专题12 抛物线的几何性质（综合，30题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题12 抛物线的几何性质（综合，30题） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 3．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线，直线与交于A，两点，是射线上异于A，的动点，圆与圆分别是和的外接圆（为坐标原点），则圆与圆面积的比值为（   ） A．小于1 B．等于1 C．大于1 D．与点的位置有关 4．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若直线l过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，且，则线段的中点P到y轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4 B． C．5 D． 6．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知（O为坐标原点）的顶点都在抛物线上，若抛物线的焦点F恰好是的重心，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 7．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（         ） A．抛物线的准线方程为 B．直线与抛物线相切 C．为定值 D． 8．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知抛物线：的准线为：，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与轴相交 C．最小值为16 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有2条. 9．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．为中点 10．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知为坐标原点，，点、是抛物线上两点，为的焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则最小值为 B．周长的最小值为 C．为直径的圆与轴相切 D．若直线经过点，则 11．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与之间的距离为4 12．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．的面积为 C． D． 13．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．若，则直线经过定点 D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为 15．（23-24高二上·江苏南京·期中）若抛物线（）的焦点为，其准线与轴交于点.过点作直线与抛物线交于点，且（），直线与抛物线的另一交点为（点在点的左边）.下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 16．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的标准方程为 B．的最小值为 C．过两点分别作与准线垂直，则为直角三角形 D．的面积为定值 三、填空题 17．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 ． 18．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为3，则弦的长 19．（23-24高二上·江苏徐州·期中）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形（Cassinioval）.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线， 则的最大值为 . 20．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为 ． 21．（23-24高二上·江苏盐城·期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，点，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，则的最小值为 ． 四、解答题 22．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：和点．点Q在E上，且． (1)求E的方程； (2)若过点H作两条直线，，与E相交于A，B两点，与E相交于C，D两点，直线AB，CD，AD，BC的斜率分别为，，，．证明：． 23．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为． (1)求抛物线的方程及点的坐标； (2)已知直线与抛物线相交于A，B两点，为坐标原点．求证：． 24．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9． (1)求的值； (2)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长． 25．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，直线l与抛物线C相交于A，B两点（A，B均异于原点）． (1)求抛物线C的方程； (2)若以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，证明：直线l恒过定点． 26．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 27．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 28．（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线，过作互相垂直的两条直线，与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点，线段的中点分别为． (1)证明：直线过定点； (2)若线段的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值． 29．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知抛物线：的焦点为； (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于两点，直线交抛物线于，两点，且点，分别为线段，的中点，求的面积的最小值. 30．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点. (1)求的最小值； (2)判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 抛物线的几何性质（综合，30题） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先设点和，设直线方程为，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式可计算出的值. 【详解】设点和，设直线方程为， 联立方程：，可得：， ， 线段的长为：， 得， 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解. 