精品解析：四川省达州铁路中学2023-2024学年八年级下学期期中检测数学试题

达州铁路中学八年级下学期期中数学试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列手机中的图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项、、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ） A. a﹣1＜b﹣1 B. a2＜b2 C. D. ﹣2a＞﹣2b 【答案】B 【解析】 【分析】选项A、C、D根据不等式的性质，分别判断各选项即可；选项B根据乘方的定义判断即可． 【详解】解：A．∵a＜b， ∴a-1＜b-1，故A不符合题意． B．a＜b，不妨设a=-2，b=1， 则a2＞b2，故B符合题意． C．∵a＜b， ∴，故C不符合题意． D．∵a＜b， ∴-2a＞-2b，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 3. 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【详解】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴，， ∴． 故选：B． 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式因式分解的意义，逐个判断得结论． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，是整式的乘法，故此选项不符合题意； C、，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； D、，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式是关键． 5. 下图是一个不等式组中的所有不等式的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据数轴的性质：实心圆点包括该点用“”，“”表示，空心圆圈不包括该点用“”，“”表示，大于向右小于向左．表示出相交部分即为不等式的解集． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组的解集为：． 故选：C． 【点睛】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．解题的关键是掌握在数轴上如何表示不等式的解集． 6. 已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（　　） A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 11或15 【答案】C 【解析】 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 当作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：， 当作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解． 7. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 8. 如图，将绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为，A，D，E三点在同一直线上时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，即可得出答案． 【详解】解：由旋转可知，， ∴． 故选：C． 9. 在平面直角坐标系xOy中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知两直线的交点坐标为(-2，3)，即可确定不等式的解集． 【详解】解：根据图象可知两直线的交点坐标为(-2，3)， ∴不等式的解集为． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，将沿方向平移得到，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质得到，由平移的性质，得到是等腰直角三角形，由三角形的面积公式求出长，即可求出的长，从而求出的长． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵沿方向平移得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查平移的性质，等腰直角三角形，关键是掌握平移的性质，等腰直角三角形的性质． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 12. 如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10． 14. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图过程可知，是线段的垂直平分线，则，，由题意知，的周长为，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴，， 由题意知，的周长为， ∴的周长为 即的周长为， 故答案为：． 15. 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为__． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 三、解答题（共90分） 16. （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和解一元一次不等式，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解、公式法因式分解等知识，先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可得到答案．熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键． 【详解】解： ． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．请你画出以下图形： （1）将向下平移4个单位，得到的； （2）将绕点顺时针旋转，得到的； （3）以点为顶点的三角形的面积为 ． 【答案】（1） 如图所示， （2） 如图所示， （3）8 【解析】 【分析】本题考查平移和旋转作图，求网格中三角形的面积，作平移后的图形、旋转图形的关键是把对应点的位置画正确． （1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质进行作图即可； （3）利用网格特点求出三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ； 19. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长． 【答案】 （1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°． ∵在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）． （2）BD=2 【解析】 【分析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出两个三角形全等即可． （2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1， ∴DC=DE=1． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°． ∵∠B=30°， ∴BD=2DE=2． 20. 先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知a、、c是的三边，且满足，试判断的形状． （3）当x为何值时代数式有最大值？求出这个最大值． 【答案】（1） （2）是等腰三角形或直角三角形 （3），最大值为 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用； （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用提公因式法和平方差公式分解因式，可得或，即可求解； （3）先对式子进行因式分解，得到时，取得最大值 【小问1详解】 【小问2详解】 解：∵， ， ∴ ∴或， 解得或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 【小问3详解】 时，即，原式有最大值． 21. 计算： （1） ； （2）= ； （3）= ； （4）请你利用你找到的简便方法计算： ． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及有理数加减乘除混合运算，找到规律是解决问题的关键． （1）利用平方差运算展开，在分别计算加减，最后由乘法运算求解即可得到答案； （2）在括号内分别利用平方差运算展开，再由加减运算及乘法运算求解即可得到答案； （3）在括号内分别利用平方差运算展开，再由加减运算及乘法运算求解即可得到答案； （4）先由平方差展开，在计算加减，找到各个式子的规律，除了首项及尾项，中间均约掉即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， 故答案为：； 【小问4详解】 解： ． 22. 【初步探究】 （1）如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接、．判断的形状，并说明理由． 【拓展应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第四象限内，若是等腰直角三角形，则点的坐标是　 　． （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕若点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是　 　． 【答案】 （1）结论：是等腰直角三角形． 理由：在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）或或； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可求解； （2）分、、，三种情况求解即可； （3）求出，则：，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解． 【详解】：（1）略 （2）如图，当，时，过点作于点，过点作于点， 点，点， ，，， ， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为， 如图，当，时，过点作，过点作交于点， ， ，， ，， ，且，， ， ，， ，点的横坐标为：， 点坐标为， 如图，当，时，过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作轴交轴于点， ， 则， ，， ，， ，且，， ， ，， ， ， ， ，， 点坐标， 综上所述：点坐标为：或或， 故答案为：或或； （3）如图作于， 设点的坐标为， 由（1）知：，， 则点， 则：， 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ， 故：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题为四边形综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，坐标与图形，勾股定理，其中（3），将的值转化点到点和点的最小值，是本题的新颖点． 23. 成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人． （1）参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？ （2）某公司有两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示； 型号客车 型号客车 载客量（人辆） 40 55 租金（元/辆） 900 1200 学校计划租用两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？ 【答案】（1）参加活动的八年级学生有670人，老师有30人 （2）共有三种不同的租车方案，最少的租车费用为15600元 【解析】 【分析】（1）设带队老师有人，则学生有人，根据“八年级学生和带队老师共700人参加研学活动”，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据表格中的数据和题意，可以写出费用和租用种型号车辆数的函数关系，再根据题目中的数据，可以列出相应的不等式组，从而可以得到相应的租车方案，然后根据一次函数的性质，即可得到最少的租车费用． 【小问1详解】 解：设带队老师有人，则学生有人， 由题意可得：， 解得：， ， 答：参加活动的八年级学生有670人，老师有30人； 【小问2详解】 解：设租用种型号的客车辆，则租用种型号的客车辆，总费用为元， 由题意可得：， ， 随的增大而减小， 每天租车的总费用不超过16200元，学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动， ， 解得：， 为整数， 或11或12，即共有三种租车方案， 当时，取得最小值，此时， 答：共有三种不同的租车方案，最少的租车费用为15600元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程、不等式组，写出相应的函数，利用一次函数的性质求最值． 24. 如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标； （3）点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）直线的函数表达式为 （2） （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法可求出答案； （2）根据三角形的面积可求出点的纵坐标，代入直线的解析式可得出答案； （3）分四种情况画出图形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质可求出答案． 【小问1详解】 解：直线：分别与轴，轴交于两点， 在中，当时，， 点坐标为， 点在轴正半轴上，， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：直线：分别与轴，轴交于两点， 在中，当时，， 解得， ， ， ， ， ， ， 由题意知，点在轴下方， ， ， ， 把代入， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：若点在轴的正半轴，如图， ， 是以为底边的等腰直角三角形， ， ， 直线的解析式为， 时，， ， ， ， ； 若点在轴的负半轴，如图， ， 同理可得， ， ； 若点在轴的负半轴，如图， ， 过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 设，则， ， 解得， ， ， ； 若点在轴的正半轴，如图， ， 过点作轴于点， 同理可得， ， ， ， ， ， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，面积的计算等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质． 25. 请阅读材料并填空： 如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长． 李明同学的思路是： 将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接． （1）根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 °，等边的边长为 ． （2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长． （3）【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 【答案】（1）150， （2），正方形边长为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质推出是等边三角形，得到，．根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，可求得的度数；过点B作，交的延长线于点M，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （2）可将绕点逆时针旋转，得到，进而可判断出是等腰直角三角形，可得；然后根据、、的长，利用勾股定理得到是直角三角形的结论，可得，即可求得的度数，进而可得的度数．过作的垂线，交的延长线于，易知是等腰直角三角形，即可得到、的长，进而可在中，利用勾股定理求得正方形的边长． （3）如图4中，先由旋转的性质得出，，，，，求出，由勾股定理求出，的长度，当点B，点P，点D，点E四点共线时，有最小值，最小值为的长，据此即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得出，如图， ，，，， 又， 是等边三角形， ，． ，， ， ， ，则是直角三角形， ； 过点B作，交的延长线于点M， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴等边三角形的边长为． 故答案为：150，； 【小问2详解】 解：如图， 将绕点逆时针旋转，得，则． ，； 连接， 在中， ，， ，； 在中，，，， ，即； 是直角三角形，即， ， ． 过点作，交的延长线于点；则是等腰直角三角形， ， ， ； 在中，由勾股定理，得； ，正方形边长为； 【小问3详解】 解：如图，将绕A顺时针旋转，得到，连接， ∵将绕A顺时针旋转，得到， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过点E作交的延长线于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点B，点P，点D，点E四点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是考查了旋转变换的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州铁路中学八年级下学期期中数学试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列手机中的图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ） A. a﹣1＜b﹣1 B. a2＜b2 C. D. ﹣2a＞﹣2b 3. 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（    ） A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 下图是一个不等式组中的所有不等式的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 6. 已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（　　） A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 11或15 7. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 8. 如图，将绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为，A，D，E三点在同一直线上时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系xOy中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角三角形中，，将沿方向平移得到，若，，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 因式分解：______． 12. 如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ________． 13. 如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则___________． 14. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为______． 15. 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为__． 三、解答题（共90分） 16. （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 17. 因式分解：． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．请你画出以下图形： （1）将向下平移4个单位，得到的； （2）将绕点顺时针旋转，得到的； （3）以点为顶点的三角形的面积为 ． 19. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长． 20. 先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知a、、c是的三边，且满足，试判断的形状． （3）当x为何值时代数式有最大值？求出这个最大值． 21. 计算： （1） ； （2）= ； （3）= ； （4）请你利用你找到的简便方法计算： ． 22. 【初步探究】 （1）如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接、．判断的形状，并说明理由． 【拓展应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第四象限内，若是等腰直角三角形，则点的坐标是　 　． （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕若点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是　 　． 23. 成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人． （1）参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？ （2）某公司有两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示； 型号客车 型号客车 载客量（人辆） 40 55 租金（元/辆） 900 1200 学校计划租用两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？ 24. 如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标； （3）点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 25. 请阅读材料并填空： 如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长． 李明同学的思路是： 将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接． （1）根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 °，等边的边长为 ． （2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长． （3）【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $