专题02 二次函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题02 二次函数 【考点01】二次函数的概念 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【考点07】二次函数的平移变换 【考点08】二次函数的交点个数问题 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 【考点10】二次函数应用-面积问题 【考点11】二次函数应用-利润问题 【考点12】二次函数与几何综合应用 知识点1： 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 知识点2： 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点3： 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 知识点6： 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 知识点7： 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点01】二次函数的概念 【典例1-1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．据此逐项判断即可． 【详解】解：A.，是正比例函数，不符合题意； B.，不符合二次函数的定义，不是二次函数； C.，是一次函数，不符合题意； D.，是二次函数，符合题意； 故选：D． 【典例1-2】已知是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：，是关于x的二次函数， 且， ， 故选：B． 【变式1-1】下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义：一般地，把形如 ，（a、b、c是常数）的函数叫作二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2，逐项解答即可 【详解】解：A． ，符合二次函数的定义，故该选项符合题意； B．，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； C． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； D． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 【变式1-3】当函数是二次函数时，a的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 【典例2-1】若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像是解题的关键．根据二次函数图像对称性解答即可． 【详解】解：点与关于二次函数的对称轴轴对称， 故该图像必经过点， 故选C． 【典例2-2】下列对二次函数的图象的描述，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．在对称轴左侧y随x的增大而增大 D．顶点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，对各个选项逐一进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向上，故选项A错误； 对称轴是直线，故选项B错误； 在对称轴左侧y随x的增大而减小，故选项C错误； 顶点坐标为，故选项D正确； 故选：D． 【变式2-1】二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标， 故选：A． 【变式2-2】若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；利用随的增大而减小，即可判断． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而减小， 和对称 因为， 于是． 故选：A． 【变式2-3】二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴函数有最大值7． 故选A． 【变式2-4】抛物线关于x轴对称后的新抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的轴对称与解析式的关系，关键是明确顶点的对称以及抛物线开口方向的变化．先求得关于轴对称的顶点坐标为，再根据开口向下，进而可求解．可求出抛物线的顶点坐标为，关于x轴对称的抛物线顶点坐标为，可求出函数的顶点式，再根据对称之后的开口向下，可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为，且对称之后的抛物线开口向下， ∴所求抛物线解析式为：． 故选：D． 【变式2-5】已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在之间，将，分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果． 【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段有交点，如下图： 抛物线与线段的交点需要在之间， 当抛物线经过A点时，，解得：， 当跑五项经过B点时，，解得：， 抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大， ． 故答案为： 【变式3-1】如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质．熟练掌握题中的规律是解决本题的关键． 根据本题中连接两点线段的长等于两点纵坐标差的绝对值，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】根据题意得：， ∵， ∴， ． 故答案为：． 【变式3-2】如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：， 顶点的坐标为， 令，则， 的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为 ． 【答案】1 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答； 根据二次函数的对称性解答即可； 【详解】解：轴，， ∴关于对称轴对称， ， ， ， ∴， 到x轴的距离为， 故答案为：1． 【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、． ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是， 故答案为：． 【变式3-5】如图，二次函数，第一个正方形，第二个正方形，第三个正方形，，点，，，，，点，，，，在二次函数上，，，，，在轴正半轴上，则第个正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】设点坐标为，，依题意，坐标为，，根据抛物线对称性及正方形的性质可得的值，从而可得正方形边长，依此规律求解． 【详解】解：连接 设点坐标为，，依题意，坐标为，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴正方形边长为， 同理设坐标为，则坐标为， ∵， ∴, ∴， ∴正方形边长， 同理设坐标为，则坐标为， ∴, 解得：, ∴正方形边长， …… 依此类推可得正方形的边长． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握正方形的性质． 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【典例4】关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象性质． 根据二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标，逐项判定即可． 【详解】解：A．，二次函数的对称轴为直线，故此选项不符合题意； B．∵，抛物线与轴没有交点，故此选项符合题意； C．，顶点坐标为，故此选项不符合题意； D．抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．比较函数值大小的方法：方法一（距离法）：当时，图象上的点到对称轴的距离越小，函数值越小，反之越大；当时，图象上的点到对称轴的距离越小，函数值越大，反之越小．方法二（异侧转同侧）：求出点关于对称轴对称的点的横坐标，然后利用同侧的增减性比较． 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴最大， ∵点A到对称轴的距离为，点C到对称轴的距离为，根据点距离对称轴越远，函数值越小， ∴， ∴． 故选D． 【变式4-2】当时，与的图象大致是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 【变式4-3】二次函数的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的最值，把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论． 【详解】二次函数可化为：，且开口向上， 二次函数的最小值为． 故选：D． 【变式4-4】将二次函数化成顶点式，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，利用配方法把一般式化为顶点式即可． 【详解】， 故选：D． 【变式4-5】已知二次函数的图象如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．关于直线对称 B．有最小值，有最大值3 C．y值随x值的增大而增大 D．