【详解】 抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 3．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线，直线与交于A，两点，是射线上异于A，的动点，圆与圆分别是和的外接圆（为坐标原点），则圆与圆面积的比值为（   ） A．小于1 B．等于1 C．大于1 D．与点的位置有关 【答案】B 【分析】求出的坐标，由对称性可得，，设，的外接圆半径为，由正弦定理得到，，故，故面积比值为1. 【详解】由题意得，抛物线的焦点坐标为， 将代入中，，不妨令， 由对称性可知两点关于轴对称，，， 设，的外接圆半径为， 当点在点上方时，， 当点在点上方时，， 同理， 因为，所以， 所以圆圆面积的比值为1.    故选：B 4．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若直线l过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，且，则线段的中点P到y轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用抛物线定义有，结合已知得，即可确定线段的中点P到y轴的距离. 【详解】由抛物线方程知：，即， 所以线段的中点P到y轴的距离为. 故选：D 5．（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】当直线l的斜率为0时，不合要求，设过F的直线l的方程为，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，根据面积之比得到，从而求出，，进而由抛物线焦点弦公式进行计算. 【详解】由题意得，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去； 设过F的直线l的方程为，与抛物线联立得， ， 设，，则， 因为面积是面积的两倍，所以， 则，解得，则， 则，解得， 故，    则. 故选：B 6．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知（O为坐标原点）的顶点都在抛物线上，若抛物线的焦点F恰好是的重心，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】确定，设， ，根据重心坐标公式计算得到点坐标，再利用两点间距离公式计算得到答案. 【详解】抛物线，则焦点，设， ， 则，解得或， 不妨取，， 则. 故选：A 二、多选题 7．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（         ） A．抛物线的准线方程为 B．直线与抛物线相切 C．为定值 D． 【答案】ABD 【分析】选项A，由点在抛物线上，代入方程待定系数，求出抛物线C方程，则得到准线方程；选项B，利用导数求出切线斜率，与直线斜率相同即可说明相切；选项C，设出直线AB方程，联立抛物线方程，将坐标化韦达定理代入可证；选项D，利用弦长公式用表示，再代入韦达定理，结合判别式得出的的范围，即可判断得出答案． 【详解】对于A：因为点在抛物线：上， 则，解得， 所以抛物线：， 其准线为，故A正确； 对于B：令， 则，可得， 即抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同， 所以直线AB与抛物线C相切，故B正确； 对于C：由题意可知，直线PQ斜率存在， 设直线PQ的方程为 ， 联立方程，消去y得：， 可得，得， 且， 因为 ，故C错误； 对于D：由题意可知， 因为， 则， 所以，故D正确. 故选：ABD．        8．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知抛物线：的准线为：，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与轴相交 C．最小值为16 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有2条. 【答案】AC 【分析】利用抛物线性质计算A正确，举反例得到B错误，确定根与系数的关系，代入数据利用均值不等式计算C正确，直线至少有3条，D错误，得到答案. 【详解】抛物线：的准线为：，则，， 抛物线：，， 设直线为，则，故， ，，    对选项A：，正确； 对选项B：取，则，半径，中点坐标为圆心， 即圆心到轴的距离等于半径，相切，错误； 对选项C：， ， 当且仅当，即，或，时等号成立.正确； 对选项D：设直线，，则， ，解得，即与抛物线相切，有一个交点， 又与与抛物线只有一个交点，至少有3条，错误； 故选：AC. 9．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．为中点 【答案】BCD 【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】如下图所示： 分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、. 抛物线的准线交轴于点，则， 由于直线的斜率为，其倾斜角为， 轴，，由抛物线的定义可知，， 则为等边三角形， ，则， 设，，由，则，可得 ， 所以 ， ,解得 所以,所以B正确. ，得， A选项错误； 所以,满足,所以C正确. 而,所以D正确. 故选：BCD 10．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知为坐标原点，，点、是抛物线上两点，为的焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则最小值为 B．周长的最小值为 C．为直径的圆与轴相切 D．若直线经过点，则 【答案】ACD 【分析】分析可值，直线过点，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及韦达定理可判定A选项；利用斜率公式以及韦达定理可判定D选项；利用抛物线的定义可判定B选项；利用抛物线的焦半径公式可判断C选项. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设点、， 对于A选项，若，则直线过点， 设直线的方程为，联立可的， ，由韦达定理可的，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故最小值为，A对； 对于B选项，过点作垂直于直线，垂足为点， 由抛物线的定义可得， 所以，，当且仅当、、三点共线时， 取最小值，且最小值为， 所以，的周长为， 因此，周长的最小值为，B错； 对于C选项，线段的中点为，， 而为点到轴的距离，故为直径的圆与轴相切，C对； 对于D选项，若直线经过点， 由A选项可得，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 11．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与之间的距离为4 【答案】BC 【分析】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入，由韦达定理得，进而求得，可判断B；先求点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断A；根据抛物线的定义可知，可判断C；由于与平行，所以与之间的距离，可判断D. 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线， 代入得，则，所以， 所以，故B正确； 点与均在直线上，则点的坐标为，由得， 则点的坐标为，则，故A错误； 由抛物线的定义可知，，故C正确； 与平行，与之间的距离，故D错误.    故选：BC. 12．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．的面积为 C． D． 