专题强化03：基本不等式技巧归纳【8大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

专题强化03：基本不等式技巧归纳 【题型归纳】 · 题型一：基本不等式求积的最大值 · 题型二：基本不等式求和的最小值 · 题型三：二次的商式的最值 · 题型四：基本不等式1的妙用 · 题型五：条件等式求最值 · 题型六：基本不等式的恒成立问题 · 题型七：对勾函数求最值 · 题型八：基本不等式的综合 【题型探究】 题型一：基本不等式求积的最大值 1．（23-24高一上·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一·江苏·专题练习）若，则的最大值是 . 题型二：基本不等式求和的最小值 4．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 5．（23-24高一上·江苏·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型三：二次的商式的最值 7．（22-23高一上·云南楚雄）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 8．（21-22高一上·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．（20-21高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四：基本不等式1的妙用 10．（24-25高一上·黑龙江）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 12．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 题型五：条件等式求最值 13．（24-25高一上·云南文山）若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 题型六：基本不等式的恒成立问题 16．（24-25高一上·黑龙江）已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为 ． 17．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 18．（23-24高一上·江西南昌）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 题型七：对勾函数求最值 19．（23-24高一上·浙江宁波）函数的最大值为 . 20．（21-22高一上·全国·课后作业）已知，则函数的最大值为 . 21．（21-22高三上·吉林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 题型八：基本不等式的综合 22．（24-25高一上·浙江宁波）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 23．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设，为正实数，且 (1)求和的值； (2)求的最小值． (3)求的最小值. 24．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值； （3）解关于的不等式（其中）． 【专题突破】 一、单选题 25．（25-26高一上·全国）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 26．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 27．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 28．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 29．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 30．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 31．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，满足（为常数），若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 33．（2025·吉林长春·一模）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 34．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知且，则下列不等式恒成立的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为2 35．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）下列结论中，错误的结论有（   ） A．取得最大值时的值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为2 D．若，且，那么的最小值为 36．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 三、填空题 37．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，则的最大值为 . 38．（24-25高一上·上海）若，则的最小值为 . 39．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 40．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 四、解答题 41．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）已知. (1)求的最小值； (2)若，求的最小值. 42．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知且. (1)求的最小值 (2)求的最小值 (3)求的最小值 43．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）（1）已知，是正实数，且，求的最小值 （2）函数的最小值为多少？ （3）已知，则取得最大值时的值为多少？ 44．（24-25高一上·宁夏吴忠·阶段练习）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，求的最小值； （3）已知，求的最大值. 45．（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 46．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等. 例如，，求证. 证明：. 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数，满足，求的最小值. 解：由，得，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为. 结合阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化03：基本不等式技巧归纳 【题型归纳】 · 题型一：基本不等式求积的最大值 · 题型二：基本不等式求和的最小值 · 题型三：二次的商式的最值 · 题型四：基本不等式1的妙用 · 题型五：条件等式求最值 · 题型六：基本不等式的恒成立问题 · 题型七：对勾函数求最值 · 题型八：基本不等式的综合 【题型探究】 题型一：基本不等式求积的最大值 1．（23-24高一上·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 2．（22-23高一上·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分子分母乘以，直接利用基本不等式即可. 【详解】， 则由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 故取得最大值时x的值为 故选： 3．（2023高一·江苏·专题练习）若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】先求的取值范围，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由得，，， 因为，，所以利用基本不等式可得， 整理得，即，即，当且仅当即时，等号成立， 所以.故当时，的最大值为. 故答案为. 题型二：基本不等式求和的最小值 4．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【分析】举例说明，即可判断AC；根据基本不等式计算即可判断BD. 【详解】对A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意； 对B：， 当且仅当即时等号成立，但无解，故B不符合题意； 对C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意； 对D：，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D符合题意. 故选：D 5．（23-24高一上·江苏·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】注意到不等式，所以可将条件等式转换为关于的一元二次不等式，从而即可得解. 【详解】注意到，等号成立当且仅当， 从而， 因为，是正实数， 所以解得或（舍去）， 即的最小值是4，等号成立当且仅当. 故选：C. 6．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由已知可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为为正实数，所以， 可得，即， 所以，即， 当且仅当即时等号成立. 故选：C. 题型三：二次的商式的最值 7．（22-23高一上·云南楚雄）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 8．（21-22高一上·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 9．（20-21高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 题型四：基本不等式1的妙用 10．（24-25高一上·黑龙江）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】运用基本不等式，结合乘1法计算即可. 【详解】， 当且仅当，时取等号． 故选：B. 11．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案. 【详解】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 12．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可. 【详解】由得， 于是， 又，，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故. 故选：B. 题型五：条件等式求最值 13．（24-25高一上·云南文山）若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 14．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 15．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】由均值不等式得，从而得到，由得到，从而选出正确选项. 【详解】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 题型六：基本不等式的恒成立问题 16．（24-25高一上·黑龙江）已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】首先得，进一步，从而可得，解得即可得解. 【详解】因为，，所以，即，得， 所以，当且仅当时等号成立． 由，得， 整理得，即， 所以．因为存在实数，使得恒成立， 所以，即的最小值为． 故答案为：. 17．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数a，b满足，， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以不等式恒成立，只需即可. 故答案为： 18．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 题型七：对勾函数求最值 19．（23-24高一上·浙江宁波）函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先将函数化简，利用对勾函数的单调性，即可求函数的最值. 