专题04 投影与视图（考点清单，7个考点梳理+12种题型解读）（期末复习知识清单）九年级数学上学期鲁教版

专题04投影与视图 （7个考点梳理+12种题型解读） 【清单01】平行投影 ◆太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影.  【清单02】中心投影 ◆手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影 【清单03】正投影 ◆投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 【清单04】三视图的概念 ◆主视图、左视图、俯视图. 【清单05】画三视图 ◆①确定主视图的位置，画出主视图；． ◆②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；. ◆③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等； ◆注意：不可见的轮廓线，用虚线画出. 【清单06】由三视图确定几何体 ◆根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，再综合起来考虑整体图形． 【清单07】由三视图确定几何体的面积和体积 ◆①先根据三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等； ◆②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积） 【考点题型一】投影的概念 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列影子的形成属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．不同时间下的树影 C．路灯下的影子 D．舞台上的影子 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列各种现象中，属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．阳光下旗杆的影子 C．台灯下的笔筒的影子 D．汽车灯光照射下行人的影子 【变式1-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 【考点题型二】投影的性质和规律 【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，当物体与影子全等时（   ） A．物体与投影面平行 B．物体与投影面垂直 C．任一位置 D．不存在这种情况 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④② 【变式2-2】（23-24九年级下·内蒙古包头·开学考试）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【考点题型三】利用投影求物体的长度 【例3】（24-25九年级上·山西长治·期中）《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（    ） A．4米 B．8米 C．12米 D．16米 【变式3-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上．    (1)请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段． (2)如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度． 【变式3-2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）周末清晨，小敏和父亲来到家附近的河堤散步，如图，梯形是露在地上的河堤一部分，河堤的一侧有一棵树，小敏想测量这棵树的高度．她和爸爸查询资料得知，河堤两侧的坡度，．某一时刻，在太阳光的照射下，树的影子一部分落在地面处，一部分落在斜坡处，M刚好是的中点，同时，小敏观察到此刻太阳光线与斜坡面所在的直线平行，经测量坡面米，米，请你帮小敏求出树的高度．（参考数据：，结果保留整数） 【考点题型四】判断几何体的三视图 【例4】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示的圆柱体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024九年级上·全国·专题练习）圆锥体的三视图是（   ） A．三个三角形 B．一个三角形，两个圆 C．两个三角形，一个圆（包括圆心） D．一个圆，两个矩形 【变式4-2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列各几何体中，俯视图与球体的俯视图可能一样的是（   ）． A．三棱柱 B．圆柱体 C．长方体 D．正方体 【考点题型五】判断非实心几何体的三视图 【例5】如图所示的“中”字，俯视图是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·浙江·中考真题）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ）    A． B． C． D． 【考点题型六】判断组合体的三视图 【例6】如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】如两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】画几何体的三视图 【例7】下图是一个机器零件的毛坯，请将这个机器零件的三视图补充完整． 【变式7-1】10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，取得圆满成功．如图是小明制作的火箭模型的半成品，请你画出该模型的三视图． 【变式7-2】请你在右边的方格中画出如左图所示几何体的三视图： 【考点题型八】由三视图判断几何体 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）一个手提水果篮的抽象几何体从正面看和从上面看到的形状图如图所示，则这个水果篮的抽象几何体是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．正方体 【变式8-2】（2024·安徽·三模）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体不可能是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】利用三视图求几何体的表面积、体积等 【例9】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，． (1)求出m，n的值； (2)求该三棱柱的体积． 【变式9-2】（23-24九年级上·山西运城·期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为． (1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全； (2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________； (3)左视图中矩形的面积为________； (4)这个四棱柱的体积为________． 