有最小值0，有最大值3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质求解． 【详解】解：根据轴对称定义得，该函数的图象不是轴对称图形，故选项A是错误的； 根据函数图象的最高点和最低点，得出函数的最大值为3，最小值为，故选项B是正确的；选项D是错误的； 根据图象当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故选项C是错误的； 故选：B． 【变式4-6】抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、由表格中点，，可知对称轴是直线，故此选项不符合题意； B、根据对称轴是直线，图象过点，则根据二次函数的对称性得当时，，故此选项符合题意； C、由表格数据可得，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； D、根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，得出抛物线开口向下，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-7】若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标解题关键是找准对应的各项系数． 根据二次函数的顶点坐标公式及点在轴上的纵坐标为0的特征作答． 【详解】解：根据二次函数的顶点坐标公式， ∵抛物线的顶点在x轴上，即， ∴，即 ∴． 故答案为：B． 【变式4-8】已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则点P的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，根据二次函数的对称轴求出点P关于对称轴的对称点的坐标，是解题关键．根据抛物线的对称轴即可以得到点P关于对称轴的对称点． 【详解】解：∵ 抛物线对称轴为直线，并且图象过点， ∴关于直线的对称点为， 故选：A． 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【典例5】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【变式5-1】已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 【变式5-2】函数的最大值和最小值分别为（   ） A．4和 B．5和 C．5和 D．和4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据函数求出对称轴，根据二次函数的性质进行计算即可． 【详解】解：中， 对称轴， 故在对称轴处求出最小值，当时，， 当时，， 时，， 故选C． 【变式5-3】已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是，得出；再求得当时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得的下限． 【详解】函数的对称轴为直线， 当时，有最小值，此时， 函数在上的最小值是， ； 当时，，对称轴为直线， 当时，， 函数在上的最大值是1，且； ． 故选：C． 【变式5-4】当时，二次函数的最小值为15，则的值为（   ） A．或8 B．8 C．6 D．或6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值15，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，． 当时，函数有最小值15， 或， 或， 故选：A． 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【典例6】如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，二次函数的对称轴，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图像与各系数的关系，理解最值的意义是解题的关键． 根据二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质即可求出答案． 【详解】∵抛物线的图象开口向下 ∴ ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴ ∴，故②正确； 由图象可得，当时，，故③正确． 综上所述，其中正确的结论有3个． 故选：D． 【变式6-1】二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①②；由，及a与b的数量关系可判断③，由函数取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∵抛物线对称轴为直线， ∴ ∴ ∴，②正确 ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ，①错误 由图像得：当时 ③正确 由函数取最小值可得 ，④正确． 故答案为：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【变式6-2】如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质逐项判断即可得到相关不等式的关系，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，①错误； 由图象可知，抛物线对称轴，结合①中可得，即，②正确； 如图所示： 当时，，③正确； ，， ， 由①知，则，即，则， ，即，④正确； 综上所述，题中结论正确的是②③④，共3个， 故选：C． 【变式6-3】已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点， ∴，， ∴，，故②正确； ∴，故①错误； 当时，，故③正确； ∵， ∴，即，故④正确； 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故⑤正确； 故选：D． 【变式6-4】如图，二次函数 的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可判断，，的符号及与的关系，从而判断①②；由图像可得时，可判断③；由及可判断④；当时，，可判断⑤．解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ，故结论①正确； 由图像可得：抛物线的对称轴在和之间， ∴， ∴，即，故结论②错误； 由图像可得： 当时，，故结论③正确； 当时，， 当时，，即， ∴， ∴，故结论④正确； ∵抛物线过点， ∴， 当时，， ∴，即， ∴，故结论⑤正确， ∴正确结论的个数是． 故选：B． 【考点07】二次函数的平移变换 【典例7】把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 所得抛物线解析式为． 故选：C． 【变式7-1】将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：， 即． 故选：D． 【变式7-2】将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据题意求将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：C． 【考点08】二次函数的交点个数问题 【典例8】如图，二次函数y=-x2+ x+6及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是(   ) A．<m<3 B．<m<6 C．2<m<6 D．-7<m<-3 【答案】D 【分析】如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 当x=0时，y=6， 解得，， ∴， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为 ， 翻折后与y轴的交点坐标为(0,-6)， 将点(0,-6)代入得出：a=1， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线相切与点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象综合，理解题意，找准临界点是解题关键． 【变式8-1】如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 【变式8-2】已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示），当直线与新图像有个交点时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出二次函数图像关于x轴翻折后的解析式，求出直线与翻折后抛物线相切时的m值，求出直线经过图像与x轴右侧交点时m的值，进而求解． 【详解】解：抛物线关于x轴翻折后解析式为， 令，整理得， 当时，直线与抛物线相切， 解得， 把代入得， 解得， ∴抛物线与x轴交点坐标为， 把代入得， 解得， ∴满足题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数与方程的关系． 【变式8-3】如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像与性质，图像的平移，一次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点并画出图形利用数形结合的思想是解题的关键．根据题意先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴交于点、 ， 又抛物线为 抛物线向左平移个单位长度 平移后解析式 当直线过点，有2个交点 当直线与抛物线相切时，有2个交点 ， 即 直线与抛物线相切 如图， 直线与、共有3个不同的交点， ． 故选：D． 