专题06 圆与圆的位置关系（六大题型，38题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题06 圆与圆的位置关系（六大题型，38题） 判断圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．外离 D．内含 3．（22-23高二上·江苏盐城·期中）圆和的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 4．（22-23高二上·江苏扬州·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 5．（22-23高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 6．（22-23高二上·江苏连云港·期中）圆与圆的位置关系是 ． 7．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程. 由圆的位置关系确定参数或范围 8．（23-24高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设集合，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 12．（23-24高二上·江苏徐州·期中）在平面直角坐标系中，已知是圆的一条弦，且满足，点是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ． 13．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，点，. (1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围； (2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围. 14．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，圆的半径为1. (1)若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)若圆的圆心在直线：上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆圆心的横坐标的取值范围. 15．（22-23高二上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，点，直线：，设的半径为1，圆心C在直线上．    (1)若圆心C也在直线上，过点A作的切线，求切线的方程； (2)若上存在点M，使得，求圆心C的横坐标a的取值范围． 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 16．（23-24高二上·江苏连云港·期中）写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程： . 17．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆，点． (1)过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆相切于点，求圆的方程． 18．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，，为坐标原点. (1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率； (2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程. 19．（22-23高二上·江苏无锡·期中）已知以点为圆心的圆与圆相外切，过点的动直线与圆相交于､两点． (1)求圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程． 20．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知圆经过、、三点． (1)求圆的方程； (2)已知圆与圆外切于点，且圆心在直线上，求圆的方程. 相交圆的公共弦方程 21．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 22．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知圆与圆的公共弦所在直线与轴垂直，则实数的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 23．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：与圆：的公共弦所在直线经过定点，且点在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知圆C：，P为直线l：上的动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形APBC的面积最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·江苏常州·期中）（多选）已知圆与圆交于A，两点，则（    ） A．线段的中垂线方程为 B．直线的方程为： C．公共弦的长为 D．所有经过A，两点的圆中，面积最小的圆是圆 26．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ． 27．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，当点在直线上运动，直线过定点，则点的坐标为 . 28．（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，已知圆：，点为直线上一点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N.    (1)已知，求切线的方程； (2)直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由. 两圆的公共弦长 29．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 30．（22-23高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，为直线上的点，，以为直径的（圆心为）与直线交于另一点，若为等腰三角形，则点的横坐标为 ；若与相交于、两点，则公共弦长度最小值为 ． 31．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知圆方程：，圆相交点A、B． (1)求经过点A、B的直线方程. (2)求的面积. 32．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知圆：和圆：. (1)若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程： (2)求圆与圆的公共弦的长. 33．