而，当时，， 从而当时，即值域为. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于AC选项的判断比较常规，直接由定义即可判断，对于B，注意分类讨论解决速度最快了，对于D，通过换元令，这样就不要分或进行讨论了. 三、填空题 53．（23-24高一上·江苏南京·期中）若定义在上的函数，则称为狄迪克雷函数.对于狄迪克雷函数，下列结论中正确的是 （填序号即可）． ①函数为偶函数； ②对于任意，都有； ③对于任意两数，都有； ④对于任意，都有. 【答案】①④ 【分析】根据新定义函数、函数的奇偶性等知识对四个结论进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，若，则，则； 若，则，则； 所以为偶函数，所以①正确. ②，由于，所以，所以②错误. ③，不妨设， 所以，， 此时，所以③错误. ④，若，则，则； 若，则，则， 所以对于任意，都有，④正确. 故答案为：①④ 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 四、解答题 54．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数满足（且）． (1)判断函数的奇偶性及单调性； (2)若的定义域为时，恒成立，求实数m的取值范围； (3)当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，增函数； (2) (3) 【分析】（1）设，解得，代入已知式可得，然后再把换回，根据奇偶性和单调性的定义判断奇偶性与单调性； （2）利用奇函数性质化不等式为，再由单调性可解不等式； （3）题意说明时，恒成立，由为增函数，则只要即可．解之可得范围． 【详解】（1）设，则，∴，即，定义域为． ，∴是奇函数， 当时，设，则，∴，即， ∴，又，∴，为增函数． 当时，设，则，∴，即， ∴，又，∴，为增函数． 综上，为增函数． （2）由得，又是奇函数， ∴， 又是增函数，∴，解得． （3）由题意时，恒成立， ∵为增函数，∴，解得 又且， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解函数不等式时要注意函数的定义域． 55．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知二次函数的图象过点，且. (1)求的解析式； (2)已知.，求函数在上的最小值（直接写出答案）； (3)若，若函数在上是单调函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由，可得函数关于对称，从而可求得，再利用待定系数法求即可； （2）去绝对值符号得，再分，和三种情况讨论即可； （3）取绝对值符号可得，再分，和三种情况讨论，求出函数的单调区间，结合已知即可得解. 【详解】（1）解：因为， 所以函数关于对称， 则，所以， 又，即，所以， 所以； （2）解：， 即， 由， 当时，令，即，解得（舍去）， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述； （3）解：， 当时，在上递增，符合题意； 当时，则， 此时函数在上递增，在上递减， 则或或，解得； 当时，， 则函数在上递增，在上递减， 则或或，解得， 综上所述，的取值范围为或或. 【点睛】本题考查了函数的对称性及求二次函数的解析式，考查了分段函数和二次函数的最值问题，考查了根据函数在区间上的单调性求参数的取值范围，考查了分类讨论思想，有一定的难度. 56．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由; (3)当时，对任意的，恒有成立，求的最大值. 【答案】(1)的单调递增区间为； (2)见解析； (3)10. 【分析】（1）根据题意，求出，然后结合二次函数的性质可求得答案； （2）根据函数奇偶性的定义判断即可； （3）对任意的，恒有成立等价于“在上恒成立”，然后分，和三种情况求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以在上递增， 当时，，所以在上递增， 因为， 所以的单调递增区间为； （2）当时，， 因为，所以为偶函数， 当时，因为，所以不是奇函数， 因为，，且， 所以，所以不是偶函数， 综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数； （3）当，时，， 所以， 整理得， 即在上恒成立， 因为对勾函数在上单调递增， 所以若，则在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 则， 所以， 当时，， 若时，则在上单调递增， 所以当时，取得最小值，则， 所以，当且仅当时，取得最大值10， 综上，的最大值为10. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的判断，考查二次函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为“在上恒成立”，然后结合对勾函数的性质分情况讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题. 57．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数 (1)若，写出函数在上的单调区间，并求在内的最小值; (2)设关于对的不等式的解集为 A，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)递减区间，递增区间和， (2)或 【分析】（1）先求得的解析式，然后求得的单调区间，并求得最值. （2）对进行分类讨论，根据不等式的解集以及，列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）若，则，    可知递减区间，递增区间和， 因为，，故在的最小值为. （2）因为，可知为上的奇函数， 由题可知在区间恒成立，显然，则有： （i）当时，当时，开口向下，对称轴， 可知在上单调递减，则为上的减函数， 此时恒有，符合题意； （ⅱ）当时，令得：，即，解得：， ①若时，则， 由，即， 整理得， 令开口向上，对称轴，且， 当，即时，则在内单调递增， 可得，符合题意； 当，即时，则在内单调递减，在内单调递增， 可得，解得； 可知：符合题意； ②若时，则， 由，即， 整理得， 因为，则在内单调递增，且， 所以符合题意； 综上所述：的取值范围为或. 58．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式，再结合函数奇偶性的定义验证即可，由此可得出函数的解析式； （2）由已知可得出，利用双勾函数的单调性求出在上的值域，可得出在有解，由此可求得实数的取值范围； （3）由已知可得出，化简得出，令，可得出，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）解：为上的奇函数，所以，得，则， 又，所以，所以， 对任意的，， 所以，函数为奇函数，合乎题意， 综上所述，. （2）解：当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，. 所以，所以．                  不等式，即， 得在有解，所以且，即 （3）解：因为，所以， ，恒成立，所以， 则， 而 设，其中，则，当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则， 所以，， 因为在上单调递增， 所以，函数在上单调递减，可得， 所以，即的最小值为． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 59．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出的值，可得出函数在时的解析式，利用奇函数的定义求出函数在时的解析式，由此可得出函数的解析式； （2）作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出函数在上的最小值. 【详解】（1）解：由于是定义在上的奇函数，且当时，. 则，解得， 即当时，； 则当时，，， 故. （2）解：作出函数的大致图象如图所示： 当，即时，函数在上单调递增， 则； 当，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，； 当时，即当， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，则， 则； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，则， 则； 当时，即当时，函数在上单调递增， 此时，. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 60．（23-24高一上·江苏南京·期中）设为实数，函数. (1)当时，判断函数的奇偶性并说明理由； (2)若在区间上为增函数，求的取值范围； (3)求在上的最大值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析； (2)； (3)当时，；当时，； 当时，；当时，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义进行判断； （2）将写成分段函数并得到单调递增区间，再根据在上为增函数，列出不等式组进行求解； （3）分类讨论情况下在上的最大值. 【详解】（1）是R上的奇函数，理由如下： 定义域为R， 当时，， 所以为R上的奇函数. （2）    当时，对称轴为，时，对称轴为 则在上为减函数，上为增函数，上为减函数        因为在区间上为增函数，所以，解得， 所以的取值范围为. （3）由（2）知在上为减函数，上为增函数，上为减函数 当即时，；   当即时，；    当即时，；         当时，.          综上，当时，；当时，； 当时，；当时，. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$