专题01 一元二次方程（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题01 一元二次方程 【考点01】一元二次方程的概念 【考点02】一元二次方程的一般式 【考点03】一元二次方程的解 【考点04】解一元二次方程 【考点05】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【考点06】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【考点07】一元二次方程根与系数的关系 【考点08】有关一元二次方程增长率问题 【考点09】有关一元二次方程传播问题 【考点10】有关一元二次方程单双循环问题 【考点11】有关一元二次方程面积问题 【考点12】有关一元二次方程利润问题 【考点13】有关一元二次方程动点问题 知识点1：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点2：一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4： 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点5： 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点6： 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点7：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 知识点8：一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【考点01】一元二次方程的概念 【典例1】下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【考点02】一元二次方程的一般式 【典例2】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】将一元二次方程化为一般形式为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（    ） A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1 【变式2-3】一元二次方程的一次项系数为 ． 【考点03】一元二次方程的解 【典例3】如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（   ） A． B．2023 C． D．2024 【变式3-1】若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 【变式3-2】如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ） A．2023 B． C．2024 D．2025 【变式3-3】已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根是 ． 【考点04】解一元二次方程 【典例4】解下列一元二次方程： （1） （2）（用公式法） （3） （4）（用配方法） 【变式4-1】解一元二次方程： (1) (2) 【变式4-2】解方程 (1) (2)． 【变式4-3】用合适的方法解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【考点05】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【典例5】已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为2，试求的值． 【变式5-1】一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式5-2】若，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【变式5-3】关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【考点06】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【典例6】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式6-1】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．，且 D． ，且 【变式6-2】若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【变式6-3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【考点07】一元二次方程根与系数的关系 【典例7】已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（       ） A．18 B． C． D．12 【变式7-1】若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知关于x的方程的两个根分别为，则的值为 . 【变式7-3】若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为 ． 【考点08】有关一元二次方程增长率问题 【典例8】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 【变式8-1】电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】某机械厂七月份生产零件100万个，九月份生产零件144万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】某小区新增了一家快递店，据统计第一天揽件件，第三天揽件件．若设第二天，第三天的日平均增长率为，则可列方程为 ． 【考点09】有关一元二次方程传播问题 【典例9】甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【变式9-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．6人 B．8人 C．10人 D．12人 【变式9-3】若一个人感冒可传染个人，经过两轮传染后有人感冒，求，可列方程为 ． 【考点10】有关一元二次方程单双循环问题 【典例10】某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ． 【变式10-3】有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ． 【考点11】有关一元二次方程面积问题 【典例11】社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【变式11-1】如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为米、米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为、宽为的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： (1)______米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形场地面积为240平方米，求栅栏的长． (3)矩形场地面积能不能等于280平方米，为什么？ 【考点12】有关一元二次方程利润问题 【典例12】栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； (2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 【变式12-1】济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【变式12-2】某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对居住过的每个房间每天支出元的各种费用． (1)若每个房间定价增加元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ (2)若宾馆某一天获利元，则房价定为多少元？ 【变式12-3】某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)直接写出y与的函数关系式________（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若该玩具某天的销售利润是750元，则当天玩具的销售单价是多少元？ 【考点13】有关一元二次方程动点问题 【典例13】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点处开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止． ‍ (1)如果点，分别从，同时出发，经几秒钟，？ (2)如果点从点先出发，点再从点出发，则点出发几秒后，？ 【变式13-1】如图， 在矩形 中， ，点从点沿向点以的速度移动，同时点从点沿边向点以的速度移动． 当其中一点达到终点时，另一点也随之停止． 设，两点移动的时间为．    (1)当为何值时，； (2)当为何值时，的面积为． 【变式13-2】如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动（到达点即停止运动）．    (1)如果，两点分别从，两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的面积的三分之一？ (2)如果，两点分别从，两点同时出发，经过几秒钟后，，两点相距6厘米？ 【变式13-3】如图，在矩形中，，，动点分别从点 同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．设移动的时间为．    (1)当为何值时，两点的距离最小？