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 【典例9】54．问题背景 某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线 和“矩形” 构成，抛物线最高点 到地面 的距离为米，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系，已知米，米．   建立建模 （1）求抛物线的解析式； 问题解决 （2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图1，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”（即三根支架，其中，垂直地面，平行地面），求“脚手架”的最大长度； （3）如图2，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数． 【答案】（1）；（2）米；（3）个 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）顶点的坐标为，设抛物线的解析式，根据题意得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，的长度之和为米，进而列出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）令得出距离地面4米的大棚的水平宽度为米，结合题意，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，顶点的坐标为 设抛物线的解析式 ∵米，米． ∴ 代入，得 解得： ∴抛物线解析式为 （2）设点的坐标为，的长度之和为米， ∴ ∴ ∵ ∴当时， 答：“脚手架”的最大长度为米； （3）依题意，当时， 解得： 则距离地面4米的大棚的水平宽度为米 ∵米 每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米， ∴直接写出至少需要安装照明灯的个数为个． 【变式9-1】如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米． 【答案】11 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度． 根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离． 【详解】解：∵， ∴当，时，， 即， 解得，（舍去）， ∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米． 【变式9-2】比啊十某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 【变式9-3】宜昌四中男子篮球队在2016全区篮球比赛中蝉联冠军，让全校师生倍受鼓舞．在一次与第25中学的比赛中，运动员小涛在距篮下4米处跳起投篮，如图所示，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)运动员小涛的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米处出手，问：球出手时，小涛跳离地面的高度是多少？ 【答案】(1) (2)球出手时，他跳离地面的高度为. 【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法确定函数解析式等知识点，求得函数解析式是解答本题的关键． （1）设抛物线的表达式为，再将点代入求得a的值即可． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为,则可得，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为． 由图知图象过以下点：． ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为, 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为, ∴， ∴． 答：球出手时，他跳离地面的高度为. 【变式9-4】如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：m）．，． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程． (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标： (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，正确求得抛物线的解析式，掌握二次函数与方程的关系是解答的关键． （1）根据题意得到顶点A坐标，利用待定系数法求解抛物线的函数解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标即可； （2）根据点的对称点为可得到平移距离，进而可得点B坐标； （3）根据得到点F的横坐标，分类讨论，利用二次函数的增减性可得d的最大值和最小值，进而可得答案． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，由得，（舍去）， ∴， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （3）解：∵， ∴点F的纵坐标为0.5， 由，解得， ∵， ∴， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为； 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， d的最小值为2． 综上所述，d的取值范围是． 【考点10】二次函数应用-面积问题 【典例10】如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）的一个矩形场地花圃，边上留有2米宽的小门（用其他材料做，不用篱笆围），设花圃的一边长为x（米），面积为y（平方米）． (1)若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽； (2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)， (2)矩形的长为，宽为，矩形面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用，构造二次函数是解题的关键． （1）根据题意，得宽，长为，根据矩形场地面积为144平方米，列出方程，解方程即可； （2）设矩形的面积为，根据题意，得，，构造二次函数解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得宽， 长为， ∵矩形场地面积为144平方米， ∴， 即， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，舍去， 故当时，成立， 答：矩形的长为，宽为． （2）∵， ∴， 根据题意，得， ∴当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值160，此时矩形的长为，宽为． 答：矩形的长为，宽为，矩形面积最大，最大面积为． 【变式10-1】为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意和图形，可以写出y与x的函数关系式，再根据岸堤的可用长度不超过和，可以求得x的取值范围； （2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， ， 岸堤的可用长度不超过， ， 解得， 又， ， ， y与x之间的函数解析式是，自变量x的取值范围是； （2）， 当时，y随x的增大而减小， ， 当时，y取得最大值，此时， 答：的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； 【答案】(1)； (2)面积的最大值为，． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，表示出的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案； 【详解】（1）解：把，代入抛物线表达式， ， 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：过点作轴交线段于，如图所示：    由（1）知抛物线表达式为， 设， 、， 设直线的解析式为：，将、代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：，则 ∴ ， ， 当时，有最大值，为，此时． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求二次函数解析式、待定系数法确定一次函数关系式、二次函数与三角形面积问题、二次函数的图象与性质求最值、二次函数图象的动点问题、勾股定理等内容，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为：，四边形的面积的最大值为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，求一次函数解析式： （1）将、的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于的面积为定值，当四边形的面积最大时，的面积最大；过作y轴的平行线，交直线于，交轴于，求得直线的解析式，可设出点的横坐标，然后根据抛物线和直线的解析式求出、的纵坐标，即可得到的长，以为底，点横坐标的绝对值为高即可求得的面积，由此可得到关于四边形的面积与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形的最大面积及对应的点坐标． 【详解】（1）解：将、两点的坐标代入二次函数解析式得，， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，    设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则点的坐标为； 在中，当时， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为：，四边形的面积的最大值为． 【考点11】二次函数应用-利润问题 【典例11】为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元 (3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出函数关系式． （1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式． （2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值． （3）把代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴w与x的函数关系式为：． （2）解：， ∵， ∴当时，w有最大值．w最大值为200． 答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元． （3）解：当时，可得方程， 解得，． ∵， ∴不符合题意，应舍去． 答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元． 【变式11-1】我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价为200元/台，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，月销售量就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． (1)求出月销售量y（单位：台）与售价x（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当售价x定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润W（单位：元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价定为310元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大．最大利润是121000元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意得出实际销售量关于售价x的关系式，由利润的相等关系得出总利润的相等关系及二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售列不等式组可得x的取值范围； （2）根据“总利润＝每台利润×每月的销售量”列出函数解析式，配方成顶点式可得函数的最值． 【详解】（1）解：根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：； 供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台， 则， 解得：． ∴售价x的范围为：， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）解：， ． ∵在内， ∴当时，最大值为121000， 即售价定为310元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大．最大利润是121000元 【变式11-2】某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)万元 (3) 【分析】（1）用待定系数法可得； （2）由年利润总售价总成本研发费用可得，根据二次函数性质可得答案； （3）依题意，记扣除捐赠后的利润为，则，则，开口向下，对称轴，结合题意，列式，即可作答． 本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得： ， 解得， ； （2）解：根据题意得：， ， 时，取最大值，最大值为， 答：，第一年年利润的最大值时万元； （3）解：由（2）得出 依题意，记扣除捐赠后的利润为 则 ∴，开口向下，对称轴 ∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小， ∴ ∴ 【变式11-3】某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1200元． (1)如果要使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入＝租车收入管理费） (2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 【答案】(1)每辆车的日租金至少应为25元； (2)当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是4925元． 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，一次函数的应用，二次函数的应用； （1）由每天的净收入为正，可得，再进一步解答即可； （2）当当时，，当时，，再结合函数性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意知，若观光车能全部租出，则， 由， 解得， 又∵x是5的倍数， ∴每辆车的日租金至少应为25元； （2）解：设每天的净收入为y元， 当时，， ∵随x的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时， ， 当时，的最大值为4925， ∵， ∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是4925元． 【考点12】二次函数与几何综合应用 【典例12】如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作交抛物线于点，过点作轴于点，根据条件得到是等腰直角三角形，则，设，则，再列方程解题即可． 【详解】（1）将，代入，得 解得 二次函数的表达式为； （2）对于，令，得， 解得，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 如解图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ，， ， 解得（舍去）或， ， ． 【变式12-1】如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为 (3)存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由平移的性质得出直线的解析式为，设，作轴，交于点，作于，设直线交轴于，则，，证明是等腰直角三角形，得出，再根据二次函数的性质即可得解； （3）分两种情况：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点；当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大， ∵， ∴当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴，交于点，作于，设直线交轴于， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点D的坐标为； （3）解：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴； 当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于， ， 由对称得：，，， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴， 综上所述，存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质、直线的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式12-2】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在，满足条件的点的坐标为或或或 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线，将、代入得，解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在， 当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示： 设， 、 ， 当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或， 、； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 1．关于二次函数 ，以下说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，函数值最小为，当时，， ∴抛物线与y轴交点为； 故只有选项B错误； 故选B． 2．已知点在抛物线上，若点也在该抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求出对称轴，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：点在抛物线上 抛物线的对称轴为直线 时，有最大值 故选：A． 3．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 4．