【答案】ABD 【分析】 设直线方程，并联立其与抛物线方程可得点A、点B坐标，结合抛物线定义可求得抛物线方程，进而可求得其渐进线方程即可判断A项，在中，可求得可判断D项，由可判断B项，由，进而可判断C项. 【详解】如图所示， ，设直线方程为， 联立，解得，， 由抛物线定义可知，，所以， 所以抛物线方程为， 对于A项，抛物线方程为的渐近线方程为，故A项正确； 对于D项、B项，由直线的斜率为可得直线的倾斜角为， 在中，，，所以，，故D项正确； 又，， 所以，故B项正确； 对于C项，，则， 所以 所以，故C项错误； 故选：ABD. 13．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合的面积求解，从而利用焦半径公式求解，逐项判断即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设过焦点的直线方程为设直线：，，， 联立直线与抛物线方程得消元得， 由韦达定理可得，，所以， 又点到直线的距离是，所以，得，所以，故选项A错误，B正确； 由知，解得， 所以，故选项C正确； ，故选项D正确； 故选：BCD. 14．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．若，则直线经过定点 D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A，根据焦点弦的性质可判断B，根据垂直关系得，由两点坐标求解直线方程即可判断C，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D. 【详解】因为拋物线，故的坐标为故A正确； 由于当直线过焦点时，由抛物线定义可得，但直线不一定过焦点，故B错误； 若，故，即或（舍去）， 因为直线，即，得，故直线经过定点，故C正确； 设过点的切线方程为，联立 ， 所以，故 或，所以方程的根为， 故切线方程中分别为和，故， ， 可得直线，即，故D正确. 故选：ACD. 15．（23-24高二上·江苏南京·期中）若抛物线（）的焦点为，其准线与轴交于点.过点作直线与抛物线交于点，且（），直线与抛物线的另一交点为（点在点的左边）.下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】CD 【分析】设直线的方程为，，根据（），可得的关系，联立方程，利用韦达定理求出，进而可求出，从而可求出，即可判断A；求出点的坐标即可判断B；根据是否成立即可判断C；根据C选项结合抛物线的对称性即可判断D. 【详解】， 设直线的方程为，， 则， 因为（）， 所以，所以， 联立得， 则， 所以，所以， 所以，解得， 即直线的斜率为，故A错误； 由，得， 由，得， 即， 所以，故B错误； ， 所以， 所以直线关于轴对称， 所以，故C正确； 由题意可得都在的左侧，且直线关于轴对称， 根据抛物线的对称性可得，故D正确. 故选：CD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 16．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的标准方程为 B．的最小值为 C．过两点分别作与准线垂直，则为直角三角形 D．的面积为定值 【答案】ABC 【分析】对于A：根据椭圆的方程可知右焦点坐标为，进而可得抛物线方程；对于C：根据题意结合抛物线的定义分析判断；对于B、D：分类讨论直线的斜率是否存在，利用弦长公式结合韦达定理运算求解. 【详解】对于选项A：由椭圆的方程可知椭圆的右焦点坐标为，即抛物线的右焦点为， 可得，所以抛物线的标准方程为，故A正确； 对于选项B：①当直线的斜率不存在时，易得，，所以； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由，消去x得， 则，，， 可得， 易知直线的方程为，由，可得， 则，可得， 综上所述：的最小值为，故B正确； 对于选项C：由抛物线定义知：，， 则，， 又因为，则，， 可得， 可知为直角三角形，故C正确； 对于选项D：当直线的斜率不存在时，则，， 可得； 当直线的斜率存在时，由选项B可得：， 可得，显然不为定值； 综上所述：的面积不为定值，故D错误. 故选：ABC.    【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法： （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 三、填空题 17．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得抛物线方程为，直线方程为，联立方程组，结合抛物线的焦点弦长公式，即可求解. 【详解】如图所示，由抛物线的焦点为， 可得，解得，所以抛物线的方程为， 又由过点且斜率为的直线， 联立方程组，整理得，其中， 设，可得， 又由抛物线的定义，可得. 故答案为：. 18．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为3，则弦的长 【答案】8 【分析】利用抛物线的定义即可得出． 【详解】由题设知线段AB的中点到准线的距离为4， 设A，B两点到准线的距离分别为， 由抛物线的定义知：． 故答案为：8 19．（23-24高二上·江苏徐州·期中）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形（Cassinioval）.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线， 则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据轨迹方程求出的取值范围，再求最值即可得解. 【详解】由动点满足的方程为， 所以，即， 解得， 故， 故，即的最大值为. 故答案为： 20．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为 ． 【答案】 【分析】确定焦点坐标，设，根据斜率得到，，再计算面积即可. 【详解】抛物线的焦点为，设，，则， 解得或（舍），，准线方程为，则， . 故答案为：. 21．（23-24高二上·江苏盐城·期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，点，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号. 【详解】设，已知，， 则，， 化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，且. 抛物线的焦点，准线方程为， 则 ， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：；.    四、解答题 22．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：和点．点Q在E上，且． (1)求E的方程； (2)若过点H作两条直线，，与E相交于A，B两点，与E相交于C，D两点，直线AB，CD，AD，BC的斜率分别为，，，．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用抛物线的方程求解； （2）利用抛物线的方程以及斜率公式证明. 【详解】（1）因为,所以， 因为点Q在E上，所以，所以， 所以E的方程为：. （2）设 所以直线的斜率为 直线的斜率为 直线的斜率为 直线的斜率为 所以 所以. 23．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为． (1)求抛物线的方程及点的坐标； (2)已知直线与抛物线相交于A，B两点，为坐标原点．求证：． 【答案】(1)，或 (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线定义有，即得抛物线方程，将点代入求点坐标； （2）令联立方程，应用韦达定理和向量数量积的坐标表示求，即可证结论. 【详解】（1）由抛物线定义知：，可得，则， 故，所以或. （2）令，联立直线与， 所以，故， 所以， 又，则， 所以，得证. 24．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9． (1)求的值； (2)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）结合抛物线的定义，结合距离公式，即可求解； （2）直线与抛物线方程联立，得到韦达定理，再根据焦点弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设，且， 则． （2）由（1）知抛物线，焦点，直线，． 联立，得， 设， 则， ． 25．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，直线l与抛物线C相交于A，B两点（A，B均异于原点）． (1)求抛物线C的方程； (2)若以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，证明：直线l恒过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由抛物线定义有，结合已知求参数，即可得抛物线方程； （2）由题意设直线，联立抛物线消去y得到，应用韦达定理，弦长公式求中点坐标、，再由已知列方程求参数m，即可证结论. 【详解】（1）由抛物线定义知：，则. （2）由题设，直线斜率一定存在，设直线， 联立抛物线可得，即， 则，，， 故，故中点坐标为， 以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，其半径， 而， 所以， 两边平方得， 整理得，即或， 当，则，此时A，B必有一个点与原点重合，不合题意； 当，则，此时直线必过定点. 所以直线l恒过定点. 26．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】(1)，焦点为 (2) 【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可. 【详解】（1）抛物线：的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 所以，解得， 所以抛物线方程为，焦点为. （2）由（1）可知抛物线的焦点， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为，、， 由，消去整理得， 所以，则，， 所以，， 又，所以、， 因为，所以， 即， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 27．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案； （2）设出方程，利用垂直可得，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点. 【详解】（1）法一因为到点的距离与到直线的距离相等； 所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为, 则有  所以, 故的方程为. 法二设的坐标为则有, 所以. 即, 所以的方程为. （2）法一设方程为， 因为，所以，即. 所以，即； 由得， 所以. 所以，即，所以； 所以方程为， 故恒过定点. 法二设，因为，所以； 所以，所以. 所以的方程为， 整理得， 所以，即， 所以直线恒过定点. 28．（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线，过作互相垂直的两条直线，与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点，线段的中点分别为． (1)证明：直线过定点； (2)若线段的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）设直线方程及点坐标，利用韦达定理及中点坐标公式表示点坐标，再表示直线即可； （2）结合（1）的结论及整体的思想由二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可知两直线都存在斜率且不为0，不妨设， 则，， 联立， 所以，即， 同理可得， 则， 所直线方程为：， 显然该直线恒过定点； （2）由上可知点E的纵坐标为： ， 当且仅当时取得最小值. 29．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知抛物线：的焦点为； (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于两点，直线交抛物线于，两点，且点，分别为线段，的中点，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）根据题意，得到，进而得到抛物线的方程； （2）设，根据题意，结合中点公式，求得，代入抛物线的方程，即可求得点的轨迹方程； （3）不妨设，得到，联立方程组，求得和，得出，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：抛物线：的焦点为， 可得，解得，所以抛物线的方程为. （2）解：设， 因为线段的中点为，可得，即， 又因为动点在抛物线上，可得， 化简得，即点的轨迹方程为. （3）解：由题意知，直线的斜率均存在， 不妨设，，，，， 则， 联立方程组，整理得， 则，即，且，， 所以，所以， 同理可得： 所以，， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为. 【点睛】方法技巧：直线与圆锥曲线中的最值与范围问题的求解方法： 1、注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质，以及圆锥曲线的几何性质，进行求解； 2、运用函数思想，建立目标函数，求解最值，在利用代数法求解最值和范围问题时，常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系式，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求解新参数的取值范围，解这类问题的核心是两个参数之间建立等量关系式，进而作出求解； ③利用隐含的不等关建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用已知的不等关系构造不等式，从而求出蹿升的取值范围； ⑤利用函数的性质，利用导数、基本不等式，单调性等手段，求得函数的值域，从而得到参数的取值范围. 30．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点. (1)求的最小值； (2)判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由. 【答案】(1)11 (2)在，理由见解析 【分析】（1）需对直线分斜率存在和不存在，分别将两种情况下的直线与抛物线联立，从而求解. （2）由（1）知分情况对以为直径的圆对点进行验证，从而求解． 【详解】（1）从而求（2）由（1）中当直线斜率，由题意知：抛物线焦点，准线：， 直线过定点，且定点在抛物线内，所以得：直线的斜率不为0， 设直线方程为， 当时，直线率不存在，即直线方程为：， 此时：，， 所以：； 当时，即直线斜率存在时，得直线方程为：， 将直线与抛物线联立得：，化简得：， ， 设：，，由根与系数关系得：， ， 所以：当直线斜率存在时，的最小值为：. 综上所述：的最小值为：. （2）在，理由如下： 由（1）知：当直线斜率不存在时：直线为：，， 以为直径的圆方程为：， 将代入得：，所以点在以为直径的圆上； 当直线斜率存在时：由（1）知：，， ， 所以得：，， 所以得：点在以为直径的圆上. 综上所述：点在以为直径的圆上. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$