【考点题型十】由一种视图判断其他视图 【例10】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如右图所示，是一个由9个相同大小的立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中个数表示该位置立方块的个数，则该几何体的主视图为是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图如图所示． (1)请你画出这个几何体的俯视图； (2)若组成这个几何体的小正方体的块数为，请你写出的所有可能值． 【考点题型十一】由三视图判断小正方体的个数 【例11】（24-25六年级上·山东青岛·阶段练习）由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是 ． 【变式11-1】（24-25七年级上·重庆·期中）一个几何体由若干大小相同且棱长为的小立方块搭成．从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．          (1)请在方框中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)该几何体的表面积（包括底面）是________． 【考点题型十二】小正方体组合体的综合应用 【例12】（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图是由若干个小正方体搭建而成的几何体，兴趣小组展开了下面的讨论 (1)甲同学认为：从正面和上面看到的图形形状相同； 乙同学认为：从正面和左面看到的图形形状相同； 丙同学认为：从正面、左面、上面看到的图形形状都相同； 三位同学的说法正确的是________同学． (2)丁同学提出了一个问题：假设每个小正方体的棱长为，计算该几何体的表面积（含底面积），请帮他解决． (3)某同学发现：给这个几何体再添加一个小正方体后并不影响它从正面、左面、上面看到的图形形状，你同意该同学的观点吗？若同意，请将这个小正方体补在相应位置处（涂黑），若不同意，请说明理由． 【变式12-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，这是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数． (1)请在方格图中，画出该几何体的主视图和左视图． (2)若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加个________小正方体． 【变式12-2】（2024·内蒙古赤峰·二模）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04投影与视图 （7个考点梳理+12种题型解读） 【清单01】平行投影 ◆太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影.  【清单02】中心投影 ◆手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影 【清单03】正投影 ◆投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 【清单04】三视图的概念 ◆主视图、左视图、俯视图. 【清单05】画三视图 ◆①确定主视图的位置，画出主视图；． ◆②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；. ◆③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等； ◆注意：不可见的轮廓线，用虚线画出. 【清单06】由三视图确定几何体 ◆根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，再综合起来考虑整体图形． 【清单07】由三视图确定几何体的面积和体积 ◆①先根据三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等； ◆②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积） 【考点题型一】投影的概念 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列影子的形成属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．不同时间下的树影 C．路灯下的影子 D．舞台上的影子 【答案】B 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握平行投影是解题的关键；根据平行投影可进行求解． 【详解】解：A、皮影戏中的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； B、不同时间下的树影，属于平行投影，本选项符合题意； C、路灯下的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； D、舞台上的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列各种现象中，属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．阳光下旗杆的影子 C．台灯下的笔筒的影子 D．汽车灯光照射下行人的影子 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影；根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A. 皮影戏中的影子为中心投影，故此选项不合题意；     B. 阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意； C. 台灯下的笔筒的影子为中心投影，故此选项不合题意；     D. 汽车灯光照射下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意； 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 【答案】D 【分析】本题合考查了平行投影和中心投影的特点和规律，平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据平行投影和中心投影的特点和规律，结合题意可得平行投影和中心投影都可能出现这种情况． 【详解】解：根据题意只知道电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，平行投影和中心投影都可能出现这种情况，所以可能是平行投影也可能是中心投影． 故选：D． 【考点题型二】投影的性质和规律 【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，当物体与影子全等时（   ） A．