专题07 基本不等式（七大题型+优选题，70题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题07 基本不等式（七大题型+优选题，70题） 基本不等式的证明 1．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，为正数，则 B．若，为正数，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·江苏无锡·期中）（多选）下列函数中最大值为1的有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏淮安·期中）希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 5．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知圆的半径为，矩形的边长为，，且圆与矩形的周长均为2，面积分别为，，则的最小值为 ． 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 7．（22-23高一上·江苏常州·期中）（1）已知，求证： （2）设，，为正数，求证： 8．（23-24高一上·江苏苏州·期中）（1）已知为正数，且满足.证明：. （2）若，，其中，试比较的大小. 9．（22-23高一上·江苏盐城·期中）若实数满足，则称比远离. (1)若比远离1，且，求实数的取值范围； (2)对任意两个不相等的实数，证明比远离； (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 基本不等式求积的最大值 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）（多选）设，且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）若正数，，满足，，则的最大值是 . 15．（23-24高一上·江苏·期中）海伦公式亦叫海伦—秦九韶公式，相传最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中，，分别是三角形的三边长，.已知一根长为的木根，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为 . 基本不等式求和的最小值 16．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）关于的不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 17．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 18．（22-23高一下·江苏南京·期中）实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知正实数满足，则的最小值为 . 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）命题“，关于x的不等式成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 21．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知正实数满足，则的最小值为 ． 22．（22-23高一上·江苏扬州·期中）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，若，则纸张的用纸面积最少为 cm2．    23．（22-23高一上·江苏扬州·期中）（1）若正数 满足，求的最小值； （2）若正数 满足，求的最小值． 条件等式求最值 24．（22-23高一上·江苏淮安·期中）已知，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 25．（23-24高一上·江苏·期中）（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·江苏徐州·期中）正实数，满足时，则的最小值为 ． 27．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 28．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知正实数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 基本不等式的恒成立问题 29．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 31．（23-24高一上·江苏南通·期中）（多选）实数、满足 ，若有解，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·江苏徐州·期中），使得成立，则实数的取值范围为 ． 33．（22-23高一上·江苏徐州·期中）若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围是 . 基本（均值）不等式的应用 34．（23-24高一上·江苏南京·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ）    A． B． C． D． 35．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（多选）如图所示，四边形ABDC为梯形，其中，O为对角线的交点.有4条线段（GH、KL、EF、MN）夹在两底之间.GH表示平行于两底且于他们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行与两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有（ ） A．若，则. B．， C．， D．，. 36．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（多选）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则最小值为4 C．若，，则 D．若，且，则的最小值为2 37．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）若，，则下列说法正确的有（    ） A．大于4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值是 38．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）下列各不等式，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为 ． 41．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知a，b均为正实数. (1)证明：； (2)若的两条直角边分别为a，b，斜边，求周长的最大值. 42．（23-24高一上·江苏南京·期中）第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 43．（23-24高一上·江苏连云港·期中）某单位要建造一间地面面积为的背靠墙的长方体形小房，房屋正面的造价为1800元，房屋侧面的造价为1200元，屋顶的造价为7800元，如果墙高，且不计房屋背面的费用，问：怎样设计能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 44．（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 基本不等式“1”的妙用求最值 45．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 46．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 47．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C．