精品解析：湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

2024—2025学年度上学期2022级 9月月考数学试卷 命题人：郑华 审题人：裴艳 考试时间：2024年9月25日 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 集合，若，则集合可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合M，再根据给定的并集结果逐项判断作答. 【详解】解不等式得：，则，而， 对于A，，不符合题意，A不是； 对于B，，不符合题意，B不是； 对于C，，符合题意，C是； 对于D，若，则，不符合题意，D不是. 故选：C 2. 若复数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算性质结合等比数列前n项和公式化简求值. 【详解】， 所以. 故选：C. 3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 则， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 4. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求解． 【详解】由题意知， 所以，两边取以10为底的对数，得， 所以， 故选：D. 5. 已知且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式结合求，注意确定角的范围，然后得出结论． 【详解】因为且，函数在上单调递减， ，， 又，，所以， ， ，， 所以， 又，，所以，结合，可得， 所以，所以， 故选：A． 6. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 7. 函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，结合导数研究函数的性态，进一步准确画出函数图象，观察图象即可得解. 【详解】设，的定义域为， 当时，，此时的图象与的图象没有交点， 当时，，此时的图象与的图象没有交点， 当时，，此时的图象与的图象有一个交点， 当时，，此时的图象与的图象没有交点， 当时，，此时的图象与的图象没有交点， 当时，，此时的图象与的图象有一个交点， 当时，，， 注意到， 所以在上均单调递增， 设， 则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而的图象在上“向上凸起”， 的图象在上“向下凸起”， 且注意到，且趋于时，趋于负无穷， 结合以上分析，画出在上的函数图象可知，的图象在上有一个交点， 当时，，， 注意到， 所以在上均单调递减， 设， 则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而的图象在上“向上凸起”， 的图象在上“向下凸起”， 且注意到，且趋于时，趋于负无穷， 结合以上分析，画出在上的函数图象可知，的图象在上有一个交点， 当时，，此时的图象与的图象有一个交点， 当时，，， 注意到， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 设， 则， 所以在上均单调递减， 从而的图象在上均“向上凸起”， 且注意到， 结合以上分析，画出在上的函数图象可知，的图象在上有一个交点， 当时，，此时的图象与的图象没有交点； 综上所述，函数与函数的图象交点个数为6. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用准确作出函数图象，从而即可顺利得解. 8. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件结合对数的性质将化为，结合，得到，根据递增，得到也是递增数列，得，即可求解. 【详解】由题知是的正整数解， 故，取指数得， 同除得，，故， 即，根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 由斐波那契数列可得，，，， 可以得到满足要求的的最大值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用对数的运算将， 转化为，结合的表达式得到， 从而求解的最大值. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为 B. 随机变量服从正态分布，，若，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 【答案】BD 【解析】 【分析】根据方差的定义求新数据的方差可判断A，由条件，结合正态分布密度曲线的对称性可求，判断B， 由条件结合回归方程过中心点可求，由此可求，判断C，根据性质判断D. 【详解】对于A选项，去掉后的平均数为， 方差为，故A选项错误； 对于B选项，由于随机变量服从正态分布， ，， 故， 所以，关于对称， 所以，故B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 又因为回归方程为， 所以， 所以，故C选项错误； 对于D选项，对于独立性检验，随机变量的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低， 故越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确． 故选：BD． 10. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小， 此时,所以体积最小值为，故选项B正确； 对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项C不正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心， ,,,所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为, 由,,可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ） A. 的斜率为 B. 是锐角三角形 C. 四边形的面积是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意分析可知为等边三角形，即可得直线的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线的方程，联立方程求点的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即， 设， 则，可得∥x轴， 因为，即， 可知为等边三角形，即， 且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确； 则直线， 联立方程，解得或， 即，，则， 可得， 在中，，且， 可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确； 四边形的面积为，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 （1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解； （3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“使”为假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 在中，，∠，D为线段AB靠近点的三等分点，E为线段CD的中点，若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】记，，由余弦定理及基本不等式求出的最大值，用表示出，然后求数量积后可得结论． 【详解】记，， 又由余弦定理得，即， ， 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 由题意， ， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：． 14. 将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，若，，则这样的数列共有_____个． 【答案】360 【解析】 【分析】根据前项的和进行列举，从而利用排列知识确定正确答案. 