第三章 不等式 知识归纳与题型突破（10类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第三章 不等式 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、实数大小比较的基本事实 1.文字叙述 (1)当a－b为　正数　时,称a＞b; (2)当a－b为　零　时,称a＝b; (3)当a－b为　负数　时,称　a＜b　. 2.符号表示 (1)a＞b⇔a－b　＞　0; (2)a＝b⇔a－b　＝　0; (3)a＜b⇔a－b　＜　0. 要点诠释： （1）在比较两实数a,b大小的依据中,a,b两数是任意实数. （2）p⇔q的含义是:p可以推出q,q也可以推出p,即p与q可以互推. 二、等式与不等式的性质 等式的性质 不等式的性质 a＝b⇔b＝a 性质1:a＞b⇔b＜a a＝b,b＝c⇒a＝c 性质2:a＞b,b＞c⇒a＞c a＝b⇔a＋c＝b＋c 性质3:a＞b⇔a＋c＞b＋c; 推论:a＋b＞c⇔a＞c－b a＝b⇒ac＝bc 性质4:a＞b,c＞0⇒ac＞bc; a＞b,c＜0⇒ac＜bc a＝b,c＝d⇒a＋c＝b＋d 性质5:a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d a＝b,c＝d⇒ac＝bd 性质6:a＞b＞0,c＞d＞0⇒ac＞bd a＝b⇒an＝bn(n∈N*) 推论:a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N*) 要点诠释：对不等式性质的六点说明: ①性质1和性质2,分别称为“对称性”与“传递性”,在它们的证明中,要用到比较大小的“定义”等知识; ②性质3(可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据; ③性质4(可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”; ④性质5(同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”,可以推广到多个同向不等式相加; ⑤性质6(同向同正可乘性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,不能相除,可以推广到多个同向同正不等式相乘; ⑥性质1和性质3是双向推导,其他是“单向”推导.特别地,当a＝c,且b＝d时,有a2＞b2. 三、基本不等式与重要不等式 1.算术平均数与几何平均数 对于正数a,b,我们把　　称为a,b的算术平均数,　　称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式 如果a,b是正数,那么(当且仅当　a＝b　时,等号成立). 3.重要不等式 当a,b∈R时,ab≤　　(当且仅当　a＝b　时,等号成立);ab≤(当且仅当　a＝b　时,等号成立). 要点诠释： (1)不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较: ①两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的.前者要求a,b是实数即可,而后者要求a,b都是正实数(实际上后者只要a≥0,b≥0即可); ②两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式,都是“当且仅当a＝b时,等号成立”. (2)基本不等式的常见变形: ①a＋b≥2; ②ab≤≤(其中a＞0,b＞0,当且仅当a＝b时等号成立); ③a＋≥2(其中a＞0,当且仅当a＝1时,等号成立); ④＋≥2(其中ab＞0,当且仅当a＝b时,等号成立);⑤a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(其中a,b,c∈R,当且仅当a＝b＝c时,等号成立). 四、基本不等式与最值 　对于正数a,b,在运用基本不等式时,应注意: (1)和a＋b为定值时,积ab有　最大值　;积ab为定值时,和a＋b有　最小值　; (2)取等号的条件. 要点诠释： 利用基本不等式求最值要牢记:“一正”“二定”“三相等”: (1)“一正”,即所求最值的各项必须都是正值,否则就容易得出错误的结果; (2)“二定”,即含变量的各项的和或积必须是定值(常数).如果要求a＋b的最小值,那么ab必须是定值;要求ab的最大值,a＋b必须是定值; (3)“三相等”,即必须具备不等式中等号成立的条件,才能求得最大值或最小值. 五、二次函数的零点 　一般地,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取　零　时自变量x的值,即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的　横坐标　,也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 要点诠释： （1）函数的零点不是点,而是一个实数,是函数的图象与x轴交点的横坐标,也是函数值为零时自变量x的值,也是函数相应的方程的实数根. （2）一般地,一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)的根就是一次函数y＝ax＋b(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为一次函数y＝ax＋b(a≠0)的零点. 六、一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系 　当a＞0时,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示: 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根x1,2＝ 有两个相等 的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋ bx＋c的图象 二次函数y＝ax2＋ bx＋c的零点 有两个零点 x1,2＝　　 有一个零点 　x＝－　 无零点 要点诠释： （1）从代数角度思考,直接解函数对应的方程,它的相异的实数根就是函数的零点. （2）从函数的图象看,函数的图象与x轴交点的横坐标,就是相应函数的零点. 七、一元二次不等式 　只含有　一个　未知数,并且未知数的最高次数是　2　的整式不等式叫作一元二次不等式. 要点诠释：对一元二次不等式的再理解: ①一元:即只含一个未知数,其他元素均为常数(或参数); ②二次:即未知数的最高次数必须为2,且其系数不能为0. 八、一元二次不等式的解法 1.图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤: (1)化不等式为标准形式:ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0); (2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根,并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图; (3)由图象得出不等式的解集. 2.代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解. 当m＜n时,若(x－m)(x－n)＞0,则可得x＞n或x＜m;若(x－m)(x－n)＜0,则可得m＜x＜n. 要点诠释： (1)在通过图象获取解集时,注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况; (2)当a＜0时,解不等式可以从两个方面入手:①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下);②两边同乘以－1,把a转化为－a再进行求解. 九、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异的实数根x1,2＝　　(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝　－　 　没有实数根　 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点 有两个零点x1,2＝ 有一个零点 x＝　－　 无零点 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 (－∞,x1)∪(x2,＋∞) 　∪　 R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 (x1,x2) ⌀ ⌀ 要点诠释： (1)函数的角度:一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0,图象在x轴的上方;一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围; (2)方程的角度:一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根. 03 题型归纳 题型一　利用不等式的性质解不等式 例题：解不等式:－＞,并用不等式的性质说明理由. 【点睛】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似,但要注意解不等式时,在去分母和系数化为1时,不等号有可能改变方向. 巩固训练 已知关于x的方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解满足不等式2(x－5)≥8a,求a的取值范围. 题型二　数式的大小比较 例题：(1)已知x＜1,比较x3－1与2x2－2x的大小; (2)已知a＞0,试比较a与的大小. 【点睛】1.利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差:对要比较大小的两个式子作差; (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形; (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号; (4)得出结论. 注意　上述步骤可概括为“三步一结论”,这里的“判断符号”是目的,“变形”是关键.其中变形的技巧较多,常见的有因式分解法、配方法、有理化法等. 2.作商法比较大小 如果两实数同号,亦可采用作商法来比较大小,即作商后看商是大于1,等于1,还是小于1.方法如下: 依据 a＞0,b＞0,＞1⇔a＞b; ＝1⇔a＝b; ＜1⇔a＜b a＜0,b＜0,＞1⇔a＜b; ＝1⇔a＝b; ＜1⇔a＞b 应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小 步骤 (1)作商;(2)变形;(3)判断商值与1的大小;(4)下结论 巩固训练 1.已知a,b,m是正实数,则不等式＞成立的条件是(　　) A.a＜b　　　　　　　　　　　B.a＞b C.与m有关　　D.恒成立 2.已知a≥1,试比较M＝－和N＝－的大小. 题型三　不等式的性质 例题：(1)下列命题中正确的是(　　) A.若0＞a＞b,则a2＞b2 B.若a2＞b2,则a＞b＞0 C.若a＞b,则＜1 D.若a＞b,则a3＞b3 (2)若c＞a＞b＞0,求证:＞. 【点睛】1.利用不等式的性质判断正误的2种方法 (1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可; (2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性. 2.利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用; (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 巩固训练 若a＞b＞0,c＜d＜0,e＜0,求证:＞. 题型四　利用不等式的性质求代数式的取值范围 例题：已知1＜a＜4,2＜b＜8,试求2a＋3b与a－b的取值范围. 【点睛】利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围; (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 巩固训练 已知1≤a＋b≤4,－1≤a－b≤2,求4a－2b的取值范围. 题型五　利用基本不等式证明不等式 例题：已知a＞b,b＞0,c＞0,且a＋b＋c＝1.求证:≥8. 【点睛】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”; (2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用; ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,构成基本不等式模型再使用. 巩固训练 已知a,b,c都为正实数,且a＋b＋c＝1.求证:＋＋≥10. 题型六　利用基本不等式求最值 例题：(1)已知x＞2,则x＋的最小值为　　　　;  (2)若0＜x＜,则x(1－2x)的最大值是　　　　;  (3)若x＞0,y＞0,且x＋4y＝1,则＋的最小值为　　　　.  【点睛】利用基本不等式求最值的方法 　　利用基本不等式,通过恒等变形及配凑,使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配. (1)拆——裂项拆项:对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件; (2)并——分组并项:目的是分组后各组可以单独应用基本不等式;或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值; (3)配——配式配系数:有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值. 巩固训练 1.(多选)设a＞1,b＞1,且ab－(a＋b)＝2,那么(　　) A.a＋b有最小值2(＋1) B.a＋b有最小值(＋1)2 C.ab有最小值4＋2 D.ab有最大值4＋2 2.已知a,b为正实数,且ab＋a＋3b＝9,则a＋3b的最小值为　　　 　.  题型七　二次函数的零点 例题：(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为　　　　;  (2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示,则函数y2＝bx2－ax－1的零点是　　　　.  【点睛】二次函数零点的求法 (1)代数法:求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根,即为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点; (2)几何法:对于不能用求根公式或分解因式求解的方程,可以将它与对应函数的图象联系起来,利用函数的性质求零点. 巩固训练 求下列函数的零点. (1)y＝3x2－2x－1; (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R); (3)y＝ax2＋bx＋c,其图象如图所示. 题型八　函数的零点个数的判断与证明 例题：若a＞2,求证: 函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点. 【点睛】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的判断 　　对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac. (1)Δ＞0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点; (2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点; (3)Δ＜0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点. 巩固训练 求证:函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点. 题型九　二次函数零点的分布探究 例题：(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3,－2)是否存在零点; (2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数,求实数a的取值范围. 【点睛】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的分布探究 　　结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理: (1)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点; (2)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点; (3)x1x2＜0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点. 巩固训练 已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R). (1)若该函数有两个不相等的正零点,求a的取值范围; (2)若该函数有两个零点,一个大于1,另一个小于1,求a的取值范围. 题型十　不含参数的一元二次不等式的解法 例题：解下列不等式: (1)2x2＋5x－3＜0; (2)－3x2＋6x≤2; (3)4x2＋4x＋1＞0. 【点睛】解不含参数的一元二次不等式的方法 　　方法一:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为两个一次因式乘积的形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集; 　　方法二:若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,不等式的解集易得; 　　方法三:若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法. 巩固训练 1.不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是(　　) A.{x｜x＜－1}　 　　　　　B. C.　　D. 2.解不等式:－2＜x2－3x≤10. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 不等式 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、实数大小比较的基本事实 1.文字叙述 (1)当a－b为　正数　时,称a＞b; (2)当a－b为　零　时,称a＝b; (3)当a－b为　负数　时,称　a＜b　. 2.符号表示 (1)a＞b⇔a－b　＞　0; (2)a＝b⇔a－b　＝　0; (3)a＜b⇔a－b　＜　0. 要点诠释： （1）在比较两实数a,b大小的依据中,a,b两数是任意实数. （2）p⇔q的含义是:p可以推出q,q也可以推出p,即p与q可以互推. 二、等式与不等式的性质 等式的性质 不等式的性质 a＝b⇔b＝a 性质1:a＞b⇔b＜a a＝b,b＝c⇒a＝c 性质2:a＞b,b＞c⇒a＞c a＝b⇔a＋c＝b＋c 性质3:a＞b⇔a＋c＞b＋c; 推论:a＋b＞c⇔a＞c－b a＝b⇒ac＝bc 性质4:a＞b,c＞0⇒ac＞bc; a＞b,c＜0⇒ac＜bc a＝b,c＝d⇒a＋c＝b＋d 性质5:a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d a＝b,c＝d⇒ac＝bd 性质6:a＞b＞0,c＞d＞0⇒ac＞bd a＝b⇒an＝bn(n∈N*) 推论:a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N*) 要点诠释：对不等式性质的六点说明: ①性质1和性质2,分别称为“对称性”与“传递性”,在它们的证明中,要用到比较大小的“定义”等知识; ②性质3(可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据; ③性质4(可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”; ④性质5(同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”,可以推广到多个同向不等式相加; ⑤性质6(同向同正可乘性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,不能相除,可以推广到多个同向同正不等式相乘; ⑥性质1和性质3是双向推导,其他是“单向”推导.特别地,当a＝c,且b＝d时,有a2＞b2. 三、基本不等式与重要不等式 1.算术平均数与几何平均数 对于正数a,b,我们把　　称为a,b的算术平均数,　　称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式 如果a,b是正数,那么(当且仅当　a＝b　时,等号成立). 3.重要不等式 当a,b∈R时,ab≤　　(当且仅当　a＝b　时,等号成立);ab≤(当且仅当　a＝b　时,等号成立). 要点诠释： (1)不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较: ①两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的.前者要求a,b是实数即可,而后者要求a,b都是正实数(实际上后者只要a≥0,b≥0即可); ②两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式,都是“当且仅当a＝b时,等号成立”. (2)基本不等式的常见变形: ①a＋b≥2; ②ab≤≤(其中a＞0,b＞0,当且仅当a＝b时等号成立); ③a＋≥2(其中a＞0,当且仅当a＝1时,等号成立); ④＋≥2(其中ab＞0,当且仅当a＝b时,等号成立);⑤a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(其中a,b,c∈R,当且仅当a＝b＝c时,等号成立). 四、基本不等式与最值 　对于正数a,b,在运用基本不等式时,应注意: (1)和a＋b为定值时,积ab有　最大值　;积ab为定值时,和a＋b有　最小值　; (2)取等号的条件. 要点诠释： 利用基本不等式求最值要牢记:“一正”“二定”“三相等”: (1)“一正”,即所求最值的各项必须都是正值,否则就容易得出错误的结果; (2)“二定”,即含变量的各项的和或积必须是定值(常数).如果要求a＋b的最小值,那么ab必须是定值;要求ab的最大值,a＋b必须是定值; (3)“三相等”,即必须具备不等式中等号成立的条件,才能求得最大值或最小值. 五、二次函数的零点 　一般地,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取　零　时自变量x的值,即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的　横坐标　,也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 要点诠释： （1）函数的零点不是点,而是一个实数,是函数的图象与x轴交点的横坐标,也是函数值为零时自变量x的值,也是函数相应的方程的实数根. （2）一般地,一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)的根就是一次函数y＝ax＋b(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为一次函数y＝ax＋b(a≠0)的零点. 六、一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系 　当a＞0时,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示: 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根x1,2＝ 有两个相等 的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋ bx＋c的图象 二次函数y＝ax2＋ bx＋c的零点 有两个零点 x1,2＝　　 有一个零点 　x＝－　 无零点 要点诠释： （1）从代数角度思考,直接解函数对应的方程,它的相异的实数根就是函数的零点. （2）从函数的图象看,函数的图象与x轴交点的横坐标,就是相应函数的零点. 七、一元二次不等式 　只含有　一个　未知数,并且未知数的最高次数是　2　的整式不等式叫作一元二次不等式. 要点诠释：对一元二次不等式的再理解: ①一元:即只含一个未知数,其他元素均为常数(或参数); ②二次:即未知数的最高次数必须为2,且其系数不能为0. 八、一元二次不等式的解法 1.图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤: (1)化不等式为标准形式:ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0); (2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根,并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图; (3)由图象得出不等式的解集. 2.代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解. 当m＜n时,若(x－m)(x－n)＞0,则可得x＞n或x＜m;若(x－m)(x－n)＜0,则可得m＜x＜n. 要点诠释： (1)在通过图象获取解集时,注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况; (2)当a＜0时,解不等式可以从两个方面入手:①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下);②两边同乘以－1,把a转化为－a再进行求解. 九、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异的实数根x1,2＝　　(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝　－　 　没有实数根　 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点 有两个零点x1,2＝ 有一个零点 x＝　－　 无零点 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 (－∞,x1)∪(x2,＋∞) 　∪　 R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 (x1,x2) ⌀ ⌀ 要点诠释： (1)函数的角度:一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0,图象在x轴的上方;一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围; (2)方程的角度:一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根. 03 题型归纳 题型一　利用不等式的性质解不等式 例题：解不等式:－＞,并用不等式的性质说明理由. 解　去分母,得2(x－1)－(x＋2)＞3(4＋3x).(性质4) 去括号,得2x－2－x－2＞12＋9x. 移项,得2x－x－9x＞2＋2＋12.(性质3) 合并同类项,得－8x＞16,即8x＜－16. 系数化为1,得x＜－2.(性质4) 【点睛】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似,但要注意解不等式时,在去分母和系数化为1时,不等号有可能改变方向. 巩固训练 已知关于x的方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解满足不等式2(x－5)≥8a,求a的取值范围. 解:解方程,得x＝. 将其代入不等式,得2≥8a. 去括号,得5a－1－10≥8a. 移项,得5a－8a≥1＋10. 合并同类项,得－3a≥11. 系数化为1,得a≤－. 题型二　数式的大小比较 例题：(1)已知x＜1,比较x3－1与2x2－2x的大小; (2)已知a＞0,试比较a与的大小. 解　(1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1). ∵x＜1,∴x－1＜0.又＋＞0, ∴(x－1)＜0.即x3－1＜2x2－2x. (2)∵a－＝＝, 又∵a＞0,∴当a＞1时,＞0,有a＞; 当a＝1时,＝0,有a＝; 当0＜a＜1时,＜0,有a＜. 综上,当a＞1时,a＞;当a＝1时,a＝; 当0＜a＜1时,a＜. 【点睛】1.利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差:对要比较大小的两个式子作差; (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形; (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号; (4)得出结论. 注意　上述步骤可概括为“三步一结论”,这里的“判断符号”是目的,“变形”是关键.其中变形的技巧较多,常见的有因式分解法、配方法、有理化法等. 2.作商法比较大小 如果两实数同号,亦可采用作商法来比较大小,即作商后看商是大于1,等于1,还是小于1.方法如下: 依据 a＞0,b＞0,＞1⇔a＞b; ＝1⇔a＝b; ＜1⇔a＜b a＜0,b＜0,＞1⇔a＜b; ＝1⇔a＝b; ＜1⇔a＞b 应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小 步骤 (1)作商;(2)变形;(3)判断商值与1的大小;(4)下结论 巩固训练 1.已知a,b,m是正实数,则不等式＞成立的条件是(　　) A.a＜b　　　　　　　　　　　B.a＞b C.与m有关　　D.恒成立 解析:B　－＝,而a＞0,m＞0且＞0,∴a－b＞0.即a＞b. 2.已知a≥1,试比较M＝－和N＝－的大小. 解:法一:因为a≥1, 所以M＝－＞0,N＝－＞0. 所以＝＝. 因为＋＞＋＞0, 所以＜1,所以M＜N. 法二:因为a≥0, 所以M＝－＞0,N＝－＞0. 又＝＝＋, ＝＝＋, 所以＞＞0,所以M＜N. 题型三　不等式的性质 例题：(1)下列命题中正确的是(　　) A.若0＞a＞b,则a2＞b2 B.若a2＞b2,则a＞b＞0 C.若a＞b,则＜1 D.若a＞b,则a3＞b3 (2)若c＞a＞b＞0,求证:＞. (1)解析　对于A,由0＞a＞b可知,0＜－a＜－b,则(－b)2＞(－a)2,即b2＞a2,故错误. 对于B,还可能a＜b＜0,故错误. 对于C,只有当a＞0且a＞b时,＜1才成立,故错误. 对于D,若a＞b＞0,则a3＞b3; 若a≥0＞b,则a3≥0,b3＜0,所以a3＞b3; 若0＞a＞b,则－b＞－a＞0,所以(－b)3＞(－a)3,即－a3＜－b3,所以a3＞b3. 综上,若a＞b,则a3＞b3,故正确. 答案　D (2)证明　因为a＞b＞0⇒－a＜－b⇒c－a＜c－b. 因为c＞a,所以c－a＞0.所以0＜c－a＜c－b. 上式两边同乘,得＞＞0. 又因为a＞b＞0,所以＞. 【点睛】1.利用不等式的性质判断正误的2种方法 (1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可; (2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性. 2.利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用; (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 巩固训练 若a＞b＞0,c＜d＜0,e＜0,求证:＞. 证明:∵c＜d＜0,∴－c＞－d＞0. 又a＞b＞0,∴a－c＞b－d＞0, 则(a－c)2＞(b－d)2＞0, 即＜. 又e＜0,∴＞. 题型四　利用不等式的性质求代数式的取值范围 例题：已知1＜a＜4,2＜b＜8,试求2a＋3b与a－b的取值范围. 解　∵1＜a＜4,2＜b＜8,∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8,∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4, ∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2), 即－7＜a－b＜2. 【点睛】利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围; (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 巩固训练 已知1≤a＋b≤4,－1≤a－b≤2,求4a－2b的取值范围. 解:法一:设u＝a＋b,v＝a－b得a＝,b＝, ∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v. ∵1≤u≤4,－1≤v≤2,∴－3≤3v≤6. 则－2≤u＋3v≤10,即－2≤4a－2b≤10. 法二:令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b), ∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b. ∴∴ 又∴－2≤4a－2b≤10. 题型五　利用基本不等式证明不等式 例题：已知a＞b,b＞0,c＞0,且a＋b＋c＝1.求证:≥8. 证明　因为a,b,c∈(0,＋∞),a＋b＋c＝1, 所以－1＝＝≥, 同理－1≥,－1≥. 上述三个不等式两边均为正,分别相乘, 得≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时,等号成立. 【点睛】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”; (2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用; ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,构成基本不等式模型再使用. 巩固训练 已知a,b,c都为正实数,且a＋b＋c＝1.求证:＋＋≥10. 证明:因为a,b,c都为正实数, 所以＋＋ ＝＋＋ ＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10,当且仅当a＝b＝c＝时取等号. 所以＋＋≥10. 题型六　利用基本不等式求最值 例题：(1)已知x＞2,则x＋的最小值为　　　　;  (2)若0＜x＜,则x(1－2x)的最大值是　　　　;  (3)若x＞0,y＞0,且x＋4y＝1,则＋的最小值为　　　　.  解析　(1)因为x＞2, 所以x－2＞0, 所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6, 当且仅当x－2＝,即x＝4时,等号成立. 所以x＋的最小值为6. (2)因为0＜x＜, 所以1－2x＞0, 所以x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝×＝, 当且仅当2x＝1－2x,即当x＝时,等号成立, 所以x(1－2x)的最大值为. (3)因为x＞0,y＞0,x＋4y＝1, 所以＋＝＋＝5＋＋≥5＋2＝9, 当且仅当＝,即x＝,y＝时取等号. 答案　(1)6　(2)　(3)9 【点睛】利用基本不等式求最值的方法 　　利用基本不等式,通过恒等变形及配凑,使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配. (1)拆——裂项拆项:对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件; (2)并——分组并项:目的是分组后各组可以单独应用基本不等式;或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值; (3)配——配式配系数:有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值. 巩固训练 1.(多选)设a＞1,b＞1,且ab－(a＋b)＝2,那么(　　) A.a＋b有最小值2(＋1) B.a＋b有最小值(＋1)2 C.ab有最小值4＋2 D.ab有最大值4＋2 解析:AC　因为ab－(a＋b)＝2,故ab＝(a＋b)＋2且(a＋b)＋2≤,整理得到(a＋b)2－4(a＋b)－8≥0,故a＋b≥2＋2或a＋b≤2－2(舍去),当且仅当a＝b＝1＋时等号成立,故a＋b有最小值2＋2,所以ab有最小值4＋2,故选A、C. 2.已知a,b为正实数,且ab＋a＋3b＝9,则a＋3b的最小值为　　　 　.  解析:∵a＞0,b＞0,∴9＝ab＋a＋3b＝a·3b＋(a＋3b)≤(a＋3b)2＋(a＋3b). (a＋3b＋18)(a＋3b－6)≥0,∴a＋3b≥6,当且仅当a＝3b,即a＝3,b＝1时等号成立. 答案:6 题型七　二次函数的零点 例题：(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为　　　　;  (2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示,则函数y2＝bx2－ax－1的零点是　　　　.  解析　(1)由x2－7x＋12＝0得x1＝3,x2＝4. 所以函数y＝x2－7x＋12的零点为3和4. (2)由题图可知函数y1＝x2－ax－b的零点是2和3,由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3,再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5,－b＝2×3＝6,即a＝5,b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1,易得y2＝－6x2－5x－1的零点为－和－. 答案　(1)3和4　(2)－和－ 【点睛】二次函数零点的求法 (1)代数法:求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根,即为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点; (2)几何法:对于不能用求根公式或分解因式求解的方程,可以将它与对应函数的图象联系起来,利用函数的性质求零点. 巩固训练 求下列函数的零点. (1)y＝3x2－2x－1; (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R); (3)y＝ax2＋bx＋c,其图象如图所示. 解:(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1,x2＝－,所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－. (2)①当a＝0时,y＝－x－1,由－x－1＝0得x＝－1,所以函数的零点为－1. ②当a≠0时,由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0,解得x1＝,x2＝－1, 又－(－1)＝. 当a＝－时,x1＝x2＝－1,函数有唯一的零点－1. 当a≠－且a≠0时,x1≠x2, 函数有两个零点－1和. 综上:当a＝0或－时,函数的零点为－1. 当a≠－且a≠0时,函数有两个零点－1和. (3)由图象可知,函数有两个零点－1和3. 题型八　函数的零点个数的判断与证明 例题：若a＞2,求证: 函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点. 证明　因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2), 又a＞2,所以Δ＞0, 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点. 【点睛】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的判断 　　对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac. (1)Δ＞0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点; (2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点; (3)Δ＜0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点. 巩固训练 求证:函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点. 证明:当a＝0时,y＝－x,该函数有零点0; 当a≠0时,对于一元二次方程ax2－x－a＝0,Δ＝1＋4a2＞0,函数y＝ax2－x－a有两个零点. 综上,函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点. 题型九　二次函数零点的分布探究 例题：(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3,－2)是否存在零点; (2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数,求实数a的取值范围. 解　(1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋,x2＝－1－,因为－3＜－1－＜－2,所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3,－2)存在零点. (2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数, 所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个正实数根.显然a≠2. 由一元二次方程的根与系数的关系得即 所以a≤－2, 即实数a的取值范围是(－∞,－2]. 【点睛】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的分布探究 　　结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理: (1)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点; (2)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点; (3)x1x2＜0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点. 巩固训练 已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R). (1)若该函数有两个不相等的正零点,求a的取值范围; (2)若该函数有两个零点,一个大于1,另一个小于1,求a的取值范围. 解:由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a,x2＝1－a, (1)因为该函数有两个不相等的正零点,所以 解得0＜a＜或＜a＜1, 所以a的取值范围是∪. (2)因为函数有两个零点,一个大于1,另一个小于1, 所以或 解得a＞1或a＜0. 所以a的取值范围是(－∞,0)∪(1,＋∞). 题型十　不含参数的一元二次不等式的解法 例题：解下列不等式: (1)2x2＋5x－3＜0; (2)－3x2＋6x≤2; (3)4x2＋4x＋1＞0. 解　(1)Δ＝49＞0,方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3,x2＝, 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象,如图①所示. 由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12＞0,解方程3x2－6x＋2＝0,得x1＝,x2＝, 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ＝0,∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示. 由图可得原不等式的解集为{x}. 【点睛】解不含参数的一元二次不等式的方法 　　方法一:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为两个一次因式乘积的形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集; 　　方法二:若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,不等式的解集易得; 　　方法三:若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法. 巩固训练 1.不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是(　　) A.{x｜x＜－1}　 　　　　　B. C.　　D. 解析:D　不等式－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0,因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0,所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1,x2＝,又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上,所以不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是,故选D. 2.解不等式:－2＜x2－3x≤10. 解:原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2＞0,解得x＞2或x＜1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0,解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集{x｜－2≤x＜1或2＜x≤5}. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$