（21-22高二上·江苏徐州·期中）已知圆与． (1)过点作直线与圆相切，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求的长． 圆的公切线条数 34．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆：与圆：的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（23-24高二上·江苏无锡·期中）若圆与圆有条公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 36．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）（多选）若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（      ） A．1 B．121 C．36 D．126 37．（23-24高二上·江苏淮安·期中）（多选）已知与，以下结论正确的有（    ） A．与有且仅有2条公切线 B．若直线与分别切于相异的两点，则 C．若分别是与上的动点，则的最大值为10 D．与的一条公切线斜率为 38．（23-24高二上·江苏盐城·期中）（多选）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 D．若，则圆与圆恰有三条公切线 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆与圆的位置关系（六大题型，38题） 判断圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解. 【详解】由，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为为圆心，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆相交. 故选：C. 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．外离 D．内含 【答案】B 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】由，即， 则圆心，半径为， ，即， 则圆心，半径为， 所以两圆圆心距为， 则，即两圆相交. 故选：B. 3．（22-23高二上·江苏盐城·期中）圆和的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】由圆与圆的位置关系判断， 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆可化为，圆心为，半径为4， 而两圆心的距离为，故两圆外切， 故选：D 4．（22-23高二上·江苏扬州·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】A 【分析】根据两圆的圆心距离以及半径之和和半径之差的关系，即可判断. 【详解】的圆心记为，半径， 将化成标准式为：，故得圆心，半径， 则两圆的圆心的距离, 由于 ，故两圆相交， 故选：A 5．（22-23高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】求出两圆圆心距，再判断两圆位置关系作答. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，有， 所以圆与圆相交. 故选：A 6．（22-23高二上·江苏连云港·期中）圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据可确定两圆关系. 【详解】圆可化为，圆心为，半径； 圆，圆心为，半径； 圆心距，，， 易得，两圆相交. 故答案为：相交. 7．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出圆心距与两圆半径的和、差比较可得； （2）由出两圆交点坐标，设出圆心坐标，由圆心到这两个交点距离相等求得参数值 ，得圆心坐标，再计算出半径后可得圆方程． 【详解】（1）证明：圆：化为标准方程为， ∴，，∵圆：的圆心坐标为，半径为， ∴，∵.∴两圆相交； （2）由，解得或 则交点为，，∵圆心在直线上，设圆心为， 则，即，解得， 故圆心，半径，∴所求圆的方程为. 由圆的位置关系确定参数或范围 8．（23-24高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆相交建立不等式求解. 【详解】由圆的方程可知，，， 所以根据两圆相交可得，即或， 故选：C 9．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设集合，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的意义及集合间的运算结果可得两圆位置关系，进而可得参数范围. 【详解】由已知集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部， 集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部， 又， 得圆与圆相内切或内含，且圆在内部， 所以， 解得， 又， 所以， 故选：C. 10．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取，则为等边三角形，分析可知，满足条件的点一定在的外接圆上，求出的外接圆的圆心以及圆的半径，由圆与圆有公共点，可得出关于实数的不等式，结合可得出实数的取值范围. 【详解】取，则，同理可得，， 所以，，所以满足条件的点一定在的外接圆上， 的外接圆半径为， 所以，的外接圆圆心为，且， 要使得圆上存在一点，使得，所以圆与圆有公共点， 则，即， 又，解得． 故选：C． 11．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，，则， 因为圆与圆有公共点，所以，即， 解得，所以实数a取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高二上·江苏徐州·期中）在平面直角坐标系中，已知是圆的一条弦，且满足，点是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】先求出圆的圆心、半径，根据已知得出点满足的轨迹方程.由恒成立，可知点始终在圆的内部或圆上，即圆始终在圆的内部或内切于圆.进而求出到直线的距离，根据两圆的位置关系列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得圆的圆心为，半径. 因为点是弦的中点，所以. 又，所以是等腰直角三角形， 所以，，. 所以，点在以为圆心，1为半径的圆上， 点所在的圆的方程为. 设以为直径的圆心为，半径为R. 要使得恒成立，则点始终在圆的内部或圆上， 即圆始终在圆的内部或内切于圆. 又点到直线的距离， 所以，当且仅当与直线垂直时，等号成立. 由圆和圆的关系， 可知，，所以， 当圆内切于圆时，等号成立，半径最小. 所以线段AB长度的最小值是.    故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由恒成立，得出点与以为直径的圆为圆的关系，进而得出点的轨迹与圆的位置关系. 13．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，点，. (1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围； (2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系可得以为直径的圆的方程为，即可根据两圆位置关系求解. （2）根据中点坐标公式得到，，再将两点的坐标代入圆方程，建立方程组，根据方程组有解转化为圆与圆的位置关系进行求解． 【详解】（1）的中点为，所以以为直径的圆的方程为， 由于圆上存在点满足， 则P在以为直径的圆上，故该圆与有交点即可， 所以,解得 （2）由题可知，圆，所以圆心， 直线， 因为为线段上的任意一点，所以设，，， 因为为的中点， 所以， 又因为，都在以点为圆心的圆上， 所以，即， 所以方程组有解，即为圆心为半径的圆与为圆心为半径的圆有公共点，两圆圆心距离为， 所以对恒成立， 因为时，，所以，解得， 又因为在圆外，所以恒成立，所以，，所以， 所以， 14．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，圆的半径为1. (1)若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)若圆的圆心在直线：上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆圆心的横坐标的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）确定圆方程，考虑切线斜率不存在和存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案. （2）确定圆方程，根据得到的轨迹为圆，确定两圆的位置关系，解得答案. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为1，故圆方程为， 当切线斜率不存在时，易知与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得，切线方程为：； 综上所述：切线方程为或. （2）圆方程为， 设，，故， 整理得的，故在两圆的交点上，故两圆相切或者相交， 即，解得或， 故. 15．（22-23高二上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，点，直线：，设的半径为1，圆心C在直线上．    (1)若圆心C也在直线上，过点A作的切线，求切线的方程； (2)若上存在点M，使得，求圆心C的横坐标a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求得圆心，再根据半径为1，可得圆的方程.分类讨论斜率不存在和存在时的情况，由圆心到切线的距离等于半径求得切线方程； （2）可设圆心 ，设点，则由可得，设此圆为圆D，由题意可得，圆C和圆D有交点，故两圆相交，由此有，解之可得的取值范围. 【详解】（1）由题设，知圆心C是直线和的交点， 联立方程，解得，即两直线的交点坐标为， 所以点C的坐标为，圆C的方程为， 当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为，不满足条件； 当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由题意得，解得， 所以切线方程为或； 综上所述：所求切线方程为或. （2）因为圆心C在直线上，所以设点C的坐标为， 圆C的方程为， 设点，因为， 所以， 化简得，即， 所以点M在以点为圆心，2为半径的圆上. 由题意，点在圆C上， 所以圆C与圆D有公共点， 则，即，解得， 所以圆心C的横坐标的取值范围为. 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 16．（23-24高二上·江苏连云港·期中）写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】 由题设，设圆心为，则半径，讨论所求圆与圆外切、内切，分别求出对应m即可得结果. 【详解】设圆心为，则半径， 假设与圆外切，则， 所以，故，则， 若，则，则圆心为，半径为，故； 若，则，不满足前提； 假设与圆内切，又与的距离为， 此时，圆内切于所求圆，则， 所以，故，则， 若，则，则圆心为，半径为，故； 若，则，不满足前提； 综上，或.    故答案为：（答案不唯一） 17．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆，点． (1)过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆相切于点，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 （1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，若直线的斜率存在，设的方程为，利用圆心到直线的距离为，求出，即可得解； （2）设圆的方程为，依题意圆心在直线上，从而得到方程组，解得即可. 【详解】（1）圆即， 圆心为，半径， 若直线的斜率不存在，则的方程为， 将代入圆的方程，解得或， 所以，符合条件； 若直线的斜率存在，设的方程为， 即． 因为，所以圆心到直线的距离为， 所以， 解得，所以直线的方程为， 综上，直线的方程为或. （2）设圆的方程为． 因为圆经过点，且与圆相切于点， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为． 18．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，，为坐标原点. (1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率； (2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的位置，即可得出直线的斜率； （2）设出点坐标，利用圆与圆外切和圆到原点的距离即可得出圆的方程. 【详解】（1）在圆中， ，圆心，半径， 当最大时，与圆相切，, 此时点为的中点， 点恰好是以为圆心，为直径的圆与的交点， 此时, ∴, （2）由题意及（1）得， 在圆中， 圆心，半径， 圆过点及点， ∴圆的圆心在直线上， 设，半径为， 因为圆与圆外切， 所以，即， 又，即， ∴联立解得：或(舍)， 所以， 故所求圆的标准方程为：. 19．（22-23高二上·江苏无锡·期中）已知以点为圆心的圆与圆相外切，过点的动直线与圆相交于､两点． (1)求圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两圆外切建立方程即可求解； （2）先由弦长，可得圆心到直线的距离，接着再分类讨论设出直线的方程，再通过建立方程即可求解． 【详解】（1）圆方程可化为：， 圆心，半径， 又圆心为，设圆的半径为， 又圆与圆相外切，， ，， 圆的标准方程为； （2）弦长，又圆的半径， 圆心到直线的距离， ①当过点的直线与轴垂直时， 的方程为，满足； ②当过点的直线与轴不垂直时， 设的方程为，即， ，解得， 直线的方程为，即， 综合可得直线的方程为或． 