专题07 椭圆的标准方程（八大题型，45题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题07 椭圆的标准方程（八大题型，45题） 椭圆的定义及辨析 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 4．（23-24高二上·江苏淮安·期中）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则 利用椭圆定义求方程 6．（22-23高二上·江苏淮安·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 11．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏无锡·期中）设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（　   ） A． B．3 C． D． 13．（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江苏·期中）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 15．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆：，为椭圆上任意一点，点，，则的最小值为 . 根据椭圆方程求a、b、c 16．（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 17．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·江苏徐州·期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高二上·江苏徐州·期中）椭圆的焦点为，上顶点为，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 20．（22-23高二上·江苏无锡·期中）椭圆的一个焦点是，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 21．（23-24高二上·江苏扬州·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（a>b>0）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则该椭圆的面积为 . 22．（22-23高二上·江苏扬州·期中）若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则 ． 椭圆的方程与椭圆（焦点）的位置特征 23．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 26．（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 27．（22-23高二上·江苏连云港·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4； (2)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1. 根据a、c、c求椭圆标准方程 28．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（    ）    A． B． C． D． 29．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高二上·江苏盐城·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为 . 33．（23-24高二上·江苏扬州·期中）若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ． 34．（23-24高二下·江苏连云港·期中） 点，是椭圆上的两点，过原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于另一点 ， (1)求椭圆的标准方程； (2)求证 为定值． 求椭圆的焦点、焦距 35．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 36．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆上一点的横坐标为，是椭圆的右焦点，则点到点的距离为（    ） A． B． C． D． 37．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆，则它的焦点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 38．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，则椭圆的焦距的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 39．（23-24高二上·江苏扬州·期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为 . 椭圆中焦点三角形的面积问题 40．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 41．（23-24高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 42．（23-24高二上·江苏常州·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 43．（23-24高二上·江苏南通·期中）（多选）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为4 44．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左焦点为，，是椭圆上关于原点对称的两点，若，则的面积为 . 45．（22-23高二上·江苏盐城·期中）设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为 . 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 椭圆的标准方程（八大题型，45题） 椭圆的定义及辨析 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】做出合理的辅助线，利用椭圆定义求出方程，后设点，用圆中的勾股定理转化为函数最值问题求解即可. 【详解】   连接，中点为， ， ，即椭圆方程为 设，则，，连接, 由题意知，，且 ，由二次函数性质得，当时 取得最大值，此时 故选：B 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，然后利用角平分线定理求得正确答案. 【详解】椭圆对应的， 所以， 依题意可知是的角平分线， 根据角平分线定理得. 故选：D 3．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【分析】运用圆与圆的位置关系的结论，结合椭圆定义可解. 【详解】由题意，记圆半径为．不妨令圆的半径为，圆的半径为，且， 则动圆与圆内切，与圆外切，可得：， 两式相加得：，且，故圆心的轨迹为椭圆． 故选：D． 4．（23-24高二上·江苏淮安·期中）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义即可得解. 【详解】由椭圆，得，则， 所以. 故选：C. 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则 【答案】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，求得，运用椭圆的定义和光线反射定律，以及角平分线定理和椭圆的光学性质得到直线平分，可得，即可得到所求值． 【详解】 曲线C的方程为，即，即有，， 由椭圆的定义可得且， 过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，结合光线的反射定律可得为的角平分线，即有． 故答案为： 利用椭圆定义求方程 6．（22-23高二上·江苏淮安·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为 焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程. 【详解】由题意得：到与的距离之和为，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，， 所以，，所以椭圆方程为. 