专题11 抛物线的标准方程（六大题型，35题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题11 抛物线的标准方程（六大题型，35题） 抛物线定义的理解 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为（      ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 3．（23-24高二上·江苏淮安·期中）设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则的值为 . 5．（22-23高二上·江苏常州·期中）若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为 ． 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 6．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若抛物线的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为 ． 9．（23-24高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 10．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的方程为，点为抛物线的焦点. (1)若点是抛物线上的一个动点，且点，求的最小值； (2)若点，，都在抛物线上，直线是圆的两条切线，求直线的方程． 根据抛物线方程求焦点或准线 11．（23-24高二上·江苏盐城·期中）抛物线的焦点到原点的距离为（ ） A． B． C．1 D．2 12．（23-24高二上·江苏南通·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·江苏连云港·期中）抛物线的焦点到圆C：上点的距离的最小值为（    ） A．0 B．4 C．5 D．6 14．（23-24高二上·江苏盐城·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·江苏常州·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 16．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 抛物线的焦半径公式 17．（22-23高二上·江苏泰州·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离等于4，则（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二上·江苏盐城·期中）在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 19．（23-24高二上·江苏盐城·期中）（多选）设抛物线的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则O为线段MN的中点 C．若，则 D．若，则 20．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 ． 21．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则中点M到抛物线准线的距离为 . 22．（22-23高二上·江苏连云港·期中）抛物线上点P（4，y0）到焦点F的距离为5，则此抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为 ． 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 23．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 24．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·江苏徐州·期中）写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程 ． ①以原点为顶点；②以椭圆的一个焦点为焦点． 27．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 28．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上． (1)求该抛物线的方程； (2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离． 根据抛物线上的点求标准方程 29．（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 31．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知是抛物线的焦点，点在上，则（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知直线过定点且该点在抛物线上，则的值为 . 33．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求的长． 34．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线经过点. (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交直线于点和点，求证：以为直径的圆经过定点. 35．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线C：的离心率为，抛物线D：的焦点为F，准线为，直线交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，的面积为3. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)求抛物线D的方程. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 抛物线的标准方程（六大题型，35题） 抛物线定义的理解 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为（      ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义运算即可. 【详解】抛物线， 根据抛物线的定义，得焦点到准线的距离为. 故选:B. 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】 根据抛物线定义求解即可. 【详解】由题意得，，抛物线中， 所以，所以所求距离为. 故选：B 3．（23-24高二上·江苏淮安·期中）设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线定义结合圆外一点到圆上一点最值问题即可得到答案. 【详解】因为，则抛物线焦点坐标为，准线方程为， 则，即， 所以，则要使其最小，则需最小， 因为圆的圆心为，半径， 所以. 故选：C. 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则的值为 . 【答案】4 【分析】由抛物线的定义知，且，得为等边三角形，从而，在直角三角形求解即可. 