专题08 椭圆的几何性质（综合，40题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题08 椭圆的几何性质（综合，40题） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E．已知，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏无锡·期中）国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（    ）cm A．12 B．24 C．10 D． 3．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（23-24高二上·江苏·期中）下列椭圆的形状更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 6．（23-24高二上·江苏南京·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二上·江苏常州·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，点，是它的焦点，若一小球点弹出沿直线运动，经椭圆壁反弹，当它第一次回到点时，经过的路程可能为（    ） A．2 B．8 C．10 D．12 9．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为10 B．面积的最大值为 C．椭圆C的焦距为6 D．椭圆C的离心率为 10．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中．直线与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（    ） A．若AB的中点为M，则 B．的周长为 C．若的最小值为，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 11．（23-24高二上·江苏南通·期中）直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．直线：与椭圆相交 C．椭圆的短轴长为2 D．椭圆上两点中点坐标为，则直线的斜率 12．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为、、P为椭圆上一点（异于左，右顶点），且面积的最大值为，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为1 B．椭圆C的短轴长为 C．的周长为6 D．椭圆C上存在2个点P，使得 13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于、两点，则的内切圆面积可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 三、填空题 14．（23-24高二上·江苏无锡·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为 ． 15．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与C交于P，Q两点，若，则C的离心率是 . 16．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆E以矩形的两个顶点A，B为焦点，且经过C，D两点．若，则E的离心率为 ． 17．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ． 18．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．点P为椭圆（，为焦点）上一点，点P处的切线平分外角．已知椭圆，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则线段的长为 ． 19．（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 20．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 . 21．（23-24高二上·江苏常州·期中）椭圆的弦满足，记坐标原点在的射影为，则到直线的距离为1的点的个数为 . 四、解答题 22．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，求的面积． 23．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知平面上三点A，B，C． (1)若该三点构成三角形，且，建立适当的坐标系，用解析法证明：底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； (2)若，，且动点B满足． ①求动点B的轨迹方程； ②当动点B满足时，求B点的纵坐标． 24．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知椭圆（其中）上顶点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点所围成的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与相交于A、两点，试问曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 25．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为，一个顶点为H. (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于y轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，求实数t的取值范围. 26．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 27．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、. (1)求椭圆的方程； (2)若，的最大值. 28．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知动点满足：. (1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； (2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 29．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知椭圆（其中）的焦距2，点在上. (1)求的方程； (2)若过右焦点的直线交于，两点，且，求的方程. 30．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：，右焦点为，点、分别为左右顶点过点的直线与椭圆交于、两点，其中点在轴上方. (1)若四边形的面积为，求直线的斜率； (2)设直线的斜率为，的斜率为，求的值. 31．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆上点处的切线方程是， ①过直线上一点引C的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 32．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点是椭圆的上、下顶点，点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)经这点的动直线交椭圆于，两点，若与的斜率之和为定值，求点的坐标. 33．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆方程； (2)点分别为椭圆的上下顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，探究直线的交点是否在一条定直线上，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由. 34．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的长轴长为4 ，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于两点，为原点，求面积的最大值. 35．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，交圆于，.      (1)若点的坐标为，证明：直线； (2)求线段的长. 36．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆C： ()的左、右焦点分别为，且焦距为，椭圆C的上顶点为B，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过点，且与椭圆C交于M，N两点（不与B重合），直线BM与直线BN分别交直线于P，Q两点．判断是否存在定点G，使得点P，Q关于点G对称，并说明理由． 37．（23-24高二上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点A作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    (1)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有 ，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由； (2)若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值． 38．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和线段相交于点．    (1)求动点的轨迹的方程； (2)设曲线与轴的两个交点分别为、（其中点在点的左侧），过且斜率不为的直线交曲线于、两点，直线、交于点，求证：点在定直线上． 39．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的的标准方程； (2)若直线的斜率分别为，且，求的取值范围． 40．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆过点和． (1)求C的方程； (2)设直线l：，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求的最小值． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 椭圆的几何性质（综合，40题） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E．已知，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据已知结合图形，得出，然后求出，即可得出答案. 【详解】设，，由题，则， 当滑动到位置时，在上顶点或下顶点，则， 又当在右顶点时，恰好在位置，则， 所以， 故离心率为. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏无锡·期中）国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（    ）cm A．12 B．24 C．10 D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的扁平程度可知两椭圆离心率相同，即可求得小椭圆的长轴长为. 【详解】由扁平程度相同可知其离心率相同，设大小椭圆的离心率为； 对于大椭圆可得， 设小椭圆的长轴长为，则，解得. 故选：B 3．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据题意，可设，得到，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由椭圆，可设，其中， 则，其中， 因为，所以， 即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意. 故选：A. 4．（23-24高二上·江苏·期中）下列椭圆的形状更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出四个椭圆的离心率，根据离心率越小越接近于圆可得答案. 【详解】对于A，，，则，所以； 对于B，，，则，所以； 对于C，，，则，所以； 对于D，，，则，所以. 因为， 所以椭圆的形状更接近于圆. 故选：D. 5．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】设，则由题意可得，，两式相减化简结合斜率公式可求得结果. 【详解】设，因为是线段的中点，所以， 因为在椭圆上，所以， 两式相减得， ，即， 所以直线的斜率， 故选：A 6．（23-24高二上·江苏南京·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则此时，则，讨论焦点在轴和在轴上两种情况即可求解. 【详解】因为为正实数，则若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点满足，则此时，则， 则，解得； 若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点M满足，则此时，则， 则，解得， 综上，m的取值范围是 故选：B. 7．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件知，两点关于原点对称，设，则，利用条件和点在椭圆上，可求出，再根据条件，可得到，再联立，从而得到，再结合，即可求出结果. 【详解】由题意知，，两点关于原点对称，设，则， 所以，整理得到①， 又点在椭圆上，所以，整理得到②， 由①②可得，即，所以， 得到，故，整理得到， 由，消得到，所以， 又，所以，    故选：B. 二、多选题 8．（23-24高二上·江苏常州·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，点，是它的焦点，若一小球点弹出沿直线运动，经椭圆壁反弹，当它第一次回到点时，经过的路程可能为（    ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】ACD 【分析】数形结合，利用椭圆定义及几何性质即可解题. 【详解】由题意得：， 如图，    光路1：，路程为， 光路2：，路程为， 光路3：，路程为. 故选：ACD. 9．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为10 B．面积的最大值为 C．椭圆C的焦距为6 D．椭圆C的离心率为 【答案】AB 【分析】由椭圆的性质直接分析即可. 【详解】对A，因为椭圆C：， 的周长为，故A正确； 对B，因为，面积最大时高最大，为， 所以面积的最大值为，故B正确； 对C，椭圆C的焦距为，故C错误； 对D，椭圆C的离心率为，故D错误； 故选：AB 10．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中．直线与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（    ） A．若AB的中点为M，则 B．的周长为 C．若的最小值为，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A：利用点差法分析判断；对于B：利用椭圆的定义分析判断；对于C：联立方程，利用弦长公式结合韦达定理整理得，结合函数单调性分析判断；对于D：利用数量积结合椭圆方程整理得，结合椭圆的有界性求离心率. 【详解】对于选项A：设，则， 可得， 所以有，两式相减得， 所以，故A错误； 对于选项B：直线恒过点，即左焦点， 所以的周长为： ，故B正确； 对于选项C：因为直线过定点（在椭圆内部）， 可知直线必与椭圆相交， 联立方程，消去y可得， 则， 则， 令，可知在上单调递减，无最小值，故C错误； 对于选项D：因为， 则，可得， 由，可得， 则，整理得， 则有，即，则， 所以，即，即，解得，故D正确； 故选：BD. 11．（23-24高二上·江苏南通·期中）直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．直线：与椭圆相交 C．椭圆的短轴长为2 D．椭圆上两点中点坐标为，则直线的斜率 【答案】BCD 【分析】A选项，利用待定系数法求椭圆方程，然后求离心率；B选项，根据直线恒过定点，点在椭圆内得到直线与椭圆相交；C选项，根据椭圆方程求短轴长；D选项，利用点差法求斜率. 【详解】设椭圆方程为，，且， 则，解得， 所以椭圆方程为， 所以，，，，故A错； 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以点在椭圆内， 所以直线与椭圆相交，故B正确； ，所以短轴长为2，故C正确； 设，，则，， 两式相减得， 因为中点为，所以，， 所以，整理得，故D正确. 故选：BCD. 12．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为、、P为椭圆上一点（异于左，右顶点），且面积的最大值为，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为1 B．椭圆C的短轴长为 C．的周长为6 D．椭圆C上存在2个点P，使得 【答案】BCD 【分析】根据题意分析可得当P为椭圆上顶点或下顶点时，面积最大，进而结合离心率即可求得即可判断AB；结合椭圆定义求出的周长即可判断C；假设椭圆C上存在2个点P，使得，设，，根据椭圆定义和余弦定理求出即可判断D. 【详解】由题意，当P为椭圆上顶点或下顶点时，面积最大， 此时， 结合，，解得，，， 则椭圆C的焦距为，故A错误； 椭圆C的短轴长为，故B正确； 的周长为，故C正确； 假设椭圆C上存在2个点P，使得，设，， 则，， 解得，即为椭圆上顶点或下顶点时，满足题意，故D正确. 故选：BCD. 13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于、两点，则的内切圆面积可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AB 【分析】利用等面积法可求的内切圆半径的取值范围进而得到内切圆面积的范围，从而可得正确的选项. 【详解】设，，根据椭圆的定义可得，，，， ，，而， 所以， 设内切圆半径为， 因为， ， 设过的直线为， 由，消去并整理得，， ，，， ， 令，则， ，单调递增， 当时，取得最小值10，即. ，则. 所以的内切圆面积的范围为.（） 故选：AB. 三、填空题 14．（23-24高二上·江苏无锡·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】写出直线方程并与椭圆方程联立，利用弦长公式可得，整理即可得，代入离心率公式即可得. 【详解】易知左焦点，直线的斜率为， 所以直线方程为，设 联立直线与椭圆方程，消去可得； 可得， 由可得， 即，所以， 故离心率. 故答案为： 15．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与C交于P，Q两点，若，则C的离心率是 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义，都用表示，由，构造齐次式即可求解. 【详解】依题得，，又， 则，， 则， 则， 即， 则，则， 即. 故答案为： 16．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆E以矩形的两个顶点A，B为焦点，且经过C，D两点．若，则E的离心率为 ． 【答案】 【分析】 画出图形，设，，则椭圆的定义可知：，从而可得出答案. 【详解】设矩形的边长，， 故，由椭圆的定义可知：， 所以，所以. 故答案为：.    17．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先由题意求出，再由点差法可以求出直线的斜率，由直线的点斜式化简即可求解. 【详解】根据题意，因为焦点在轴上，所以，则， 即椭圆，所以P点为椭圆内一点， 设，则，， 两式相减得，变形得， 因为点为线段的中点，所以， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 18．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．点P为椭圆（，为焦点）上一点，点P处的切线平分外角．已知椭圆，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】先求得直线l的方程，然后求得直线的方程，进而求得M点坐标，进而求解. 【详解】由题意，设直线l的方程为，即， 联立，整理得， 所以，解得， 所以直线l的方程为， 对于椭圆，，， 则，即，， 所以直线的方程为， 联立，解得，即， 则. 故答案为：.    19．（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 【答案】 【分析】将椭圆与直线联立，由韦达定理表示出AB中点M的坐标，由OM的斜率可得的值，由，则，化简得，联立，可得a、b的值，从而得出椭圆方程． 【详解】由已知条件可知，， 联立，消去并整理得： 设，， 则， 则， 由，则， 又因为, 所以， 解得 所以椭圆方程为 故答案为：    20．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由题意，，结合椭圆定义可将这些长度以及用同一个参数表示，然后分别在在、中，对利用余弦定理，结合离心率公式化为其次方程即可得解. 【详解】如图所示： 由题意，，， 所以不妨设， 而由椭圆定义有， 所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 交叉相乘得，即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决问题的关键在于表示出以及，然后利用余弦定理即可顺利得解. 21．（23-24高二上·江苏常州·期中）椭圆的弦满足，记坐标原点在的射影为，则到直线的距离为1的点的个数为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合直线与这个轨迹的位置关系求解即得. 【详解】椭圆的弦满足，即有 设，则，， 于是，解得，同理， 则，即， 由原点在的射影为，得，而， 因此，即点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为， 圆心到直线的距离，显然此直线与圆相交， 垂直于直线的圆的直径端点到直线距离分别为， 于是圆上到直线的距离为1的点有4个， 所以到直线的距离为1的点的个数为4. 故答案为：4    【点睛】思路点睛：涉及用椭圆上的动点处理问题时，可以借助正余弦函数设出此点坐标，再利用三角函数关系求解. 四、解答题 22．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可由的周长得长轴长，即可得椭圆方程； （2）先用点斜式求得直线的方程，联立椭圆方程计算弦长，根据点到直线的距离公式计算面积即可. 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，依题意，的周长为， 解得， 而焦距为2，则椭圆的半焦距为，， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）知，，设， 则直线的方程为， 联立直线与椭圆方程整理得， 所以， 所以， 又因为到直线的方程为的距离为， 的面积.    23．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知平面上三点A，B，C． (1)若该三点构成三角形，且，建立适当的坐标系，用解析法证明：底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； (2)若，，且动点B满足． ①求动点B的轨迹方程； ②当动点B满足时，求B点的纵坐标． 【答案】(1)证明见解析； (2)①且，②. 【分析】（1）根据已知建立直角坐标系，写出直线、方程，应用点线距离公式求边上任意一点且，到直线、的距离，及到直线的距离即可证结论； （2）①由椭圆定义写出B的轨迹方程；②问题化为求且与圆的交点纵坐标即可. 【详解】（1）构建如下直角坐标系，若且，，则，， 所以，直线方程为，直线方程为， 边上任意一点且，到直线的距离，到直线的距离， 而到直线的距离为， 所以，得证. （2）①由，故B的轨迹是以为焦点的椭圆，且不含长轴端点， 所以，易知，故动点B的轨迹方程且. ②要使，即B点是且与圆的交点， 所以，可得，即B点的纵坐标为. 24．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知椭圆（其中）上顶点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点所围成的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与相交于A、两点，试问曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得方程； （2）设直线，，联立方程结合韦达定理可得，代入椭圆方程运算求解即可. 【详解】（1）因为抛物线的焦点， 由题意可得：，解得， 所以椭圆的方程. （2）不存在，理由如下： 由题意可知：直线的斜率存在，设直线，， 联立方程，消去y得， 则，解得， 可得， 则， 因为， 若，则， 可得， 且点在椭圆上，则，解得或（舍去）， 又因为，所以不存在. 25．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为，一个顶点为H. (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于y轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，求实数t的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆长短半轴长、半焦距即得. （2）设出点坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围求解即得. 【详解】（1）依题意，椭圆E的长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以椭圆E的标准方程为. （2）设，显然，由（1）知，即， 由，得，由，得， 于是，即有，整理得 ， 而，则，又，因此， 故实数t的取值范围为． 26．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心的轨迹方程； （2）设点，则，利用两点间的距离公式求出的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：圆的圆心为，半径． 圆的圆心为，半径， ，所以圆内含于圆． 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 从而，，所以，所以点的轨迹方程为． （2）解：设点，则，则， 则， 所以，，所以， ， . 所以的取值范围为． 27．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、. (1)求椭圆的方程； (2)若，的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由已知可得出的值，利用椭圆的定义可得出的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）解：由已知可得，则， 所以，椭圆的两个焦点分别为、， 由椭圆的定义可得， 则，所以，， 因此，椭圆的方程为. （2）解：设直线的方程为，设点、， 联立可得， ，解得， 由韦达定理可得，， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 28．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知动点满足：. (1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； (2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1)椭圆，的方程是： (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程； （2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程. 【详解】（1）设，，，因为， 所以，且， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆C的方程为，记，则，， 所以，，所以，所以的标准方程为. （2）设点，则， 作差得，除以得， 又由点是AB的中点，则有，所以， 变形可得，所以直线的方程是即， 经检验符合题意，故直线的方程为. 29．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知椭圆（其中）的焦距2，点在上. (1)求的方程； (2)若过右焦点的直线交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求，即可得方程； （2）设，，联立方程，结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意可得：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知：右焦点，且在椭圆内部，则直线与椭圆必相交， 由题意可知：直线的斜率存在，设，， 联立方程，消去y得， 则， 因为， 整理得， 则，解得， 所以的方程为，即. 30．