第三章 不等式 压轴题专练（11类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第三章 不等式 压轴题专练（题型清单） 题型一　不等式的证明 例题：已知x＞0,y＞0,z＞0,求证:≥8. 【点睛】1.利用不等式的性质解一元一次不等式的注意事项 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似,但要注意解不等式时,在去分母和系数化为1时,不等号有可能改变方向. 2.利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用; (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 巩固训练 1.已知a＜b，c＞d，求证：a－c＜b－d. 2.设a，b，c为正数，证明下列不等式成立： (1)； (2). 题型二　利用基本不等式求最值 例题：若x＞0,y＞0,且x＋2y＝5,求＋的最小值,并求出取得最小值时x,y的值. 巩固训练 1.若x＜0,求x＋的最大值. 2.已知x>－2，求x＋的最小值. 题型三　解一元二次不等式 例题：解下列关于x的不等式. (1)－1＜x2＋2x－1≤2; (2)m2x2＋2mx－3＜0. 巩固训练 1.不等式 x2－2x＋3＞0的解集为　　　　,不等式＜0的解集为　　　　.  2.已知不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为{x｜1＜x＜2},则a＋b＝( )  A.－2 B. 2 C. －3 D. 3 题型四　一元二次不等式的恒成立问题 例题：已知函数y＝mx2－mx－6＋m,若对于1≤m≤3,y＜0恒成立,求实数x的取值范围. 【点睛】一元二次不等式在R上的恒成立问题 转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 巩固训练 1.若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为实数集R，则实数m的取值范围是________． 2.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a<2} B．{a|a≤2} C．{a|－2<a<2} D．{a|－2<a≤2} 题型五　含参数的一元二次不等式的解法 例题：　(1)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0; (2)已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3＞0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 【点睛】1.含参一元二次不等式的解法 2.一元二次不等式在R上的恒成立问题 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0,对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0,对任意实数x∈R恒成立的条件是 注意　当不等式ax2＋bx＋c＞0未说明为一元二次不等式时,对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或 巩固训练 已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b,c∈R),且f(x)≤0的解集为[－1,2]. (1)求函数f(x)的解析式; (2)解关于x的不等式mf(x)＞2(x－m－1)(m≥0). 题型六　“三个二次”关系的应用 例题：(1)(多选)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为,则下列结论正确的是(　　) A.a＞0　　B.b＞0 C.c＞0　　D.a＋b＋c＞0 (2)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3},求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集. 【点睛】一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法:由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根,从而由根与系数的关系,找出系数a,b,c之间的关系,写出不等式的解集; (2)求解步骤:①明确解题方向:如要解ax2＋bx＋c＞0,首先确定a的符号,最好能确定a,b,c的值; ②审条件——挖掘题目信息:利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a,b,c的方程组,用a表示b,c; ③建联系——找解题突破口:由给定不等式的解集形式→确定关于a,b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c＞0的解集. 巩固训练 若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1},则函数y＝ax2－x－c的图象为(　　) 题型七　分式不等式的解法 例题：解下列不等式: (1)＜0;(2)≤1. 【点睛】1.对于比较简单的分式不等式,可利用实数乘法和除法的符号法则直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 巩固训练 解下列不等式:(1)≥0;(2)＜3. 题型八　一元二次不等式的实际应用问题 例题：某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内? 【点睛】解不等式应用题的步骤 如图所示,某小区内有一个矩形花坛ABCD,现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB＝3 m,AD＝2 m. 要使矩形AMPN的面积大于32 m2,则DN的长应在什么范围内? 题型九　一元二次不等式的恒成立问题 例题：已知y＝x2＋ax＋3－a,若－2≤x≤2时,x2＋ax＋3－a≥0恒成立,求a的取值范围. 【点睛】1.不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a＝0时,b＝0,c＞0; 当a≠0时, 2.不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a＝0时,b＝0,c＜0; 当a≠0时, 3.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. 1.“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A.m＞　　　　　　　　　B.0＜m＜1 C.m＞0　　D.m＞1 2.若对任意实数x,关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.  题型十　利用基本不等式解应用题 例题：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400 元/m,中间两道隔墙建造单价为248 元/m,池底建造单价为80 元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 【点睛】求实际问题中最值的解题4步骤 (1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出等量关系式; (2)把实际问题抽象成符合基本不等式的最大值或最小值问题; (3)利用基本不等式求最值; (4)正确写出答案. 巩固训练 1.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*),则当每台机器运转　　　　年时,年平均利润最大,最大值是　　　　万元.  2.某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层,并要求隔热层的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元,设每年的能源消耗费用为y1万元,隔热层的厚度为x厘米,两者满足关系式:y1＝(0≤x≤10,k为常数).若无隔热层,则每年的能源消耗费用为6万元,15年的总维修费用为10万元,记y2为15年的总费用.(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用) (1)求y2的表达式; (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时,15年的总费用y2最小,并求出最小值. 题型十一　构建一元二次不等式模型解决实际问题 例题：某商品的成本价80元/件,售价100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成＝10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y,试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元,求x的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 不等式 压轴题专练（题型清单） 题型一　不等式的证明 例题：已知x＞0,y＞0,z＞0,求证:≥8. 证明　∵x＞0,y＞0,z＞0, ∴＋≥＞0,＋≥＞0,＋≥＞0, 当且仅当x＝y＝z时,以上三个不等式等号同时成立. ∴ ≥＝8. 当且仅当x＝y＝z时等号成立. 【点睛】1.利用不等式的性质解一元一次不等式的注意事项 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似,但要注意解不等式时,在去分母和系数化为1时,不等号有可能改变方向. 2.利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用; (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 巩固训练 1.已知a＜b，c＞d，求证：a－c＜b－d. 证明　证法一：由a＜b，得b－a＞0； 由c＞d，得c－d＞0. 因为(b－d)－(a－c)＝(b－a)＋(c－d)＞0， 所以b－d＞a－c. 所以a－c＜b－d. 证法二：因为a＜b，所以－a＞－b. 又因为c＞d，所以(－a)＋c＞(－b)＋d， 即c－a＞d－b. 所以a－c＜b－d. 2.设a，b，c为正数，证明下列不等式成立： (1)； (2). 证明:(1)因为a，b，c为正数，所以，，也为正数. 由基本不等式，得，，， 所以. 当且仅当，，，即时，等号成立. 所以原不等式成立. (2)因为a，b，c为正数， 所以由基本不等式，得，，， 所以， 当且仅当，，，即时，等号成立. 所以原不等式成立. 题型二　利用基本不等式求最值 例题：若x＞0,y＞0,且x＋2y＝5,求＋的最小值,并求出取得最小值时x,y的值. 解　因为x＞0,y＞0,且x＋2y＝5, 所以＋＝(x＋2y) ＝ ≥＝5, 当且仅当即时等号成立. 所以＋的最小值为5,此时x＝3,y＝1. 巩固训练 1.若x＜0,求x＋的最大值. 解:∵x＜0,∴－x＞0, ∴(－x)＋(－)＝8, ∴x＋＝－（－x＋）≤－8, 当且仅当－x＝－,即x＝－4时,等号成立. 故x＋的最大值为－8. 2.已知x>－2，求x＋的最小值. 解:∵x>－2，∴x+2>0， ∴x＋＝x＋2+－2≥2－2＝6， 当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立. ∴x＋的最小值为6. 题型三　解一元二次不等式 例题：解下列关于x的不等式. (1)－1＜x2＋2x－1≤2; (2)m2x2＋2mx－3＜0. 解　(1)原不等式等价于 即 由①得x(x＋2)＞0,所以x＜－2或x＞0; 由②得(x＋3)(x－1)≤0, 所以－3≤x≤1. 将①②的解集在数轴上表示出来,如图. 求其交集得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}. (2)当m＝0时,－3＜0恒成立,解集为R. 当m≠0时,二次项系数m2＞0,Δ＝16m2＞0,不等式化为(mx＋3)(mx－1)＜0. 当m＞0时,解集为; 当m＜0时,解集为. 巩固训练 1.不等式 x2－2x＋3＞0的解集为　　　　,不等式＜0的解集为　　　　.  答案:R　{x｜0＜x＜2} 2.已知不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为{x｜1＜x＜2},则a＋b＝( )  A.－2 B. 2 C. －3 D. 3 解析:方程ax2－bx＋2=0的两根为x1＝1,x2＝2,由根与系数的关系可知－=3，=2，解得a=1，b=－3，故a＋b＝－2. 答案:－2 题型四　一元二次不等式的恒成立问题 例题：已知函数y＝mx2－mx－6＋m,若对于1≤m≤3,y＜0恒成立,求实数x的取值范围. 解　y＜0⇔mx2－mx－6＋m＜0⇔(x2－x＋1)m－6＜0. ∵1≤m≤3, ∴x2－x＋1＜恒成立,只需x2－x＋1小于的最小值,即x2－x＋1＜⇔x2－x－1＜0⇔＜x＜. ∴x的取值范围为. 【点睛】一元二次不等式在R上的恒成立问题 转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 巩固训练 1.若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为实数集R，则实数m的取值范围是________． 解析:因为关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为实数集R， 所以只需Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2， 即实数m的取值范围是[－2，2]. 答案:[－2，2] 2.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a<2} B．{a|a≤2} C．{a|－2<a<2} D．{a|－2<a≤2} 解析:D　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意； 当a－2≠0时，由题意知，，解得－2<a<2，∴－2<a≤2，故选D. 