期中真题必刷易错60题（13个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

期中真题必刷易错60题（13个考点专练） 一．三角形的角平分线、中线和高（共3小题） 1．（2023秋•龙马潭区校级期中）给出下列说法正确的是　　 A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的顶点到对边的距离是三角形的高 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 2．（2023秋•铜梁区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．三角形的三条高都在三角形内 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形 D．到三角形三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 3．（2023秋•新和县期中）在中，，是中线，若周长与的周长相差，则　 　 ． 二．三角形三边关系（共3小题） 4．（2023秋•泗水县期中）如图所示，为估计池塘两岸、间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点，测得，，那么、之间的距离不可能是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•陇西县校级期中）若、、是的三边的长，化简　　 A． B． C． D． 6．（2023春•香坊区校级期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是　　 A．13，11，20 B．3，7，10 C．6，8，16 D．3，3，7 三．三角形内角和定理（共6小题） 7．（2023秋•下城区校级期中）在中，，，的角平分线相交于点，则的度数是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•潮阳区期中）如图，在中，，，将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•泸县校级期中）如图，在中，和是角平分线，其交点为，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•蓬江区校级期中）如图，在中，，，平分，于点，则的度数是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•琼中县期中）如图，将三角形纸片的一个角折叠，折痕为，，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 12．（2023秋•平南县期中）如图，，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合），且，分别是和的平分线，它们相交于点． （1）如图1，当时，求的度数； （2）点，在运动过程中，的大小是否会发生变化？如果发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的度数； （3）如图2，作的两外角和的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，请直接写出此时的度数． 四．三角形的外角性质（共4小题） 13．（2023秋•武昌区期中）下列说法正确的是　　 A．三角形的一个外角等于任意两个内角的和 B．三角形的一个外角小于它的一个内角 C．三角形的一个外角大于它的相邻的内角 D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 14．（2023秋•庐阳区校级期中）三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•楚雄州期中）如图，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•陕州区期中）如图，　　度． A．450 B．540 C．630 D．720 五．全等三角形的判定（共2小题） 17．（2023秋•旌阳区期中）如图，，，点、、在一条直线上，则下列条件中不能断定的是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•保亭县校级期中）如图，，如果添加一个条件，即可得到，那么这个条件可以是　　（要求：不添加其他辅助线，写出一个条件即可） 六．全等三角形的判定与性质（共8小题） 19．（2023秋•中山市期中）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于　　 A． B． C． D．不能确定 20．（2023秋•中江县期中）如图为的角平分线，且，为延长线上一点，，过作于，下列结论： ①；②； ③；④； ⑤．其中正确的是　 　． 21．（2023秋•和林格尔县校级期中）已知：如图，AB＝CD，DE＝BF，AE＝CF，求证：AB∥DC． 22．（2023秋•磴口县校级期中）已知（如图），在△中，是的中点，过点的直线交于点，交的平行线于点，，交于点，连结．求证：． 23．（2023秋•东城区校级期中）在中，平分，，且平分，于，垂于．求证：． 24．（2023秋•东莞市校级期中）如图，在中，，垂足为，，点在上，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）求的度数． 25．（2023秋•磴口县校级期中）已知：在△和△中，，． （1）如图①，若． ①请问线段与相等吗？请说明理由． ②求的度数． （2）如图②，若，的大小为　　（直接写出结果，不证明）． 26．（2023秋•清原县期中）如图①所示，，，，在一条直线上，，过，分别作，，若． （1）请猜想线段，的数量关系，不用说明理由． （2）若将的边沿方向移动，变为图②时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 七．角平分线的性质（共6小题） 27．（2023秋•肇源县期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 28．（2023秋•永善县期中）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，点是三条角平分线的交点，则的值为　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•和林格尔县校级期中）如图，，，分别平分，，，于点，，的周长为24，则的面积为　　 A．18 B．24 C．36 D．72 30．（2023秋•陕州区期中）如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是　　（写序号） 31．（2023秋•海淀区校级期中）如图，，点在的平分线上，于点，点在边上，且，则线段的长度为 　　． 32．（2023秋•凉州区校级期中）如图，中，是的角平分线，于点． （1）若，，求的度数． （2）若，，，求的面积． 八．线段垂直平分线的性质（共2小题） 33．（2023秋•山西期中）如图，在中，垂直平分分别交，边于点，．若，，则的周长为　　 A．6 B．7 C．8 D．10 34．（2023秋•盐都区期中）已知：如图，中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 九．等腰三角形的性质（共6小题） 35．（2023秋•绍兴期中）已知等腰三角形的底边，且，那么的周长为　　 A． B．或 C． D．或 36．（2023秋•乐昌市期中）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•徐州期中）已知等腰三角形中，两条边长为3和7，则这个等腰三角形的周长为 　　． 38．