【详解】， 设，而在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 则. 所以函数的最大值为. 故答案为： 20．（21-22高一上·全国·课后作业）已知，则函数的最大值为 . 【答案】 【分析】由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式. 【详解】因为，所以，, 当且仅当，即时，等号成立.故当时， 取最大值，即. 故答案为：3. 21．（21-22高三上·吉林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由基本不等式分析，换元结合对勾函数性质可求最小值. 【详解】由题意，， 因为，令，， 由对勾函数性质可知，当时，有最小值，当且仅当时取到， 故的最小值为. 故答案为： 题型八：基本不等式的综合 22．（24-25高一上·浙江宁波）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】(1)7； (2)①36；②. 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题 . 当且仅当，即时取等号； （2）①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 23．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设，为正实数，且 (1)求和的值； (2)求的最小值． (3)求的最小值. 【答案】(1)， (2) (3)24 【分析】（1）利用恒等变形可求代数式的值； （2）由题设可判断，再利用基本不等式可求和的最小值； （3）利用恒等变形可得，结合基本不等式可求最小值. 【详解】（1）由题设有，故 （2）， 因为，故，故， .由基本不等式得： ， 当且仅当时，即时取等， 故最小值为. （3）由 得， ， 当且仅当时，即时取等 故最小值为24. 24．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值； （3）解关于的不等式（其中）． 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析 【分析】（1）化简得，再利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式构造出，解出即可； （3）因式分解为，再对进行分类讨论即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即，即时等号成立. 则的最大值为. （2）因为 , 且 , 则， 解得 或 （舍去）， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为. （3）不等式化为，（其中）， 当时，解得； 当时，不等式化为， 若，即，解得； 若，无实数解； 若，即，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【专题突破】 一、单选题 25．（25-26高一上·全国）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】应用常值代换结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为,且, 所以, 当且仅当,即时取等号，因此的最小值为6． 故选：B. 26．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【答案】C 【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 27．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，，则，再用表示，依据基本不等式求的最值. 【详解】令，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：C. 28．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 29．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】化简，根据基本不等式求出的最小值. 【详解】， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，即的最小值是5. 故选：C. 30．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】运用基本不等式，通过已知条件进行变形，构造基本不等式求最值即可. 【详解】， 由于，则， 由于，当且仅当，时取等号. 则，当且仅当时取等号， 则的最小值为3. 故选：B. 31．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，满足（为常数），若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式，得到，再由，结合题意，得出不等式，即可求解. 【详解】由，且，可得，当且仅当时等号成立， 又由， 因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 32．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，再利用基本不等式判断各个选项. 【详解】由， 因为为不相等的正实数，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当，即 或时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，等价于，即，当且仅当，即 时等号成立，故D正确． 故选：C． 二、多选题 33．（2025·吉林长春·一模）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数，满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 34．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知且，则下列不等式恒成立的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为2 【答案】AC 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，， 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，时等号成立，故B错误； 对于C，，故，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由A知，，故， 故，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为2，故D错误. 故选：AC 35．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）下列结论中，错误的结论有（   ） A．取得最大值时的值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为2 D．若，且，那么的最小值为 【答案】BC 【分析】A利用二次函数性质判断；B、C应用基本不等式判断即可；D应用基本不等式“1”的代换判断. 【详解】A：，显然时取到最大值，对； B：由，则 ，当且仅当时等号成立，错； C：， 当且仅当时等号成立，而，取不到最小值2，错； D：， 当且仅当时等号成立，对. 故选：BC 36．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及其变形可判断A；利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；根据重要不等式得到，代入即可判断D. 【详解】对于A，，即， 当且仅当，即，时等号成立，故A错误； 对于B，因为， 当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，则， 所以， 当时，取最小值，故C错误； 对于D，由得，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 37．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由知， 当且仅当，即时取得等号， 即的最大值为， 故答案为： 38．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 39．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 40．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 四、解答题 41．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）已知. (1)求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)4； (2)8. 【分析】（1）由基本不等式求解最小值即可； （2）基本不等式中的代换，求解最小值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为4. （2）因为， 所以 . 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为8. 42．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知且. (1)求的最小值 (2)求的最小值 (3)求的最小值 【答案】(1)25 (2)10 (3) 【分析】（1）利用基本不等式得到，求出； （2）利用基本不等式得到，求出； （3）求出，，从而得到，换元后，利用基本不等式得到最小值. 【详解】（1）且， 由于，故， 解得或（舍去）， 故，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为25 （2）且， 由于，故， 两边平方后，解得或（舍去）， 故的最小值为10，当且仅当时，等号成立； （3），若，此时，不成立，舍去， 故，故， 因为，故， 故， 令，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，，故的最小值为. 43．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）（1）已知，是正实数，且，求的最小值 （2）函数的最小值为多少？ （3）已知，则取得最大值时的值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）用乘“1”法，借助基本不等式即可求解； （2）通过配凑，构造基本不等式的模型来解决； （3）通过配凑，使用基本不等式的和定积有最大值即可. 【详解】（1）因为，， 当且仅当，即，时取等号. 的最小值为. （2）. 当且仅当，即时取等号. 故函数的最小值为. （3）， 当且仅当，即时取等号， 故取得最大值时，的值为. 44．（24-25高一上·宁夏吴忠·阶段练习）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，求的最小值； （3）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）6；（3）. 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，结合配凑思想，利用基本不等式求出最值. 【详解】（1）由，且，得，当且仅当取等号， 即，所以当时，取得最大值. （2）由，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值6. （3），则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最大值. 45．（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）9；（3） 【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）由， 则． 当且仅当，即时取到最小值16． 若恒成立，则． 46．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等. 例如，，求证. 证明：. 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数，满足，求的最小值. 解：由，得，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为. 结合阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直接代入所求式子即可求解. （2）由题可得，代入化简，令，结合基本不等式即可求出的最大值，进而得出的最小值. 【详解】（1）因为， 所以 . （2）由题知，， ， 因为， 所以， 所以， 令， 因为，所以， 因为，当且仅当时取等， 所以， 所以， 所以， 所以， 即的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$