【详解】如图，    由抛物线的定义可知：， 又∵， ∴，则为等边三角形， 又，则， ∴，则. 故答案为：4. 5．（22-23高二上·江苏常州·期中）若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为 ． 【答案】（8,±8） 【分析】先求出抛物线的准线，再由P到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案． 【详解】设P（xP,yP）， ∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝﹣2的距离， 抛物线y2＝8x，xp+2＝10， ∴xP＝8，yP＝±8， 故答案为：（8,±8）． 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 6．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若抛物线的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先根据题意得到直线与抛物线相离，再根据抛物线的定义即可得到距离和的最小值. 【详解】， 因为，所以直线与抛物线相离. 所以P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值 为抛物线的焦点到直线的距离. . 故选：B 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的准线为， 如图，过点作垂直准线于点， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义计算即可. 【详解】易知，抛物线的准线为，过A作于C点， 则，当且仅当A为线段与抛物线的交点时取得最小值，此时. 故答案为： 9．（23-24高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将到抛物线的准线的距离转化为到抛物线焦点F的距离，再根据三角形三边关系将的最大值表示为 【详解】由抛物线的定义知，，所以 所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值. 故答案为： 10．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的方程为，点为抛物线的焦点. (1)若点是抛物线上的一个动点，且点，求的最小值； (2)若点，，都在抛物线上，直线是圆的两条切线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据抛物线的定义将折线转化为直线，再利用数形结合思想得出当且仅当三点共线时，取最小值，求出即可. （2）先根据题意求出切线的方程；再联立方程组求出点的坐标；最后计算出直线的斜率，点斜式写出方程整理即可. 【详解】（1）过点向抛物线的准线作垂线，垂足为.    由抛物线的定义得：. 当且仅当三点共线时，取最小值，最小值为. （2）由圆可得圆心坐标为，半径为. 因为点在抛物线：上， 所以.    因为直线是圆的两条切线， 所以直线的方程为，设直线的方程为，即. 由题意得：圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 联立，解得. 因为直线的方程为，，点在抛物线：上. 所以点 所以直线的斜率为， 所以直线的方程是，即. 根据抛物线方程求焦点或准线 11．（23-24高二上·江苏盐城·期中）抛物线的焦点到原点的距离为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据抛物线方程得出焦点坐标后即可得． 【详解】由题意，，所以焦点为，其到原点距离为． 故选：B． 12．（23-24高二上·江苏南通·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线方程即可求解准线方程. 【详解】由得，即，故准线方程为， 故选：C 13．（23-24高二上·江苏连云港·期中）抛物线的焦点到圆C：上点的距离的最小值为（    ） A．0 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求得抛物线的焦点到圆C的圆心的距离，进而求得抛物线的焦点F到圆C上点的距离的最小值. 【详解】抛物线的焦点坐标为, 圆C：的圆心，半径为1， ， 则抛物线的焦点F到圆C上点的距离的最小值为    故选：B 14．（23-24高二上·江苏盐城·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线方程转化为标准形式，进而可得准线方程. 【详解】由， 得， 所以其准线方程为， 故选：B. 15．（23-24高二上·江苏常州·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的标准方程可得的值，由焦点到准线的距离为，从而得到结果. 【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为， 由抛物线标准方程可得， 故选：B. 16．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线性质求解即可. 【详解】由得抛物线的标准方程为， 所以其准线方程为. 故选：C 抛物线的焦半径公式 17．（22-23高二上·江苏泰州·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离等于4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义求解即可 【详解】因为抛物线的标准方程为，其准线方程为， 由于抛物线上一点到其焦点的距离等于4， 由抛物线的定义可得，，解得． 故选：B 18．（22-23高二上·江苏盐城·期中）在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据重心的性质可得，然后根据抛物线的定义可知即可求解. 【详解】解：由题意得： F为ABC的重心 故 设点A，B，C的坐标分别为，， 抛物线 ，F为其焦点 故选：D 19．（23-24高二上·江苏盐城·期中）（多选）设抛物线的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则O为线段MN的中点 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】 根据题意，求得抛物线的焦点为，准线为，结合选项，利用抛物线的定义，求得点和点的坐标，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为，准线为， 对于A中，设，若，根据抛物线的定义，可得， 解得，可得，可得，所以A正确； 对于B中，由，则，不妨设，则直线的方程为， 令，可得，即，所以为线段的中点，所以B正确； 对于C中，设，若，根据抛物线的定义，可得， 解得，则，可得，所以C不正确； 对于D中，由，可得，不妨设， 则直线的方程为，令，可得，即， 则，所以，所以D正确. 故选：ABD. 20．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】在中，由结合正弦定理可得，在设抛物线上点，列式求解即可得，则可求. 【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点， 所以，， 因为在中，， 所以由正弦定理可得，,      因为为抛物线上一点，所以可设为 由此可得， 平方化简可得：，即，可得, . 