题型五　含参数的一元二次不等式的解法 例题：　(1)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0; (2)已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3＞0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 解　(1)①当a＝0时,原不等式即为－x＋1＜0,解得x＞1. ②当a＜0时,原不等式化为(x－1)＞0,解得x＜或x＞1. ③当a＞0时,原不等式化为(x－1)＜0. 若a＝1,即＝1时,不等式无解; 若a＞1,即＜1时,解得＜x＜1; 若0＜a＜1,即＞1时,解得1＜x＜. 综上可知,当a＜0时,不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}; 当a＝0时,不等式的解集为{x｜x＞1}; 当0＜a＜1时,不等式的解集为; 当a＝1时,不等式的解集为⌀; 当a＞1时,不等式的解集为. (2)①当m2＋4m－5＝0,即m＝1或m＝－5时,显然m＝1符合条件,m＝－5不符合条件; ②当m2＋4m－5≠0时,由二次函数对一切实数x恒成立,得解得1＜m＜19. 综合①②得,实数m的取值范围为{m｜1≤m＜19}. 【点睛】1.含参一元二次不等式的解法 2.一元二次不等式在R上的恒成立问题 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0,对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0,对任意实数x∈R恒成立的条件是 注意　当不等式ax2＋bx＋c＞0未说明为一元二次不等式时,对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或 巩固训练 已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b,c∈R),且f(x)≤0的解集为[－1,2]. (1)求函数f(x)的解析式; (2)解关于x的不等式mf(x)＞2(x－m－1)(m≥0). 解:(1)因为f(x)≤0的解集为[－1,2],所以x2＋bx＋c＝0的根为－1,2, 所以－b＝1,c＝－2,即b＝－1,c＝－2,所以f(x)＝x2－x－2. (2)mf(x)＞2(x－m－1),即m(x2－x－2)＞2(x－m－1),整理,得(mx－2)(x－1)＞0, 所以当m＝0时,不等式的解集为(－∞,1); 当0＜m＜2时,不等式的解集为(－∞,1)∪; 当m＝2时,不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞); 当m＞2时,不等式的解集为∪(1,＋∞). 题型六　“三个二次”关系的应用 例题：(1)(多选)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为,则下列结论正确的是(　　) A.a＞0　　B.b＞0 C.c＞0　　D.a＋b＋c＞0 (2)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3},求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集. (1)解析　因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为,故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下,所以a＜0,故A错误;易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根,则有＝－1＜0,－＝＞0,又a＜0,故b＞0,c＞0,故B、C正确;由题意可知当x＝1时,y＝a＋b＋c＞0,故D正确,故选B、C、D. 答案　BCD (2)解　由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}可知a＜0,且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根, 由根与系数的关系可知－＝5,＝6.故＝－, 又由a＜0知c＜0, 故不等式cx2＋bx＋a＜0, 即x2＋x＋＞0, 即x2－x＋＞0,解得x＜或x＞, 所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为x｜x＜或x＞. 【点睛】一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法:由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根,从而由根与系数的关系,找出系数a,b,c之间的关系,写出不等式的解集; (2)求解步骤:①明确解题方向:如要解ax2＋bx＋c＞0,首先确定a的符号,最好能确定a,b,c的值; ②审条件——挖掘题目信息:利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a,b,c的方程组,用a表示b,c; ③建联系——找解题突破口:由给定不等式的解集形式→确定关于a,b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c＞0的解集. 巩固训练 若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1},则函数y＝ax2－x－c的图象为(　　) 解析:B　因为不等式的解集为{x｜－2＜x＜1},所以a＜0,排除C、D,又与坐标轴交点的横坐标为－2,1,故选B. 题型七　分式不等式的解法 例题：解下列不等式: (1)＜0;(2)≤1. 解　(1)＜0⇔(x－3)(x＋2)＜0⇔－2＜x＜3, ∴原不等式的解集为{x｜－2＜x＜3}. (2)∵≤1, ∴－1≤0, ∴≤0, 即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0,解得x＜或x≥4, ∴原不等式的解集为. 【点睛】1.对于比较简单的分式不等式,可利用实数乘法和除法的符号法则直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 巩固训练 解下列不等式:(1)≥0;(2)＜3. 解:(1)根据商的符号法则,不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组,可得x≤－1或x＞3. 即原不等式的解集为{x｜x≤－1,或x＞3}. (2)不等式＜3可改写为－3＜0, 即＜0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)＜0, 解得－1＜x＜1. 所以原不等式的解集为{x｜－1＜x＜1}. 题型八　一元二次不等式的实际应用问题 例题：某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内? 