专题03 旋转（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题03 旋转 【考点01】中心对称图形 【考点02】生活中的旋转现象 【考点03】旋转的性质 【考点04】关于原点对称的点的坐标 【考点05】旋转的规律 【考点06】坐标与图形变化﹣旋转 知识点1： 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点 知识点2： 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 知识点3： 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 知识点4： 中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (1) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 知识点5： 关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 【考点01】中心对称图形 【典例1】志愿服务，传递爱心，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（    ） A．  B．  C．   D．   【变式1-1】下列图形是轴对称图形又是中心对称图形的是    （        ） A．正六边形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等边三角形 【变式1-2】下面四个古典园林花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【考点02】生活中的旋转现象 【典例2】下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【变式2-1】下列现象中属于旋转的有（      ）个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 【变式2-3】将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【考点03】旋转的性质 【典例3】如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，中， ， ．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则的长为（　　） A．5 B． C． D． 【变式3-5】如图，已知点，A与关于y轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点 B的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-6】如图，将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转得到正方形，与相交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-7】如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ． 【典例4】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【变式4-1】在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．    (1)探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． (2)类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． (3)迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 【变式4-2】综合与实践 【问题情境】 在数学课上，老师让同学们探究旋转中的数学问题，如图1，在中，，，点为线段上一动点，连接．若将线段绕点沿逆时针的方向旋转得到，连接，易证与的数量关系为：　　，位置关系为：　　． 【变式探究】 “创新”小组提出：当点在如图2所示位置时，若将线段绕点沿顺时针的方向旋转，得到，过点作垂直于交于点，连接、，试探究的度数． ①“善思”小组经过研究发现线段与的关系为：，，请你帮“善思”小组写出此结论的证明过程． ②从而“明辨”小组得出　　． 【问题拓展】 同学们提出当点在上继续向右运动时，的度数会发生变化，那么当点运动到如图3所示的位置时，　　，（请你直接写出答案）此时“变通”小组发现、、之间存在某种数量关系，请你写出、、三条线段之间的数量关系　　． 【考点04】关于原点对称的点的坐标 【典例5】在直角坐标系中，与点是原点对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式5-2】点与关于原点对称，则 ． 【变式5-3】若点与点关于原点对称，则 ． 【变式5-4】若点与点关于原点对称，则的值为 ． 【考点05】旋转的规律 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，点E在x轴上，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点F的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；再将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；……依此规律，得到等腰，则点的坐标为 ． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……，依次进行下去，若点，，则点的坐标为 ．    【考点06】坐标与图形变化﹣旋转 【典例7】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） (2)将绕点O按逆时针方向旋转，画出旋转后对应的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【变式7-2】在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的 (顶点都在格点上)． (1)先画出该三角形关于直线l成轴对称的； (2)再画将 绕点逆时针方向旋转后的； (3)求的面积． 【变式7-3】如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的． 1．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A关于原点O的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中， 将绕点C 按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点 B 之间的距离为（     ） A．12 B．6 C． D． 5．如图，两个边长相等的正方形和，若将正方形绕点O按逆时针方向旋转，则两个正方形的重叠部分四边形的面积（    ） A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 6．如图，中， ， ．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形，点C恰好落在边上，若，则 ． 8．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到△，连接，若，则的度数是 ． 9．如图，在中，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，若阴影部分的面积为16，则的长为 ． 10．若点关于原点对称的点为，则点关于y轴对称的点D的坐标为 ． 11．在中，，，将绕点A逆时针旋转后能与重合，当B，P，在同一条直线上，连接，若，，则 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形 ，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形 ，那么点的坐标是 . 13．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，，相交于O，． (1)判断的形状； (2)求的度数． 14．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） (1)画出关于原点对称的图形，并写出的坐标； (2)将绕点B顺时针旋转得到图形，请画出此图形； (3)求出的面积； (4)在x轴上作一点P，使最小，写出点P的坐标． 15．如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 16．如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 17．如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 18．