故答案为：. 21．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则中点M到抛物线准线的距离为 . 【答案】4 【分析】抛物线的焦点，准线方程为，由中点坐标公式可得的横坐标，由此求得点到抛物线准线的距离. 【详解】由抛物线的方程可得， 故它的焦点，准线方程为． 由中点坐标公式可得PQ的中点， 由于，则M到准线的距离为， 故答案为：4. 22．（22-23高二上·江苏连云港·期中）抛物线上点P（4，y0）到焦点F的距离为5，则此抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为 ． 【答案】4 【分析】由抛物线的定义列式得后求解 【详解】由题意得，得，抛物线方程为， 当时，，通径长为4， 故答案为：4 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 23．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线方程与准线之间的关系分析求解. 【详解】由题意可知：，解得. 故选：C. 24．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的准线求得的值 【详解】由题意可得：，则 故选：B 25．（23-24高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可. 【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为， 当焦点为时，可知抛物线方程为：； 当焦点为时，可知抛物线方程为：. 故选：BD 26．（23-24高二上·江苏徐州·期中）写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程 ． ①以原点为顶点；②以椭圆的一个焦点为焦点． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，由条件可得椭圆的焦点在轴上，设出抛物线的标准方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的上焦点为，下焦点为， 不妨以椭圆的上焦点为焦点， 设抛物线的方程为， 则，即，所以. 故答案为：（答案不唯一）. 27．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据抛物线准线位置确定抛物线开口方向，从而可得设方程求解即可得抛物线的标准方程. 【详解】若抛物线的准线方程为，则抛物线开口向下， 设抛物线方程为，则，故 所以抛物线方程为. 故答案为：. 28．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上． (1)求该抛物线的方程； (2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）求出焦点坐标，设出抛物线方程，从而得到，求出及抛物线方程； （2）由焦半径公式进行求解. 【详解】（1）中，令得：， 则焦点坐标为，故设抛物线方程为， 故，解得：， 故抛物线方程为； （2）设点A到该抛物线焦点的距离为， 由抛物线的定义可知：. 根据抛物线上的点求标准方程 29．（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合抛物线的定义可求出的值，进而可求的坐标. 【详解】因为是抛物线：的焦点，所以， 又，由抛物线的定义可知，解得，所以. 故选：A 30．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出点的坐标，然后根据抛物线的定义和已知条件列方程求解即可 【详解】因为为抛物线上一点， 所以，得， 所以， 抛物线的焦点为， 因为点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为， 所以，化简得， 因为，所以， 故选：B 31．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知是抛物线的焦点，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入点坐标求得，从而得焦点坐标，然后由焦半径公式可得结论． 【详解】由已知，，所以. 故选：C． 32．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知直线过定点且该点在抛物线上，则的值为 . 【答案】 【分析】化简直线方程为，联立方程组，求得点，将点代入抛物线方程，即可求解. 【详解】直线，可化为， 联立方程组，解得，即直线恒过点， 因为点在抛物线上，可得，解得. 故答案为：. 33．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出抛物线的方程，然后代点计算即可得答案； （2）将直线与抛物线的方程联立，求出两点坐标，然后用两点距离公式求解即可. 【详解】（1）设抛物线的方程为， 将代入方程解得． 因此抛物线C的标准方程为； （2）直线的方程为，设， 联立直线与抛物线的方程：，解得 所以的长为． 34．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线经过点. (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交直线于点和点，求证：以为直径的圆经过定点. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程可求出，从而可求出抛物线方程和准线方程； （2）设直线的方程为，代入抛物线方程化简，利用根与系数关系，表示出直线方程，表示出点和点的坐标，设，由可求得结果. 【详解】（1）由抛物线经过点，得. 所以抛物线的方程为，其准线方程为. （2）抛物线的焦点为，设直线的方程为. 由，得. 设，则. 直线的方程为，令，得，同理. 由抛物线的对称性可得若以为直径的圆过定点，则定点必在轴上. 设，则， 所以. 令，即，得或. 综上，以为直径的圆经过轴上的定点和. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，第（2）问解题的关键是根据题意表示出直线方程，从而可表示出点和点的坐标，设，再由化简计算可得结论，考查计算能力，属于较难题. 35．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线C：的离心率为，抛物线D：的焦点为F，准线为，直线交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，的面积为3. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)求抛物线D的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用离心率可得，从而可求渐近线方程； （2）先求出抛物线的准线方程，再根据面积可求，从而可得抛物线方程. 【详解】（1）设半焦距为， 由题意，双曲线C：的离心率为， 可得，解得， 所以双曲线C的渐近线方程为. （2）不妨设M在x轴下方，N在x轴上方， 由抛物线D：，可得其准线方程为， 代入渐近线方程得，所以， 则，解得， 所以抛物线D的方程为. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$