（2023秋•北屯市校级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为　　 A．12 B．6 C．9 D．15 39．（2023秋•陵城区期中）如图，中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的长． 40．（2023秋•娄底期中）如图，在等腰中，，点在上，且． （1）若，，求的度数． （2）若，，求的度数． （3）猜想与的数量关系．（不必证明） 一十．等腰三角形的判定（共2小题） 41．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，，分别是线段、上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是　　 A． B． C． D． 42．（2023秋•汨罗市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，、是格点，以、、为等腰三角形顶点的所有格点的个数为　　 A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 一十一．等腰三角形的判定与性质（共3小题） 43．（2023秋•西城区校级期中）如图，在中，平分，，是的中点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 44．（2023秋•宁津县校级期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点． （1）求证：点在的垂直平分线上； （2）若，求的度数． 45．（2023秋•潍坊期中）如图，在中，和分别平分和，和交于点，过作，分别交，于点，． （1）指出图中的等腰三角形，并说明理由． （2）若，，求的周长． 一十二．多边形内角与外角（共10小题） 46．（2023秋•双河市期中）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 47．（2023秋•宁津县校级期中）如图，在四边形中，，．将沿翻折，得，若，，则　　 A． B． C． D． 48．（2023秋•恩施市校级期中）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角是　　 A． B． C． D． 49．（2023秋•忻州期中）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为　　 A． B． C． D． 50．（2023秋•青山区期中）一个多边形的每个内角都等于，则此多边形是　　 A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 51．（2023秋•大冶市期中）如图，在四边形中，对角线平分，，，则　　． 52．（2023秋•宜城市期中）如图，，，，，，，是平面上的6个点，则　　． 53．（2023秋•建始县期中）如图，五边形是正五边形．若，求的大小． 54．（2023秋•湖北期中）解决下列问题． （1）如图1，计算下列五角星图案中五个顶角的度数和．即：求的大小． （2）如图2，若五角星的五个顶角的度数相等，求的大小． 55．（2023秋•台山市校级期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若与相交于点，，请直接写出、所满足的数量关系式； （3）如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 一十三．轴对称-最短路线问题（共5小题） 56．（2023秋•宁津县期中）如图，点为内一点，分别作点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为　　 A．16 B．15 C．14 D．13 57．（2023秋•玄武区校级期中）如图，在边长为2的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 　　． 58．（2023秋•新华区校级期中）如图，已知点是高为2的等边的中线上的动点，是边的中点，则的最小值是　　． 59．（2023秋•商丘期中）如图，在中，，，，的平分线交于点，、分别是线段和上的动点，求的最小值 　　． 60．（2023秋•金华期中）如图，在等边三角形中，，点，，分别是边，，边上的动点，则周长的最小值为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错60题（13个考点专练） 一．三角形的角平分线、中线和高（共3小题） 1．（2023秋•龙马潭区校级期中）给出下列说法正确的是　　 A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的顶点到对边的距离是三角形的高 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 【分析】根据三角形的高、角平分线的概念、点到这条直线的距离的概念判断即可． 【解答】解：．三角形的角平分线是线段，故本小题说法错误； ．三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形的一边上，故本小题说法错误； ．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．故本小题说法错误； ．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，说法正确； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的高、角平分线，熟记它们的概念是解题的关键． 2．（2023秋•铜梁区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．三角形的三条高都在三角形内 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形 D．到三角形三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 【分析】根据三角形的高的概念、三角形的外角性质、三角形的中线的性质、角平分线的性质判断即可． 【解答】解：、锐角三角形的三条高都在三角形内，钝角三角形有两条高在三角形的外部，故本选项说法错误，不符合题意； 、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，故本选项说法错误，不符合题意； 、三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形，说法正确，符合题意； 、到三角形三边距离相等的点是这个三角形三个内角平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握三角形的高的概念、三角形的外角性质、三角形的中线的性质、角平分线的性质是解题的关键． 3．（2023秋•新和县期中）在中，，是中线，若周长与的周长相差，则　3或7　 ． 【分析】根据三角形的中线的定义可得，然后依据周长与的周长相差，代入数据计算即可得解． 【解答】解：如图，是中线， ， 周长的周长， 周长与的周长相差， ， 解得或3． 故答案为：3或7． 【点评】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差是解题关键． 二．三角形三边关系（共3小题） 4．（2023秋•泗水县期中）如图所示，为估计池塘两岸、间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点，测得，，那么、之间的距离不可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得，再计算即可得的范围． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， 、之间的距离不可能是34， 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 5．（2023秋•陇西县校级期中）若、、是的三边的长，化简　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可． 【解答】解：、、是的三边长， ，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 6．（2023春•香坊区校级期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是　　 A．13，11，20 B．3，7，10 C．6，8，16 D．3，3，7 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：、， 长度为13，11，20的三根小木棒，能摆成三角形，本选项符合题意； 、， 长度为3，7，10的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意； 、， 长度为6，8，16的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意； 、， 长度为3，3，7的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 三．三角形内角和定理（共6小题） 7．（2023秋•下城区校级期中）在中，，，的角平分线相交于点，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】首先利用三角形的内角和求出，再根据，的角平分线相交于点，求出得结果，再利用三角形的内角和求出的度数． 【解答】解：， ， ，的角平分线相交于点， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握这两个知识点的结合，求是解题关键． 8．（2023秋•潮阳区期中）如图，在中，，，将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据折叠的性质得，，，进而得． 【解答】解：，， ， 将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键． 9．（2023秋•泸县校级期中）如图，在中，和是角平分线，其交点为，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】依据三角形外角性质，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得到，进而得出的度数． 【解答】解：是的外角， ， 又和是角平分线， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是． 10．（2023秋•蓬江区校级期中）如图，在中，，，平分，于点，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】依据直角三角形，即可得到，再根据，平分，即可得到的度数，再根据进行计算即可． 【解答】解：，， ， 又，平分， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 11．（2023秋•琼中县期中）如图，将三角形纸片的一个角折叠，折痕为，，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【分析】（1）依据题意，先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据即可得出结论； （2）依据题意，首先根据四边形内角和定理可得，代入计算即可得解． 【解答】解：（1）中，，， ． 中，，， ． （2）由题意，在四边形中，， ，即． 【点评】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 12．（2023秋•平南县期中）如图，，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合），且，分别是和的平分线，它们相交于点． （1）如图1，当时，求的度数； （2）点，在运动过程中，的大小是否会发生变化？如果发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的度数； （3）如图2，作的两外角和的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，请直接写出此时的度数． 【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得，，进而由三角形的内角和定理可求出的度数； （2）先由角平分线的定义得，，再由三角形的内角和定理，进而得，据此可得的度数； （3）设，则，由为锐角得，进而得，然后分别表示出，，，由此得，，然后分四种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，根据每一种情况求出，即可得的度数． 【解答】解：（1），， ， ，分别是和的平分线， ，， ； （2）的大小不发生变化． ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； （3）设， 平分， ，， 为锐角， ，即， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，，， ，， 在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍， 有以下四种情况： ①当时，则，解得，不合题意舍去； ②当时，则，解得，不合题意舍去； ③当时，则，解得，不合题意舍去； ④当时，，解得， 此时． 综上所述：在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍时，． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图，理解三角形的内角和等于，以及角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 四．三角形的外角性质（共4小题） 13．（2023秋•武昌区期中）下列说法正确的是　　 A．三角形的一个外角等于任意两个内角的和 B．三角形的一个外角小于它的一个内角 C．三角形的一个外角大于它的相邻的内角 D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 【分析】根据三角形的外角性质判断即可． 【解答】解：、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项说法错误，不符合题意； 、三角形的一个外角不一定小于它的一个内角，故本选项说法错误，不符合题意； 、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本选项说法错误，不符合题意； 、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，说法正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 14．（2023秋•庐阳区校级期中）三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和定理先求出各个内角，再求解外角即可． 【解答】解：设三角形的内角为别为，，， ， 解得， ，， 最小的内角为， 故这个三角形的最大的外角的度数是． 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据内角和定理求出各个内角． 15．（2023秋•楚雄州期中）如图，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可． 