【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______； （2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 【拓展延伸】 如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 旋转 【考点01】中心对称图形 【考点02】生活中的旋转现象 【考点03】旋转的性质 【考点04】关于原点对称的点的坐标 【考点05】旋转的规律 【考点06】坐标与图形变化﹣旋转 知识点1： 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点 知识点2： 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 知识点3： 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 知识点4： 中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (1) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 知识点5： 关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 【考点01】中心对称图形 【典例1】志愿服务，传递爱心，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列图形是轴对称图形又是中心对称图形的是    （        ） A．正六边形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判定即可． 【详解】解：A、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】下面四个古典园林花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【考点02】生活中的旋转现象 【典例2】下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转，平移的识别，掌握旋转的性质，即旋转前后图形的大小不变，平移的概念等知识是解题的关键． 根据旋转的性质，平移的概念结合实际情况即可求解． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误； B、电梯上下运动的过程是平移，故此选项错误； C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确； D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误； 故选：C． 【变式2-1】下列现象中属于旋转的有（      ）个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：属于旋转的有③④⑤⑥，共4个． 故选：C 【变式2-2】下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【分析】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 【变式2-3】将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义即可求解，掌握旋转的定义是解题的关键． 【详解】 解：将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是， 故选：． 【考点03】旋转的性质 【典例3】如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出．解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数 【详解】解：在三角形中，，， ． 由旋转的性质可知： ， ． 又， ． 故选：． 【变式3-1】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解，即可． 【详解】解：由旋转性质可知：， ∵点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故选：B． 【变式3-2】如图，中， ， ．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理，根据旋转前后对应边相等、对应角相等，可得，， ，再用勾股定理解和即可． 【详解】解：由旋转知，， ， ， ， ， 故选B． 【变式3-3】如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．先利用平行线的性质得，再由旋转性质得，，然后利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-4】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则的长为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转变换和勾股定理，在中，由勾股定理解得的长，再根据旋转的性质得到， ，在 中再利用勾股定理解得的长即可． 【详解】解：， 在中， 由旋转的性质得 在 中， 故选：B． 【变式3-5】如图，已知点，A与关于y轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点 B的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，坐标与图形．过点作轴于点C，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵点，A与关于y轴对称， ∴， 如图，过点作轴于点C，    ∵将线段以点为中心顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点 B的对应点的坐标为． 故选：A 【变式3-6】如图，将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转得到正方形，与相交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据旋转的性质和正方形的性质易证，从而可知，再设，则，根据勾股定理解得即可求得，从而解题． 【详解】解：如图，连接， 由正方形性质可得：，， ， ， ， 正方形绕点按逆时针方向旋转得到正方形， ， ， 设，则， 则有， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含角的直角三角形，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 【变式3-7】如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知 则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 【典例4】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出BD的长 【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 【变式4-1】在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．    (1)探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． (2)类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． (3)迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）由旋转的性质可得是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定可得，再利用角的和差关系即可求解； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，得等腰直角，进而得，再由勾股定理即可得出结论； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，得等腰，，进而可得，用勾股定理即可得出，再在等腰中求出即可得出结论． 【详解】（1）解：由旋转性质可知：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接，    由旋转性质可知：，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，    由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式4-2】综合与实践 【问题情境】 在数学课上，老师让同学们探究旋转中的数学问题，如图1，在中，，，点为线段上一动点，连接．若将线段绕点沿逆时针的方向旋转得到，连接，易证与的数量关系为：　　，位置关系为：　　． 【变式探究】 “创新”小组提出：当点在如图2所示位置时，若将线段绕点沿顺时针的方向旋转，得到，过点作垂直于交于点，连接、，试探究的度数． ①“善思”小组经过研究发现线段与的关系为：，，请你帮“善思”小组写出此结论的证明过程． ②从而“明辨”小组得出　　． 【问题拓展】 同学们提出当点在上继续向右运动时，的度数会发生变化，那么当点运动到如图3所示的位置时，　　，（请你直接写出答案）此时“变通”小组发现、、之间存在某种数量关系，请你写出、、三条线段之间的数量关系　　． 【答案】[问题情境]，；[变式探究]①见解析，②45；[问题拓展]135；． 【分析】[问题情境]由题意得出，由旋转的性质可得：，，证明，得出，，从而得出，即可得解； [变式探究]①由题意得出，证明为等腰直角三角形，得出，，，由旋转的性质可得：，，证明，得出，，求出，得到，从而推出；②证明四边形为矩形，得出，即可得解； [问题拓展]由变式探究可得：四边形为矩形，为等腰直角三角形，从而得出，，，可得出答案． 