【详解】∵，∴前项的和， 列举可知： ①（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（1，2，6）有4个； ②（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6）有3个； ③（1，4，5）有1个； ④（2，3，4），（2，3，5）有2个； 共有10个， ∴共计有个这样的数列． 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，若． （1）求的值； （2）若的面积为，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，可求的值； （2）已知条件结合三角形面积公式化简求出，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得，由，得，可求周长的取值范围． 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理可得：， 由余弦定理知：，， 可得， 则有，由，解得. 【小问2详解】 中由余弦定理知，又在中有， ∴，化简得， ∵，∴. 又，由正弦定理得：，， ， 因在中，，，， 所以，当时，等号成立， ∴周长的取值范围是． 16. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，若数列满足，且数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列前和与项的关系可求得，再根据等差数列的通项公式即可求解； （2）由已知，利用裂项相消法求得，分离参数得，构造函数，再根据其单调性，求出，从而确定的范围. 【小问1详解】 ∵，当时，， 两式相减得：，整理得， ∵，∴，当时，， ∴（舍）或， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则； 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， 由，令， 则时， 所以，即随着增大，减小， 所以． 17. 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，． （1）求证：； （2）若面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到直线距离的最大值． 【答案】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. （3）利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 18. 已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上.互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点. （1）求的方程； （2）若直线交轴于点，设. ①求； ②记，，求. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据渐近线设出双曲线方程，再代入点的坐标，即可求解双曲线方程； （2）①方法一，设的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求点的坐标，同理求点的坐标，利用，，三点共线，即可求解；方法二，设直线的方程为，其他步骤与方法一相同； ②根据为奇数和偶数，分组求和，化简求和形式为，再利用错位相减法求和. 【小问1详解】 因为渐近线方程为，可设双曲线方程为， 因为点在双曲线上，所以，则， 所以的方程为； 【小问2详解】 ①当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在时， 直线与轴重合，不符合题意；所以直线的斜率均存在且不为， 解法一：，，，， 设的方程为，由， 得， 所以恒成立，，所以， 因为，所以， 所以，同理， 因为、、三点共线，所以， 所以，化简得：； 解法二：设的方程为，，，，， 由，得， 则，所以， 所以，则， 所以，同理可得， 因为、、三点共线，所以， 又，所以， 因为，所以； ②， 所以 ， 设， 则， 所以， 所以 ， 所以， 所以. . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 如果函数 的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 ，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表 及轴围成图形面积为4. （1）若 ，求 的表达式； （2）求曲线 与直线 所围成图形的面积； （3）若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义及计算得解； （2）根据新定义，构造函数即可得出面积； （3）根据所给条件可得在 上单调递增，转化为在 恒成立，就导数的符号分类讨论后可求参数的取值范围. 【小问1详解】 ，其中 为常数. 而 ，即 ，所以 ， 所以. 【小问2详解】 联立 ，解得 ， 当时，，令 ， 则围成的面积 【小问3详解】 令 ， 由题意可知，，满足， 即，即在 上单调递增， 进而在 恒成立，在 恒成立. ， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 故； 若，则时，，故在上为减函数， 故时，，与题设矛盾； 故. 【点睛】关键点点睛：本题第三步关键在于利用，都满足，得出函数在 上单调递增，再结合导数的符号分类讨论后可得参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期2022级 9月月考数学试卷 命题人：郑华 审题人：裴艳 考试时间：2024年9月25日 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 集合，若，则集合可以为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15 5. 已知且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为 B. 随机变量服从正态分布，，若，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 10. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ） A. 的斜率为 B. 是锐角三角形 C. 四边形的面积是 D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________. 13. 在中，，∠，D为线段AB靠近点的三等分点，E为线段CD的中点，若，则的最大值为________． 14. 将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，若，，则这样的数列共有_____个． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，若． （1）求的值； （2）若的面积为，求周长的取值范围． 16. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，若数列满足，且数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 17. 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，． （1）求证：； （2）若面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到直线距离的最大值． 18. 已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上.互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点. （1）求的方程； （2）若直线交轴于点，设. ①求； ②记，，求. 19. 如果函数 的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 ，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表 及轴围成图形面积为4. （1）若 ，求 的表达式； （2）求曲线 与直线 所围成图形的面积； （3）若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $