专题09 指数与对数（六大题型+优选题，50题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题09 指数与对数（六大题型+优选题，50题） 根式的化简求值 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏连云港·期中）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 指数幂的运算 3．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 4．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）（多选）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知则， . 7．（23-24高一上·江苏盐城·期中） . 8．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知正数满足，则的最小值为 . 指数幂的化简、求值 9．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·江苏连云港·期中）（多选）已知，则下列选项中正确的有（     ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，则 ． 12．（22-23高一上·江苏徐州·期中）（1）计算：； （2）已知，证明：． 对数的运算 13．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，，则（ ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·江苏无锡·期中）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一上·江苏南通·期中）计算： . 17．（23-24高一上·江苏南通·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 对数的运算性质的应用 18．（22-23高一上·江苏南京·期中）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）设都是正数，且，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·江苏连云港·期中）计算： . 21．（23-24高一上·江苏南京·期中）设，，若，则的最大值为 ． 22．（23-24高一上·江苏镇江·期中）计算各式的值： (1)； (2). 23．（23-24高一上·江苏扬州·期中）求下列各式的值： (1) (2) 24．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）解决下列问题： (1).求值：； (2).若，，求的值. 25．（23-24高一上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2). 26．（23-24高一上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)不等式的解集为，求实数的值. 27．（23-24高一上·江苏连云港·期中）计算： (1)， (2). 28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 运用换底公式化简计算 29．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 31．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则 ．（用表示） 32．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知，则 （结果用a，b表示）. 33．（23-24高一上·江苏南通·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知x，y，z为正数，若，求的值． 34．（23-24高一上·江苏连云港·期中）计算下列各式的值： (1)； (2) 35．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算下列各式： (1)； (2) 一、单选题 36．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 37．（22-23高一上·江苏常州·期中）一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·江苏常州·期中）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·江苏扬州·期中）当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（    ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 41．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，，，则的最小值是（    ）． A．18 B．9 C． D．3 二、多选题 42．（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列运算中正确的是（    ） A．当时， B． C．若，则 D． 43．（23-24高一上·江苏常州·期中）下列说法中不正确的有（ ） A． B． C．若，则 D． 44．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 三、解答题 46．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 47．（22-23高一上·江苏常州·期中）求值： (1)； (2). 48．（23-24高一上·江苏徐州·期中）化简求值： (1)； (2) 49．（23-24高一上·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)已知，，用，表示 50．（22-23高一上·江苏盐城·期中）求值： (1)； (2)． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 指数与对数（六大题型+优选题，50题） 根式的化简求值 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 2．（22-23高一上·江苏连云港·期中）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用进行求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 指数幂的运算 3．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】对两边同时平方，即可得出答案. 【详解】由可得：， 则. 故选：C. 4．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可. 【详解】，，. 故选：D. 5．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）（多选）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用指数的运算性质，得到，可判断AB选项，然后利用基本不等式判断CD选项的结果. 【详解】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有， 则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 6．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知则， . 【答案】 【分析】对平方，进行求解. 【详解】， 又，所以. 故答案为： 7．（23-24高一上·江苏盐城·期中） . 【答案】7 【分析】利用指数和根式的运算求解. 【详解】解：， ， 故答案为：7 8．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】先根据指数运算求出，代入中，再利用基本不等式可得最小值. 【详解】，可得，又，所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为： 指数幂的化简、求值 9．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案. 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 10．（22-23高一上·江苏连云港·期中）（多选）已知，则下列选项中正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，对两边平方可得结果； B选项，先计算，开方即可； C选项，先计算，再结合，开方求出答案； D选项，使用立方和即可求解. 【详解】两边平方得：， 所以，A正确； ， 因为的大小不确定，所以，B正确； ， 因为，所以，C错误； 由立方和公式可得： ， D正确. 故选：ABD 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用已知结合立方和公式可得出结果， 【详解】因为， ． 故答案为：0.5. 12．（22-23高一上·江苏徐州·期中）（1）计算：； （2）已知，证明：． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可； （2）利用作差法证明即可． 【详解】（1）原式＝． （2）证明： ∵，∴，，∴， 则有． 对数的运算 13．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的运算公式直接求解. 【详解】. 故选：A. 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，然后可计算求值. 【详解】由题意得：，得：， 所以：.故A项正确. 故选：A. 15．（23-24高一上·江苏无锡·期中）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用指数式与对数式的互化关系，结合对数运算即得. 【详解】令，则， 所以，即的估算值为. 故选：C 16．（22-23高一上·江苏南通·期中）计算： . 【答案】3 【分析】根据指数幂运算法则、对数恒等式运算即可. 【详解】解：. 故答案为：3. 17．（23-24高一上·江苏南通·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可; （2）进行对数的运算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式 对数的运算性质的应用 18．（22-23高一上·江苏南京·期中）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的值，结合选项即可判断． 【详解】， ， 所以所在的区间为. 故选：C 19．