16 D．32 48．（23-24高一上·江苏南通·期中）设，若，则的最小值为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 49．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 50．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 51．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设，，且，则的最小值是 . 52．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 53．（23-24高一上·江苏南通·期中）（1）已知，求的最小值及此时所对应的的值； （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 54．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 一、单选题 55．（23-24高一上·江苏·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 56．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下面结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 57．（23-24高一上·江苏盐城·期中）据市场分析某个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（    ）年时，其产出的年平均利润最大．    A．2 B．4 C．6 D．8 58．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 59．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，为正数，且，则下列说法中正确的有（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值2 60．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C．的最大值为 D．的最大值为2 61．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，则下列选项成立的是（    ） A． B．若，则 C．的最小值为 D．若，则 62．（23-24高一上·江苏常州·期中）下列说法正确的有（ ） A．的最小值是2 B．若且，则 C．若，则的最小值为 D．若，且，则的最小值为4 63．（23-24高一上·江苏盐城·期中）下面四个命题中，真命题是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 64．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 65．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知，，，则的最小值为 . 66．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知实数满足，则的最大值为 ． 四、解答题 67．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数，其中. (1)若，解关于的不等式； (2)若且不等式对一切实数恒成立，求的最小值. 68．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知实数，若． (1)求的最小值； (2)求的最小值. 69．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知. (1)求的最小值 (2)求的最小值. 70．（23-24高一上·江苏无锡·期中）如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点.    (1)当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置； (2)当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 基本不等式（七大题型+优选题，70题） 基本不等式的证明 1．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，为正数，则 B．若，为正数，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法判断A、D，利用不等式的性质判断C，利用重要不等式及不等式的性质判断B. 【详解】对于A：因为， 所以，故A正确； 对于B：因为，为正数，所以，则，即，当且仅当时取等号， 又，所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：因为，所以，所以，故C错误； 对于D：因为，所以， 所以，故D正确； 故选：ABD 3．（23-24高一上·江苏无锡·期中）（多选）下列函数中最大值为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及其成立的条件“①正”，“②定”，“③相等”，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A，， 当且仅当，即或取等号， 所以在或取最小值为1，无最大值，故A不符合题意； 对于B，， 则 ， 当且仅当，即取等号， 所以的最大值为1，故B符合题意； 对于C，，则， 当且仅当即取等号，但， 所以的值域为，故C不符合题意； 对于D，， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最大值为1，故D符合题意. 故选：BD 4．（23-24高一上·江苏淮安·期中）希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 【答案】 【分析】根据基本不等式相关知识并利用作差法逐个比较大小即可. 【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以； 综上所述，，当且仅当时等号成立. 故答案为： 5．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知圆的半径为，矩形的边长为，，且圆与矩形的周长均为2，面积分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】圆与矩形的周长均为2， ，即， ， ， ， 当且仅当时，等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用基本不等式即可证明； （2）利用基本不等式即可证明 【详解】（1）因为，为正数， 所以，当且仅当时取等号， 所以. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以. 7．（22-23高一上·江苏常州·期中）（1）已知，求证： （2）设，，为正数，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用分析法证明即可； （2）利用基本不等式证明即可. 【详解】证明：（1）由于，则，， 于是要证， 即证， 即证， 由于，即证，而显然成立， 故 （2）因为，，为正数， 由基本不等式可得，，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号. 8．（23-24高一上·江苏苏州·期中）（1）已知为正数，且满足.证明：. （2）若，，其中，试比较的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用将所证不等式可变为，再利用基本不等式即可得证； （2）利用完全平方公式，结合不等式的性质即可得解. 【详解】（1）  ，  ， ， ， 当且仅当时，等号成产， ，即. （2）因为， ， 又，则， 所以，则， 所以，即. 9．（22-23高一上·江苏盐城·期中）若实数满足，则称比远离. (1)若比远离1，且，求实数的取值范围； (2)对任意两个不相等的实数，证明比远离； (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)比更远离，理由见解析 【分析】（1）首先由题意可知，，再根据，求解不等式； （2）由条件证明，首先去绝对值，再比较大小； （3）分和两种情况证明不等式. 【详解】（1）由题意，， 因为，所以，即， 两边平方，得，解得： （2）证明：， , 因为，所以， 所以， 所以比远离； （3）因为，当且仅当时等号成立， 所以， 从而， ①时，， ， 即； ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法化简证明即可； （2）利用基本不等式结合配方法证明即可. 【详解】（1）因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以； （2）因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 因为， 综上． 基本不等式求积的最大值 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知命题：存在，成立为真命题，再结合基本不等式得：，从而求解. 【详解】由题意得：存在，成立为真命题， 又因为：，当且仅当，即：取等号， 所以：，故B项正确. 故选：B. 12．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基本不等式和特例法，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若，且，所以，所以，则， 所以“”是“”的充分条件； 若，且，不妨取，则，不满足， 所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的充分且不必要条件. 故选：A. 13．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）（多选）设，且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，由条件可得，再由基本不等式，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 即，所以， 对于选项A，因为，所以，故A错误； 对于选项B，因为，当且仅当时，等号成立， 所以不恒成立，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故C正确； 对于选项D，因为，则，故D正确； 故选：CD 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）若正数，，满足，，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得的最小值后可得结论． 【详解】由题意，所以，当且仅当时等号成立， ，即的最小值是. 故答案为：． 15．（23-24高一上·江苏·期中）海伦公式亦叫海伦—秦九韶公式，相传最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中，，分别是三角形的三边长，.已知一根长为的木根，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意得，令，则，列出面积的关系式，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】依题意，不妨令，则， 则，当且仅当，即时取等号， 所以该三角形面积的最大值为. 故答案为： 基本不等式求和的最小值 16．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）关于的不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根之间的关系，由韦达定理可得，进而，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由题意知，是方程的两根， 则，得且，即，得， 由得， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立； 综上，的最小值为4. 故选：B. 17．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据函数形式，结合基本不等式求解函数最小值即可. 【详解】函数中，， 由基本不等式可得 当且仅当时，即时取等号， 所以函数的最小值为9. 故选：B. 18．（22-23高一下·江苏南京·期中）实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用代入法将代数式 转换为只含有x的一元代数式，运用基本不等式求解. 【详解】 ，所以，当且仅当取等号； 故选：C. 19．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由于，所以原不等式化为，给不等式两边同乘以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为， 所以由，得， 因为， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 故答案为： 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）命题“，关于x的不等式成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把问题转化为命题“，关于x的不等式成立”，再结合基本不等式求得最小值，从而可得，求解即可. 【详解】依题意，命题“，关于x的不等式成立”， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：. 21．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知得出，根据，利用基本不等式求解即可． 【详解】由得，， 则， 当且仅当，即 时，等号成立， 故答案为：． 22．（22-23高一上·江苏扬州·期中）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，若，则纸张的用纸面积最少为 cm2．    【答案】 【分析】设矩形的长和宽分别为，得到纸张面积为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，设排版矩形的长和宽分别为且，且 则纸张的面积为 当且仅当时，即，即时，等号成立， 所以纸张的用纸面积最少为. .   23．（22-23高一上·江苏扬州·期中）（1）若正数 满足，求的最小值； （2）若正数 满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）把化为，再与相乘即可用基本不等式求出最小值； （2）解法一：由解出，代入，再用基本不等式求出最小值；解法二：由解出，代入，再用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）因为，， 所以， 当且仅当时上述等号成立. 所以的最小值为. （2）解法一：因为，，所以，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为．                   解法二：因为，，所以，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为． 条件等式求最值 24．（22-23高一上·江苏淮安·期中）已知，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】直接利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，， 所以，即，则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 25．