专题05 直线与圆的位置关系（八大题型，50题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题05 直线与圆的位置关系（八大题型，50题） 判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·江苏南京·期中）直线与圆的位置关系是(    ) A．相交但直线不过圆心 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆心 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 3．（23-24高二上·江苏南通·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．三种关系均存在 4．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 5．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与圆. (1)试判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)若直线与圆交于两点，分别过的圆的切线相互垂直，求的值. 由直线与圆的位置关系求参数 6．（22-23高二上·江苏镇江·期中）过点引直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（    ） A． B． C．±1 D． 7．（23-24高二上·江苏徐州·期中）圆心为，且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏常州·期中）若存在实数使得直线与圆无公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏常州·期中）（多选）已知点为圆上一点，点在圆外，若满足的点有且只有4个，则圆的半径可以取（    ） A． B． C．2 D． 10．（23-24高二上·江苏·期中）已知直线l经过，且与圆相交于A、B两点． (1)若，求直线l的斜率； (2)若，求的取值范围． 过圆上一点的圆的切线方程 11．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 12．（22-23高二上·江苏苏州·期中）（多选）下述四个结论,正确的是（    ） A．过点在轴,轴上截距都相等的直线方程为 B．直线与圆相交的充分不必要条件是 C．直线表示过点的所有直线 D．过点与圆相切的直线方程为 13．（23-24高二上·江苏盐城·期中）圆在点处切线的一般式方程为 ． 14．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 15．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆心为的圆与直线：相切于点，则圆的方程为 . 过圆外一点的圆的切线方程 16．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（23-24高二上·江苏扬州·期中）求过点且与圆相切的直线方程为 . 18．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． (1)求实数的值； (2)当时，求过点并与圆相切的直线方程． 19．（23-24高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P． (1)若直线l与直线平行，求直线l的方程； (2)若直线l与圆相切，求直线l的方程． 20．（22-23高二下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，． (1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围． 圆的弦长与中点弦 21．（23-24高二上·江苏淮安·期中）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知圆，直线，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（　 　） A．10 B．4 C．5 D．2 23．（23-24高二上·江苏泰州·期中）（多选）已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线被圆截得的弦长为 . 25．（23-24高二上·江苏常州·期中）有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A、B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA､OB，其中小路的宽度忽略不计. (1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度； (2)过再做一条与垂直的笔直小路交草坪圆周于两点，求四点构成的四边形面积的最大值. 26．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知圆C：和定点，直线l：（）. (1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长； (2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 已知圆的弦长求方程或者参数 27．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆：，过点的直线被圆截得的弦长为4，则直线的方程为 28．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知过点的圆的圆心在直线上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线的斜率. 29．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点 (1)求圆的方程； (2)已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 30．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线与轴交于（其中点在点的右边），与轴交于点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆的另一个交点为，若，求直线的方程. 31．（23-24高二上·江苏徐州·期中）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 32．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心在上，且圆C与x轴相切，直线，． (1)若直线与圆C相切，求a的值； (2)若直线与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为，且，求圆C的方程． 33．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知圆，圆 (1)若圆、相切，求实数的值； (2)若圆与直线相交于、两点，且，求的值. 34．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点． (1)求外接圆的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 直线与圆中的定点定值问题 35．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且， ①证明：直线过定点，并求出点的坐标； ②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 37．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是. (1)求曲线C的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且， ①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标； ②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值. 38．（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知点，关于原点对称，点在直线上，，过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为． (1)求的半径； (2)若，已知点，点，在上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为，，是垂足，问：是否存在一定点，使得为定值． 39．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知圆，直线. (1)若直线与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，，当为锐角时，求的取值范围； (3)若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点. 40．（22-23高二上·江苏泰州·期中）长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并说明其形状； (2)过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值． 直线与圆的位置关系求距离的最值 41．（23-24高二上·江苏南京·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，满足且，，若的“欧拉线”与圆：（）相切，则下列结论正确的是（    ） A．圆上点到直线的最小距离为 B．圆上点到直线的最大距离为 C．点在圆上，当最小时， D．点在圆上，当最大时， 42．（23-24高二上·江苏常州·期中）设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，，是直线：上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，，使得，则线段长度的最大值为（    ） A．8 B． C． D．10 44．（22-23高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知点P在圆上，点，，，则（    ） A． B．当面积最大时， C．当最小时， D．当最大时， 45．（22-23高二上·江苏盐城·期中）（多选）若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 46．（22-23高二上·江苏常州·期末）（多选）点在圆上，点，点，则下列结论正确的是（    ） A．过点可以作出圆的两条切线 B．点到直线距离的最大值为 C．圆关于直线对称的圆的方程为 D．当最大时， 47．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 48．（22-23高二上·江苏无锡·期中）已知点是圆上的动点，点是直线上的动点，记，则的最小值是 ． 49．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 50．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线分别与轴、轴相交于两点，圆． (1)已知直线与直线垂直，且与圆相切，求直线的方程； (2)若点是圆上的一个动点，求的面积的取值范围． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直线与圆的位置关系（八大题型，50题） 判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·江苏南京·期中）直线与圆的位置关系是(    ) A．相交但直线不过圆心 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆心 【答案】A 【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离，和圆的半径比较即可得到此圆与直线的位置关系． 【详解】由圆的方程得到圆心坐标为，半径，直线为， ∴到直线的距离， ∴圆与直线的位置关系为相交， 又圆心不在直线上， 故选：A． 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据点与圆，直线与圆位置关系计算即可判断. 【详解】因为点在圆内， 所以， 设圆心到直线的距离为, 则， 圆的半径, 因为，所以直线与圆的位置关系为相离. 故选：. 3．（23-24高二上·江苏南通·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．三种关系均存在 【答案】A 【分析】根据直线方程得到直线恒过定点，然后根据点在圆内得到直线与圆相交. 【详解】直线可整理为， 令，解得，所以直线恒过定点， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆相交. 故选：A. 4．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径进行比较，从而求解. 【详解】由点在圆外，得：， 圆心到直线的距离：， 所以得：直线与圆相交，故A项正确. 故选：A 5．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与圆. (1)试判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)若直线与圆交于两点，分别过的圆的切线相互垂直，求的值. 【答案】(1)直线与圆相交，理由见解析 (2) 【分析】（1）由直线过圆内一定点，则直线与圆相交； （2）由直线与圆切的几何性质，得四边形为正方形，转化为圆心到直线的距离为，从而建立关于参数的方程求解即可. 【详解】（1）直线与圆相交，理由如下： 直线可化为：， 由此可知恒过定点， 由，知点恒在圆内， 所以，直线与圆相交. （2）设分别过的圆的切线交点为，且切线相互垂直， 所以，，， 所以四边形为正方形， 则点到直线的距离为， 则有， 解得：.    由直线与圆的位置关系求参数 6．（22-23高二上·江苏镇江·期中）过点引直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（    ） A． B． C．±1 D． 【答案】D 【分析】当直线的斜率不存在时，直线即为轴，此时三点共线，不符合题意；当直线的斜率存在时，设方程为，由可知当时面积取最大值可得答案. 【详解】的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线点可得直线即为轴，此时三点共线， 不符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为， ， 所以当即时面积取最大， 即为等腰直角三角形，可得到的距离为， 即圆心到直线的距离为， 解得. 故选：D. 7．（23-24高二上·江苏徐州·期中）圆心为，且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆与直线相切可求得r的值，进而可求得圆的方程. 【详解】由题意知，， 所以所求圆的方程为. 故选：B. 8．（23-24高二上·江苏常州·期中）若存在实数使得直线与圆无公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据直线和圆的位置关系求得正确答案. 【分析】圆，即， 由，解得或， 直线，即， 所以直线过，要使直线和圆没有公共点， 则点在圆外，即， 综上所述，的取值范围是. 故选：D 9．（23-24高二上·江苏常州·期中）（多选）已知点为圆上一点，点在圆外，若满足的点有且只有4个，则圆的半径可以取（    ） A． B． C．2 D． 【答案】BC 【分析】由点在圆外，求得，再求出为切线时，从而求得结果. 【详解】   由题意得解得， 如图所示，此时，且， 此时满足的点有个， 此时，故，解得， 故要满足的点有且仅有个，需要， 故选：BC 10．（23-24高二上·江苏·期中）已知直线l经过，且与圆相交于A、B两点． (1)若，求直线l的斜率； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或1 (2)． 【分析】（1）利用图形的几何性质及点到直线的距离公式计算即可； （2）利于圆的几何性质及弦长公式计算即可. 【详解】（1）由题意易知圆心，半径，易知直线l存在斜率，设其方程为：， 若，则为等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为或； （2） 同上，设l方程为：，圆心到l的距离为， 则易知， ， 而， 易知， 所以. 过圆上一点的圆的切线方程 11．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程， 易知圆心，半径，所以到的距离为， 解之得，即切线. 故选：A 12．（22-23高二上·江苏苏州·期中）（多选）下述四个结论,正确的是（    ） A．过点在轴,轴上截距都相等的直线方程为 B．直线与圆相交的充分不必要条件是 C．直线表示过点的所有直线 D．过点与圆相切的直线方程为 【答案】BD 【分析】对于A,没有考虑截距均为0的情况,排除A;对于B,根据圆心到直线的距离与半径的大小比较进行求解即可;对于C,利用反例即可排除;对于D,设出过直线方程,再根据圆心到直线的距离等于半径即可求出结果. 【详解】对于A,没有考虑截距均为0的情况,排除A; 对于B,若直线与圆相交, 则,解得, 是直线与圆相交的充分不必要条件,故B正确. 对于C,点在轴上,但无论取何值,不能表示轴,故C不正确. 对于D,设过的直线方程为,即, ,即, 解得, 过的直线方程为,故D正确. 故选:BD. 13．（23-24高二上·江苏盐城·期中）圆在点处切线的一般式方程为 ． 【答案】2 【分析】由切线与过切点的半径垂直求得切线斜率后可得切线方程． 【详解】圆心坐标为，圆心与切点连线斜率为，所以切线的斜率为2， 切线方程为，即． 故答案为：． 14．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线的斜率，利用点斜式即可得解. 【详解】因为点在圆上，又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 15．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆心为的圆与直线：相切于点，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆心为的圆与直线：相切于点，由求得a即可. 【详解】解：因为圆心为的圆与直线：相切于点， 所以，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 故答案为： 过圆外一点的圆的切线方程 16．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断与圆的位置关系，然后可判断出切线条数. 【详解】因为圆心为，半径， 所以到的距离为， 所以在圆外， 过圆外一点作圆的切线有条， 故选：B. 17．（23-24高二上·江苏扬州·期中）求过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】首先判断直线的斜率存在，设设斜率为，则切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，显然不符合题意， 当直线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 故答案为：或 18．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． (1)求实数的值； (2)当时，求过点并与圆相切的直线方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于的方程即可求解出结果； （2）分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解. 【详解】（1）因为圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 所以，所以， 所以或. （2）因为，所以， 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到的距离为，所以与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 所以，所以直线方程为， 所以过点并与圆相切的直线方程为或. 19．（23-24高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P． (1)若直线l与直线平行，求直线l的方程； (2)若直线l与圆相切，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求交点，再结合两直线平行则斜率相等求出直线； （2）应用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离等于半径即可求. 【详解】（1）由，解得，则交点为， 直线l与直线平行，则设直线l的斜率为： 由点斜式得直线l的方程为：，即 （2）当斜率不存在时，，此时满足题意； 当斜率存在时，设直线l的方程为：，即， 由圆，即，圆心为，半径为1， 直线l与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得， 则直线l的方程为：或. 20．（22-23高二下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，． (1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解； （2）要使得，则M在线段的中垂线上，从而可得线段的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案. 【详解】（1）当时，圆C的方程为， 圆心，半径， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 由直线l与圆C相切，则，解得， 所以l的方程为，即， 综上得，直线l的方程为或； （2）圆心，， 则线段的中垂线的方程为，即， 要使得，则M在线段的中垂线上， 所以存在点M既要在上，又要在圆C上， 所以直线与圆C有公共点， 所以，解得， 所以．    圆的弦长与中点弦 21．（23-24高二上·江苏淮安·期中）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长. 【详解】由圆， 得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：D. 22．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知圆，直线，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（　 　） A．10 B．4 C．5 D．2 【答案】A 【分析】求出直线所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线垂直时，弦长最短，由勾股定理可得结论． 【详解】直线方程变形为， 由得，即直线过定点，圆心为， 定点到圆心距离为，即定点在圆内部， 所以当定点和圆心连线与直线垂直时，弦长最短，最短弦长为， 故选：A． 23．（23-24高二上·江苏泰州·期中）（多选）已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设则，由点在圆上得，进而可得点的轨迹方程，即可求的取值范围. 【详解】 设则， 由点在圆上可得，， 则， 所以， 又因为， 所以即， 综上，，整理得，，即为点的轨迹方程， 所以在以为圆心，为半径的圆上， 所以,所以, 所以， 故选：AC. 24．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线被圆截得的弦长为 . 【答案】8 【分析】求出直线与圆的交点坐标，即可求出弦长. 【详解】由，解得或， 即直线与圆交于和两点， 所以弦长为. 故答案为： 25．（23-24高二上·江苏常州·期中）有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A、B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA､OB，其中小路的宽度忽略不计. (1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度； (2)过再做一条与垂直的笔直小路交草坪圆周于两点，求四点构成的四边形面积的最大值. 【答案】(1)（百米） (2)6 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合圆的几何性质求得小路的最短长度. （2）先求得四边形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则， 小路的长度为，因为为定值，故只需要最小即可. 作，垂足为，记， 则， 又，故， 此时点为中点. 故小路的最短长度为（百米）. （2）设到的距离为，设到的距离为， 由垂径定理可得， 所以， 当且仅当时，四边形面积的最大值6. 26．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知圆C：和定点，直线l：（）. (1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长； (2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长. （2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）圆C：，圆心，半径， 当时，直线l的方程为， 所以圆心C到直线l的距离， 故弦长为.    （2）设，则， 由，，得. 化简得， 所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆. 又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点， 所以， 解得， 所以m的取值范围是.    已知圆的弦长求方程或者参数 27．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆：，过点的直线被圆截得的弦长为4，则直线的方程为 【答案】或 【分析】考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，结合垂径定理得到方程，求出答案. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，此时方程为，圆心到的距离为1， 则被圆截得的弦长为，满足要求， 当直线的斜率存在时，设为， 则圆心到直线的距离为， 由垂径定理得，解得， 故直线的方程为，即. 故答案为：或 28．