专题10 双曲线的几何性质（综合，40题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题10 双曲线的几何性质（综合，40题） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·期中）若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏镇江·期中）从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏盐城·期中）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 13．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 二、多选题 15．（23-24高二上·江苏盐城·期中）设分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．存在实数t，使直线与双曲线左右两支各有一个交点 C．双曲线C的实轴长是 D．双曲线C的离心率是 16．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的焦点坐标为 D．双曲线的渐近线方程为 18．（23-24高二上·江苏泰州·期中）若点在双曲线上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，，是C的左、右焦点，是C上一点，连结交C于点B，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 20．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线：是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（    ） A． B．顶点到渐近线的距离为 C． D．的外接圆的面积为 21．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆锥曲线与的公共焦点为、，点为、的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，的离心率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当的离心率为时，的渐近线方程为 D．当的离心率为时，的渐近线方程为 22．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知曲线：是双曲线，下列说法正确的是（    ） A．直线是曲线的一条渐近线 B．曲线的实轴长为 C．为曲线的其中一个焦点 D．当为任意实数时，直线：与曲线恒有两个交点 三、填空题 23．（23-24高二上·江苏泰州·期中）等轴双曲线的渐近线方程为 ． 24．（23-24高二上·江苏常州·期中）双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为 . 25．（23-24高二上·江苏南通·期中）在中，，，以，为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以，为焦点且经过点的双曲线离心率记为，则 . 26．（23-24高二上·江苏南京·期中）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的左焦点为，过双曲线右支上任意一点作其切线，过点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为 . 27．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线的离心率为，则 . 28．（23-24高二上·江苏·期中）若的图象是以和为渐近线的双曲线，则其离心率为 ． 29．（23-24高二上·江苏南通·期中）写出满足下列两个条件的一个双曲线C的方程： . ①焦距为；②直线与C的一支有2个公共点. 30．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，且，则此双曲线离心率的取值范围为 . 四、解答题 31．（23-24高二上·江苏泰州·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率： (2)渐近线方程是，虚轴长为4． 32．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2； (2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． 33．（23-24高二上·江苏南通·期中）（1）求焦点在轴上，离心率为，半短轴长为的椭圆的标准方程； （2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程. 34．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线经过点，两个焦点在轴上，离心率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与双曲线相交于，两点，点关于轴对称点为，点关于轴对称点为，设直线的斜率为，请问与的乘积是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 35．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率． 36．（23-24高二上·江苏·期中）已知椭圆的左、右顶点为、，与y轴平行的直线交椭圆于两点、，直线与直线的交点为P． (1)求点P的轨迹方程Γ； (2)若曲线Γ上的点Q满足，求的面积． 37．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程． 38．（23-24高二上·江苏常州·期中）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求M点的坐标，使得的面积最小. 39．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上. 40．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线方程为，点，点到点的距离与到直线的距离之比为，. (1)求点的轨迹的方程（用表示）； (2)若斜率为的动直线与（1）中轨迹交于点，，其中，.点（）在轨迹上，且直线、与轴分别交于、两点，若恒有，求的值. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 双曲线的几何性质（综合，40题） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率的定义求出与的关系，从而得出与的关系，再根据渐近线方程定义即得. 