抛物线的顶点坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A 5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负相比较看是否一致即可判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项正确； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误． 故选：B． 6．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是（    ） 0 1 2 1 1 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：设，将点、、代入得： ，解得， ， 抛物线的顶点为，开口向上， 当时，， 当时，， 当时，； 故选：C． 7．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x轴有两个交点，则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求出k的取值范围，再结合二次项系数不为0即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴且， 故选：C． 8．将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向上平移2个单位长度，得到， 再向右平移3个单位长度，得到， 故选：B． 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键 先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ． 故选：． 10．如图，已知二次函数、、为常数，的图像与轴交于，两点．下列结论中错误的有（    ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，对于①，先确定a，b，c的值，进而判断；先求出对称轴，再根据点离对称轴的距离，及抛物线的增减性判断②；根据对称轴求出，再将点代入函数关系式，求出，即可判断③；根据，可判断④． 【详解】由图象开口向下，可知，图象交y轴正半轴，可知，再根据“左同右异”，可知，则，故①正确； 二次函数（为常数，）的图象与轴交于点， 该函数的对称轴为直线， 和对应的函数值相等，当时，随的增大而增大， 若点和均在抛物线上，则，故②正确； 对称轴是直线， ， ， 点在该函数图象上， ， ， 即， ，故③正确； ， ， ， 即，故④错误； 故选：A． 11．已知二次函数，当时，y随x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，找到对称轴；在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性即可． 【详解】解：在中，， ， 开口向上， 由于函数的对称轴为直线， 当时，的值随着的值增大而减小； 当时，的值随着的值增大而增大． 故答案为：减小 12．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 13．已知二次函数中，当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，明确题意，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数， ∵， ∴当时，随的增大而减小， 则当时，时，有最小值，为， 故答案为：． 14．飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为，则飞机着陆后滑行 秒才停下来． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值，根据顶点坐标的实际意义可得答案． 【详解】∵， ∴当时，s取得最大值， ∴飞机着陆后滑行秒才停下来． 故答案为：． 15．如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于、两点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时的坐标为 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式，再过点作轴的垂线，交于点，设点的坐标为，则，然后利用三角形的面积公式可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 则， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则和的边上的高之和等于， 设点的坐标为，则， 所以， 则的面积， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 此时， 所以的最大值为，此时的坐标为． 17．杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)试通过计算判断此球能否过网． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入可得出的值，继而得出抛物线解析式； （2）令，求出的值与比较即可． 本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般． 【详解】（1）解：根据题意设抛物线解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：此球能过网，理由： 当时，， ， 此球能过网． 18．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 19．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，则，即可求解； （3）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （4）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， 故点； ①过作于点，过点作轴交于点，如图： ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设，，则， ， ， 当时，的最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大； 面积的最大值； （3）设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴的交于点， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （4）存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数 【考点01】二次函数的概念 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【考点07】二次函数的平移变换 【考点08】二次函数的交点个数问题 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 【考点10】二次函数应用-面积问题 【考点11】二次函数应用-利润问题 【考点12】二次函数与几何综合应用 知识点1： 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 知识点2： 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点3： 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 知识点6： 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 知识点7： 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点01】二次函数的概念 【典例1-1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【变式1-1】下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【变式1-3】当函数是二次函数时，a的取值为（    ） A． B． C． D． 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 【典例2-1】若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】下列对二次函数的图象的描述，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．在对称轴左侧y随x的增大而增大 D．顶点 【变式2-1】二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 【变式2-4】抛物线关于x轴对称后的新抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是 【变式3-1】如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为 ． 【变式3-2】如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为 ． 【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    【变式3-5】如图，二次函数，第一个正方形，第二个正方形，第三个正方形，，点，，，，，点，，，，在二次函数上，，，，，在轴正半轴上，则第个正方形的边长为 ． 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【典例4】关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【变式4-1】已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】当时，与的图象大致是（　　） A．B． C． D． 【变式4-3】二次函数的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式4-4】将二次函数化成顶点式，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】已知二次函数的图象如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．关于直线对称 B．有最小值，有最大值3 C．y值随x值的增大而增大 D．有最小值0，有最大值3 【变式4-6】抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 【变式4-7】若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是（    ） A．4 B． C． D． 【变式4-8】已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则点P的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【典例5】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【变式5-1】已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【变式5-2】函数的最大值和最小值分别为（   ） A．4和 B．5和 C．5和 D．和4 【变式5-3】已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】当时，二次函数的最小值为15，则的值为（   ） A．或8 B．8 C．6 D．或6 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【典例6】如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式6-1】二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-4】如图，二次函数 的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【考点07】二次函数的平移变换 【典例7】把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（    ）． A． B． C． D． 【考点08】二次函数的交点个数问题 【典例8】如图，二次函数y=-x2+ x+6及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是(   ) A．<m<3 B．<m<6 C．2<m<6 D．-7<m<-3 【变式8-1】如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示），当直线与新图像有个交点时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 【典例9】54．问题背景 某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线 和“矩形” 构成，抛物线最高点 到地面 的距离为米，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系，已知米，米．    建立建模 （1）求抛物线的解析式； 问题解决 （2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图1，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”（即三根支架，其中，垂直地面，平行地面），求“脚手架”的最大长度； （3）如图2，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数． 【变式9-1】如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米． 【变式9-2】比啊十某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 【变式9-3】宜昌四中男子篮球队在2016全区篮球比赛中蝉联冠军，让全校师生倍受鼓舞．在一次与第25中学的比赛中，运动员小涛在距篮下4米处跳起投篮，如图所示，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)运动员小涛的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米处出手，问：球出手时，小涛跳离地面的高度是多少？ 【变式9-4】如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：m）．，． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程． (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标： (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． 【考点10】二次函数应用-面积问题 【典例10】如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）的一个矩形场地花圃，边上留有2米宽的小门（用其他材料做，不用篱笆围），设花圃的一边长为x（米），面积为y（平方米）． (1)若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽； (2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积． 【变式10-1】为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积． 【考点11】二次函数应用-利润问题 【典例11】为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【变式11-1】我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价为200元/台，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，月销售量就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． (1)求出月销售量y（单位：台）与售价x（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当售价x定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润W（单位：元）最大？最大利润是多少？ 【变式11-2】某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【变式11-3】某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1200元． (1)如果要使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入＝租车收入管理费） (2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 【考点12】二次函数与几何综合应用 【典例12】如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【变式12-1】如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 【变式12-2】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 1．关于二次函数 ，以下说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为 2．已知点在抛物线上，若点也在该抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标为（        ） A． B． C． D． 5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 6．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是（    ） 0 1 2 1 1 6 A． B． C． D． 7．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 8．将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知二次函数、、为常数，的图像与轴交于，两点．下列结论中错误的有（    ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 11．已知二次函数，当时，y随x的增大而 ． 12．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 13．已知二次函数中，当时，的最小值是 ． 14．飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为，则飞机着陆后滑行 秒才停下来． 15．如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 17．杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)试通过计算判断此球能否过网． 18．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 19．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$