精品解析：湖北省荆门德艺高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（概率与立体几何）

2024年荆门市德艺高级中学高二上学期数学第一次月考题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93　28　12　45　85　69　68　34　31　25 73　93　02　75　56　48　87　30　11　35据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（ ） A. 0.50 B. 0.45 C. 0.40 D. 0.35 2. 已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设表示事件“3件产品 全不是次品”，表示事件“3件产品全是次品”，表示事件“3件产品中至少有1件是 次品”，则下列结论正确的是（ ） A 与互斥 B. 与互斥但不对立 C 任意两个事件均互斥 D. 与对立 3. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A. B. C. D. 4. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设，为两个随机事件，给出以下命题，不正确的是（ ） A. 若，，，则，相互独立事件 B. 若，，，则，为相互独立事件 C. 若，，，则，为相互独立事件 D. 若，，，则，为相互独立事件 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分． 9. 如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ） A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C. A，B，C三个盒子混联后畅通概率为 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为 10. 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 平面⊥平面 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱的中点，点P，Q分别在棱上移动，且. 则（ ） A. 不存在λ的值，使得直线平面； B. 当时，直线平面； C. 当时，平面平面； D. 当时，平面平面； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率为________. 13. 已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，与都成角，则异面直线与所成角的余弦值为________. 14. 已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，点B到平面GEF的距离为____________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设． （1）若，求k； （2）若，求k． 16. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时． （1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值． 17. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率． 18. 如图，直三棱柱中，，，为棱AB的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面，Q为的中点，M为的中点，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年荆门市德艺高级中学高二上学期数学第一次月考题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93　28　12　45　85　69　68　34　31　25 73　93　02　75　56　48　87　30　11　35据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（ ） A. 0.50 B. 0.45 C. 0.40 D. 0.35 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】解析：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中之一. 它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个， 因此所求的概率为=0.50. 故选：A. 2. 已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设表示事件“3件产品 全不是次品”，表示事件“3件产品全是次品”，表示事件“3件产品中至少有1件是 次品”，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与互斥但不对立 C. 任意两个事件均互斥 D. 与对立 【答案】D 【解析】 【分析】列出基本事件，再结合互斥事件，对立事件的定义即可判断. 【详解】设1表示取到正品, 0 表示取到次品，所有事件 则 故与不互斥，故A,C错 故与互斥且对立,故B错，D正确 故选：D 3. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为，选B． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错． 4. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 5. 设，为两个随机事件，给出以下命题，不正确的是（ ） A. 若，，，则，为相互独立事件 B. 若，，，则，为相互独立事件 C. 若，，，则，为相互独立事件 D. 若，，，则，为相互独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件概率的关系及相互独立事件概率的概率乘法公式逐项判断即可. 【详解】对A：由，，， 则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故A正确； 对B：由，由A可知，B正确； 对C：由，由， ，则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故C正确； 对D：由，，, 而，所以与不相互独立，则，也不相互独立，故D错误． 故选：D 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算. 【详解】. 故选：D. 7. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件用，，表示，即可得答案. 【详解】由题设， 结合，得， 故选：C 8. 如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量运算，ABC项利用向量数量积的坐标运算可得，D项分别求两平面的法向量坐标，再利用数量积可得. 【详解】由已知AD为等腰直角的斜边BC上的高，即， 则为的中点 ， 又平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面，又平面， ∴，又， 以D为坐标原点，分别以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设斜边，则， 所以， 可得， A项，，故A正确； B项，，则，故B正确； C项，，则，故C正确； D项，因为平面ADC的一个法向量为， 设平面ABC法向量为，则， 令，则，可得， 则， 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不垂直，故D错误． 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分． 9. 如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ） A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式，结合串并联的特征逐项计算即得. 详解】依题意，， 对于A，A,B两个盒子畅通的概率为，A正确； 对于B，D,E两个盒子并联后畅通的概率为，B错误； 对于C，A,B,C三个盘子混联后畅通的概率为，C正确； 对于D，根据上述分析可知，当开关合上时,电路畅通的概率为，D正确. 故选：ACD 10. 