【详解】由可得：又因故有而双曲线： 的渐近线方程为即： 故选：D. 2．（23-24高二上·江苏南京·期中）若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用点到直线的距离公式及双曲线的性质计算即可. 【详解】易知双曲线的一条渐近线为， 故到其距离为， 所以. 故选：A 3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意，得到双曲线的渐近线方程，推出，再由以实轴、虚轴为两条对角线的四边形面积为8，求出，即可得出结果. 【详解】因为双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分， 所以渐近线方程为：，因此， 则实轴与虚轴相等， 又以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为， 则，即， 因此该双曲线的方程为. 故选：B.    4．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线、离心率公式以及两直线的垂直与斜率的关系求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 直线的斜率为， 所以由题可知，， 所以双曲线的离心率为， 故选:C. 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的性质根据焦距求得，从而可得渐近线方程． 【详解】因为双曲线的焦距为，所以， 则，解得，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 6．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线以及实轴的概念求解. 【详解】双曲线C 的一条渐近线方程为， 焦点到直线的距离为， 又因为实轴长为，所以， 所以C的方程为， 故选：D. 7．（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案. 【详解】 根据椭圆及双曲线的定义可得， 所以. 在中，，由余弦定理可得 ， 整理可得，， 两边同时除以可得，. 又，， 所以有， 所以，. 因为，所以， 所以，所以，，， 所以，. 则， 故. 故选：C. 8．（23-24高二上·江苏镇江·期中）从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的标准方程为，求出圆与双曲线在第一象限内的交点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的标准方程为， 设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、， 则， 因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则， 故点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以， 所以，该双曲线的离心率为. 故选：C. 9．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率. 【详解】 设， 为等边三角形，，，又， ，，， ，， ，解得：（舍）或， 双曲线的离心率为. 故选：C. 10．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意中点弦可以采用点差法求直线斜率，根据点斜式即可得解，但要回代直线进行检验. 【详解】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段存在. 故选：C. 11．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，画出图像，利用的几何意义，转化求解即可. 【详解】当时，，双曲线第一象限部分， 当时，，椭圆第四象限部分， 当时，，双曲线第三象限部分， 当时，，不存在； 其图像如下： 又的几何意义是曲线上的点到直线的距离的2倍， 两条双曲线的渐近线相同且与平行，此时两平行线距离为， 由图可知直线与椭圆在第四象限的部分相切时，距离取得最大， 设切线为， 联立，可得， ，解得，（舍去）， 所以最大值为， 则的取值范围是. 故选：D. 12．（23-24高二上·江苏盐城·期中）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理得到关系式，即可得出离心率. 【详解】∵为圆上的点，， ，∴是的中点， 又是的中点，，且， 又，， 是圆的切线，， 在中，又有， ， ， 故双曲线的离心率为. 故选：A. 13．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的定义可得，然后由条件可得的关系，再由离心率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】   不妨设双曲线的标准方程为，则双曲线的实半轴长为， 由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为， 半焦距为，设椭圆与双曲线的公共焦点为， 且分别为双曲线的左右焦点， 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，第三象限的交点为， ，则，可得， 且两曲线的交点与两焦点共圆，则在以为直径的圆上， 所以，即，所以， 则双曲线的离心率为. 故选：D 14．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【详解】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 二、多选题 15．（23-24高二上·江苏盐城·期中）设分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．存在实数t，使直线与双曲线左右两支各有一个交点 C．双曲线C的实轴长是 D．双曲线C的离心率是 【答案】AD 【分析】根据已知条件求得，结合双曲线的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于双曲线的焦点在轴上，所以， 由于，所以，A正确， 双曲线方程为，， 所以双曲线的实轴长为，C错误， 离心率为，D正确. 双曲线的渐近线方程为，斜率为， 由于直线的斜率为， 所以不存在实数，使直线与双曲线左右两支各有一个交点，B错误. 故选：AD 16．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据双曲线定义得到的轨迹方程为，，联立四个选项中的直线，求出交点横坐标，从而判断出答案. 【详解】则由题意得， 故点的轨迹为以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支， 故，， 故点满足的轨迹方程为，， A选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，A正确； B选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，B正确； C选项，联立与，解得，不合要求，C错误； D选项，联立与，解得，负值舍去，D正确. 故选：ABD 17．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的焦点坐标为 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】AC 【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得 ，则， 对于A中，双曲线的离心率为，所以A正确； 对于B中，双曲线的虚轴长为，所以B不正确； 对于C中，双曲线的焦点坐标为，所以C正确； 对于D中，双曲线的渐近线方程为，所以D不正确. 故选：AC. 18．（23-24高二上·江苏泰州·期中）若点在双曲线上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】依题意可得，，，从而可得到的取值范围，进而即可判断A；根据题意整理双曲线方程即可判断B；根据题意即可求得双曲线的渐近线方程，进而即可判断C；当时，有，进而即可判断D． 【详解】对于A，依题意得，，，所以，故A正确； 对于B，依题意得，则，所以，故B正确； 对于C，依题意得双曲线的渐近线方程为，所以，故C正确； 对于D，依题意得，则当时，有，此时，故D错误． 故选：ABC． 19．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，，是C的左、右焦点，是C上一点，连结交C于点B，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【分析】 根据渐近线方程和点A的坐标求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析. 【详解】对于A选项：由渐近线方程可知，，离心率,即，故A正确； 对于B选项：由点A在双曲线上得，且，解得,即，,又，,故B正确； 对于C选项：,,，周长为，故C错误； 对于D选项：设，则，，在中，,，设的周长为l，内切圆半径为r，由三角形面积公式：，代入可得，故D正确. 故选:ABD 20．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线：是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（    ） A． B．顶点到渐近线的距离为 C． D．的外接圆的面积为 【答案】ACD 【分析】根据离心率求出，利用双曲线的性质结合选项逐个判定即可. 【详解】因为，所以，解得； 对于A，，A正确； 对于B，渐近线的方程为，右顶点到渐近线的距离为，B不正确； 对于C，设双曲线的焦距为，由得，， 因为，所以，C正确； 对于D，由可知，的外接圆的半径为， 所以面积为，D正确. 故选：ACD. 21．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆锥曲线与的公共焦点为、，点为、的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，的离心率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当的离心率为时，的渐近线方程为 D．当的离心率为时，的渐近线方程为 【答案】BD 【分析】分析可知，曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线是焦点在轴上的双曲线，令，，，，设椭圆、双曲线的焦距为，由对称性，不妨设点在第一象限，设，，根据椭圆和双曲线的定义得出，利用勾股定理可得出，然后逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】曲线的标准方程为，则，所以，曲线是焦点在轴上的椭圆， 曲线的标准方程为，所以，曲线是焦点在轴上的双曲线， 令，，，，设为两曲线的左焦点， 设椭圆、双曲线的焦距为，由对称性，不妨设点在第一象限， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，可得， 因为，由勾股定理可得， 即，整理可得，即， 所以，，A错B对； 若，即，可得，则， 因此，的离心率为时，的渐近线方程为，C错D对. 故选：BD. 22．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知曲线：是双曲线，下列说法正确的是（    ） A．直线是曲线的一条渐近线 B．曲线的实轴长为 C．为曲线的其中一个焦点 D．当为任意实数时，直线：与曲线恒有两个交点 【答案】ACD 【分析】A选项，根据对勾函数的性质判断；B选项根据对勾函数的性质得到是双曲线的另外一条渐近线，然后联立得到顶点坐标，即可得到实轴长；C选项，根据渐近线的特点得到虚轴长，即可得到焦距，然后求焦点坐标即可；D选项，根据渐近线的性质判断. 【详解】 根据对勾函数的性质可得是双曲线的一条渐近线，故A正确； 当时，双曲线的方程趋近于，所以是双曲线的另外一条渐近线，倾斜角为，所以是双曲线的一条对称轴， 联立得或， 所以点和为顶点坐标，则实轴长为，故B错； 如图，设双曲线的一个焦点为，过双曲线的一个顶点作垂直交于点， ，，所以虚轴长为2，焦距为4，即， 所以，故C正确； 因为，为渐近线方程，所以与双曲线有两个交点，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：对勾函数的渐近线方程：；. 三、填空题 23．（23-24高二上·江苏泰州·期中）等轴双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】用等轴双曲线的性质直接求出即可. 【详解】因为是等轴双曲线， 所以设双曲线的方程为， 所以渐近线方程为：， 故答案为： 24．（23-24高二上·江苏常州·期中）双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】 根据斜率公式即可结合双曲线的方程求解得，进而可求解. 【详解】 双曲线的右顶点为，则， 又点，均在上，且关于轴对称， 设，， 又直线，的斜率之积为， 则，即，① 又，即，② 联立①②可得：， 即， 即． 故答案为： 25．（23-24高二上·江苏南通·期中）在中，，，以，为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以，为焦点且经过点的双曲线离心率记为，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的定义，再由离心率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可设,，，以为焦点且经过点的椭圆为，以为焦点且经过点的双曲线为， 由椭圆的定义可知，，， 则； 由双曲线的定义可知，，， 则，所以. 