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：，右焦点为，点、分别为左右顶点过点的直线与椭圆交于、两点，其中点在轴上方. (1)若四边形的面积为，求直线的斜率； (2)设直线的斜率为，的斜率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线方程为，联立，消得到，利用韦达定理可得，再根据题设即可得出结果. （2）根据条件得到，再根据韦达定理得，，，代入即可求出结果. 【详解】（1）由题知，，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，且， 由，消得到， 则， 由韦达定理得到，， 如图，四边形的面积 又，所以，整理得到， 解得或（舍）， 即，所以直线的斜率为. （2）易知，所以， 所以， 由（1）知，， 又， ， 所以， 所以的值为. 31．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆上点处的切线方程是， ①过直线上一点引C的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】（1）根据长轴长以及离心率求解出的值，然后求解出的值，则椭圆方程可求； （2）①设出的坐标，根据题设写出切线方程并代入的坐标，由此确定出所在的直线方程，从而可证直线过定点；②根据条件化简，当斜率不存在时直接分析即可；当斜率存在时，根据两点间距离公式得到关于纵坐标的表示形式，再通过联立直线与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，然后将结果代入的表达式进行化简计算，从而求得结果. 【详解】（1）由题意可知：，所以，所以， 所以椭圆的方程为； （2）①设， 由题设可知：， 又因为经过点， 所以，所以均在直线上，即， 由，解得， 所以直线过定点； ②设实数存在，因为，所以， 当直线斜率不存在时，此时，由解得， 所以，所以； 当直线斜率k存在时， 所以， 联立可得， 所以， 所以； 综上可知，存在满足条件. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法： （1）若设直线方程为或，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为之间的线性关系，再用替换或用替换代入直线方程，则定点坐标可求； （2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标. 32．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点是椭圆的上、下顶点，点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)经这点的动直线交椭圆于，两点，若与的斜率之和为定值，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，设点，坐标代入关系化简整理可得； （2）由点为定点，设的斜率为，动直线，利用与椭圆相交解得的坐标，并代入直线的方程，构造关于都满足的一元二次方程，从而由斜率和为定值，得到的关系，从而求得点. 【详解】（1）由点是椭圆的上、下顶点， 则，由得， ， 化简整理得，，即， 且点的轨迹为以为圆心，为半径的圆. 故所求点的轨迹方程为； （2）由（1）知，设的斜率为， 设动直线，由题意知， 直线，直线， 联立得，， 因为直线与椭圆交于两点， 所以， 因为点在直线上， 则， 化简得，， 同理可得，， 所以，是方程的两根， 由韦达定理知，， 由题意知与的斜率之和为定值，设（为常数）， 则，代入直线方程得， 令，解得，代入直线方程得， 故直线过定点，又点在圆上， 则有，解得，即点的坐标为. 【点睛】在解析几何中，常常涉及到一些轮换对称性质的式子（如两根，如两斜率等等），由于式子中的量（如与，与）满足同样的代数关系，因此常用同构的代数方法来解决，其中最重要的同构手段则是构造二次方程，可以通过韦达定理得到题设或结论中的和、积、平方和等轮换对称式，从而找到关系解决问题. 33．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆方程； (2)点分别为椭圆的上下顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，探究直线的交点是否在一条定直线上，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由椭圆离心率可得，再将代入椭圆的方程可得，即可求出椭圆的方程； （2）设，直线的方程为:，联立直线和椭圆的方程求出两根之积和两根之和，设直线的方程和直线的方程，两式联立求得交点的纵坐标的表达式，将两根之积和两根之和代入可证得交点在一条定直线上. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即， 所以，所以， 又因为椭圆过点， 所以，解得：，所以椭圆方程为. （2）因为，设， 直线的方程为:， 联立方程，得， 得 则 直线的方程为： ， 直线的方程为：， 联立两直线方程消元： 法1：由解得：， 代入化简， ， 解得：，即直线的交点在定直线上. 法2：由韦达定理得代入化简 ，得， 即直线的交点在定直线上. 法3：由，得 代入化简，得， 即直线的交点在定直线上. 法4： 代点进椭圆方程得化简得 进而得到，代入化简 转化为韦达定理代入 ，得， 即直线的交点在定直线上. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线. 34．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的长轴长为4 ，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于两点，为原点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)1 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，从而得到，求出椭圆方程； （2）法1和法2，由题意得到直线AB的斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，由根的判别式得到斜率的取值范围，并得到两根之和，两根之积，表达出，换元后，利用基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）由题意得，解得， 故， 故椭圆方程为； （2）法1，由题意，当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：， 联立消去得，， 设， ，解得， ， ， 所以， 点到直线的距离， 所以， 设，则， ， 当且仅当，即时等号成立，即， 解得时取等号，满足， 所以的面积最大为1. 法2，由题意，当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：， 联立消去得，， 设， ，解得， ， ， ， 设，则， ， 当且仅当，即时等号成立，即， 解得时取等号，满足， 所以的面积最大为1. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 35．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，交圆于，.      (1)若点的坐标为，证明：直线； (2)求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设切线方程为，联立方程，再根据结合韦达定理证明即可； （2）分过点的一条切线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，联立方程，再根据结合韦达定理证明即可得出答案. 【详解】（1）由题意切线的斜率存在，设切线方程为， 联立，消得， 则， 所以，即， 所以； （2）设，则， 椭圆：得长半轴长为，短半轴长为， 当过点的一条切线斜率不存在时，不妨取这条切线方程为， 此时，则，解得， 而直线与椭圆相切， 所以当过点的一条切线斜率不存在时，， 当过点的切线斜率存在时，则， 设切线方程为， 联立，消得， 则， 化简得， 所以， 所以， 综上所述，， 所以线段为圆的直径， 所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 36．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆C： ()的左、右焦点分别为，且焦距为，椭圆C的上顶点为B，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过点，且与椭圆C交于M，N两点（不与B重合），直线BM与直线BN分别交直线于P，Q两点．判断是否存在定点G，使得点P，Q关于点G对称，并说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的坐标表示求出，即可求解得结果. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，设出点的坐标，求出点纵坐标，结合韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）依题意，，， 则，解得，而半焦距，于是， 所以椭圆C的方程为． （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，， 由消去y得， ，即， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 设两点的纵坐标分别为，于是，， 显然 ，因此 所以存在，使得点P，Q关于点G对称． 【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系求解． 37．（23-24高二上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点A作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    (1)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有 ，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由； (2)若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值． 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）先求椭圆方程，设直线l：，与椭圆方程联立可求得B，P点坐标，由l方程可求得C点坐标，设存在定点，利用分析可得对任意恒成立，可求得定点坐标； （2）设直线OM: ，与椭圆方程联立可求得M点横坐标，利用弦长公式整理可得，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）由题意可得，，则，则， 则椭圆C的方程为， 设过点A作斜率为的直线l为：，，则， 联立方程，消去y整理得， 易知，可得，解得， 则，，可得， 假设存在定点，则， 由题意可得恒成立， 整理得对任意恒成立， 则，解得，即. （2）设过O点作直线l的平行线为，设， 联立方程，解得， 则， 又，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 38．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和线段相交于点．    (1)求动点的轨迹的方程； (2)设曲线与轴的两个交点分别为、（其中点在点的左侧），过且斜率不为的直线交曲线于、两点，直线、交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义分析可知，曲线是以、为焦点，长轴长为的椭圆，求出、的值，即可得出曲线的方程； （2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：圆的圆心为，半径为， 由中垂线的性质可得，则， 所以，曲线是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 设曲线的方程为，则，， 又因为，则， 因此，曲线的方程为. （2）证明：设直线的方程为，设点、， 易知点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， ，，    所以，直线的方程为，直线的方程为， 由 可得， 解得，故点在直线. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 39．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的的标准方程； (2)若直线的斜率分别为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据两点斜率关系可得直线过定点，进而根据弦长公式得目标函数，即可结合函数的性质求解最值. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，左顶点为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）得，， 因为直线与椭圆交于两点， 由题可知，直线斜率为0时，， 所以直线的斜率不为0，所以设直线 联立方程，得， 所以， 所以 ，解得， 此时恒成立， 所以直线的方程为直线，直线过定点， 此时， ，令 ， 令在上单调递减， 所以的取值范围为． 方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用表示出来，然后再利用基本不等式长最值． 40．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆过点和． (1)求C的方程； (2)设直线l：，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将点代入方程求椭圆参数，即可得方程； （2）设直线，联立椭圆消去x，得，应用韦达定理求N点坐标，弦长公式求，点斜式写出直线并求出M点坐标，点线距离公式求到直线距离，最后得到关于参数t的方程，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由题设，故. （2）由题意，直线不与x轴重合，可设直线， 联立椭圆消去x，可得，即， 此时，所以，， 则，故， 故直线，令，则，所以， 而， 到直线距离，又， 所以，令， 则， 当且仅当时取等号，故最小值为.    【点睛】关键点睛：第二问，注意设直线，联立椭圆，应用韦达定理、中点公式求中点坐标，点斜式求中垂线并求坐标为关键. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$