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）设都是正数，且，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】连等式一般可以先设为，分别求值后再逐个验证判断即可. 【详解】令，则， 所以， 对于A：两边同除等价于， 由上可知，，所以，A正确； 对于B：两边同除等价于， 由上可知，，所以，B错误； 对于C：两边同除等价于， 由上可知，，所以，C错误； 对于D：两边同除等价于， 由上可知，，所以，D错误， 故选：BCD 20．（23-24高一上·江苏连云港·期中）计算： . 【答案】0 【分析】根据对数运算性质结合运算求解. 【详解】由题意可得：原式. 故答案为：0. 21．（23-24高一上·江苏南京·期中）设，，若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知推得，，．进而得出，然后即可根据基本不等式，得出答案. 【详解】由得. 又，，所以. 同理可得． 因为， 所以，所以． 又． 当，且时，即，. 由基本不等式知． 当且仅当，即， 即，时等号成立. 当时，，此时； 当时，，此时. 综上所述，的最大值为． 故答案为：． 22．（23-24高一上·江苏镇江·期中）计算各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数运算求解. 【详解】（1）由题意可得：原式. （2）由题意可得：原式. 23．（23-24高一上·江苏扬州·期中）求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解； （2）利用对数的运算性质求解. 【详解】（1） . （2） . 24．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）解决下列问题： (1).求值：； (2).若，，求的值. 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）由零指数，分数指数幂，对数运算法则性质可得答案；（2）由，可得，后可得答案. 【详解】（1）原式 （2）由 及得 因为， 所以，从而 所以 即的值为 25．（23-24高一上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可； （2）根据对数的定义及对数的运算法则计算即可. 【详解】（1） . （2） . 26．（23-24高一上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2)实数的值分别为3，2 【分析】（1）利用指数幂的运算和对数运算性质化简求值即可； （2）根据解集得为方程的两根，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）. （2）因为不等式的解集为， 所以为方程的两根且， 由根与系数的关系得，解得，所以实数的值分别为3，2. 27．（23-24高一上·江苏连云港·期中）计算： (1)， (2). 【答案】(1)11 (2)2 【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则计算即可； （2）根据对数的运算法则计算． 【详解】（1）原式. （2）原式 . 28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数指数幂运算法则分别化简求值即可. （2）根据对数运算法则分别化简求值即可. 【详解】（1） （2） . 运用换底公式化简计算 29．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数式与对数式的互化可得出，利用换底公式结合对数运算性质可判断A；由基本不等式可判断B，C，D； 【详解】因为，所以， 即，故，故A正确； 因为，， 所以成立，故C正确； ， 故，故B错误； 成立，故D正确. 故选：ACD. 30．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解即可 【详解】 . 故答案为：3 31．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则 ．（用表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换底公式求解即得. 【详解】由，得，又， 所以. 故答案为： 32．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知，则 （结果用a，b表示）. 【答案】 【分析】利用换底公式及同底对数加减运算法则即可解题. 【详解】, 故答案为：. 33．（23-24高一上·江苏南通·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知x，y，z为正数，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数运算法则得到答案； （2）令，得到，，，利用换底公式和对数运算法则得到答案. 【详解】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以，，， 所以； 34．（23-24高一上·江苏连云港·期中）计算下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）利用对数运算性质、换底公式计算即得. 【详解】（1） . （2） . 35．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算与根式的性质化简运算即可； （2）根据指对互化可得，再根据对数运算性质及对数恒等式化简运算即可. 【详解】（1） （2）设，则，所以 所以 一、单选题 36．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由，可得，然后代入中计算即可. 【详解】由，可得， 所以， 故选：C 37．（22-23高一上·江苏常州·期中）一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设这个39位数为，这个数的64次方根为，也即，两边同时取对数，然后计算与参考数据比较即可求出结果. 【详解】设设这个39位数为，这个数的64次方根为， 所以，两边同时取以10为底的对数可得：， 所以，因为， 所以， 也即， 因为，，所以， 所以， 故选：C. 38．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算. 【详解】由换底公式得：，，其中，，故 故选：C 39．（23-24高一上·江苏常州·期中）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值. 【详解】由题设，，即， 又，且， 所以. 故选：A. 40．（23-24高一上·江苏扬州·期中）当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（    ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】B 【分析】设，则，计算即可求出，从而得出结果． 【详解】设，则 又因为， 所以，即， 因为，所以，所以， 解得：，因为， 故，所以的位数是. 故选：B 41．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，，，则的最小值是（    ）． A．18 B．9 C． D．3 【答案】B 【分析】根据对数的运算得，再利用乘“1”法即可得到最小值. 【详解】， 所以，且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B. 二、多选题 42．（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列运算中正确的是（    ） A．当时， B． C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由于，所以，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 43．（23-24高一上·江苏常州·期中）下列说法中不正确的有（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，当时，无意义；对于B、D，由对数相关公式即可判断；对于C，利用指数幂的运算性质可判断. 【详解】对于A，当时，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，若，则， 又，则， 所以，则，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：ABD. 44．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据可推出，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由，得，且， 即，而此时不总是成立，则C错误； 由于，即，结合以上分析可知A错误； 由于，即为，故B正确； 又，D正确， 故选：BD 45．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】直接利用不等式的性质和基本不等式求解. 【详解】对于选项A，因为，，且，所以， 所以，故A正确； 对于选项B， ， 因为，所以，所以，故B错误； 对于选项C，由基本不等式可知， 则，当且仅当时取等号，故C正确； 对于选项D， ， 即，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ACD. 三、解答题 46．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）9；（2）1 【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解； （2）由求出，然后代入中化简计算即可. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 47．（22-23高一上·江苏常州·期中）求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则，对数换底公式计算即可. 【详解】（1）解： （2）解： 48．（23-24高一上·江苏徐州·期中）化简求值： (1)； (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据根式和指数幂直接计算得到答案. （2）利用对数的运算法则计算得到答案. 【详解】（1） . （2） ． 49．（23-24高一上·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)已知，，用，表示 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用指数幂和对数的运算法则计算得到答案. （2）确定，变换，代入得到答案. 【详解】（1）； （2），则， . 50．（22-23高一上·江苏盐城·期中）求值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用根式运算、指数运算计算作答. （2）根据给定条件，利用对数运算法则及对数性质计算作答. 【详解】（1）. （2） . 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$