故答案为： 26．（23-24高二上·江苏南京·期中）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的左焦点为，过双曲线右支上任意一点作其切线，过点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为 . 【答案】其中 【分析】由双曲线的光学性质，得到为的平分线，延长交于点，根据中位线的性质，得到，结合圆的定义和双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，其右焦点为，且渐近线方程为， 设双曲线右支上任意一点，过点作直线的垂线，垂足为， 则过点的切线为， 根据双曲线的光学性质，可得为的平分线， 延长，设的延长线与的延长线交于点，如图所示， 则垂直平分，即点为的中点， 又因为的中点，所以， 可得点的轨迹表示以原点为圆心，以为半径的圆， 可得点的轨迹方程为， 联立方程组，可得， 因为在双曲线的右支上，且为双曲线的切线，则， 所以点的轨迹方程为其中. 故答案为：其中. 27．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线的离心率为，则 . 【答案】1 【分析】由双曲线中的平方关系、离心率公式列出等式直接计算即可. 【详解】由题意， 从而双曲线的离心率为， 结合，解得满足题意. 故答案为：1. 28．（23-24高二上·江苏·期中）若的图象是以和为渐近线的双曲线，则其离心率为 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】易知和的夹角为，所以. 故答案为： 29．（23-24高二上·江苏南通·期中）写出满足下列两个条件的一个双曲线C的方程： . ①焦距为；②直线与C的一支有2个公共点. 【答案】（或），其中（答案不唯一） 【分析】根据焦距设双曲线方程，联立双曲线与直线方程得到一元二次方程，再利用根的分布得到不等式组，解之即可. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为， 因为焦距为，所以，则， 要使直线与C的一支有2个公共点，则直线与C的右支有2个公共点， 联立方程，消去，得， 则即，解得； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为， 因为焦距为，所以，则， 要使直线与C的一支有2个公共点，则直线与C的下支有2个公共点， 联立方程，消去，得， 则即，解得； 综上，满足题意的双曲线C的方程为：（或），其中. 故答案为：（或），其中.（答案不唯一） 30．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，且，则此双曲线离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】设、的内切圆圆心分别为、， 设圆切、、分别于点M、N、G， 过的直线与双曲线的右支交于A、B两点， 由切线长定理可得，，， 所以，则，所以点G的横坐标为． 故点的横坐标也为a，同理可知点的横坐标为a，故轴， 故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切． 在中，， 即，所以，， 所以，所以，则， 所以， 即，所以，可得，可得， 则，因此. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果. 四、解答题 31．（23-24高二上·江苏泰州·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率： (2)渐近线方程是，虚轴长为4． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先判断焦点在轴，再根据双曲线的性质即可求解； （2）根据双曲线的性质，分焦点在轴或焦点在轴两种情况，计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，双曲线焦点在轴上，设标准方程为, ，解得，则， 所以双曲线的标准方程为． （2）当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知， ，解得， 所以双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知， ，解得， 所以双曲线的标准方程为； 综上所述，双曲线的标准方程为或． 【点睛】 32．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2； (2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，且，由此即可得解. （2）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，将点代入即可得解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 故设满足题意的双曲线的标准方程为， 又因为双曲线的渐近线方程为，两顶点之间的距离为2， 所以，解得， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. （2）因为所求双曲线方程与双曲线有共同的渐近线， 故设满足题意的双曲线的标准方程为， 又因为所求双曲线经过点， 所以，解得， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 33．（23-24高二上·江苏南通·期中）（1）求焦点在轴上，离心率为，半短轴长为的椭圆的标准方程； （2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）确定，根据离心率解得，得到椭圆方程. （2）法1：考虑双曲线焦点在轴和轴两种情况，计算得到方程；法2：设双曲线方程为，代入点坐标计算即可. 【详解】（1）由题设所求椭圆标准方程为，由题， 又，，解得， 所求椭圆的标准方程为. （2）法1：当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为， 由双曲线经过点得① 由双曲线的渐近线方程为得② 由①②解得，，， 此时，所求双曲线方程为. 当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为， 由双曲线经过点得① 由双曲线的渐近线方程为得② 不存在同时满足①②的，. 综上所述，所求双曲线的标准方程为. 法2：由渐近线方程为可设所求双曲线的方程为， 又双曲线经过点，则有， 所求双曲线的标准方程为. 34．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线经过点，两个焦点在轴上，离心率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与双曲线相交于，两点，点关于轴对称点为，点关于轴对称点为，设直线的斜率为，请问与的乘积是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，由待定系数法列方程组求解； （2）法一：由题可得，可得的表达式，结合作差可得结论； 法二：由题可得，设直线方程为，所以，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，可得结论. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 双曲线经过点，则有， 因为，所以，即. 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）法一：由题可得， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以. 所以与的乘积为定值，定值为. 法二：由题可得， 设直线方程为，则， 所以，所以， 由，得， 所以， 所以，即，所以， 所以与的乘积为定值，定值为. 35．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义确定出的值，由此可求，则的方程可求； （2）设出直线的方程，通过联立思想结合韦达定理求得，再结合三角形面积公式可求结果. 【详解】（1）因为， 所以的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为， 因为渐近线的斜率为， 所以，， 联立可得， 所以， 所以， 又因为到直线的距离， 所以， 化简可得，即，解得，经检验符合条件， 综上可知，直线的斜率为. 36．（23-24高二上·江苏·期中）已知椭圆的左、右顶点为、，与y轴平行的直线交椭圆于两点、，直线与直线的交点为P． (1)求点P的轨迹方程Γ； (2)若曲线Γ上的点Q满足，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设,，则，且，写出直线与的方程，联立可解出点P的轨迹方程； （2）设，则，设，在中，由余弦定理求得，从而得，利用三角形面积公式可求得答案. 【详解】（1） ，设, 则，且①， 直线的方程为：②， 直线的方程为：③， ②×③得，由①得， ，即， 故点P的轨迹方程Γ为：. （2）设，则，即， 设， ， ， 在中，，， 由余弦定理得，即， 即， ∵，，∴， ∴上式两边平方整理得， ， ∴（舍）或， ∴， ∴的面积. 37．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，根据题意得出，求出的取值范围，列出韦达定理，利用三角形的面积公式以及韦达定理求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意可得，可得， 因此，双曲线的方程为. （2）解：若直线与轴重合，则直线与双曲线没有交点，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 则， ，解得，合乎题意， 所以，直线的方程为或. 38．（23-24高二上·江苏常州·期中）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求M点的坐标，使得的面积最小. 【答案】(1)， (2)存在或， (3)的坐标是或. 【分析】根据渐近线方程得,点在双曲线上，列出方程组求解即可; （2）假设,由直线方程得坐标,由向量的数量积运算可得,用坐标表示这个结论可得与关系,再由点在双曲线可得结论; （3）直接计算的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标. 【详解】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为. （2）设,如图: 根据题意知，直线斜率存在，则，则 则直线:,令得, 因为点关于轴的对称点为,所以, 则,令得, 因为,平方可得, 因为, 则, 因为即，所以, 则,即, 所以存在或满足条件; （3）如图 因为 ， 又，则,代入上式得: , 当时，时，， 则， 当且仅当，即时取等. 当时，，则， 当且仅当,即时等号成立, 故应在时取得取最小值， 此时,即 所以的坐标是或时,的面积最小. 39．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点及渐近线方程求解即可. （2）设直线的方程为，联立其与双曲线方程可得，，设设直线方程、直线方程，并联立两者求其交点Q的横坐标，结合即可证明. 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）证明：如图所示， 由题意知，，， 由题知过点T的直线的斜率必不为0，设直线的方程为，， ， 联立， ， 则，， 又因为过点T的直线与双曲线的右支交于、，在第一象限内， 所以，，，， 所以，即，解得， 设直线方程为， 直线方程为， 联立， 即， 又， 所以， 所以点Q在直线上. 40．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线方程为，点，点到点的距离与到直线的距离之比为，. (1)求点的轨迹的方程（用表示）； (2)若斜率为的动直线与（1）中轨迹交于点，，其中，.点（）在轨迹上，且直线、与轴分别交于、两点，若恒有，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知表示出距离比并化简即可； （2）先解出点，结合条件可得，设直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，代入斜率方程，整理出，由等式恒成立得到，即可得到. 【详解】（1）设，由已知可得， 两边平方化简可得，同时除以可得 ，即点的轨迹的方程. （2） 点（）在轨迹上，所以，即， 因为直线、与轴分别交于、两点，若恒有， 所以， ， 所以，通分化简可得 ，① 设斜率为的动直线方程为， 所以代入①并化简可得 ，② 又直曲联立可得，消去可得， 其中， ， 代入②可得， 化简并整理可得， 因为上述等式恒成立，所以上式中含项为零， 即即， 所以. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，斜率，恒成立等问题，可利用等腰三角形两腰斜率之和等于零，画出图形，辅助求解. 具体做法为：（1）由已知表示出距离比并化简即可； （2）先解出点，结合条件可得，设直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，代入斜率方程，整理出，由等式恒成立得到，即可得到. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$