【解答】解：是的外角，，， ． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和． 16．（2023秋•陕州区期中）如图，　　度． A．450 B．540 C．630 D．720 【分析】根据题意，画出图象，由图可知，因为五边形内角和为，从而得出答案． 【解答】解：如图 ， ， ， 五边形的内角和， 故选：． 【点评】本题考查了五边形内角和，同时需要考生认真通过图形获取信息，通过连线构造五边形从而得出结论． 五．全等三角形的判定（共2小题） 17．（2023秋•旌阳区期中）如图，，，点、、在一条直线上，则下列条件中不能断定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定推出三角形全等，即可判断；求出，根据即可判断；根据有两边和其中一边的对角相等不能判断两三角形全等，即可判断；根据平行线性质推出，根据即可判断． 【解答】解：、在和中 ， ，故本选项错误； 、， ， 即， 在和中 ， ，故本选项错误； 、根据，，，不能判定和全等，故本选项正确； 、， ， 在和中 ， ，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了平行线性质和全等三角形的判定的应用，熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中． 18．（2023秋•保亭县校级期中）如图，，如果添加一个条件，即可得到，那么这个条件可以是　　（要求：不添加其他辅助线，写出一个条件即可） 【分析】根据题意，易得，又公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件 【解答】解：， ， 又， 当时，； 或当时，； 或当时，． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 六．全等三角形的判定与性质（共8小题） 19．（2023秋•中山市期中）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于　　 A． B． C． D．不能确定 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，然后根据可得，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得的面积的面积，最后进行计算即可解答． 【解答】解：延长交于点， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积， 的面积， 的面积的面积， 的面积的面积， 的面积， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（2023秋•中江县期中）如图为的角平分线，且，为延长线上一点，，过作于，下列结论： ①；②； ③；④； ⑤．其中正确的是　①②③⑤　． 【分析】根据易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据可求得⑤正确． 【解答】解：①为的角平分线， ， 又，， ，即①正确； ②， ， ，即②正确； ③，，，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，即③正确； ④根据已知条件，可得不一定成立，故④错误； ⑤如图，过作于点， 是上的点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即⑤正确． 故答案为：①②③⑤ 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 21．（2023秋•和林格尔县校级期中）已知：如图，AB＝CD，DE＝BF，AE＝CF，求证：AB∥DC． 【分析】依据题意，由DE＝BF，从而DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE，进而可证得△AEB≌△CFD（SSS），则∠B＝∠D，最后可以判断得解． 【解答】证明：∵DE＝BF， ∴DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE， 在△AEB和△CFD中， ， △AEB≌△CFD（SSS）， ∴∠B＝∠D， ∴AB∥DC． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握其判定和性质定理是解题的关键． 22．（2023秋•磴口县校级期中）已知（如图），在△中，是的中点，过点的直线交于点，交的平行线于点，，交于点，连结．求证：． 【分析】依据题意，由平行线的性质得到，由中点的定义得到，即可证明△△，根据全等三角形的性质即可得到答案． 【解答】证明：， ． 是的中点， ， 在△与△中， ， △△． ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 23．（2023秋•东城区校级期中）在中，平分，，且平分，于，垂于．求证：． 【分析】由角平分线的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，由“”可证，可得结论． 【解答】证明：如图，连接，， 平分，，， ， 且平分于点， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 24．（2023秋•东莞市校级期中）如图，在中，，垂足为，，点在上，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）求的度数． 【分析】（1）由垂直的定义得到，根据已知条件即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，由，可得，再根据，可得，即可得出． 【解答】解：（1）， ， 在与中， ， ； （2）， ，， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键． 25．（2023秋•磴口县校级期中）已知：在△和△中，，． （1）如图①，若． ①请问线段与相等吗？请说明理由． ②求的度数． （2）如图②，若，的大小为　　（直接写出结果，不证明）． 【分析】（1）①根据证△△，即可得证； ②由全等三角形的性质得出，设与交于点，根据即可得出； （2）依据题意，根据（1）可得，从而可得，进而得解． 【解答】解：（1）①．理由如下： ， ， 即， ，， △△， ； ②设与交于点，则， △△， ． ， 即． ． （2）如图， 由（1）可得，△△， ． ． 又， ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 26．（2023秋•清原县期中）如图①所示，，，，在一条直线上，，过，分别作，，若． （1）请猜想线段，的数量关系，不用说明理由． （2）若将的边沿方向移动，变为图②时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 【分析】（1）根据垂直定义可得，再利用等式的性质可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等可得，从而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，即可解答； （2）利用（1）的思路，即可解答． 【解答】解：（1）， 理由：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）上述结论依然成立， 理由：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 七．角平分线的性质（共6小题） 27．（2023秋•肇源县期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】过点作，垂足为，先利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 平分，，， ， ， 的面积， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 28．（2023秋•永善县期中）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，点是三条角平分线的交点，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可． 【解答】解：如图，过点作于点，于点，于点， 点是三条角平分线的交点， ， ， 的三边，，的长分别是10，15，20， ． 故选：． 【点评】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键． 29．（2023秋•和林格尔县校级期中）如图，，，分别平分，，，于点，，的周长为24，则的面积为　　 A．18 B．24 C．36 D．72 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， 的周长为24， 的面积 的面积的面积的面积 ， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 30．（2023秋•陕州区期中）如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是　①②④⑤　（写序号） 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，判断①正确，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，判断②正确；全等三角形对应边相等可得，然后求出，判断④正确；根据同角的余角相等求出，判断⑤正确，并得到③错误． 【解答】解：，平分，， ，故①正确； 在和中，， ， ，， 平分，故②正确； ，故④正确； ， ， ，故⑤正确； ，而， ， 平分错误，故③错误； 综上所述，正确的有①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，求出三角形全等是解题的关键． 31．（2023秋•海淀区校级期中）如图，，点在的平分线上，于点，点在边上，且，则线段的长度为 　6　． 【分析】作于，根据角平分线的定义、直角三角形的性质求出，求出，证明，根据全等三角形的性质解答． 【解答】解：作于， ，点在的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判断的力量和性质定理是解题的关键． 32．（2023秋•凉州区校级期中）如图，中，是的角平分线，于点． （1）若，，求的度数． （2）若，，，求的面积． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，先利用角平分线的性质可得，然后根据的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：（1），， ， 平分， ， ， ， ， 的度数为； （2）过点作，垂足为， 平分，，， ， ，， 的面积的面积的面积 ， 的面积为108． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 八．线段垂直平分线的性质（共2小题） 33．（2023秋•山西期中）如图，在中，垂直平分分别交，边于点，．若，，则的周长为　　 A．6 B．7 C．8 D．10 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用等量代换可得的周长，进行计算即可解答． 【解答】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长 ， 故选：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 34．（2023秋•盐都区期中）已知：如图，中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据已知可得：是的垂直平分线，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，最后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，且为的中点， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 的度数为． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 九．等腰三角形的性质（共6小题） 35．（2023秋•绍兴期中）已知等腰三角形的底边，且，那么的周长为　　 A． B．或 C． D．或 【分析】根据已知易得或，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长时；当等腰三角形的腰长时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：，， 或， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长时， 的周长， 综上所述：的周长为， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值，分两种情况讨论是解题的关键． 36．（2023秋•乐昌市期中）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为　　 A． B． C． D． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为时，当等腰三角形的底边长为时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为时， 等腰三角形的周长为， 等腰三角形的底边长， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的底边长为时， 等腰三角形的周长为， 等腰三角形的腰长， 综上所述：该等腰三角形的底边长为， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况是解题的关键． 37．（2023秋•徐州期中）已知等腰三角形中，两条边长为3和7，则这个等腰三角形的周长为 　17　． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时；当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时， 这个等腰三角形的周长； 综上所述：这个等腰三角形的周长为17， 故答案为：17． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 38．（2023秋•北屯市校级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为　　 A．12 B．6 C．9 D．15 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等量代换可得的周长，进行计算即可解答． 【解答】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长 ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 39．（2023秋•陵城区期中）如图，中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的长． 【分析】（1）根据已知可得是的垂直平分线，从而可得，进而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后利用三角形的外角性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，即可解答； （2）根据已知可得，再根据（1）的结论可得，从而可得，即可解答． 【解答】解：（1），， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的一个外角， ， 垂直平分， ， ， 的度数为； （2）的周长为，， ， ，， ， ， ， ， 的长为． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 40．（2023秋•娄底期中）如图，在等腰中，，点在上，且． （1）若，，求的度数． （2）若，，求的度数． （3）猜想与的数量关系．（不必证明） 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出的度数，根据三角形的外角性质求出，求出，根据等腰三角形性质求出即可； （2）根据等腰三角形性质求出的度数，根据三角形的外角性质求出，求出，根据等腰三角形性质求出即可； （3）根据（1）（2）的结论猜出即可． 【解答】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 答：的度数是． （2）解：与（1）类似：， ， ， ， ， 答：的度数是． （3）与的数量关系是． 【点评】本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道很好的题目，关键是进行推理和总结规律． 一十．等腰三角形的判定（共2小题） 41．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，，分别是线段、上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】首先求出，则，再求出，，分别根据四个选项中的条件求出，，的大小，然后再进行比较即可得出答案． 【解答】解：， ， ， 是的外角， ， ， ， 对于选项，当时， ， ， ， 故选项能确定△是等腰三角形； 对于选项，当时， 则， ， ， ， ， 故选项能确定△是等腰三角形； 对于选项，当时， 则， ， ， ， ， 故选项不能确定△是等腰三角形； 对于选项，当时， 则， ， ， ， ， 故选项能确定是等腰三角形． 综上所述：选项不能确定△是等腰三角形． 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，熟练掌握等腰三角形的判定，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行角度计算是解决问题的关键． 42．（2023秋•汨罗市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，、是格点，以、、为等腰三角形顶点的所有格点的个数为　　 A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以、为圆心，长为半径画弧，作线段的垂直平分线，即可得出点的位置． 【解答】解：如图所示，以为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、即为点的位置； 以为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、、即为点的位置； 作线段的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点． 故以、、为等腰三角形顶点的所有格点的个数为8个． 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 一十一．等腰三角形的判定与性质（共3小题） 43．（2023秋•西城区校级期中）如图，在中，平分，，是的中点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证是等腰三角形，即可解答； （2）先利用平行线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，即可解答． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ，是的中点， ， 的度数为． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 44．（2023秋•宁津县校级期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点． （1）求证：点在的垂直平分线上； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证是等腰三角形，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后再利用角平分线的定义可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：是的平分线， ， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：， ， 是的平分线， ， ， ， ， 的度数为． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 45．（2023秋•潍坊期中）如图，在中，和分别平分和，和交于点，过作，分别交，于点，． （1）指出图中的等腰三角形，并说明理由． （2）若，，求的周长． 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，即可解答； （2）利用（1）的结论和等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答． 【解答】解：（1）图中的等腰三角形有：，， 理由：和分别平分和， ，， ， ，， ，， ，， 和都是等腰三角形； （2），，，， 的周长 ， 的周长是12． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 一十二．多边形内角与外角（共10小题） 46．（2023秋•双河市期中）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】多边形的外角和等于，因为正多边形的每个外角均相等，故多边形的外角和又可表示成，列方程可求解． 【解答】解：设所求正边形边数为， 则， 解得． 故正多边形的边数是6． 故选：． 【点评】本题考查了多边形的外角和求正多边形的边数．解题的关键是能够根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算． 47．（2023秋•宁津县校级期中）如图，在四边形中，，．将沿翻折，得，若，，则　　 A． B． C． D． 【分析】首先利用平行线的性质得出，，再利用翻折变换的性质得出，，进而求出的度数． 【解答】解：，，，， ，， 将沿翻折得， ，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质．能够得出，是解题的关键． 48．（2023秋•恩施市校级期中）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角是　　 A． B． C． D． 【分析】根据多边形的内角和公式列方程，求出边数，再根据外角和定理求出这个多边形的一个外角． 【解答】解：设这个多边形的边上为， 根据题意列方程：， 解得， ， 故选：． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和公式的应用是解题关键． 49．（2023秋•忻州期中）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为　　 A． B． C． D． 【分析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的． 【解答】解：这个八边形的内角和为： ； 这个八边形的每个内角的度数为： ； 这个八边形的每个外角的度数为： ； 这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为： ． 故选：． 【点评】此题考查多边形的内角与外角的关系，属于基础题． 50．（2023秋•青山区期中）一个多边形的每个内角都等于，则此多边形是　　 A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除即可得到边数． 【解答】解：多边形的每一个内角都等于， 多边形的每一个外角都等于， 边数． 故选：． 【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键． 51．（2023秋•大冶市期中）如图，在四边形中，对角线平分，，，则　　． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的判定，三角形外角的性质等．如图所示，过点作，，分别交、的延长线与、．过点作于，先求出，等于，进而证明平分，得到．同理得到，则，由此可得平分，可利用三角形外角的性质证明． 【解答】解，如图所示，过点，，分别交、延长线与、，过点作于， ， ，． ． 平分． ，． ，同理可得， ． 平分， ， 故答案为． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的判定，三角形外角的性质等，熟练掌握这些结论是解题的关键． 52．（2023秋•宜城市期中）如图，，，，，，，是平面上的6个点，则　　． 【分析】连接，依据三角形内角和定理以及四边形内角和为，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接， 由题可得，， 又四边形中，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：四边形的内角和等于． 53．（2023秋•建始县期中）如图，五边形是正五边形．若，求的大小． 【分析】依据题意，由正五边形的性质得，过作，结合平行线的性质可得，进而得解． 【解答】解：由题意，由正五边形的内角和为：． ． 过作， 又， ． ． ． ， ． ． 又， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及多边形的内角和的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 54．（2023秋•湖北期中）解决下列问题． （1）如图1，计算下列五角星图案中五个顶角的度数和．即：求的大小． （2）如图2，若五角星的五个顶角的度数相等，求的大小． 【分析】（1）由三角形的外角性质求得、，进而在中根据三角形内角和定理得出所求的结论； （2）根据多边形的外角和等于解答即可． 【解答】解：（1）是的外角， ， 同理可得： ， 在中， ， ． （2）五角星的五个顶角的度数相等， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理以及多边形的外角和为，熟记性质并准确识图是解题的关键． 55．（2023秋•台山市校级期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若与相交于点，，请直接写出、所满足的数量关系式； （3）如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 【分析】（1），则． （2）连接，由（1）有，，、分别平分四边形的外角和，则，在△中，，在△中，，，则，即， （3）由（1）有，，、分别平分四边形的外角和，则，，根据，则有，，则． 【解答】解：（1）， ． （2） 理由：如图1，连接， 由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ，， ， 在△中，， 在△中，， ， ， ， ， （3）平行， 理由：如图2，延长交于， 由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，利用多边形的内角和公式是解题关键． 一十三．轴对称-最短路线问题（共5小题） 56．（2023秋•宁津县期中）如图，点为内一点，分别作点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为　　 A．16 B．15 C．14 D．13 【分析】根据轴对称的性质可得，，然后根据三角形的周长定义，求出的周长为，从而得解． 【解答】解：点关于、的对称点为，， ，， 的周长， ， 的周长为15． 故选：． 【点评】本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 57．（2023秋•玄武区校级期中）如图，在边长为2的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 　　． 【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数． 【解答】解：如图，连接， 、都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 58．（2023秋•新华区校级期中）如图，已知点是高为2的等边的中线上的动点，是边的中点，则的最小值是　2　． 【分析】连接，依据垂直平分，即可得出，当，，三点共线时，的长即为的最小值，依据是等边三角形的中线，即可得到的最小值2． 【解答】解：如图所示，连接， 是等边的中线， 垂直平分，高， ， ， 当，，三点共线时，的长即为的最小值， 是边的中点， 是等边三角形的中线， ， 即的最小值2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 59．（2023秋•商丘期中）如图，在中，，，，的平分线交于点，、分别是线段和上的动点，求的最小值 　　． 【分析】作交于点，交于点，作，易证，即可证明，可得，即可证明，可得，即可求得，根据最短为即可解题． 【解答】解：作交于点，交于点，作， 平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 最短为， 最短为， ，， ， 故答案为． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证和是解题的关键． 60．（2023秋•金华期中）如图，在等边三角形中，，点，，分别是边，，边上的动点，则周长的最小值为 　3　． 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，，，过点作于，过点作于．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定周长的最小值是，根据等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的边角关系确定，再根据垂线段最短确定当时，周长取得最小值为，最后根据等边三角形的性质和直角三角形的边角关系即可求解． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，，，过点作于，过点作于． ，，，，，， ，， ，周长的最小值是． 三角形是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， 当取得最小值时，取得最小值，即周长取得最小值． 当时，即点与点Ⅰ重合时，周长取得最小值为， ， ， ． 周长的最小值是3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长是解题的关键． 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