（23-24高一上·江苏·期中）（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 根据基本不等式可判断ABC；将题设配方可得，结合进行求解即可判断D. 【详解】对于A，由 当且仅当时等号成立，即，故A错误； 对于B，由，得， 即， 当且仅当时等号成立，即，故B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时等号成立，即，故C正确； 对于D，由，得， 即，即，故D正确. 故选：BCD. 26．（23-24高一上·江苏徐州·期中）正实数，满足时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件，，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， （当且仅当，即，时等号成立）. 所以的最小值为. 故答案为： 27．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 28．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知正实数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用已知消元，结合二次函数性质可解； （2）展开后使用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由，为正实数，所以，解得， 则， 当时，有最大值，最大值为. （2）因为，所以， 则 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 基本不等式的恒成立问题 29．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得，由此可得结果. 【详解】由得：， ，，， （当且仅当时取等号）， 当恒成立时，. 故选：D. 30．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4. 故选：B 31．（23-24高一上·江苏南通·期中）（多选）实数、满足 ，若有解，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知可得出，根据已知条件求出的取值范围，利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可得出合适的选项. 【详解】因为实数、满足，则，由可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 所以，，即，解得或. 故选：AD. 32．（23-24高一上·江苏徐州·期中），使得成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据求出，使成立，再根据，求出使成立，进而解出答案. 【详解】解：因为，使得成立， 所以成立， 因为，当且仅当时成立， 故，即， 因为，使得成立， 所以，即，故. 故答案为：. 33．（22-23高一上·江苏徐州·期中）若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：，， 不等式恒成立， 恒成立 ，当且仅当，即时取等号， ，即 故答案为： 基本（均值）不等式的应用 34．（23-24高一上·江苏南京·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理和列不等式. 【详解】由图形可知：，， 在中，由勾股定理可得：， ，，. 故选：A. 35．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（多选）如图所示，四边形ABDC为梯形，其中，O为对角线的交点.有4条线段（GH、KL、EF、MN）夹在两底之间.GH表示平行于两底且于他们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行与两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有（ ） A．若，则. B．， C．， D．，. 【答案】ABD 【分析】利用相似比可得，故可判断A，结合基本不等式可判断B；设梯形ABNM，MNDC，ABDC的面积分别为，高分别为，根据和可解得，可判断C；利用，，根据相似比可得，即可判断D. 【详解】由梯形中位线性质可得. 因为梯形与梯形KLDC相似，所以，即, 当时，，A正确； 由基本不等式可知时，，B正确； 设梯形ABNM，MNDC，ABDC的面积分别为，高分别为， 则，即， 解得， 由题意可知，解得，C错误； 因为，所以， 所以，所以， 易知，所以，得，所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】本题关键是能灵活运用平行线分线段成比例，相似比，以及面积关系求出GH、KL、EF、MN，然后即可求解. 36．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（多选）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则最小值为4 C．若，，则 D．若，且，则的最小值为2 【答案】BCD 【分析】利用特例法判断A，利用基本不等式“1”的妙用求最值判断B，利用基本不等式结合不等式性质判断C，设，代入化简变形，利用基本不等式求得最小值判断D. 【详解】对于A，若，满足，则，错误； 对于B，若，且，则，时取等号，正确； 对于C，因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以，当且仅当即时等号成立， 由乘法法则知，当且仅当时等号成立，正确. 对于D，令，则， 所以， （当且仅当即时取等号），即的最小值是2，正确. 故选：BCD 37．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）若，，则下列说法正确的有（    ） A．大于4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】AB选项利用基本不等式即可；C利用“”的代换和基本不等式即可；D先分离常数再用“”的代换和基本不等式即可. 【详解】对于选项A，，当且仅当，时等号成立．此时，所以，所以A正确： 对于选项B，，当且仅当时等号成立，所以B正确． 对于选项C，，当且仅当，且，即，时等号成立，所以的最小值为，所以C错误． 对于选项D，．，当且仅当，且，即，时等号成立，所以的最大值为，所以D正确． 故选：ABD 38．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用基本不等式和不等式的性质判断各选项即可. 【详解】由，及， 可得即，及即，则A正确，C错误； 由可得，由可得， 则，则，即，B正确； ，由可得，则，时取等，D错误； 故选：AB． 39．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）下列各不等式，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过举反例说明ACD不正确，对于B选项，利用分类讨论和基本不等式即可证明正确. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，当，时，，故C错误； D选项，当时，，故D错误. 故选：ACD. 40．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据已知结合半圆的面积公式得出，即可根据勾股定理得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】设，，， 以斜边为直径的半圆弧长为， 则，即， 为直角三角形， ，即， 则， 即，当且仅当时，等号成立， 则，即周长的最大值为. 故答案为：. 41．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知a，b均为正实数. (1)证明：； (2)若的两条直角边分别为a，b，斜边，求周长的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可得证； （2）利用（1）中的结论和三角形性质即可得出结果. 【详解】（1）因为，则， 当且仅当时取“”. 又为正实数， 所以. （2）由题意，得. 由（1）的结论，， 当时取“”. 所以直角周长的最大值为. 42．（23-24高一上·江苏南京·期中）第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)50 (2)至少应达到万件，商品的每件定价为20元 【分析】（1）由已知得出调价后的销售量，进而列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据已知列出不等式，分离参数可得.然后即可根据基本不等式，得出答案. 【详解】（1）设定价为元，则销售量为万件， 由已知可得，， 整理可得，，解得， 所以，该商品每件定价最多为50元. （2）由已知可得，，. 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元. 43．（23-24高一上·江苏连云港·期中）某单位要建造一间地面面积为的背靠墙的长方体形小房，房屋正面的造价为1800元，房屋侧面的造价为1200元，屋顶的造价为7800元，如果墙高，且不计房屋背面的费用，问：怎样设计能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当长为，宽为时，最低总造价是元. 【分析】设底面的长为，宽，表示出房屋总造价为，利用基本不等式即可得出． 【详解】设底面的长为，宽，则， 设房屋总造价为，由题意可得： ， 由，且. 当且仅当，即，此时造价最低为. 综上：当长为，宽为时，最低总造价是元. 44．（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【答案】(1)320 (2)售价为145元，利润最大，最大值为80元 【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案； （2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案. 【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为 ， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 基本不等式“1”的妙用求最值 45．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 46．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】利用“1的代换”的方法，结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 47．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】B 【分析】将化简为，然后由基本不等式“”的应用即可求解. 【详解】由，得：，又因为：，， 所以：， 当且仅当时，即：，取等号，故B项正确. 故选：B. 48．（23-24高一上·江苏南通·期中）设，若，则的最小值为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】根据题意易知 ， 当且仅当，即时取得最小值. 故选：B 49．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为a，b为正实数，且， 所以， 当且仅当等号成立. 故选：B. 50．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 【答案】/ 【分析】注意到，由基本不等式可得答案. 【详解】因，则， 则，当且仅当，即时取等号. 故答案为： 51．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设，，且，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是9. 故答案为：9. 52．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 53．（23-24高一上·江苏南通·期中）（1）已知，求的最小值及此时所对应的的值； （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 【答案】（1）最小值7 ；； （2）最小值 【分析】（1）合理构造基本不等式处理即可. （2）构造‘1’的代换处理即可. 【详解】（1），，， 当且仅当，即时取‘’ 故最小值是 （2），且，是正实数，， 故， 当且仅当，即，， 故的最小值为 54．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可； （2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）方法一:，且，，都是正数， ，当且仅当时取等号， 故. 方法二：，且，，都是正数， 所以 ，当且仅当时取等号， 故. （2）方法一:、都是正数， 当且仅当时取等号， 又，，所以，当且仅当时取等号， ， ，即， ，. 令，其中， 因为在上单调递减， 所以，所以的最小值为. 方法二:因为 都是正数， ，当且仅当，即时取等号， 又， ，当且仅当时取等号， 令，下面即要讨论函数，的最小值； 首先，讨论函数在上的单调性， 对， 有. 函数在上单调递减. 当，即时，取得最小值. ，当且仅当时取等号. 一、单选题 55．（23-24高一上·江苏·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，即时，取等号. 故选：B 56．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下面结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用作差法确定A；利用基本不等式确定B；利用消元法确定C；利用不等式的性质确定D. 【详解】对于A：， 当且仅当时等号成立，故，A错误； 对于B：， ， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 对于C：，解得， ，C错误； 对于D：，则，即，D错误. 故选：B. 57．（23-24高一上·江苏盐城·期中）据市场分析某个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（    ）年时，其产出的年平均利润最大．    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】先求得关于的表达式，然后利用基本不等式求得取得最大值时对应的的值. 【分析】，设， 将代入上式得， 所以， 则， 当且仅当时等号成立. 故选：C 58．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先根据题意得到，从而得到，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解． 【详解】由，，，则，则， 所以 ． 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：A． 二、多选题 59．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，为正数，且，则下列说法中正确的有（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值2 【答案】AB 【分析】利用基本不等式逐项分析判断； 【详解】，且，可知， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 可得，即有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 所以当，时，取得最小值为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时取等号， 所以有最小值，故C错误； 对于选项D：因为， 当且仅当时，等号成立， 可得，所以ab有最大值，故D错误； 故选：AB. 60．