物体与投影面平行 B．物体与投影面垂直 C．任一位置 D．不存在这种情况 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据题意，由平行投影的性质即可解答． 【详解】解：当物体与投影面平行时，物体与影子全等，反之亦然， 故选：A． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④② 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，据此即可判断求解，掌握平行投影的特点和规律是解题的关键． 【详解】解：∵就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∴影子的图按时间先后顺序进行排列为④②①③， 故选：． 【变式2-2】（23-24九年级下·内蒙古包头·开学考试）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【答案】D 【分析】本题考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别，根据中心投影、平行投影、正投影的定义即可得出答案． 【详解】解：一定不会改变的形状和大小的是：当平行投影面时的正投影， 故选：D． 【考点题型三】利用投影求物体的长度 【例3】（24-25九年级上·山西长治·期中）《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（    ） A．4米 B．8米 C．12米 D．16米 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；设旗杆的高度为x米，由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，由题意得： ， 解得：； 故选D． 【变式3-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上．    (1)请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段． (2)如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1米 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）连接进而延长交于点，再连接并延长交于点，得出进而得出答案； （2）证明，根据相似三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：路灯,即为所求；    （2）， ， ， 灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离， ， 解得： ∴乙影子的长度为． 【变式3-2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）周末清晨，小敏和父亲来到家附近的河堤散步，如图，梯形是露在地上的河堤一部分，河堤的一侧有一棵树，小敏想测量这棵树的高度．她和爸爸查询资料得知，河堤两侧的坡度，．某一时刻，在太阳光的照射下，树的影子一部分落在地面处，一部分落在斜坡处，M刚好是的中点，同时，小敏观察到此刻太阳光线与斜坡面所在的直线平行，经测量坡面米，米，请你帮小敏求出树的高度．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】16米 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出的长是解题关键．过点M作垂足为点H，过点M作垂足为点Q，再过点E作垂足为点G，并连接．直接利用同一时刻影子长与其高度成正比，得出，进而求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点M作垂足为点H，过点M作垂足为点Q，再过点E作垂足为点G，并连接． ∵M为边中点，且， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵太阳光线与斜坡面所在的直线平行， ∴， ∴． 又∵， 即， ∴ ∴ 答：大树的高约为16米． 【考点题型四】判断几何体的三视图 【例4】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示的圆柱体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了物体的三视图，根据圆柱体的左视图是圆形解答即可，解题的关键是熟记在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 【详解】解：圆柱体的左视图是， 故选：． 【变式4-1】（2024九年级上·全国·专题练习）圆锥体的三视图是（   ） A．三个三角形 B．一个三角形，两个圆 C．两个三角形，一个圆（包括圆心） D．一个圆，两个矩形 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三种视图，根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行解答即可． 【详解】解：圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是一个圆（包括圆心）， 故选：C． 【变式4-2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列各几何体中，俯视图与球体的俯视图可能一样的是（   ）． A．三棱柱 B．圆柱体 C．长方体 D．正方体 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的俯视图．熟练掌握简单几何体的俯视图是解题的关键． 根据各几何体的俯视图判断作答即可． 【详解】解：由题意知，球体的俯视图是圆， 三棱柱的俯视图是三角形，故A不符合要求； 圆柱体的俯视图是圆，故B符合要求； 长方体的俯视图是长方形，故C不符合要求； 正方体的俯视图是正方形，故D不符合要求； 故选：B． 【考点题型五】判断非实心几何体的三视图 【例5】如图所示的“中”字，俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 找到从几何体的上面看所得到的图形即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：D． 【变式5-1】（2024·浙江·中考真题）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了俯视图．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】 解：榫的俯视图是 故选：D． 【考点题型六】判断组合体的三视图 【例6】如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，从左到右共3列，小正方形的个数分别为：1、2、1， 故选：A． 【变式6-1】如两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此判断即可． 