第3章 02-3.2.1 基本不等式的证明 3.2.2 基本不等式的应用(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的证明与应用，通过题组形式衔接对不等式的理解、比较大小、求最值、证明及实际问题，以基础题导入，逐步过渡到综合应用，构建从概念到实践的学习支架。 其亮点在于结合多地模拟题，以加油、垃圾池造价等实际情境培养数学眼光，通过解题模板和柯西不等式应用发展数学思维，详细解析与模型构建提升数学语言表达。学生能深化知识应用，教师可借助丰富例题与方法总结优化教学。

第3章 不等式 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 3.2　基本不等式 (a,b≥0) 3.2.1　基本不等式的证明　 3.2.2　基本不等式的应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对基本不等式的理解 1.不等式a2+ ≥4中,等号成立的条件是( ) A.a=2　　     B.a=±2 C.a= 　　    D.a=±      D     解析　　该不等式等号成立的条件为a2= ,即a=± . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏苏州大学附属中学期中]已知a,b为实数,则“a>0且b>0”是“ + ≥2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     A     解析　　因为a>0且b>0,所以 >0, >0,所以 + ≥2 =2,当且仅当a=b时取等号,故充分性成立. 取a=b=-1,满足 + ≥2,但不满足a>0且b>0,故必要性不成立. 所以“a>0且b>0”是“ + ≥2”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏盐城五校联考]下列不等式一定成立的有 ( ) A.x+ ≥2　　     B. + ≥2 C.x2+ ≥2 -1　　    D. ≥2     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,当x<0时,x+ <0,故A错误. 对于B,易知 >0,所以 + ≥2 =2,当且仅当x=1时,等号成立,故B正确. 对于C,易知x2≥0,所以x2+ =x2+1+ -1≥2 -1=2 -1,当且仅当x2= -1时,等号成立, 故C正确. 对于D, = + ≥2 =2,当且仅当 = ,即x2=-2时,等号成立(显 然不成立),所以 >2,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用基本不等式比较大小 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026山东滕州第一中学月考]若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2 ,2ab,a2+b2中最小的一个是　      ( ) A.2ab　　    B.2 　　     C.a2+b2　　    D.a+b     A     解析　　因为0<a<1,0<b<1,且a≠b,所以a+b>2 ,a2+b2>2ab. 所以下面只需比较2 与2ab的大小关系即可. 2 -2ab=2 (1- ). 由题意得0<ab<1,所以0< <1,所以2 -2ab>0,即2ab<2 , 所以最小的是2ab. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025重庆铁路中学校月考]甲、乙两名司机的加油习惯有所不同,甲每次加油都说:“师傅,给我加30 0元的油.”乙每次加油都说:“师傅,帮我把油箱加满.”如果甲、乙各加同一种汽油两次,两人第一次 与第二次加油的油价分别相同,但第一次与第二次加油的油价不同,乙每次加满油箱,需加入的油量都 相同,那么就加油两次来说,下列说法正确的是 ( ) A.甲更合算　　     B.乙更合算 C.甲、乙同样合算　　    D.无法判断谁更合算     A     解析　　设两次加油的油价分别为x元/升,y元/升,x≠y,乙每次加a升, 则甲加两次油的平均油价为 = 元/升,乙加两次油的平均油价为 = 元/升. 因为x>0,y>0,x≠y, 所以 (x+y)=2+ + >2+2 =4,即 < ,所以甲更合算. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[教材习题改编]某品牌手机为了打开市场,促进销售,准备对其特定型号的产品降价,有四种降价方案: ①先降价a%,再降价b%;②先降价 %,再降价a%;③先降价 %,再降价 %;④一次性降价(a +b)%,其中a>b>0,则最终降价幅度最小的方案是 ( ) A.①　　    B.②　　    C.③　　    D.④     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设原价为单位1, 对于①,降价后的价格为(1-a%)(1-b%); 对于②,降价后的价格为 (1-a%); 对于③,降价后的价格为 ; 对于④,降价后的价格为1-(a+b)%. (1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%b%>1-(a+b)%. 因为a>b>0, 所以(1-a%)(1-b%)< = . 因为a>b>0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 %> %, 所以1- %<1- %, 所以 (1-a%)< . 综上所述,最终降价幅度最小的方案是③. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用基本不等式求最值 7.[2026江苏南京临江高级中学月考]已知x>0,y>0,xy=4,则x+2y的最小值为 ( ) A.4　　    B.4 　　    C.8　　    D.8      B     解析　　因为x>0,y>0, 所以x+2y≥2 =2 =4 ,当且仅当 即 时,等号成立,所以x+2y的最小值是4 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏苏州大学附属中学月考]若x< ,则3x+1+ 有 ( ) A.最大值0　　    B.最小值9　　     C.最大值-3　　    D.最小值-3     C     解析　　因为x< , 所以3x-2<0, 所以3x+1+ =3x-2+ +3 =- +3 ≤-2 +3=-3,当且仅当-(3x-2)= ,即x=- 时取等号,所以3x+1+ 有最大值-3. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏无锡澄宜六校调研]已知实数a,b>0且a+b=1,则 + 的最小值是 ( ) A. +1　　    B. 　　    C.2 +1　　    D.2      A     解析　　因为a,b>0且a+b=1, 所以 + = + = + +1≥2 +1= +1, 当且仅当 = 且a+b=1,即a=2- ,b= -1时,等号成立, 所以 + 的最小值是 +1. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏徐州树恩中学调研]若1<x<2,则 + 的最小值为 ( ) A.2 　　    B.4　　    C.9　　    D.      C     解析　　因为1<x<2, 所以2-x>0,x-1>0, 所以 + = (2-x+x-1) = + +5 ≥2 +5=9, 当且仅当 = ,即x= 时,等号成立, 所以 + 的最小值为9. 第1讲　描述运动的基本概念 11.已知x>0,y>0,x+4y=xy,则 + 的最小值为 ( ) A.6　　    B.8　　    C.9　　    D.10     D     解析　　由x>0,y>0,x+4y=xy,得 + =1,所以 + =x+y+ + =x+y+1=(x+y)· +1=4+ + + 1+1≥6+2 =10,当且仅当 = 且x+4y=xy,即x=6,y=3时取等号,所以 + 的最小值为10. 解题模板　求含二次分式(分子是二次式,分母是一次式)的函数的最大(小)值时,常将一次式看成一个 整体,将原来函数表达式中的分子按照一次式的形式进行配凑,分离常数,转化为可利用基本不等式求 最大(小)值的形式. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　利用基本不等式证明不等式 12.[2026江苏苏州第十中学校段考](1)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证: + + ≥36; (2)已知a,b,x,y均为正实数,且 + =1,求证:a2+b2≥(x+y)2. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1, 所以 + + =(a+b+c)  =14+ + +  ≥14+2 +2 +2 =36,当且仅当 = , = , = 且a+b+c=1,即a= ,b= ,c= 时,等号 成立,所以 + + ≥36. (2)因为a,b,x,y均为正实数,且 + =1, 所以a2+b2= (a2+b2)=x2+y2+ + ≥x2+y2+2 =x2+y2+2xy=(x+y)2, 当且仅当 x2= y2, 即 = 时,等号成立,所以a2+b2≥(x+y)2. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　证明不等式时,要观察待证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、 右两边的结构特征进行拆项、变形、配凑等,使之满足使用基本不等式的条件. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江西赣州于都中学月考]已知a,b,c>0,且a2+b2+c2=1,证明: (1)(1-a2)(1-b2)(1-c2)≥8a2b2c2; (2)a+b+c≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)因为a2+b2+c2=1,所以(1-a2)(1-b2)(1-c2)=(b2+c2)(a2+c2)·(a2+b2). 因为a,b,c>0,所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立, b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时,等号成立, a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,等号成立, 所以(b2+c2)(a2+c2)(a2+b2)≥8a2b2c2,当且仅当a=b=c时,等号成立. (2)易知(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1+2ab+2bc+2ac. 又2ab+2bc+2ac≤(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)=2(a2+b2+c2)=2,当且仅当a=b=c时,等号成立,所以1+2ab+2bc+2 ac≤3,即(a+b+c)2≤3,当且仅当a=b=c时,等号成立. 