故选：C 7．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义即可求出答案. 【详解】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，，， 即动点轨迹方程为. 故选：D. 8．（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义分析求解，注意焦点所在位置. 【详解】由题意可知：， 可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 则，可得， 注意到焦点在y轴上，所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题． 【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的左焦点为，即， 则， 故要求的最小值，即求的最小值， 所以的最小值等于， 即的最小值为， 故选：D． 10．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】设该椭圆的右焦点为， 因为点P在C上，所以， 所以， 当三点共线时，有最大值，即， 所以的最大值为， 故选：C    11．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值． 【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上， ，， ，当是的延长线椭圆的交点时，取等号， 所以的最大值为， 故选：B． 12．（23-24高二上·江苏无锡·期中）设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（　   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：D    13．（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，求出的最小值，即可得解. 【详解】椭圆，则，，， 如图，设椭圆的右焦点为， 则； ， 由图形知，当在直线（与椭圆的交点）上时，， 当不在直线（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有， ； 当在的延长线（与椭圆的交点）上时，取得最小值， 的最小值为．    故选：． 14．（23-24高二上·江苏·期中）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆的焦点坐标，求出圆心和半径，求解的表达式，然后求解最值. 【详解】点为椭圆：的右焦点，设椭圆的左焦点为， 又为上一点，为圆：上一点，圆的圆心，半径为， 则， 当且仅当四点共线时取等号， 则的最大值为. 故选：D. 15．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆：，为椭圆上任意一点，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先求出椭圆的焦点，再判断点在椭圆外，最后根据两点间线段最短求出的最小值； 【详解】解：椭圆：中，，所以，所以为椭圆的左焦点， 又点，则，所以点在椭圆外， 所以当点为线段与椭圆的交点时最小， 其最小值为. 故答案为： 根据椭圆方程求a、b、c 16．（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】先根据椭圆的标准方程，判断出和是椭圆的两个焦点及，，的值，再根据椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值可得结论. 【详解】因为椭圆的标准方程为：，所以该椭圆的交点在轴上，且，， 所以，所以焦点坐标为：和. 因为表示点到两点和的距离之和； 根据椭圆的定义，所以. 故选：A. 17．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义以及标准方程即可得出结果. 【详解】由题知，椭圆， 则长轴，焦距， 的周长为. 故选：D 18．（23-24高二上·江苏徐州·期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果. 【详解】由题意可知的蒙日圆方程为， 因为圆与圆仅有一个公共点， 所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值， 所以或， 由此解得， 故选：B. 19．（22-23高二上·江苏徐州·期中）椭圆的焦点为，上顶点为，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】 由，得为等边三角形，则可得，所以，再由椭圆方程求得，代入可求出的值 【详解】由，得，则， 因为椭圆的焦点为，上顶点为， ， 所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以，所以，解得， 故选：C 20．（22-23高二上·江苏无锡·期中）椭圆的一个焦点是，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可得焦点在轴上，由，可得的值． 【详解】椭圆的一个焦点是，焦点在轴上， ，，， ． 故选：B 21．（23-24高二上·江苏扬州·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（a>b>0）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则该椭圆的面积为 . 【答案】 【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出、，进而求出面积. 【详解】设，，记的中点为，即， 因为的中点为，所以由中点坐标公式得， 因为直线过椭圆焦点，所以直线斜率为， 又因为，在椭圆上， 所以，两式相减得， 整理得，代值化简得， 因为椭圆的焦点为， 所以，得，， 由题意可知，椭圆的面积为. 故答案为：. 22．（22-23高二上·江苏扬州·期中）若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则 ． 【答案】4 【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4， 所以， 解得. 故答案为：4. 椭圆的方程与椭圆（焦点）的位置特征 23．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点所在轴，列出关于k的不等式求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以有，解得. 故选：A 24．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定焦点位置，再根据计算即可. 【详解】由已知可得椭圆的焦点在轴上， 故， 则， 得. 故选：D. 25．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知列出不等式组，求解不等式组，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得. 故答案为：. 26．（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把给定方程化成标准形式，再利用椭圆的特征列式求解即得. 【详解】椭圆方程化为， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 27．（22-23高二上·江苏连云港·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4； (2)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，再由焦点位置得出椭圆方程； （2）由题意求出，根据焦点在x轴写出方程. 【详解】（1）由题意得：，， 故， 因为焦点在轴上，故椭圆方程为. （2）如图，    由题意得：，， 所以，， 结合焦点在轴上，故椭圆方程为：. 根据a、c、c求椭圆标准方程 28．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行关系得到相似关系，得到，，结合题目条件，求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意得， 当时，，解得，故， 所以， 因为，所以，即，解得， 故， 所以，解得， 所以， 椭圆C的标准方程为. 故选：A 29．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由椭圆面积公式求得关于a,b的关系式，结合等边三角形性质可得a,b的基本关系，联立方程即可求解. 