【详解】解：A．它的左视图的两个长方形的长应该相等，故此选项不符合题意； B．它的左视图应该是上下两层，故此选项不符合题意； C．该图形是几何体的左视图，故此选项符合题意； D．它的左视图应该是上下两层，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式6-1】如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，从左边看是一个圆中间有一个点，右边的圆柱看不到应该画虚线，据此求解即可． 【详解】解：从左边看是一个圆中间有一个点，右边的圆柱看不到应该画虚线，可得选项C的图形． 故选：C． 【考点题型七】画几何体的三视图 【例7】下图是一个机器零件的毛坯，请将这个机器零件的三视图补充完整． 【答案】图形见解析． 【分析】根据三视图的定义补全视图即可． 【详解】解：如图所示． 【点睛】此题主要考查了画几何体的三视图，注意三视图中实线与虚线的区别是解题的关键． 【变式7-1】10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，取得圆满成功．如图是小明制作的火箭模型的半成品，请你画出该模型的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查画三视图，根据主视图就是从正面看得到的图形；左视图就是从左面看得到的图形；俯视图就是从上面看得到的图形画图即可，也是解题关键． 【详解】解：三视图如图所示： 【变式7-2】请你在右边的方格中画出如左图所示几何体的三视图： 【答案】见解析 【分析】此题考查了三视图，分别是从几何体的正面，左面，上面看得到的图形求解即可． 【详解】如图所示， 【考点题型八】由三视图判断几何体 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）一个手提水果篮的抽象几何体从正面看和从上面看到的形状图如图所示，则这个水果篮的抽象几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据几何体三视图判断几何体形状．根据题意利用几何体主视图和俯视图即可得到本题答案． 【详解】解：∵从正面看即主视图，上边是一个拱形，下边是一个矩形， ∵从上面看即俯视图是一个圆形， ∴几何体是D图形， 故选：D． 【变式8-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．正方体 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据前两个视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据第三个视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案． 【详解】解：∵前两个视图都是长方形， ∴该几何体是一个柱体， 又第三个视图是一个三角形， 故该几何体是一个三棱柱． 故选：C． 【变式8-2】（2024·安徽·三模）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握常见的几何体的三视图是解答本题的关键． 根据主视图和左视图以及大小即可进行逐一判断选项． 【详解】解：由主视图和左视图得，下方立体图形可能为长方体或者圆柱，上方立体图形可能为圆柱或者正方体，且下方的立体图形比上方的大，故B、C、D不符合题意，选项A符合题意， 故选：A． 【考点题型九】利用三视图求几何体的表面积、体积等 【例9】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图还原立体图形并求组合体的表面积，涉及圆柱的表面积求法，根据三视图准确得到立体图形，熟练掌握圆柱表面积求法列式求解即可得到答案，发挥空间想象能力，熟记圆柱表面积计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：有这个几何体的三视图可知，几何体是两个圆柱的组合体，上层是直径较小的圆柱、下层是直径较大的圆柱， 这个几何体的表面积是两个圆柱的表面积减去上层圆柱底面圆面积的2倍，则； ； 这个几何体的表面积是， 故选：C． 【变式9-1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，． (1)求出m，n的值； (2)求该三棱柱的体积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查根据三视图求几何体的体积．掌握三视图的特点，是解题的关键． （1）根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等，结合正切值的定义，进行求解即可； （2）根据三视图，得到几何体为直三棱柱，利用直三棱柱的体积公式：底面积乘以高进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，作于D， 由题意可知，这个三棱柱的高为6，． ，， ， ，， ，即； （2）俯视图中的三角形的底边，高， ， ． 【变式9-2】（23-24九年级上·山西运城·期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为． (1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全； (2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________； (3)左视图中矩形的面积为________； (4)这个四棱柱的体积为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据所在的面在前，所在的面在后，得到主视图中应补充两条虚线，画出图形即可； （2）由俯视图为等腰梯形，可得，再根据四棱柱的侧面积为，计算即可得出答案； （3）作于，于，则四边形是矩形，证明得到，由勾股定理计算出，由此即可得出答案； （4）先由梯形的面积公式计算出底面积，再乘以高即可得到答案． 【详解】（1）解：所在的面在前，所在的面在后， 主视图中应补充两条虚线， 补充完整如图所示： （2）解：俯视图为等腰梯形， ， 该四棱柱的侧面积为， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，作于，于， ，俯视图为等腰梯形， ，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 左视图中矩形的面积为：， 故答案为：8； （4）解：由题意得： 这个四棱柱的体积为， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了几何体的三视图、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰梯形的性质、求几何体的体积等知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【考点题型十】由一种视图判断其他视图 【例10】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如右图所示，是一个由9个相同大小的立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中个数表示该位置立方块的个数，则该几何体的主视图为是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】】此题考查了三视图判断几何体，根据俯视图可得从正面看可看到每列正方体的最多个数分别为1，3，3，再表示为平面图形即可． 