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知过点的圆的圆心在直线上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件，利用待定系数法解得，即可求解； （2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）因为圆过点，所以①， 因为圆的圆心在直线上，所以②， 又因为圆与直线相切，所以③， 又，则①②③联立解得， 所以圆的标准方程为. （2）由题意可得圆心到直线的距离， 设直线方程为，即， 所以，解得. 29．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点 (1)求圆的方程； (2)已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由点在直线上，可设出圆心坐标，利用圆上两点列出方程，求出圆心坐标即得方程； （2）首先结合图形判断点在圆上，设出直线，利用垂径定理将弦长问题转化为圆心到直线的距离问题求得，即得直线方程. 【详解】（1）设圆心坐标为，因圆过点,故有,即：， 解得：，则,圆的半径为，故圆的方程为：. （2） 如图，直线经过的点恰好在圆上，因直线被圆截得的弦长为2，故其斜率一定存在，设直线为， 即，过点作,垂足为，则,又,故得：, 即点到直线的距离为，解得：或，即直线的方程为：或. 30．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线与轴交于（其中点在点的右边），与轴交于点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆的另一个交点为，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出点的坐标，再设出圆的方程，利用待定系数法求解即可； （2）求出，设出直线方程，然后利用垂径定理列方程求解. 【详解】（1）对于抛物线 令得或，即， 令得，即 设圆的方程为， 所以，解得， 故圆的方程为； （2）由（1）得圆的标准方程为，圆心为，半径为， 又， 当直线斜率不存在时，，舍去， 当直线斜率存在时，设为，即， 则，解得或， 即直线的方程为或 31．（23-24高二上·江苏徐州·期中）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程； （2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程，解得， 即圆心，， 所以，圆的方程为. （2）因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 32．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心在上，且圆C与x轴相切，直线，． (1)若直线与圆C相切，求a的值； (2)若直线与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为，且，求圆C的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意设圆心，，分析可得，且，进而求解即可； （2）结合题设和圆的性质可得圆心C到的距离d等于圆C半径的倍，进而列出方程可得或，再由可得AB的垂直平分线经过和圆心，进而结合斜率关系列出方程求解即可. 【详解】（1）因为圆心C在直线l上，可设圆心，． 因为圆C与x轴相切，所以， 又因为直线与圆C相切，所以， 即，解得. （2）因为A，B把圆C分成的两段弧长之比为， 所以弦AB所对劣弧圆心角为， 所以圆心C到的距离d等于圆C半径的倍， 则，即，解得或， 又因为，所以AB的垂直平分线经过和圆心， 所以， 当时，，圆C方程为； 当时，，圆C方程为. 综上所述，圆C方程为或.    33．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知圆，圆 (1)若圆、相切，求实数的值； (2)若圆与直线相交于、两点，且，求的值. 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）求出圆和圆的圆心和半径，求出圆心距，分外切和内切两种情况，得到方程，求出m的取值； （2）求出圆心距，利用垂径定理得到方程，求出的值. 【详解】（1）已知圆变形为， 圆的圆心为，半径， 圆的圆心，半径为，圆心距， 当两圆外切时，有，即，解得， 当两圆内切时，有，即，解得， 故m的取值为或 （2）因为圆与直线相交于、N两点，且， 而圆心到直线的距离， 有，即，解得：或. 34．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点． (1)求外接圆的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）先判断三角形的形状为等腰直角三角形，则圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半可以得到圆的方程； （2）先根据弦长求出弦心距，再考虑直线斜率是否存在，分别判断直线是否符合要求，最后得到两条直线方程. 【详解】（1）因为，，， 所以，，所以，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以的圆心是的中点，即圆心，半径， 所以的方程为； （2）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为， ①当直线与轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线为，与圆心的距离为1，满足条件； ②当直线的斜率存在时，设，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时直线的方程为，即， 综上可知，直线的方程为或． 直线与圆中的定点定值问题 35．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆为，根据圆与圆都经过两点，可用表示，又点在圆上，可用表示，进而可得含参数的圆的方程，再由圆系方程求解即可. 【详解】圆方程为，令，得， 设圆的方程为，令，得， 由题意，圆与圆都经过两点， ∴方程与等价，∴，， ∴圆的方程为， ∵点在圆上，∴，∴， ∴圆：，整理得， ∴圆经过直线与圆的交点， ∴当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值， 故选：C. 36．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且， ①证明：直线过定点，并求出点的坐标； ②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②证明见解析 【分析】（1）直接设点，由中点坐标代入即可得到轨迹方程； （2）先设直线然后联立，联立后得到韦达定理，再求斜率之积，代入韦达定理得到参数之间的关系，进而得到直线过定点，然后应用直角三角形斜边中线长是斜边一半求出定点坐标即可. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得． 因为点的轨迹方程是，所以， 整理得曲线的方程为． （2）①设直线的方程为，，，， 联立，得， 所以，即， 所以，， 所以， 所以且， 所以直线的方程为，即直线过定点． ②如图所示， 因为为定值，且于，所以为直角三角形，为斜边， 所以当点是的中点时，此时为定值． 因为，，所以由中点坐标公式得． 所以存在定点使得为定值． 【点睛】关键点睛：定点问题的解题关键是设出直线然后应用韦达定理求出参数之间的联系，定值问题关键在于求出斜边是定值，进而得到斜边中线也是定值，即可得到对应的点. 37．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是. (1)求曲线C的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且， ①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标； ②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；定点②详见解析. 【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程； （2）①首先设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标； ②由几何图形可知，，再利用直角三角形，协办的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得， 由题意可知，， 所以， 整理得到曲线的方程为； （2）①设直线的方程为，，，， 联立，得， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以且， 所以直线的方程为，即直线过定点； ②如图所示： 因为为定值，且于点，所以为直角三角形，为斜边， 所以当点是的中点时，此时为定值， 因为，，所以由中点坐标公式得， 所以存在定点，使得为定值. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹法求圆的方程，以及定点问题，定点问题的关键是设出直线，然后利用韦达定理求出参数的关系，即可得到对应的定点坐标. 38．（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知点，关于原点对称，点在直线上，，过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为． (1)求的半径； (2)若，已知点，点，在上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为，，是垂足，问：是否存在一定点，使得为定值． 【答案】(1)或 (2)存在，使得． 【分析】（1）由题意可设点的坐标为，圆的半径为，，利用垂径定理即可列式求得值，进一步得到圆的半径为或． （2）由，得，则圆的方程为．设点，，当直线的斜率存在时，设直线，联立直线方程与圆的方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及直线，斜率之和为，可得．代入，可得直线方程，再由直线系方程证明直线恒过定点，然后证明直线的斜率不存在时不合题意，即可证明直线恒过定点，从而得到当为，的中点时为定值． 【详解】（1）圆过点，，圆心在的垂直平分线上， 由已知点在直线上，且点，关于原点对称， 点在直线上，则点的坐标为． 圆与直线相切，圆的半径为， 连接，由已知得， 又，故可得， 整理得，解得或， 故圆的半径为或． （2）由（1）及可知，则圆的方程为， 设，， 当直线的斜率存在，则可设直线的方程为， 代入圆方程可得：，则，得， 且，， 所以 ． 又直线，斜率之和为，， 得． 代入，得， 直线恒过定点． 当直线的斜率不存在时，，，， 直线，斜率之和为，，解得， 但，且，故不合题意，舍去． 综上，直线恒过定点． 又，是垂足，所以当为，的中点时，则， 此时． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 39．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知圆，直线. (1)若直线与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，，当为锐角时，求的取值范围； (3)若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点. 【答案】(1)或 (2) (3)直线过定点. 【分析】（1）由直线与圆相交，得圆心到直线的距离小于半径，由此得解； （2）设A，B的坐标分别为，，将直线代入，得，利用以及，能求出的取值范围； （3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以为直径的圆上，设出P点坐标，求出以为直径的圆的方程，又，在圆上，可得 ，所在直线即两圆公共弦直线，将两圆方程作差得直线的方程，得解． 【详解】（1），直线， ∵直线与圆相交， ∴圆心到直线的距离小于半径， 即，解得或. （2）设A，B的坐标分别为，， 将直线代入， 整理，得， ∴，， ，即， 当为锐角时， ， 解得，又， ∴或. 故的取值范围为. （3）     由题意知，，，四点共圆且在以为直径的圆上， 设，其方程为， ∴， 又，在圆上， ，所在直线即两圆公共弦直线， 将两圆方程作差得，， 即， 由，得， ∴直线过定点. 40．（22-23高二上·江苏泰州·期中）长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并说明其形状； (2)过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值． 【答案】(1)，是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； (2)证明见解析，此定值为． 【分析】（1）利用几何法直接求出轨迹方程，进而判断出形状；（2）设直线方程为与联立求出，由的斜率为，同理求出.根据对称性可知，判断出过. 由直角三角形的性质判断出为的中点为定值. 【详解】（1）∵，P为线段AB中点， ∴，设，则，即. 则曲线C是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； （2） 根据题意，直线MP的斜率存在且不为0，MP设斜率为k， 则直线方程为代入中，整理得， 故，，即， 因为直线，的斜率之积为，所以的斜率为，同理：. 根据对称性可知，直线所过定点在轴上， 不妨令，得， 此时，即过， 则，所以过定点. 连接，在圆O中，由垂径定理可得：. 当D、F不重合时，即，所以为直角三角形，取的中点，则． 当D、F重合时，取的中点，则也成立． 故存在定点E，使得为定值，此定值为． 