专题11 函数的表示方法（七大题型+优选题，60题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题11 函数的表示方法（七大题型+优选题，60题） 已知函数类型求解析式 1．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）一次函数满足：，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）写出一个的二次函数的解析式 ． 3．（22-23高一上·江苏泰州·期中）若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（1）已知是二次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式. 5．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 已知f（g（x））求解析式 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知，且，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 7．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（23-24高一上·江苏连云港·期中）存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数满足，则 . 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，则的解析式是 ． 12．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数.若恒成立，则 . 求分段函数解析式或求函数的值 13．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，则（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数则（    ） A． B． C．35 D．53 15．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   16．（23-24高一上·江苏南京·期中）设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高一上·江苏苏州·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（多选）如图所示的图象表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 19．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知，则 . 20．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数则的值为 ． 分段函数的性质及应用 21．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数则方程的解集为（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数,,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）设函数，则满足的 x 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 已知分段函数的值求参数或自变量 25．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数，若，实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 27．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，满足的的值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 28．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若，实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数， ①满足的实数的取值集合为 ；（用列举法表示） ②若，且，则的最小值为 ． 30．（22-23高一上·江苏淮安·期中）已知函数，若，求实数 . 31．（23-24高一上·江苏连云港·期中）某市出租汽车收费标准如下：路程在以内（含）按起步价11元收费，超过的路程按2.4元收费. (1)试写出收费额（单位：元）关于路程（单位：）的函数解析式； (2)若王先生某次乘车付车费35元，则此单出租车行驶了多少路程？ 32．（23-24高一上·江苏扬州·期中）设函数，其中. (1)当时，若，求的值； (2)若，求函数的最大值. 分段函数的值域或最值 33．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．2 35．（23-24高一上·江苏苏州·期中）19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是（    ） A．0 B． C． D． 36．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 37．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·江苏连云港·期中）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数.例如:，.若函数，，则的值域为 ． 40．（22-23高一上·江苏常州·期中）数学家狄利克雷曾给出一个例子：则值域为 ， ． 函数方程组法求解析式 41．（23-24高一上·江苏盐城·期中）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为 ． 43．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则 . 44．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，则f(x)＝ ． 45．（23-24高一上·江苏南通·期中）（1）已知，求 （2）已知为二次函数，且，求． （3）已知且，求的解析式． 46．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域． 一、单选题 47．（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   48．（22-23高一上·江苏淮安·期中）已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 49．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数（），若存在，使，则称点是函数的一个“H点”.则函数 “H点”的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 二、多选题 50．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）对，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，称为“高斯函数”，人们更习惯称之为“取整函数”.下列命题中正确的有（   ） A．， B．， C．， D．函数值域为 51．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足：，且当时，，下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．在上为减函数 C．在上有唯一的零点 D．若方程有4个不同的解，且，则的取值范围是 52．（23-24高一上·江苏南京·期中）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在上的黎曼函数，关于黎曼函数，下列说法正确的是（    ） A． B．，方程没有实数根 C． D． 三、填空题 53．（22-23高一上·江苏·期中）已知函数，则满足不等式的的取值范围是 . 54．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数若，则实数 ． 四、解答题 55．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数. (1)画出的图像； (2)请根据的图像直接写出的解集（无需说明理由）. 56．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设． (1)求的长度（用含的代数式表示），并写出的范围； (2)求面积的最大值． 57．（23-24高一上·江苏·期中）已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)已知，解关于x的不等式． 58．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 59．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 60．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B. (1)若，求集合A，B及； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 函数的表示方法（七大题型+优选题，60题） 已知函数类型求解析式 1．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）一次函数满足：，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据待定系数法，设出，可得，再根据对应项系数相等即可求出． 【详解】设，则，所以 ，解得或，即或． 故选：AD． 2．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）写出一个的二次函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设出二次函数的解析式，利用求得正确答案. 【详解】设， 由得， 不妨设，则，解得， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 3．（22-23高一上·江苏泰州·期中）若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得. 【详解】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（1）已知是二次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）设二次函数解析式，将分别代入化简计算，再用恒等思想既可计算得出结论； （2）用换元法，令代入计算即可. 【详解】（1）设 ， 则有： ， 所以 ， 所以 ， 所以 . （2） 令 ，则 ， 所以， 所以的解析式为. 5．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)设二次函数的解析式为()，根据题意利用待定系数法求出a、b、c即可； (2)将原不等式化为，分类讨论，结合一元二次不等式的解法求出不等式当、、时的解集即可. 【详解】（1）设， 由，得 又 ，则，解得， 所以. （2）由已知，即， 即， ①当时，原不等式即为：，解得； ②当时，解得； ③当时，解得 综上，当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：. 已知f（g（x））求解析式 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知，且，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用换元法，求出的解析式，在利用，求出即可. 【详解】令，则，所以， 所以函数的解析式为，又因为， 所以，解得. 故选：D. 7．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用配凑法求解析式即可. 【详解】，且，所以，. 故选：B. 8．（23-24高一上·江苏连云港·期中）存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，故A错误； 对于B：令，解得或，所以的值不唯一，故B错误； 对于C：令，解得或，所以的值不唯一，故C错误； 对于D：， 令，则， 所以，故D正确； 故选：D 9．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【答案】（） 【分析】根据函数解析式利用换元法求解即可. 【详解】函数，令，则，所以 则函数化为 所以（）. 故答案为：（）. 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数满足，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，由条件可得函数的解析式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：5 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用换元法即可得到答案. 【详解】令，则，所以． 所以． 故答案为：. 12．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数.若恒成立，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，代入计算即可求解. 【详解】函数，由， 得，化简整理得，解得. 故答案为： 求分段函数解析式或求函数的值 13．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，则（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数则（    ） A． B． C．35 D．53 【答案】C 【分析】根据解析式求函数值即可. 【详解】由题意知，所以. 故选：C. 15．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】将函数改写为分段形式，即可确定图象. 【详解】由，则对应的图象为D. 故选：D. 16．（23-24高一上·江苏南京·期中）设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，再根据函数解析式判断函数图象. 