解　(1)由题意,得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1),整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当 即 解不等式组,得0＜x＜, 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x的范围为. 【点睛】解不等式应用题的步骤 如图所示,某小区内有一个矩形花坛ABCD,现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB＝3 m,AD＝2 m. 要使矩形AMPN的面积大于32 m2,则DN的长应在什么范围内? 解:设DN的长为x(x＞0)m,则AN的长为(x＋2)m. 因为＝,所以AM＝, 所以S矩形AMPN＝AN·AM＝. 由S矩形AMPN＞32,得＞32. 又x＞0,得3x2－20x＋12＞0, 解得0＜x＜或x＞6. 即DN的长的取值范围是. 题型九　一元二次不等式的恒成立问题 例题：已知y＝x2＋ax＋3－a,若－2≤x≤2时,x2＋ax＋3－a≥0恒成立,求a的取值范围. 解　设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数,设为g(a),则 (1)当对称轴x＝－＜－2,即a＞4时,g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0,解得a≤,与a＞4矛盾,不符合题意. (2)当－2≤－≤2,即－4≤a≤4时,g(a)＝3－a－≥0,解得－6≤a≤2,此时－4≤a≤2. (3)当－＞2,即a＜－4时,g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0,解得a≥－7,此时－7≤a＜－4. 综上,a的取值范围为－7≤a≤2. 【点睛】1.不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a＝0时,b＝0,c＞0; 当a≠0时, 2.不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a＝0时,b＝0,c＜0; 当a≠0时, 3.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. 1.“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A.m＞　　　　　　　　　B.0＜m＜1 C.m＞0　　D.m＞1 解析:C　若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立,则Δ＝(－1)2－4m＜0,解得m＞,因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时,必有m＞0,但当m＞0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m＞0. 2.若对任意实数x,关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:(1)若a2－1＝0,则a＝±1, 当a＝1时,原不等式即为－1＜0,解集为R. 当a＝－1时,原不等式即为2x－1＜0,解集为,与题意不符. (2)若a≠±1,则当时,不等式解集为R,解得－＜a＜1. 综上,实数a的取值范围是. 答案: 题型十　利用基本不等式解应用题 例题：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400 元/m,中间两道隔墙建造单价为248 元/m,池底建造单价为80 元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 解　设隔墙的长度为x m,总造价的函数为y元,则隔墙造价为2x×248＝496x元, 池底造价为200×80＝16 000元, 四周围墙造价为×400＝800×元. 因此,总造价为 y＝496x＋800＋16 000(0＜x＜50) ＝1 296x＋＋16 000 ≥2＋16 000 ＝28 800＋16 000＝44 800. 当且仅当1 296x＝,即x＝时,等号成立.这时,污水池的长为18 m. 故当污水池的长为18 m,宽为 m时,总造价最低,最低为44 800元. 【点睛】求实际问题中最值的解题4步骤 (1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出等量关系式; (2)把实际问题抽象成符合基本不等式的最大值或最小值问题; (3)利用基本不等式求最值; (4)正确写出答案. 巩固训练 1.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*),则当每台机器运转　　　　年时,年平均利润最大,最大值是　　　　万元.  解析:每台机器运转x年的年平均利润为＝18－,且x＞0,故≤18－2＝8,当且仅当x＝5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元. 答案:5　8 2.某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层,并要求隔热层的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元,设每年的能源消耗费用为y1万元,隔热层的厚度为x厘米,两者满足关系式:y1＝(0≤x≤10,k为常数).若无隔热层,则每年的能源消耗费用为6万元,15年的总维修费用为10万元,记y2为15年的总费用.(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用) (1)求y2的表达式; (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时,15年的总费用y2最小,并求出最小值. 解:(1)依题意,当x＝0时,y1＝6,∴6＝,∴k＝30. 故y1＝,y2＝4x＋×15＋10＝4x＋＋10(0≤x≤10). (2)y2＝4x＋＋10＝(4x＋10)＋＝2(2x＋5)＋≥2＝60, 当且仅当2(2x＋5)＝,即x＝5时,y2取得最小值,最小值为60, ∴隔热层的厚度为5厘米时,15年的总费用达到最小值,最小值为60万元. 题型十一　构建一元二次不等式模型解决实际问题 例题：某商品的成本价80元/件,售价100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成＝10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y,试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元,求x的取值范围. 解　(1)依题意y＝100·100. 又售价不能低于成本价, 所以100－80≥0, 解得x≤2, 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2). (2)20(10－x)(50＋8x)≥10 260, 化简得:8x2－30x＋13≤0,解得≤x≤. 又x∈{x｜0≤x≤2}, 所以x的取值范围为≤x≤2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$