【详解】[问题情境]解：在中，，， ， 由旋转的性质可得：，， ， ， ， ，， ，即， 故答案为：，； [变式探究]①证明：在中，，， ， ， 为等腰直角三角形， ，，， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ，， ，， ， ； ②解：由①可得：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ， 故答案为：45； [问题拓展]解：由变式探究可得：四边形为矩形，为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故答案为：135；． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【考点04】关于原点对称的点的坐标 【典例5】在直角坐标系中，与点是原点对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于原点对称的点的特点，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数即可求解． 【详解】解：与点是关于原点对称的点是， 故选：C ． 【变式5-1】如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质．根据中心对称的性质，为，的中点，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称，点A的坐标为， 设， 依题意，， 解得：， 点的坐标为， 故选：C． 【变式5-2】点与关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握平面直角坐标系内关于原点对称的两点坐标特征成为解题的关键 根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数即可解答． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变化，乘方，关于原点对称的两点的横纵坐标均互为相反数，据此即可解答． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为： 【变式5-4】若点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标及负整数幂，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而求出，再根据负整数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 故答案为：． 【考点05】旋转的规律 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置， ∵， ∴的坐标和点的坐标重合， ∴点的坐标是； 故选A． 【变式6-1】如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，点E在x轴上，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点F的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，，由勾股定理得，，由菱形，可得，则，由每次旋转，可得每旋转4次，点F重合一次，由，可得，由在第四象限，如图，连接，，作于，由旋转的性质可得，，，证明，则，，，则． 【详解】解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵每次旋转， ∴每旋转4次，点F重合一次， ∵， ∴， ∵在第四象限，如图，连接，，作于，    由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形、菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；再将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；……依此规律，得到等腰，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律， ∴每4次循环一周，． ， ∴点与同在一个象限内， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……，依次进行下去，若点，，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，通过旋转发现、、每两个偶数之间的相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：点，， ，， ， 由旋转的性质可知，， ， ， 由旋转的性质同理可得，，，，，依此类推， 可知每两个偶数之间的横坐标相差12个单位长度，纵坐标为4， ， ． 故答案为：． 【考点06】坐标与图形变化﹣旋转 【典例7】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)点的坐标 (3) 【分析】本题考查作图旋转变换、坐标与图形、网格中求三角形面积等，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）由（1）中的作图，根据点的位置写出坐标即可； （3）利用网格求三角形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：由（1）可知，点的坐标； （3）解：如图所示： ． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） (2)将绕点O按逆时针方向旋转，画出旋转后对应的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形，平移性质、旋转性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别找出平移后的点，，，再依次连接，即可作答． （2）分别找出旋转后的点，，，再依次连接，即可作答． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 【变式7-2】在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的 (顶点都在格点上)． (1)先画出该三角形关于直线l成轴对称的； (2)再画将 绕点逆时针方向旋转后的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了作轴对称图形，作旋转图形，利用网格求三角形面积等知识，熟练掌握作轴对称图形，作旋转图形是解题的关键． （1）利用轴对称的性质作图即可； （2）利用旋转的性质作图即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由轴对称的性质作图，如图1； （2）解：由旋转的性质作图，如图2， （3）解：由题意知，， ∴的面积为3． 【变式7-3】如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称和性质作图，抓住中心对称和旋转的性质是关键． （1）分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转得到三个短点，连接三个点即可． 【详解】（1）解：分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； 如图所示，即为所求； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转90°得到三个短点，连接三个点所得即为所求． 1．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，不符合题意， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，符合题意 故选：D． 2．如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A关于原点O的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点A作轴于．先求出，，再证明，得到，，则可求出，最后根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于．    ∵B、C的坐标分别为，， ∴，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ∴点A关于原点O的对称点的坐标为 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，关于原点对称的点的坐标特点，正确根据一线三垂直模型构造全等三角形求出点A的坐标是解题的关键． 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 根据旋转的性质得出，，，即可得出结果． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点， ，，， ， 故选：B． 4．如图，在中， 将绕点C 按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点 B 之间的距离为（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，先由旋转性质得， 证明和是等边三角形．再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，连接 ∵将绕点C 按逆时针方向旋转得到， ∴， 和是等边三角形． ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 5．如图，两个边长相等的正方形和，若将正方形绕点O按逆时针方向旋转，则两个正方形的重叠部分四边形的面积（    ） A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 【答案】A 【分析】本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出，即得面积等于的面积． 根据正方形性质得出，求出，根据证，推出两个正方形的重叠部分四边形的面积等于，即可得出选项． 【详解】解：∵四边形、四边形是两个边长相等正方形， ∴， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴两个正方形的重叠部分四边形的面积是， 即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于， 故选：A． 6．如图，中， ， ．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理，根据旋转前后对应边相等、对应角相等，可得，， ，再用勾股定理解和即可． 【详解】解：由旋转知，， ， ， ， ， 故选B． 7．如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形，点C恰好落在边上，若，则 ． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是绕点O顺时针旋转后得到的图形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 8．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到△，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质，由旋转的性质可得，然后可得，则有，进而问题可求解．熟练掌握旋转的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，若阴影部分的面积为16，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．过A作于D，根据，阴影部分面积为16，求出结论即可． 【详解】解：过A作于D， 在中，将绕点B按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，阴影部分面积为16， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 10．若点关于原点对称的点为，则点关于y轴对称的点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，得出a，b的值，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得出答案． 【详解】解：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数， ∴，， 即点C为， 根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴点关于y轴对称的点D的坐标为， 故答案为：． 11．在中，，，将绕点A逆时针旋转后能与重合，当B，P，在同一条直线上，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据旋转的性质和勾股定理可求得，再根据旋转的性质，等腰三角形性质，三角形外角性质可得，，，从而得到，再根据勾股定理即可求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转后能与重合，，，，， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形 ，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形 ，那么点的坐标是 . 【答案】 【分析】本题考查了正方形和旋转的性质，图形的坐标变化规律，由正方形的性质可得点的坐标为，再根据旋转的性质可得，据此可得每旋转八次，点的对应点循环出现一次，即可求解，由旋转的性质得到图形的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为， ∴点的坐标为， ∵， ∴每旋转八次，点的对应点循环出现一次， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，，相交于O，． (1)判断的形状； (2)求的度数． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转前后的图形是全等形是解题的关键． （1）由旋转可得，，然后根据，得到是等边三角形，进而得到，得到结论； （2）设，然后表示，的度数，然后利用四边形的内角和和对顶角相等解题即可． 【详解】（1）是等边三角形，理由为： 由旋转可得，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 即是等边三角形； （2）设， ∴， 又∵， ∴， 在四边形中， ． 14．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） (1)画出关于原点对称的图形，并写出的坐标； (2)将绕点B顺时针旋转得到图形，请画出此图形； (3)求出的面积； (4)在x轴上作一点P，使最小，写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，坐标与图形： （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，再描出，并顺次连接即可； （2）根据所给旋转方式结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，描出，再顺次连接即可； （3）利用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案； （4）根据（1）（2）所求可知关于原点对称，再根据两点之间线段最短可知，连接交x轴与P，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：； （4）解：连接交x轴与P，点即为所求． 15．如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． （1）利用边角边原理证明即可 ． （2）利用三角形全等的性质计算即可 ． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． 16．如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析； (2)； (3)当为或120°或时，为等腰三角形． 【分析】（）根据旋转的性质即可判断求解； （）由可得，进而得，最后根据四边形的内角和即可求解； （）根据角的和差关系可得，，再分，和三种情况解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形. 理由：由旋转的性质，得，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， 又∵ 四边形的内角和为，， ； （3）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 由（）知 ①若，则 ， 解得； ②若，则1 ， 解得； ③若，则 ， 解得； 综上，当为或或时，为等腰三角形． 17．如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 【答案】，证明见解析． 【分析】本题考查了选旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，把绕点顺时针旋转得到，连接，可得，，，，由，得，进而可得，得到，即得，再证明得到，即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：． 理由：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 18．【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______； （2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 【拓展延伸】 如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3） 【分析】（1）直接根据正方形的面积求解面积即可； （2）在和中，利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论； （3）如图，过作于，过作于，证明，可得，，证明四边形为正方形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长都等于6， ∴，， ∴如图①摆放时，重叠部分的面积是； （2）没有变化， 理由如下：如图，在正方形和正方形中， ，，， ，， ，， 在和中， ，，， ， ， ， 正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一 ； （3）如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，旋转的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$