【详解】解：根据俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数，得出主视图有3列，从左到右的列数分别是1，3，3． 故选：D． 【变式10-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图如图所示． (1)请你画出这个几何体的俯视图； (2)若组成这个几何体的小正方体的块数为，请你写出的所有可能值． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了对三视图的理解应用及空间想象能力． （1）由左视图可得第一层立方体的可能个数，由主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，画出几何体可能的俯视图即可； （2）易得这个几何体共有2层，由左视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可． 【详解】（1）解：由题中所给出的主视图知这个几何体共二列，且右侧一列高两层，左侧一列最高一层，由左视图可知左侧一层，右侧两层； 后面一行有1或2个小正方体，而前面一行可能有2个或3个小正方体， 这个几何体的俯视图如图所示： 或或或； （2）解：由（1）知图中的小正方体最少3块，最多5块， 或或． 【考点题型十一】由三视图判断小正方体的个数 【例11】（24-25六年级上·山东青岛·阶段练习）由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了由三视图还原实物图形，熟练掌握三视图确定各层小正方体数，是解题的关键． 根据几何体的三视图，可以知道这个几何体有3行2列2层，得出底层和第二层的个数相加即可． 【详解】解：综合三视图得出，这个几何体有3行2列2层， 从上面看底层有4个小正方体； 从正面看和从左面看第二层有1个小正方体； 因此搭成这个几何体的小正方体的个数是：． 故答案为：5． 【变式11-1】（24-25七年级上·重庆·期中）一个几何体由若干大小相同且棱长为的小立方块搭成．从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．          (1)请在方框中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)该几何体的表面积（包括底面）是________． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，计算几何体的表面积等知识点， （1）根据题意可知，从正面看，看到的图形分为上中下三层，共三列，从左边数，第一列下面一层有一个小正方形，第二列上中下三层各有一个小正方形，第三列上中下两层各有一个小正方形，从左面看，看到的图形分为上中下三层，共三列，从左边数，第一列上中下三层各有一个小正方形，第二列上中下三层各有一个小正方形，第三列下面一层有一个小正方形，据此画图即可； （2）根据从三个方向看到的形状确定该几何体露在外面的面(边长为的正方形)有多少个即可得到答案； 熟练掌握从不同的方向看几何体是解决此题的关键． 【详解】（1）如图所示，即为所求， （2）∵， ∴这个几何体的表面积为， 故答案为：． 【考点题型十二】小正方体组合体的综合应用 【例12】（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图是由若干个小正方体搭建而成的几何体，兴趣小组展开了下面的讨论 (1)甲同学认为：从正面和上面看到的图形形状相同； 乙同学认为：从正面和左面看到的图形形状相同； 丙同学认为：从正面、左面、上面看到的图形形状都相同； 三位同学的说法正确的是________同学． (2)丁同学提出了一个问题：假设每个小正方体的棱长为，计算该几何体的表面积（含底面积），请帮他解决． (3)某同学发现：给这个几何体再添加一个小正方体后并不影响它从正面、左面、上面看到的图形形状，你同意该同学的观点吗？若同意，请将这个小正方体补在相应位置处（涂黑），若不同意，请说明理由． 【答案】(1)乙 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体的形状图、几何体的表面积等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）分别画出几何体从不同方向看到的形状图即可求解； （2）根据题意数出几何体露在外面的小正方形的个数即可求解； （3）根据题意补出正方体所在位置即可． 【详解】（1）解：几何体从不同方向看到的形状图如下图所示： 所以从正面和左面看到的图形形状相同， 所以三位同学的说法正确的是乙同学， 故答案为：乙； （2）解：根据题意得：上下底面一共露出来个小正方形，前后两个面一共露出来个小正方形，左右两个面一共露出来个小正方形， 所以几何体的表面积为：（）； （3）解：如图所示：    【变式12-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，这是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数． (1)请在方格图中，画出该几何体的主视图和左视图． (2)若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加个________小正方体． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三视图的画法； （1）根据三视图的画法，画出图形即可求解； （2）从俯视图的角度出发，同时考虑左视图的情况，即可求解． 【详解】（1）如图所示： （2）解：如图所示：保持主视图和左视图不变，则最多可以添加1个小正方体． 【变式12-2】（2024·内蒙古赤峰·二模）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1)10，见解析 (2)64 (3)4 【分析】本题考查作图三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图． （1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量； （3）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量． 【详解】（1）由图可知小正方形的个数为：， 这个几何体的主视图、左视图、俯视图的形状图如下： 故答案为：10； （2）解：（克）， 故答案为：64； （3）解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示： 因此最多可添加4块． 故答案为：4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$