20．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知圆经过、、三点． (1)求圆的方程； (2)已知圆与圆外切于点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，将、、三点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，即可得出圆的方程； （2）分析可知圆心直线上，求出直线的方程，将直线的方程与直线的方程联立，求出圆心的坐标，以及圆的半径，进而可得出圆的方程. 【详解】（1）解：设圆的方程为． 将、、三点坐标代入圆的方程可得，解得. 所以圆的方程为，即． （2）解：因为圆与圆外切于点，所以圆心直线上，圆心的坐标为， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 又点在直线上，联立，解得，即点， 所以，圆的半径为， 所以圆的方程为． 相交圆的公共弦方程 21．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 【答案】B 【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，即可判断结果. 【详解】圆：， 所以圆心为，半径为， 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在圆与圆的公共弦上， 将圆：与圆：作差， 得两圆公共弦所在直线方程， 代入得. 故选：B 22．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知圆与圆的公共弦所在直线与轴垂直，则实数的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】两个圆方程相减，可得所在直线方程，翻译条件解出值即可. 【详解】， 两方程相减得到公共弦所在直线方程为 公共弦所在直线方程与轴垂直，，解得 故选：D 23．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：与圆：的公共弦所在直线经过定点，且点在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将两个圆直接作差即可求出公共弦所在直线方程，然后求出定点的坐标，代入直线方程中，最后根据二次函数进行求解取值范围即可. 【详解】已知，， 将两圆作差得：， 即两圆公共弦所在直线方程为：， 易知直线恒过，即点坐标为， 将点坐标代入中得：， ， 故的取值范围是. 故选：A 24．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知圆C：，P为直线l：上的动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形APBC的面积最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的几何性质判断出直线时，四边形APBC的面积最小，利用圆与圆相交弦所在直线方程的求法求得正确答案. 【详解】点C到直线l的距离为， 所以直线l与圆C相离， 由圆的知识可知， 四点A，P，B，C四点共圆，且， 所以四边形APBC的面积， 而，当直线时， ，此时四边形APBC的面积最小， 所以CP：，即，由， 解得，即. 所以以CP为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线AB的方程. 故选：C 25．（23-24高二上·江苏常州·期中）（多选）已知圆与圆交于A，两点，则（    ） A．线段的中垂线方程为 B．直线的方程为： C．公共弦的长为 D．所有经过A，两点的圆中，面积最小的圆是圆 【答案】BCD 【分析】根据线段的中垂线过两圆圆心可判断A；两圆方程消去二次项即可判断B；由弦长公式计算可判断C；判断是否为圆的直径即可判断D. 【详解】将两圆化为标准方程得，， 圆心分别为，半径分别为， 由圆的性质可知，线段的中垂线过圆心，斜率为， 由点斜式方程得，即，A错误； 由得直线的方程为，B正确； 圆心到直线的距离， 所以，C正确； 易知经过A，两点的圆中，以为直径的圆的面积最小， 因为，所以圆即是以为直径的圆，故D正确. 故选：BCD. 26．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】设，根据题意确定出四点共圆并求解出圆的方程，然后根据两圆相交弦所在直线方程的求法求解出结果. 【详解】设，如下图， 因为为圆的切线， 所以，所以， 所以四点共圆，且为圆的直径，记的中点为， 因为，所以， 所以经过四点的圆的方程为， 显然与的相交弦为， 所以所在直线的方程为， 即为， 故答案为：. 27．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，当点在直线上运动，直线过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，在以PC为直径的圆上，求出圆的方程，与已知圆相减得直线AB的方程，从而可求定点. 【详解】圆，∴圆心，半径， 点在直线上运动，设， 由题意知在以PC为直径的圆上， 圆的方程为， 化简得：， 与圆相减，得直线AB的方程：， 即，由，解得， 所以直线过定点. 故答案为：. 28．（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，已知圆：，点为直线上一点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N.    (1)已知，求切线的方程； (2)直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】(1)或 (2)直线MN恒过定点，定点坐标为 【分析】（1）易知当切线斜率不存在时其方程为；当切线斜率存在时设其方程为，两圆直线与圆位置关系建立方程，解之即可求解； （2）如图，易知四点共圆，由题意求出其圆心坐标和半径，进而可得圆的标准方程，连接，则为两圆的公共弦.利用两圆的方程相减即可求解. 【详解】（1）由题意知，当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为， 即，由圆心到切线的距离等于半径， 得，解得，则切线方程为. 综上，切线方程为或. （2）连接，则，连接，    则四点共圆，为圆的直径，设为圆， 连接，则为两圆的公共弦. 又，半径为， 所以，又， 两圆的方程相减，得， 即直线MN的方程为，即， 所以直线MN恒过定点. 两圆的公共弦长 29．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题设整理可得点P的轨迹方程为圆，由两圆方程消去二次项可得公共弦所在直线方程，然后由点到直线的距离公式和圆的弦长公式可得. 【详解】设，则， 整理得， 联立消去二次项得公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为1， 所以公共弦长为. 故选：A 30．（22-23高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，为直线上的点，，以为直径的（圆心为）与直线交于另一点，若为等腰三角形，则点的横坐标为 ；若与相交于、两点，则公共弦长度最小值为 ． 【答案】 或 【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到为等腰直角三角形，求出过点且与直线垂直的直线，两直线的交点即为点坐标，再求出，依题意，设，即可得到方程，解得点的横坐标，再设，即可表示出圆的方程，两圆方程作差得到公共弦方程，求出公共弦过定点，再由弦长公式求出公共弦的最小值. 【详解】解：依题意为直径，所以，又为等腰三角形，所以为等腰直角三角形， 过点与直线垂直的直线方程为， 由，解得，即，又， 则，设，所以，解得或， 设，则、的中点，， 所以圆的方程为， 又，所以公共弦的方程为， 即，即， 令，解得，即直线恒过定点， 的圆心，半径， 所以，所以公共弦的最小值为； 故答案为：或； 31．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知圆方程：，圆相交点A、B． (1)求经过点A、B的直线方程. (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）判断两圆相交，再将两圆方程相减即可作答. （2）由（1）的结论，求出点到直线的距离，进而求出弦长，求出三角形面积作答. 【详解】（1）圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，且有，则圆与圆相交，    由消去二次项得， 所以直线的方程为. （2）由（1）知，点到直线：的距离， 于是， 所以的面积. 32．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知圆：和圆：. (1)若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程： (2)求圆与圆的公共弦的长. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求得圆的标准方程，由此求得，再分类讨论直线斜率存在的情况，利用点线距离公式即可求得直线的方程； （2）先由圆心距判断得两圆相交，再由圆的一般方程相减得到公共弦方程，由此利用弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】（1）由得，故圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故， 若直线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线斜率存在，设直线方程为，即， 故，解得，则直线方程为， 所以直线得方程为或. （2）因为圆：，所以圆的圆心为，， 所以，， 故，即圆与圆相交， 联立，两式相减得公共弦方程为， 所以圆心到公共弦的距离为， 又因为，所以公共弦长为. 33．（21-22高二上·江苏徐州·期中）已知圆与． (1)过点作直线与圆相切，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据已知可得圆心与半径，再利用几何法可得切线方程； （2）联立两圆方程可得公共弦方程，进而可得弦长. 【详解】（1）解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为． 若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件． 若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即： 由与圆相切可得：，解得： 所以的方程为：，即： 综上可得的方程为：或． （2）联立两圆方程得：， 消去二次项得所在直线的方程：， 圆的圆心到的距离， 所以. 圆的公切线条数 34．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆：与圆：的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两圆的标准方程，判断出两圆的位置关系，即可得出结果. 【详解】因为圆：的圆心为，， 圆：的圆心为，， 所以，可得，故圆与圆相交， 所以圆与圆的公切线条数为2条， 故选：B. 35．（23-24高二上·江苏无锡·期中）若圆与圆有条公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分析可知两圆外切，可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有条公切线，则两圆外切，则，即， 解得. 故选：C. 36．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）（多选）若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（      ） A．1 B．121 C．36 D．126 【答案】AB 【分析】由与圆相内切，结合圆与圆的位置关系，求解即可. 【详解】由圆与圆， 则圆， 可得，且，则， 若圆与圆有且仅有一条公切线，则与圆内切， 则满足，即，解得或， 故选：AB. 37．（23-24高二上·江苏淮安·期中）（多选）已知与，以下结论正确的有（    ） A．与有且仅有2条公切线 B．若直线与分别切于相异的两点，则 C．若分别是与上的动点，则的最大值为10 D．与的一条公切线斜率为 【答案】BCD 【分析】分别求两圆的圆心和半径，对于C：根据圆的性质分析求解；对于A：根据两圆位置关系分析求解；对于BD：根据公切线的性质结合图形分析求解. 【详解】由题意可知：的圆心，半径，的圆心，半径， 对于选项C：因为， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以的最大值为10，故C正确； 对于选项A：因为，则与外切， 所以与有且仅有3条公切线，故A错误； 对于选项B、D：若直线与分别切于相异的两点，显然直线的斜率存在且不为0， 根据对称性，不妨设直线的与x轴交点为，斜率为，如图所示， 连接，过作，垂足为，    可知四边形为矩形，且， 在中，可得， 所以，直线的斜率，故B、D正确； 故选：BCD. 38．（23-24高二上·江苏盐城·期中）（多选）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 D．若，则圆与圆恰有三条公切线 【答案】BD 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】直线的方程为，由，得，直线过定点，A错误； 又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B正确； 当时，直线：，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误； 当时，圆的方程化为， 其圆心为，半径为3，两圆圆心距为， 两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确. 故选：BD 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$