【详解】由题意可知 当时，，且过程中增速变慢， 当时，，且过程中增速变快， 所以的图象可表示为选项B， 故选：B 17．（22-23高一上·江苏苏州·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的解析式，即可直接求解函数值. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 18．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（多选）如图所示的图象表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由分段函数图象利用待定系数法分段求解函数的解析式即可. 【详解】由图可知，当时，为一次函数，可设为， 代入得：； 当时，为一次函数，可设为， 代入，得：解得：，. 所以；所以. ，所以BD正确. 故选：BD. 19．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】代入数据直接计算得到答案. 【详解】，. 故答案为：. 20．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数则的值为 ． 【答案】12 【分析】根据解析式，由内而外，逐步计算，即可得结果． 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：12 分段函数的性质及应用 21．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况求解不等式即可. 【详解】解：①当时，由，得， 即，所以，解得； ②当时，由，得， 所以，解得，或（舍去）， 综上：， 故选：B． 22．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数则方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，代入解方程得到答案. 【详解】当时，，故，解得或（舍去）； 当时，，故，解得或（舍去）. 综上所述：或. 故选：B 23．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数,,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出的分段形式,画出函数图像,根据图像得出解集. 【详解】解:由题知, , 在同一坐标系下画出图像如下所示: 由图可知的解集为. 故选:C 24．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）设函数，则满足的 x 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式求其解. 【详解】∵  ， ∴  ， 当且时，不等式可化为， ∴ ， 当且时，不等式可化为， ∴ 满足条件的不存在， 当且时，不等式可化为， ∴ 满足条件的不存在， 当且时，不等式可化为， ∴， ∴满足的 x 的取值范围是， 故选：B. 已知分段函数的值求参数或自变量 25．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数，若，实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用代入法，结合函数的解析式进行求解即可. 【详解】， 故选：B 26．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】分、两种情况讨论，由结合函数的解析式可求得实数的值. 【分析】因为，且， 当时，则，解得，合乎题意； 当时，则，即，解得，合乎题意. 综上所述，或. 故选：A. 27．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，满足的的值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题意，分析可得当时与当时，的取值范围，对于，分析的范围，可得，解可得的值，进而可得或，解可得的值，即可得答案． 【详解】根据题意，函数， 当时，， 当时，， 若，必有， 则，解可得或， 若，必有， 则，解可得， 若，必有， 则，解得， 故或． 故选：B 28．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若，实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故选：C 29．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数， ①满足的实数的取值集合为 ；（用列举法表示） ②若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据求出或，进一步求得的取值；根据得，将转化为，使用基本不等式求最小值. 【详解】①令，则，则或2，由可得，由可得，则实数的取值集合是； ②结合函数草图可知存在时，， 此时，，， 则，当时取等号．    故答案为：①；②. 30．（22-23高一上·江苏淮安·期中）已知函数，若，求实数 . 【答案】或 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】当时，由，得，解得， 当时，由，得，解得（舍去），或， 综上，或 故答案为：或 31．（23-24高一上·江苏连云港·期中）某市出租汽车收费标准如下：路程在以内（含）按起步价11元收费，超过的路程按2.4元收费. (1)试写出收费额（单位：元）关于路程（单位：）的函数解析式； (2)若王先生某次乘车付车费35元，则此单出租车行驶了多少路程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意分别求出、时的表达式，写出分段函数形式即可. （2）由题意只能，解方程即可得解. 【详解】（1）不妨设收费额（单位：元）、路程（单位：）分别用来表示， 由题意当时，，当时，， 因此收费额（单位：元）关于路程（单位：）的函数解析式为. （2）由（1）可知，若， 则只能，解得， 即若王先生某次乘车付车费35元，则此单出租车行驶了的路程. 32．（23-24高一上·江苏扬州·期中）设函数，其中. (1)当时，若，求的值； (2)若，求函数的最大值. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）将函数写成分段函数，分分别求解即可. （2）分，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）当时， , 当时，由得； 当时，由得 当时，方程的解为或. （2）①当时，，， 由二次函数的单调性可知在上单调递减 ②当即时，，， 由二次函数的单调性可知在上单调递增 ③当时， 在上递增，在上的最大值为 当时在递增，在上递减， 在上的最大值为 ，当时 当时在上递增， 在上的最大值为 ，当时 综上所述： 当时， 当时， 当时， 当时， 分段函数的值域或最值 33．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，无最大值，所以函数在时取到最大值，然后根据反比例函数的图像和性质分析即可. 【详解】当时，， 又函数存在最大值， 所以函数在时取到最大值，又时，， 当时，显然不合题意，当时， 为反比例函数， 所以，故， 故选：D. 34．（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意求的解析式，结合图象求最值. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得； 可知：， 作出的图象（图中实线部分）， 由图可知：的最小值为. 故选：C. 35．（23-24高一上·江苏苏州·期中）19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解. 【详解】， 因为，故A正确； 因为， 当是有理数时，即，即，与有理数矛盾， 当是无理数时，即，即，与无理数矛盾，所以在有理数和无理数范围内均无解，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：B. 36．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别求得当时与当时，的值域，即可得到结果. 【详解】当时，， 则当时，，当时，，则； 当时，； 综上所述，. 故选：C 37．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出函数在、上的值域，取并集可得函数的值域. 【详解】当时，； 当时，. 因此，函数的值域为. 故选：C. 38．（23-24高一上·江苏连云港·期中）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】CD 【分析】分别作出，根据图象可得的值域，对比选项分析判断. 【详解】在同一坐标系内分别作出， 可得的图象（图中实线部分），    所以的值域为， 结合选项可知CD正确，AB错误. 故选：CD. 39．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数.例如:，.若函数，，则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据定义，得到分段函数，即可求解. 【详解】由，，得， 当，， 当，， 综上，的值域为. 故答案为：. 40．（22-23高一上·江苏常州·期中）数学家狄利克雷曾给出一个例子：则值域为 ， ． 【答案】 ； 1 【分析】根据的解析式，即可容易求得值域；先求，再求即可. 【详解】根据的解析式可得，当为有理数时，其函数值为；当是无理数时，其函数值为， 故的值域为； 当为有理数时，也为有理数；当为无理数，也为无理数；故， 故. 故答案为：；. 函数方程组法求解析式 41．（23-24高一上·江苏盐城·期中）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，运用解方程组法求解析式即可. 【详解】因为①，所以②， 得，即. 故选：B. 42．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得出. 【详解】因为，所以 两式联立得得， 当且仅当，即时取等号.所以的最小值为. 故答案为： 43．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则 . 【答案】 【分析】由可列出方程组：，从而求解. 【详解】由题意得：对任意实数都有， 所以：，解得：. 故答案为：. 44．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，则f(x)＝ ． 【答案】-2x+1 【分析】由f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，将-x代入联立求解. 【详解】由f(x)＋2f(－x)＝2x＋3， 得f(-x)＋2f(x)＝-2x＋3， 两式联立解得f(x)＝-2x+1， 故答案为：-2x+1 45．（23-24高一上·江苏南通·期中）（1）已知，求 （2）已知为二次函数，且，求． （3）已知且，求的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用换元法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可． 【详解】（1）令， 则， 所以， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以所以 所以． （3）由题意可得， 解方程组，可知． 46．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式； （2）利用换元法求函数的值域. 【详解】（1）令，即，所以，即， 因为①，②， 由①②解得，. （2）因为， 令， 所以， 因为，所以， 所以该函数的值域为. 一、单选题 47．（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数图象的变换得到答案. 【详解】将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数的图象. 故选：B. 48．（22-23高一上·江苏淮安·期中）已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论、与三种情况，由题设不等式与分段函数得到关于的不等式，解之即可得到所求. 【详解】因为， 当时，， 故由得，解得，故； 当时，， 故由得， 当时，上式恒成立；当，整理得， 所以，故； 当时，， 故由得，解得，故； 综上：，即的解集为. 故选：B. 49．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数（），若存在，使，则称点是函数的一个“H点”.则函数 “H点”的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据“H点”的特征，利用数形结合判断存在的个数. 【详解】由，若是函数的一个“H点”，则其关于原点的对称点为，即，所以“H点”关于原点的对称点也在函数图像上， 所以要判断函数 “H点”的个数，需要知道函数图像上关于原点的对称点有多少个，作函数在上的部分图像关于原点对称的图像，如图所示，与在上的部分图像有两个交点， 所以函数 “H点”的个数为4. 故选：C 二、多选题 50．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）对，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，称为“高斯函数”，人们更习惯称之为“取整函数”.下列命题中正确的有（   ） A．， B．， C．， D．函数值域为 【答案】BCD 【分析】根据取整函数的定义，确定之间的关系，然后逐项分析可得结果. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：当是整数时，；当不是整数时，， 由上可知，成立，故B正确； 对于C：，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 由上可知，，成立，故C正确； 对于D：由B可知，，所以， 所以的值域为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，其中涉及函数值域以及函数不等式等问题，难度较大.处理高斯函数的相关问题时，一方面可以从函数定义入手解答问题，另一方面也可以利用函数图象解答问题. 51．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足：，且当时，，下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．在上为减函数 C．在上有唯一的零点 D．