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面⊥平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算，逐步把用基向量表示出来即可判断A，对于B,C,D,则可以选择，，为平面的一组基，分别用表示出相关向量，再运用向量数量积的运算律求向量模长和验证向量垂直，即可判断B,C ;对于D项，计算推得，再由即可证得平面，最后由线面垂直得面面垂直即可. 【详解】对于A，因 ，故A正确； 对于B，不妨设，，，则构成空间的一个基底. 则依题意： 由 A可得，， 则， 则，故B正确； 对于C，因，故 故C错误； 对于D，如图取的中点E，连接，则， 因为，E为的中点，所以. 又，故有. 因为，平面，所以平面, 又平面，故平面⊥平面，即D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱的中点，点P，Q分别在棱上移动，且. 则（ ） A. 不存在λ的值，使得直线平面； B. 当时，直线平面； C. 当时，平面平面； D. 当时，平面平面； 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，求出的坐标即可得到A错误；B正确；分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，由两法向量的数量积为零解出即可得到C、D正确； 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 由已知得， 则， 对于A、B，当时，， 因为，所以， 即，又与无公共点，所以，故A错误；B正确； 对于C、D，而平面，且平面，故直线平面. 假设存在符合题意的λ， 设平面的法向量为， 则由，可得 于是可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可得， 可得平面的一个法向量为， 则， 即，解得. 故存在，使平面平面； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以基本事件总数，然后分和讨论函数区间(1，+∞)上为增函数的情况，从而可求得其概率 【详解】解：∵， ∴基本事件总数.用(a，b)表示a，b的取值. 若函数在区间(1，+∞)上为增函数，则①当时，， 符合条件的只有，即； ②当时，需满足，符合条件的有，共4种. ∴函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率 故答案为： 13. 已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，与都成角，则异面直线与所成角的余弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量的数量积和四边形法则分别求出，再代入异面直线夹角公式求出即可. 【详解】 设， 因为底面是等腰直角三角形，，与都成角， 所以， 又， 所以， ， 所以， 故答案为：. 14. 已知正方形ABCD边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，点B到平面GEF的距离为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设条件，建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量坐标，利用点到平面的距离向量公式计算即得. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则 于是，. 设平面的法向量是， 则有，故可取. 则点B到平面GEF的距离为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设． （1）若，求k； （2）若，求k． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由空间向量线性运算的坐标表示求得，再由向量共线的坐标表示求参数； （2）根据向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【小问1详解】 由题设， 若，则，可得； 【小问2详解】 若，则， 所以. 16. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时． （1）求甲、乙两人所付租车费用相同概率； （2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先求得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率，甲、乙两人所付的租车费用相同，则则分甲乙都不超过2小时，甲乙都超过2小时不超过3小时，甲乙都超过3小时甲不超过4小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解； （2）若ξ＝4，则分甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解；若ξ＝6，则分甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解； 【小问1详解】 解：因为甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，， 超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，， 所以甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，， 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A， 则P（A）＝， 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为. 【小问2详解】 若ξ＝4， 则甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时， 所以P(ξ＝4)＝， 若ξ＝6， 则甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时， 所以P(ξ＝6)＝. 17. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】（1）0.52（2）0.648 【解析】 【详解】记“第局甲获胜”为事件，“第局甲获胜”为事件． （Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则，由于各局比赛结果相互独立，． （Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而，由于各局比赛结果相互独立，故 18. 如图，直三棱柱中，，，为棱AB的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出CM，ME，BM两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而得到，进而证明出平面； （2）求出平面的法向量，从而利用空间向量求解线面角的正弦值. 【小问1详解】 连接CM，因为，为棱AB的中点， 所以CM⊥AB， 过点M作， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面ABC， 因为平面ABC， 所以ME⊥BM，ME⊥CM， 故以M为坐标原点，MB，MC，ME所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以BM=AM=1， 由勾股定理得：， 所以， 则，设平面的法向量为， 则， 解得：，令，则， 故， 所以， 所以，平面，故平面； 【小问2详解】 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面，Q为的中点，M为的中点，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面底面的性质证明即可； （2）先证明，然后建立如图所示坐标系，再证明平面进而得到平面的一个法向量，再求出平面的法向量，最后代入二面角公式计算即可； 【小问1详解】 证明：在中，，Q为的中点， 所以. 又因为平面底面， 且平面底面，平面，所以底面. 又平面，所以. 【小问2详解】 在直角梯形中，，Q为的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形.， 因为，所以， 由（1）可知平面，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意可得，， 则， 则， 因为平面， 所以平面， 即为平面的一个法向量，且， 因为M是棱的中点，所以点M的坐标为， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，所以可取， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$