专题06 不等式的基本性质（四大题型+优选题，45题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题06 不等式的基本性质（四大题型+优选题，45题） 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（23-24高一上·江苏无锡·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）如果，，那么下面一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏苏州·期中）（多选）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．， B．，则 C．，则 D．若 R，则+ |2ab| 5．（23-24高一上·江苏淮安·期中）（多选）已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）已知，若，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）若为实数，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）若，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏常州·期中）（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 由不等式的性质比较数（式）大小 11．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏·期中）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．（22-23高一上·江苏徐州·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 15．（23-24高一上·江苏泰州·期中）（多选）已知，那么下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 作差法比较代数式的大小 17．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知、、是正数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设，，为实数，且，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高一上·江苏盐城·期中）设，，，则P，Q，R的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 21．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 22．（23-24高一上·江苏无锡·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 23．（23-24高一上·江苏无锡·期中）（多选）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. 则（    ） A．当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少应该为22m2 B．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 C．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差 D．若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中，公寓采光效果不变 24．（23-24高一上·江苏苏州·期中）（多选）设为正数，且，下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·江苏南通·期中）（多选）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 利用不等式求值或取值范围 26．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若实数满足：，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（多选）不等式组：的解集记为，有下面四个命题：           其中真命题是（    ） A． B． C． D． 28．（22-23高一上·江苏淮安·期中）若，则的取值范围为 . 29．（22-23高一上·江苏盐城·期中）已知，，则的取值范围是 30．（22-23高一上·江苏苏州·期中）若，则的取值范围是 ． 31．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，，则的取值范围是 ． 32．（23-24高一上·江苏无锡·期中）设实数满足：，则的最大值是 33．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 一、单选题 34．（22-23高一上·江苏连云港·期中）若a，b，c∈R，c>0>a>b，下列不等式一定成立的是（　　　） A．ab2>a2b B．ac < bc C． D．a2>b2 35．（22-23高一上·江苏泰州·期中）下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 36．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）若且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·江苏南京·期中）设，，，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 38．（22-23高一上·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 二、多选题 39．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 40．（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，，则 41．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列说法正确的是（   ） A．至少有一个实数，使 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定是假命题 D．“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 42．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，若，且，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 三、解答题 44．（23-24高一上·江苏徐州·期中）对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”. (1)点是点的“下位点”吗?请简单说明理由; (2)若点是点的“下位点”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件:对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位点”，且是的“下位点”，求正整数的最小值. 45．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（1）已知，求证：是的充要条件. （2）已知，，，求证： 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 不等式的基本性质（四大题型+优选题，45题） 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（23-24高一上·江苏无锡·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】举出反例检验选项A，B，D，结合不等式性质检验选项C即可． 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误； 故选：C 2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）如果，，那么下面一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】解：对A，令，，，，满足， ，，即，故A错误； 对B，因为，，所以，，由不等式得性质可得：，故B错误； 对C，因为，且，所以，故C错误； 对D，因为，且，由不等式的性质得：，即，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高一上·江苏苏州·期中）（多选）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质，各个选项依次判断即可. 【详解】因为，所以，，即A正确，B错误； 由，不等式两边同乘以b得,所以C正确； 由，所以D错误. 故选：AC 4．（23-24高一上·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．， B．，则 C．，则 D．若 R，则+ |2ab| 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质判断各选项． 【详解】选项A，，又， ∴，∴，A正确； 选项B，，又，∴，B错； 时，， ∴ 所以，C正确； ，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：ACD． 5．（23-24高一上·江苏淮安·期中）（多选）已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，由得，，则，故A正确； 对于B，由及得，，故B错误； 对于C，由得，，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 所以，即， 因为， 所以，故D正确； 故选：ACD． 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）已知，若，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】依题意可得且，再根据不等式的性质判断即可. 【详解】因为，，， 所以且，则，故A、C正确； 所以，所以，故D正确； 当，时满足且，但是，故B错误； 故选：ACD 7．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）若为实数，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质可判断A，B，D；举反例判断C，即得答案. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则，故，B正确； 对于C，取，满足，则，C错误； 对于D，若，则，故，D错误， 故选：ACD 8．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据已知条件结合不等式性质判断各个选项即可 【详解】A选项：∵，且， ∴，可得，即，A正确； B选项，，B错误； C选项，即，，由可得，C正确； D选项，因为当，所以，D错误. 故选：AC. 9．（23-24高一上·江苏常州·期中）（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质，逐个进行判断即可. 【详解】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确； 对于B，令，则，， 显然，因此B错误； 对于C，由，又，， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又，， 即，，即，， 又， ，即，因此D正确； 故选：ACD. 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【分析】举出反例可得A；利用不等式的性质计算可得B、C；由可得，利用作差法即可分析出. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：由，则，，即，故B正确； 对C：由，则，又，则，故C正确； 对D：由，则，因为，则，故，故D正确. 故选：BCD. 由不等式的性质比较数（式）大小 11．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判定即可. 【详解】A.，但，故“”是“”的不必要条件，故A错； B.，所以“”是“”的充分条件，B错； C.，所以“”是“”的充分条件，C错； D. 推不出，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D. 12．（23-24高一上·江苏·期中）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，即可逐一判断各选项. 【详解】对于，因为，且，所以，即成立，故不符合题意； 对于，因为，所以，所以， 因为，所以，即，故符合题意； 对于，因为，所以，所以，故不符合题意； 对于，因为，所以，所以, 因为，所以，故不符合题意. 故选：. 13．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质比较大小即可. 【详解】由可得，所以. 故选：A 14．（22-23高一上·江苏徐州·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】特殊值法判断A、B、C，由不等式性质判断D. 【详解】A：时，，错； B：时，，错； C：当时，，错； D：，则，故，对. 故选：D 15．（23-24高一上·江苏泰州·期中）（多选）已知，那么下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的运算性质、特殊值法分析运算判断即可得解. 【详解】选项A，∵， ∴，， ∴，故A正确； 选项B，取，，满足， 但，故B错误； 选项C，∵，∴. 又∵，由成立，则 ∴，则有，∴，故C正确； 选项D，∵，∴， ∴，故D正确； 故选：ACD. 16．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质知AB正确，举反例，，得到C错误，根据不等式性质证明D正确，得到答案. 【详解】若，则，A正确； 若，，即，则，B正确； 取，，满足若，，则，C错误； 若，，则，即，，故，D正确. 故选：ABD 作差法比较代数式的大小 17．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知、、是正数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法得出的等价条件，即可得出结论. 【详解】由， 因为、、是正数，则， 可得等价于，等价于， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 18．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设，，为实数，且，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法判断A，利用特殊值判断B，根据不等式的性质判断C、D. 【详解】对于A：， 因为，，所以，，所以， 即，故A正确； 对于B：当、、时，故B错误； 对于C：因为，，所以，所以，故C错误； 对于D：因为，，所以，所以，所以，故D错误； 故选：A 19．（22-23高一上·江苏盐城·期中）设，，，则P，Q，R的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对作差可求出，再对作差可求出，即可得出答案. 【详解】解：， ， ， 而，， 而， ，即， 综上，. 故选：B. 20．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】取，，可判断A；当，可得，由，利用不等式的基本性质可判断B；当时，利用不等式的基本性质可判断C；利用作差法可判断D. 【详解】对于选项A：若，，时， 即不成立，故A错误； 对于选项B：因为， 当，时，，故，即，故B错误； 对于选项C：因为， 当时，，故； 又因为， 当时，，故 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 若，则， 可得，即，故D正确； 故选：CD. 21．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，因为，则，， 所以，即，故A正确； 对于B，由，假设，有，又，所以，故B错误； 对于C，由，可知，，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 22．（23-24高一上·江苏无锡·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】特值法判断A；根据不等式的性质分析判断B、D；根据作差法分析判断C． 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：若，可知，则，故B正确； 对C：作差得：， ∵，则， ∴，则，故C正确； 对D，∵，∴，又，则，故D正确． 故选：BCD． 23．（23-24高一上·江苏无锡·期中）（多选）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. 则（    ） A．当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少应该为22m2 B．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 C．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差 D．若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中，公寓采光效果不变 【答案】BD 【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D. 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意有，解得， 所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即, 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，故B正确； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为c，同时地板增加的面积为， 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 且， 若即；若即； 若即，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故C错误； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为， 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故D正确. 故选：BD. 24．（23-24高一上·江苏苏州·期中）（多选）设为正数，且，下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由不等式的性质结合特例法、作差法比较大小进行判断即可. 【详解】对于A，因为为正数，且，所以，两边同乘，得，正确； 对于B，，因为，所以，， 所以，所以，正确； 对于C，令，，则，，则， 不满足，错误； 对于D，，因为，所以，，，所以，正确. 故选：ABD 25．（23-24高一上·江苏南通·期中）（多选）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案. 【详解】A选项，若，则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项正确. C选项，若，， 则，， 则，所以C选项正确. D选项，若，， 所以，所以D选项正确. 故选：BCD 利用不等式求值或取值范围 26．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若实数满足：，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式性质求解即得. 【详解】由，得，由，得，而， 因此，所以的取值范围为. 故选：B 27．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（多选）不等式组：的解集记为，有下面四个命题：           其中真命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题设中的不等式组求出的范围后可得正确的选项. 【详解】对于A，设，则， 故，故， 故成立，成立，不成立，成立 故选：ABD. 28．（22-23高一上·江苏淮安·期中）若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质逐步计算即可. 【详解】因为，所以，则， 又因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为：. 29．（22-23高一上·江苏盐城·期中）已知，，则的取值范围是 【答案】 【分析】由不等式的性质求解即可 【详解】，， ， 即的取值范围是 故答案为： 30．（22-23高一上·江苏苏州·期中）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接利用不等式的性质计算即可. 【详解】，①， 又，②， ①+②可得 即的取值范围是 故答案为： 31．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 32．（23-24高一上·江苏无锡·期中）设实数满足：，则的最大值是 【答案】22 【分析】首先通过待定系数将表示为，然后根据已知条件求出的范围，根据不等式的性质同向不等式相加即可得解. 【详解】由题意不妨设， 则，解得， 所以， 注意到， 所以，， 所以当且仅当即时，取得最大值22， 综上所述：的最大值是22. 故答案为：22. 33．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 【答案】（1）；（2）证明详见解析 【分析】（1）根据不等式的性质求得正确答案. （2）通过差比较法证得两者的大小关系. 【详解】（1）依题意，则， 所以，所以的取值范围是. （2），， ，， 即. 一、单选题 34．（22-23高一上·江苏连云港·期中）若a，b，c∈R，c>0>a>b，下列不等式一定成立的是（　　　） A．ab2>a2b B．ac < bc C． D．a2>b2 【答案】C 【分析】根据题干条件，作差法依次判断即可. 【详解】选项A，由于，故，即，错误； 选项B，由于，故，即，即，错误； 选项C，由于，故，故，即，正确； 选项D，由于，故，故，即，错误. 故选：C 35．（22-23高一上·江苏泰州·期中）下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A和B需考虑代数的正负号问题，进而判断不等式是否一定成立；对于C根据已知条件判断是否同号即可；对于D，需考虑为小数或者负数情况. 【详解】，若，则，故A不一定成立； ，若，则，故B不一定成立； 由可知同号，因此，故C一定成立； 令，，，，，故D不一定成立. 故选：C 36．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）若且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，通过举特例结合作差法比较大小即可判断各个选项正误. 【详解】对于A，当时，，，显然A错误； 对于B，∵且，∴，， ∴， ∴，即B正确； 对于C：当，时，，，显然C错误； 对于D：当时，，，显然D错误； 故选：B. 37．（23-24高一上·江苏南京·期中）设，，，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对作差可求出，再对作差可求出，即可得出答案. 【详解】解：， 因为，， 而，所以，所以， ， 而，，， 而，所以， 综上，. 故选：D. 38．（22-23高一上·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于A，举一个反例即可；对于B，先由得，再由得；对于C，举一个反例即可；对于D，作差，根据差值的正负即可判断. 【详解】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，，则不一定成立， 如当，时，，此时，故C错误； 对于D， ， 因为，，所以， 所以，故，故D正确. 故选：D. 二、多选题 39．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，则，故D错误. 故选：BC. 40．（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】CD 【分析】举反例排除AB，利用作差法计算C正确，确定，计算范围得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：取，满足，，错误； 对选项B：取，满足且，，错误； 对选项C：，故，故，正确； 对选项D：，故，， ，故，正确； 故选：CD 41．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列说法正确的是（   ） A．至少有一个实数，使 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定是假命题 D．“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】由在实数范围内，可得A错误；举反例可得必要性不成立，可得B正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C错误；由集合中只有一个元素可得或，再由必要性可得D正确； 【详解】对于A，在实数范围内，，，故A错误； 对于B，若，则，充分性成立， 若，如，此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题“”的否定是， 由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C错误； 对于D，若集合中只有一个元素， 当时，；当时，可得， 所以必要性成立，故D正确； 故选：BD. 42．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用作差法判断AC，由不等式的性质判断BD. 【详解】对于A，，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，结合，作差可得，所以，即C正确； 对于D，由已知得，由不等式性质可得，可得D错误. 故选：BC 43．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，若，且，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据已知可得，再由不等式的性质可判断A；取特殊值可判断B；利用做差法可判断CD. 【详解】对于A，因为，，所以，所以，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为， 所以， 故，故C正确； 对于D，由A选项知，又，所以 ，所以，故D错误. 故选：AC. 三、解答题 44．（23-24高一上·江苏徐州·期中）对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”. (1)点是点的“下位点”吗?请简单说明理由; (2)若点是点的“下位点”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件:对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位点”，且是的“下位点”，求正整数的最小值. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用定义即可判断点是点的“下位点”； （2）易知，利用作差法即可知； （3）根据都为整数，由定义可知需满足和，解不等式即可得，再利用恒成立问题即可得正整数的最小值为. 【详解】（1）根据定义，易知， 是的“下位点” （2）是的“下位点” 易知和都是第一象限内的点，可知，，，均为正数, 故，即 同理可得，即； 综上所述：； （3）由已知得， 因为为整数， 故， 解得， 该式对集合内的每一个的每个正整数都成立， 所以正整数的最小值为. 45．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（1）已知，求证：是的充要条件. （2）已知，，，求证： 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）证明充要条件，可先证明充分性再证必要性； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）证明：∵ ∴. 充分性证明即. ∵，即， ∴， 充分性得证； 必要性证明即. 又∵ ∴， ∵， ∴， ∴，即， 必要性得证. 故是的充要条件. （2）证明：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即 故. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$