【详解】由椭圆面积公式可得,依题意有①， 又长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，得②， 联立①②得：， 故椭圆的方程为. 故选：A 30．（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程转化为，利用椭圆定义法求标准方程. 【详解】已知动点满足方程， 设，且， 则有， 故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程， 则，， 故所求轨迹方程为, 故选：B. 31．（22-23高二上·江苏盐城·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆面积公式求得关于的关系式，结合等边三角形性质可得的基本关系，联立方程即可求解. 【详解】由椭圆面积公式可得，当时，①，如图，当为等边三角形时，②，联立①②得：，故椭圆的方程为. 故选：B 32．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为 . 【答案】 【分析】根据已知和椭圆定义求出、，点在轴上（也为椭圆的顶点），在中，由余弦定理、解得，再由求出可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 又，所以，，， 又，所以，所以，所以在轴上（也为椭圆的顶点）， 在中，由余弦定理可得， ，可得，解得， 所以，则的方程为. 故答案为：. 33．（23-24高二上·江苏扬州·期中）若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据焦距求得，结合椭圆的方程求得. 【详解】由于椭圆焦距为，所以， 由于椭圆的焦点在轴上，， 所以， 解得. 故答案为： 34．（23-24高二下·江苏连云港·期中） 点，是椭圆上的两点，过原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于另一点 ， (1)求椭圆的标准方程； (2)求证 为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分类讨论当椭圆的焦点在、时，设椭圆方程，将点的坐标代入建立方程组，解之即可求解； （2）设，根据两点表示直线斜率公式可得，结合即可求解. 【详解】（1）当椭圆的焦点在轴时，设椭圆的方程为， 则，解得，所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴时，设椭圆的方程为， 则，解得，所以椭圆的方程为，不符合题意. 所以椭圆的方程为； （2）设，则， 可得·. 又，所以，从而，为定值 求椭圆的焦点、焦距 35．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【答案】C 【分析】根据题意先求出c的值，根据椭圆方程的标准形式，求出m的值． 【详解】由题有，所以 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 的值为5或3. 故选C. 36．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆上一点的横坐标为，是椭圆的右焦点，则点到点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标，代入求得点纵坐标后，由两点间距离公式计算距离． 【详解】解：已知椭圆， 则，，则，， 椭圆的右焦点的坐标为， 将代入得， 则. 故选：D. 37．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆，则它的焦点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】转化为标准方程后即可求解. 【详解】椭圆的标准方程为，其中， 所以. 所以焦点坐标是和. 故选：B 38．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，则椭圆的焦距的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】通过求出，然后求出即可求解． 【详解】椭圆的左、右焦点分别为、，可得，则， 则． 故选：B． 39．（23-24高二上·江苏扬州·期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知可求得点的轨迹方程为（），即椭圆.根据椭圆的定义转化为求的最值，结合图象，即可得出答案. 【详解】设，，则，， 由已知可得，，即， 整理可得，. 所以，点的轨迹方程为（）. 所以，，，，所以. 则为椭圆的左焦点，设右焦点为， 根据椭圆的定义有， 所以， 所以，. ①当时，根据三边关系可知有， 当且仅当三点共线时，等号成立， 即位于图中点时，有最大值为， 所以，； ②当时，根据三边关系可知有， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 即位于图中点时，有最小值为， 所以，. 综上所述，. 故答案为：. 椭圆中焦点三角形的面积问题 40．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，设，结合椭圆的定义以及勾股定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，设， 则，所以， 解得，所以. 故选：A 41．（23-24高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】求出椭圆方程，利用动点的位置变化，研究的取值范围判断A；根据椭圆的几何性质及余弦定理求解判断B；分类讨论，借助方程组求动点坐标判断C；利用三角形不等式求解判断D. 【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，得， 将代入，则，解得，不妨令，， 由，则，即，将其代入，可得， 化简得，由，解得，则椭圆， 对于A，当点为椭圆的上（或下）顶点时，最大，如图： 由椭圆，则，，在中，， 由对称性得，因此的取值范围为，A正确； 对于B，如图： 设，，则，， 在中，由余弦定理得，即，整理得， 因此，B错误； 对于C，设，，则，， 当时，为等腰三角形，此时的坐标为或， 当时，为等腰三角形，此时，设， 则，消去得， 由，则方程有解，C错误； 对于D，显然，当且仅当点为椭圆长轴端点时取等号， 因此，D正确. 故选：AD 42．（23-24高二上·江苏常州·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径的关系，正余弦定理，即可依次得出答案. 【详解】由题意知，，，则，. 对于A选项，因为，解得，又， 则，，故A错误； 对于B选项，的周长为，故B正确； 对于C选项，设的内切圆的半径， 则， 又，， 解得，故C正确； 对于D选项，在中， 由， 解得， 又， 即， 整理得：， 即， 即， 又， 解得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理知： ，即，解得，故D正确. 故选：BCD. 43．（23-24高二上·江苏南通·期中）（多选）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为4 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项． 【详解】在椭圆中，，且， 对于A选项，当时，则为椭圆的上下顶点，故， 由余弦定理可得， 因为，所以，，A对； 对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大， 所以，△面积的最大值为，B错误； 对于C选项，因为，即， 所以，C对； 对于D选项，由椭圆定义可知， 所以，当且仅当时取等号． 故选：ACD． 44．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左焦点为，，是椭圆上关于原点对称的两点，若，则的面积为 . 【答案】1 【分析】 求出，的坐标，即可得出三角形的面积. 【详解】由题意， 在椭圆中，， ，在椭圆上关于原点对称 ∴，    设， ∴ ∵， ∴ ∴解得：或， ∴ ∴，解得：， 故答案为：. 45．（22-23高二上·江苏盐城·期中）设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为 . 【答案】4 【分析】根据椭圆的方程求得c，得到，设出，，利用勾股定理以及椭圆的定义，可求得的值，即可求出三角形面积． 【详解】∵，；∴，因为，所以， 设，， 则①，②， 由①2﹣②得， ∴． 故答案为：4． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$