直线与圆的位置关系求距离的最值 41．（23-24高二上·江苏南京·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，满足且，，若的“欧拉线”与圆：（）相切，则下列结论正确的是（    ） A．圆上点到直线的最小距离为 B．圆上点到直线的最大距离为 C．点在圆上，当最小时， D．点在圆上，当最大时， 【答案】C 【分析】先根据定义确定的“欧拉线”方程，再根据直线与圆相切求出圆，由圆与直线的位置关系及平行线的距离一一判定选项即可. 【详解】由题意可知， 所以是以A为顶点的等腰三角形，则其欧拉线为BC的中垂线， 易知，BC的中点为， 故的“欧拉线”方程为：， 可设，由或， 即或， 又圆：，可知圆心， 根据圆与欧拉线相切可得到的距离为， 即圆：， 对于A、B选项，显然与平行，两平行线的距离为， 故圆上的点到的距离最大为，最小值为， 故A、B均错误； 对于C、D选项，易知当点为直线与圆的切点时取得最值，此时，故D错误，C正确. 故选：C 42．（23-24高二上·江苏常州·期中）设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助数形结合思想，利用直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】曲线，其中，，即，， 曲线方程可化为， 其中，，即曲线的轨迹是一个半圆. 因为圆心到直线的距离， 故半圆上一点到直线的最小距离， 半圆上点到直线的距离最大， 则的取值范围为， 故选：B. 43．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，，是直线：上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，，使得，则线段长度的最大值为（    ） A．8 B． C． D．10 【答案】B 【分析】根据题意，当点在圆内部时，显然成立；当点在圆外部时，转化为才是最大角，由，得到，结合，求得，利用圆的性质，即可求解. 【详解】由题意，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交， 当点在圆内部时，显然成立， 当点在圆外部时，从直线上的点与圆上的点的连线所处的角， 当且仅当两条线均为切线时，才是最大角，如图所示， 不妨设切线分别为， 由，可得，且， 又由，解得， 可得. 所以长度的最大值为. 故选：B. 44．（22-23高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知点P在圆上，点，，，则（    ） A． B．当面积最大时， C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】根据两点间的距离、三角形的面积、角的大小等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则， ， ， 所以，A选项正确. ， 当，时，面积最大， 对应，所以B选项错误. 对于CD选项，只需过点的直线与圆相切即可， 而，则当与圆相切时，， 所以CD选项正确. 故选：ACD    45．（22-23高二上·江苏盐城·期中）（多选）若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，即可满足题意． 【详解】圆心到直线的距离， 因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于， 所以， 即， 解得， 结合选项可知，BC正确， 故选：BC． 46．（22-23高二上·江苏常州·期末）（多选）点在圆上，点，点，则下列结论正确的是（    ） A．过点可以作出圆的两条切线 B．点到直线距离的最大值为 C．圆关于直线对称的圆的方程为 D．当最大时， 【答案】ABD 【分析】对于A，判断得点在圆外即可； 对于B，利用圆上动点到直线的最大距离为即可判断； 对于C，求得圆心关于直线对称的点即可得解； 对于D，判断得最大时直线与圆相切，再利用两点距离公式与勾股定理即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以点在圆外，则过点可以作出圆的两条切线，故A正确； 对于B，由题意可得，直线的方程为，即， 因为圆，所以，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为，故B正确； 对于C，设圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 所以圆关于直线对称的圆的方程为，故C错误； 对于D，当最大时，易得直线与圆相切，如图， 在中，，， 所以，故D正确. 故选：ABD . 47．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 【答案】27 【分析】根据题意转化为先求圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，即可求面积的最大值和最小值. 【详解】由题意可知，，，， 圆心到直线的距离， 点到直线距离的最大值，最小值为， 所以面积的最大值和最小值的和为. 故答案为： 48．（22-23高二上·江苏无锡·期中）已知点是圆上的动点，点是直线上的动点，记，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，结合图象，利用三角函数表示，结合三角函数最值的求法求得正确答案. 【详解】如图，根据题意设，过作轴，交于；过作轴，交于， 则可得为， 又直线的斜率为，， ，， 当且仅当，重合时，取得等号， 的最小值是． 故答案为： 49．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为0； (3)最大值，最小值为. 【分析】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【详解】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 50．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线分别与轴、轴相交于两点，圆． (1)已知直线与直线垂直，且与圆相切，求直线的方程； (2)若点是圆上的一个动点，求的面积的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先根据垂直设出直线方程，再根据相切即可求出； （2）求出点到直线的距离的最大值和最小值即可求出面积的范围. 【详解】（1）由直线与直线垂直，设直线的方程为， ∵直线与圆相切，∴，解得或， ∴直线的方程为或． （2）由题意得，，， 又圆心到直线的距离为， ∴点到直线的距离的最大值为，最小值为， 设点到的距离为，则 又的面积，所以. ∴的面积的取值范围为． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$