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C．的最大值为 D．的最大值为2 【答案】BC 【分析】根据已知条件，结合基本不等式求解判断. 【详解】∵，，且， ∴由基本不等式可得，，解得， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； ， 当且仅当，即时取等号，故B正确； ∵，，且，∴，， ∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最大值为，故C正确； ，故D错误． 故选：BC． 61．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，则下列选项成立的是（    ） A． B．若，则 C．的最小值为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】作差配方即可判断A；利用基本不等式将条件化为关于的一元二次不等式，然后求解即可判断B；根据基本不等式求最值取等号的条件可判断C；对不等式等价变形，消元后配方即可判断D. 【详解】A选项：因为，时等号成立，所以，A正确； B选项：因为， 所以，解得或（舍去）， 所以，当时等号成立，B正确； C选项：， 因为无实数解，所以等号不成立，C错误； D选项：因为， 所以不等式， 即， 因为，所以不等式成立， 当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 62．（23-24高一上·江苏常州·期中）下列说法正确的有（ ） A．的最小值是2 B．若且，则 C．若，则的最小值为 D．若，且，则的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用基本不等式，结合选项，逐项判定、求解，即可求解. 【详解】对于A中，由， 当且仅当时，即时，显然等号不成立，所以A错误； 对于B中，由且，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C中，由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由，且，又由， 因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最小值为，所以D正确. 故选：BCD. 63．（23-24高一上·江苏盐城·期中）下面四个命题中，真命题是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质、差比较法、基本不等式、特殊值等知识确定正确答案. 【详解】A选项，若且，则， 则，所以，所以A选项正确. B选项，若，如，所以，所以B选项错误. C选项，， 则， 其中，但的范围无法确定，所以的大小关系不确定， 所以C选项错误. D选项，， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：AD 三、填空题 64．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 65．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知，，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以，当且仅当时取等号，即时，有最小值， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用等式把代数式变形为. 66．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由，可得，因为， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 故最大值为， 故答案为： 四、解答题 67．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数，其中. (1)若，解关于的不等式； (2)若且不等式对一切实数恒成立，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （2）利用判别式消元，放缩目标式，然后分子分母同时除以a，再换元，由基本不等式可解. 【详解】（1）因为，则，又， 所以不等式，即，即， 当时原不等式即，解得， 当时原不等式即， 若，即时解得； 若，即时解得或； 若，即时解得或； 当时原不等式即，解得， 综上可得当时原不等式的解集为， 当时原不等式的解集为， 当时原不等式的解集为， 当时原不等式的解集为， 当时原不等式的解集为. （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，所以， 所以（当判别式等于0时等号成立） 令，则，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当且时，有最小值. 68．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知实数，若． (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，根据基本不等式“1”的妙用即可求解； （2）由基本不等式可得，即，根据函数的单调性求出即可. 【详解】（1）因为，即，所以，因为 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为. （2）因为，，所以， 当且仅当即时，取等号，则． 令， 因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 所以， 即的最小值为. 69．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知. (1)求的最小值 (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用对数运算得到，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解； （2）法一：利用换元法，结合基本不等式即可得解； 法二：用表示，再利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由得，即， ，则， 因为，所以， 当且仅当，即时取得“=”， 所以的最小值为. （2）法一： 令，则，， 故由可得，整理得， ， 当且仅当，即，即时取“=”， 所以的最小值为2. 法二： 由可得，又， ， 当且仅当，即时取得“=”， 所以的最小值为2. 70．（23-24高一上·江苏无锡·期中）如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点.    (1)当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置； (2)当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 【答案】(1)；点P在BD中点时，四边形面积取最大值. (2)点P在BD中点时，四边形面积取最大值 【分析】（1）根据相似三角形可得，结合基本不等式求最值； （2）利用基本不等式可得，由此可求出四边形的面积的最大值. 【详解】（1）在矩形中，，， ∴，，∵，， ∴， ，∴，                                       因为，所以，所以， 当且仅当取等号，此时点P在BD中点， 即点P在BD中点时，四边形面积取最大值. （2）由（1）可知， 因为，所以，所以， 当且仅当取等号，此时点P在BD中点， 即点P在BD中点时，四边形面积取最大值. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$