所以a+b+c≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组五　利用基本不等式解决实际问题 14.[2026福建九师联盟期中]某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池,垃圾池的容积为50 m3, 为了合理利用地形,要求垃圾池靠墙一面的长为5 m,如果池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米 的造价为180元(不计靠墙一面的造价),设垃圾池的高为x m,墙高5 m,则当垃圾池的总造价最低时,x应为  ( ) A. 　　    B.3　　    C. 　　    D.4     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设无盖长方体垃圾池的总造价为z元. 因为无盖长方体垃圾池的容积为50 m3,长为5 m,高为x m, 所以宽为  m,0<x≤5, 所以z=180 +200×  =100 +3 600 ≥100×2 +3 600=9 600, 当且仅当9x= ,即x= 时取等号,所以当垃圾池的高为  m时,垃圾池的总造价最低. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025江苏南通期末]用总长为20 m的篱笆围成一块矩形菜地,其中一边空出2 m的缺口作为进出通 道.要使菜地的面积最大,则有缺口的一边的篱笆的长为 ( ) A.2 m　　    B.3 m　　    C.3.5 m　　    D.5.5 m     C     解析　　设有缺口的一边的篱笆的长为x m,其邻边长为y m,菜地的面积为S m2,则2x+2y+2=20,即x+y=9. 易得S=(x+2)·y≤ =30.25,当且仅当x+2=y=5.5,即x=3.5时,S取得最大值30.25,所以当有缺口的一 边的篱笆长为3.5 m时,菜地的面积最大. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[教材习题改编]某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万 元,一年的总存储费用数值等于每次的购买吨数数值,则每次购买该种货物的吨数是______时,一年的总 运费与总存储费用(单位:万元)之和最小.     20 解析　设每次购买该种货物的吨数为x,则共买了 次,所以一年的总运费与总存储费用之和为2×  +x= +x. 易知 +x≥2 =40,当且仅当 =x,即x=20时,等号成立,所以每次购买该种货物的吨数为20时, 一年的总运费与总存储费用(单位:万元)之和最小. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026江苏南京金陵中学月考]某动力电池生产企业为提高产能,计划投入6 300万元购买一批智能机 器人,使用该批智能机器人后的前x(x∈N*)年,设备维护成本共(700x2-300x)万元,每年电池销售收入为6 7 00万元,设使用该批智能机器人后,前x年的总盈利额为y万元. (1)写出y关于x的函数关系式,并指出x的取值范围; (2)使用若干年后,对该批智能机器人的处理方案有两种: 方案一:当总盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以2 000万元的价格处理; 方案二:当年平均盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以4 800万元的价格处理. 问:哪种方案更合理?请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得y=6 700x-(700x2-300x)-6 300=-700(x2-10x+9)(x∈N*). (2)方案一:由(1)得y=-700(x2-10x+9)=-700(x-5)2+11 200, 所以当x=5时,ymax=11 200, 所以若此时处理掉智能机器人,总盈利额为11 200+2 000=13 200万元. 方案二:年平均盈利额 =-700 +7 000≤-1 400 +7 000=2 800(万元), 当且仅当x=3时,年平均盈利额最大, 所以若此时处理掉智能机器人,总盈利额为2 800×3+4 800=13 200万元. 因为两方案的总盈利额都是13 200万元,但方案二用时更短,所以方案二更合理. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 3.2　基本不等式 (a,b≥0) 3.2.1　基本不等式的证明　 3.2.2　基本不等式的应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　利用基本不等式比较大小 1.[2026安徽桐城中学质量检测]已知实数a,b,c满足c-b=a+ -2,c+b=2a2+2a+ ,且a>0,则a,b,c的大小关系 是 ( ) A.b>c>a　　    B.c>b>a C.a>c>b　　    D.c>a>b     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为a>0,所以c-b=a+ -2≥2 -2=2 -2>0,故c>b. c+b=2a2+2a+ ,c-b=a+ -2, 两式相减得,2b=2a2+2a+ -a- +2=2a2+a+2,所以b=a2+ a+1, 所以b-a=a2- a+1= + >0,故b>a. 所以c>b>a. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江苏昆山震川高级中学月考]已知长为a,宽为b的矩形,如果该矩形的面积与边长为k1的 正方形的面积相等,周长与边长为k2的正方形的周长相等,对角线与边长为k3的正方形的对角线相等,面 积和周长的比值与边长为k4的正方形的面积和周长的比值相等,那么关于k1,k2,k3,k4的大小关系说法正确 的有( ) A.k1≤k4　　    B.k1≤k2 C.k4≤k1≤k3　　    D.k4≤k1≤k2≤k3     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得a,b>0,ab= ①,a+b=2k2②, = k3③, = ④. 由基本不等式知,a+b≥2 ,当且仅当a=b时,等号成立,所以2k2≥2k1,所以k2≥k1. 因为(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2), 所以a2+b2≥ ,当且仅当a=b时,等号成立,所以由②③得2 ≥ ,所以k3≥k2. 易知 ≤ = ,当且仅当a=b时,等号成立, 所以由①④得 ≤ ,所以k4≤k1. 综上,k4≤k1≤k2≤k3. 故A错误,B,C,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用基本不等式求最值(范围) 3.[2025江苏南京第二十九中学月考]已知a>0,b>0,c>0,且a+3b-c≥0,则 + 的最小值为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为a+3b-c≥0,所以c≤a+3b, 所以 + ≥ + = + = + . 令 =t,则 + =t+ ,t>0. 易得t+ = (9t+1)+ - ≥2 - = ,当且仅当 (9t+1)= ,即t= 时,等号成立,所以  + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026江苏常州金坛第一中学调研]已知a,b为正实数,a+b=4,则下列结论正确的是 ( ) A. 的最小值为1　　     B. -b的最小值为-4 C. 的最小值为2  D. + 的最小值为      ACD 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,因为a>0,b>0,所以ab≤ =4,当且仅当a=b=2时取等号,所以 ≥1,故 的最小值 为1,故A正确. 对于B,由a+b=4得a=4-b,所以0<b<4, -b= -b= +(6-b)-6≥2 -6=-4,当且仅当 =6 -b,即b=5时取等号,与0<b<4矛盾,所以 -b>-4,故B错误. 对于C,由基本不等式链知 ≥ ,所以 ≥ × =2 ,当且仅当a=b=2时取等号,所以  的最小值为2 ,故C正确. 对于D, + = · + = + + ≥ +2 = ,当且仅当 = 且a+b=4,即b=2a= 时取等号,所以  + 的最小值为 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　对于C,利用柯西不等式得 = × ≥ ×(a+b)=2 ,当且仅当a=b=2 时取等号,所以 的最小值为2 ,故C正确. 知识拓展　柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R),当且仅当ad=bc时等号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026江苏扬州高邮调研]已知a,b为正实数,且ab+a+2b=6,则下列结论正确的是( ) A. + 的最小值为1 B.a+2b的最小值为4 C.ab的最大值为4 D.b+ 的最小值为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,由ab+a+2b=6得(a+2)·(b+1)=8, 所以 + ≥2 =1, 当且仅当a=2,b=1时取等号, 所以 + 的最小值为1,故A正确. 对于B,a+2b=a+2+2(b+1)-4≥2 -4=4,当且仅当a=2,b=1时取等号,所以a+2b的最小值为4,故 B正确. 对于C,由ab+a+2b=6,得b= 且6-a>0,所以0<a<6. ab= = =-(a+2)- +10≤-2 +10=2,当且仅当a=2时取等号, 所以ab的最大值为2,故C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,由(a+2)(b+1)=8,得b+1= 且a<6,所以8-a>0, 所以b+ = + -1 =  (a+2+8-a)-1 =  -1 ≥  -1 = ,当且仅当a= 时取等号,故D正确. 方法总结　求含有条件的关于两个变量的式子的最大(小)值,可先利用条件消去一个变量,转化为基本 不等式求最值,要注意消元时变量取值范围的转化. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏南京师范大学附中扬子中学调研]已知x,y为正实数,若不等式m≥ + 恒成立,则实 数m的取值范围为___________. 解析　设a=4x+y,b=x+y,则x= ,y= , 所以 + = + = -  ≤ - ×2 = - = ,当且仅当 = ,即a=2b 时,等号成立. 因为不等式m≥ + 恒成立,所以m≥ ,故实数m的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三    利用基本不等式证明不等式 7.[2026江苏苏州第三中学校月考]已知a>0,b>0,c>0. (1)证明:a2+b2+2c2+ ≥4; (2)若a+b+c=3,证明: + + ≥3. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)因为a>0,b>0,c>0, 所以a2+b2+2c2+  =(a2+c2)+(b2+c2)+  ≥2ac+2bc+  ≥2 =4, 当且仅当 即a=b=c= 时取等号, 所以a2+b2+2c2+ ≥4. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)因为a>0,b>0,c>0, 所以 + ≥2 =2c,当且仅当a=b时,等号成立,  + ≥2 =2a,当且仅当b=c时,等号成立,  + ≥2 =2b,当且仅当a=c时,等号成立, 上式相加,得2 ≥2(a+b+c),即 + + ≥3,当且仅当a=b=c=1时,等号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025陕西西安西北工业大学附属中学检测]已知x,y,z∈(0,+∞). (1)若x+y=1,证明: + ≤ ; (2)若x+y+z=1,证明: + + >1+ -z. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)因为x,y∈(0,+∞), 所以x+y≥2 ,当且仅当x=y时取等号,所以x+y+x+y≥2 +x+y, 即2(x+y)≥ , 又x+y=1,所以 + ≤ . 同理,由 + ≥2 得2( + )≥ , 所以 + ≤ ≤ = ,当且仅当x=y= 时取等号. (2)因为x,y,z∈(0,+∞),所以 + ≥2 , + ≥2 , + ≥2 ,当且仅当x=y=z时,等号同时成 立. 累加,得 + + + + + ≥2 +2 +2 ,所以 + + ≥ + + . 因为x,y,z∈(0,+∞),且x+y+z=1, 第1讲　描述运动的基本概念 所以0<x<1,0<y<1,所以 >x, >y, 所以 + + ≥ + + >x+y+ =1+ -z. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　利用基本不等式解决实际问题 创新题型 创新点　基本不等式与“杠杆原理”的融合 9.[2026浙江临海检测]一家黄金专卖店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长的比 值为λ(λ≠1),一位顾客到店里购买10克黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在 天平右盘中使天平平衡;再将5 g砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡, 最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于10 g,等于10 g,还是大于10 g,为什么? (2)如果售货员又将10 g的砝码放在天平左盘中,然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,请问要 使得三次黄金质量总和最小,商家应该将左臂长和右臂长的比值λ设置为多少?请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设天平左臂长为m,右臂长为n,第一次放的黄金为x g,第二次放的黄金为y g, 则5m=xn(杠杆原理),my=5n, 得x= ,y= , 所以x+y= + ≥2 =10,当且仅当 = ,即m=n时取等号, 又m≠n,所以x+y>10,因此顾客购得的黄金大于10 g. (2)设第三次放的黄金为z g, 则10m=zn,代入 = ,可得2x=z, 故三次黄金质量总和为x+y+z=3x+y≥2 =10 ,当且仅当3x=y,即x= ,y=5 时取等号,此时λ= =  = ,因此当λ= 时,三次黄金质量总和最小. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏南京东南实验学校期中]已知县城A和B相距20 km,现计划在县城外以AB为直径的半圆弧 AB(不含A,B两点)上选择一点C建造垃圾处理站,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关.垃圾 处理站对县城A的影响度与所选地点到县城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对县城B的影响度与 所选地点到县城B的距离的平方成反比,比例系数为K,对县城A和县城B的总影响度为对县城A和县城B 的影响度之和,记C点到县城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理站对县城A和县城B的总影响度为y.统 计调查表明,当垃圾处理站建在 的中点时,对县城A和县城B的总影响度为0.065. (1)将y表示成关于x的函数; (2)判断 上是否存在一点,使得建在此处的垃圾处理站对县城A和县城B的总影响度最小.若存在,求出 该点到县城A的距离;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为AB为直径,所以AC⊥BC,所以BC2=AB2-AC2=400-x2. 由题意得y= + (0<x<20). 因为当垃圾处理站建在 的中点时,对县城A和县城B的总影响度为0.065, 所以0.065= + , 解得K=9, 所以y= + (0<x<20). (2)y= + =  = . 令t=x2+320,则t∈(320,720), 第1讲　描述运动的基本概念 y=  = . 易得t+ ≥2 =960,当且仅当t= ,即t=480时,等号成立, 所以y≥ = ,当且仅当x=4 时,等号成立. 所以 上存在一点,使得建在此处的垃圾处理站对县城A和县城B的总影响度最小,且该点到县城A的 距离为4  km. 第1讲　描述运动的基本概念 $