若方程有4个不同的解，且，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据题意作出函数图象，借助数形结合求解即可. 【详解】由知函数的图象关于直线对称，当且时，，作出函数的图象如下： 由图象知，的值域为，故选项A正确；在上为增函数，故选项B错误；是在上的唯一零点，故选项C正确； 对于选项D，作出函数的图象如图所示，要使方程有4个不同的解，则. 因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象也关于直线对称，所以.由得，其关于直线的对称值为，故，所以，故选项D错误. 故答案为：AC. 【点睛】关键点点睛：判断选项A,B,C的关键是作出函数的图象，因为的图象关于关于直线对称，所以只需分析并作出时的函数图象再关于直线对称即可；判断D选项的关键是数形结合和确定的取值范围，先求解在上的根，再根据对称性变换即可. 52．（23-24高一上·江苏南京·期中）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在上的黎曼函数，关于黎曼函数，下列说法正确的是（    ） A． B．，方程没有实数根 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据黎曼函数的定义，可判断A、B项；分为，，之间的无理数以及之间的有理数四种情况，分别讨论，即可判断C项；根据黎曼函数的定义，a与b不都为内的有理数以及a与b都为内的有理数讨论，即可判断D项. 【详解】对于A项，因为为最简真分数，由定义，可知选项A正确； 对于选项B，当时，是方程的实数根，所以B错误； 对于选项C， 若x为上的无理数，则也为上的无理数，此时； 若，则，此时； 若，则，此时； 若x为上的有理数，设（其中p，q为正整数，为最简真分数），则，此时也为有理数，且为最简真分数，此时，所以C正确； 对于选项D，①若a与b中至少一个为0或1或中的无理数时， 则，而恒成立，满足； ②若a与b都为内的有理数时，设，（为正整数，，为最简真分数），所以，. 又，当能约分时，ab写成既约真分数分母小于，设为（即)，则； 当不能约分时，. 综上，可知成立，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 53．（22-23高一上·江苏·期中）已知函数，则满足不等式的的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为，故，而的解析式要分讨论，再解不等式即可. 【详解】因为，故， 当时，，此时为增函数， 由知， 故恒成立； 当时，，由得， 解得， 综上：. 故答案为：. 54．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数若，则实数 ． 【答案】或4 【分析】根据a的范围分情况求解即可． 【详解】解：当时，由题意知， 解得或（舍去）； 当时，， 解得． 综上：或． 故答案为：或． 四、解答题 55．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数. (1)画出的图像； (2)请根据的图像直接写出的解集（无需说明理由）. 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数，再画出函数的图象； （2）根据分段函数，分段解不等式即得. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 故，函数图象如图所示： . （2）由题得，当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 综上，的解集为. 56．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设． (1)求的长度（用含的代数式表示），并写出的范围； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)（）； (2). 【分析】（1）根据给定的几何图形，利用勾股定理列式求解即得. （2）利用（1）的结论，求出三角形面积关系式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】（1）在矩形中，由，得，由，得， 设折叠后的点为，则有， 于是，即，在中，， 即，化简得， 所以（）， （2）由（1）知面积， 显然，当且仅当，即时取等号， 因此当时，， 所以面积的最大值为. 57．（23-24高一上·江苏·期中）已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)已知，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）换元法解出函数解析式即可； （2）根据判别式讨论的范围即可. 【详解】（1）因为定义在上的函数满足：①，将替代x入上式可得②， 联立①②可得 （2）即 ①，即，解集为R                          ②，即，解集为                            ③，即，解集为或 58．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 【答案】(1)定义域为；值域为 (2)①；② 【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域； （2）①令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解. 【详解】（1）因为，所以，则， 又， 当时，， 所以，又， 所以； （2）依题意，得， 令，则， 令，， 当时， 此时二次函数对称轴，开口向上，则. 当时，此时对称轴， 当，即时，开口向下，则； 当，即，对称轴，开口向下， 则， 当，即时，开口向下，； 综上，. ②当时，，则，解得或（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 综上，或，即. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握分类讨论的方法，利用二次函数的性质，结合轴动区间定即可得解. 59．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）利用待定系数法求得的解析式. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意，是二次函数，且， 故可设， 则 ， 所以，解得，所以. （2）不等式，即， ， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 60．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B. (1)若，求集合A，B及； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或，，； (2). 【分析】（1）根据已知条件，结合函数的性质，求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解. （2）由已知条件，推得，再列出不等式，即可求解. 【详解】（1），解得或， 函数的定义域为集合或， 当时，，对称轴为， ，， ，， ， （2）“”是“”的必要不充分条件， ， ，， 又或，， 或，解得或， 故的取值范围为. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$