最小距离是多少？ (2)当为何值时，两点的距离是 ？ 1．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 2．方程的根的情况是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 3．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 4．据工信部数据，2021年我国新能源汽车销售完成352.1万辆，2023年销量创历史新高，达到949.5万辆．设2021年到2023年的年平均增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 5．已知、是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2017 B．2018 C．2022 D．2024 6．某工厂一月份的产值是万元，之后每个月产值的平均增长率为，已知第一季度的总产值是万元．为了求出，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 8．如果非零实数，满足，则有一根是1的方程是（　　） A． B． C． D． 9．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．一元二次方程的根是 ． 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 12．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 13．设方程的一个正实数根为，则的值是 ． 14．解方程： (1)； (2)． 15．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 16．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 17．某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． (1)求A，B两款电器每台的售价； (2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 【考点01】一元二次方程的概念 【考点02】一元二次方程的一般式 【考点03】一元二次方程的解 【考点04】解一元二次方程 【考点05】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【考点06】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【考点07】一元二次方程根与系数的关系 【考点08】有关一元二次方程增长率问题 【考点09】有关一元二次方程传播问题 【考点10】有关一元二次方程单双循环问题 【考点11】有关一元二次方程面积问题 【考点12】有关一元二次方程利润问题 【考点13】有关一元二次方程动点问题 知识点1：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点2：一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4： 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点5： 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点6： 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点7：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 知识点8：一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【考点01】一元二次方程的概念 【典例1】下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C、D不符合题意； 符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，符合题意； B．中含未知数的最高项的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； C．中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D．中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 【变式1-2】下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，含有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C、，指数是负数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、，整理得，是一元一次方程，不符合题意； 故选A． 【变式1-3】下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，即是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【考点02】一元二次方程的一般式 【典例2】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式2-1】将一元二次方程化为一般形式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 【变式2-2】一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（    ） A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，， 故选：C． 【变式2-3】一元二次方程的一次项系数为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：．根据一元二次方程的一般形式判断即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为2， 故答案为：2． 【考点03】一元二次方程的解 【典例3】如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（   ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 由题意知，，则，根据，然后代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是， ∴，则， ∴． 故选：D． 【变式3-1】若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-2】如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ） A．2023 B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义是关键． 由题意知，，则，根据，再整体代入计算即可． 【详解】解：解：由题意知，， ， ． 故选：D． 【变式3-3】已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及解一元二次方程，先根据题意求出，再解方程即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， ， 解得：， 关于的一元二次方程为， 解得：， 关于的一元二次方程的另一个根是， 故答案为：． 【考点04】解一元二次方程 【典例4】解下列一元二次方程： （1） （2）（用公式法） （3） （4）（用配方法） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法逐题解答即可． 【详解】（1）解：原方程可化为 ， （2）解：原方程化为一般式得 ，， ， （3）解：原方程可化为 或 ， （4）解：原方程可化为 ，即 ， 【变式4-1】解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴，； （2） 或 ∴，． 【变式4-2】解方程 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【变式4-3】用合适的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，解答此类问题的关键是根据方程的特点，选取合适的方法解方程． （1）直接利用开方法求解即可； （2）根据公式法可以解答此方程； （3）先移项，根据因式分解法可以解答此方程； （4）先移项，然后根据因式分解法解答此方程． 【详解】（1）解： 或， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， ， 解得：； （4）解：， ， ， ， 解得：． 【考点05】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【典例5】已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为2，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的根的判别式，证明即可． （2）根据方程根的定义，代入解答即可． 本题考查了根的判别式应用，根的定义，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】（1）∵方程即且， ∴， ， ， 故此方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵把代入， 得， 解得， ∴ ． 【变式5-1】一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是解题的关键．求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可． 【详解】解： 方程有两个不等的实数根． 故选：D． 【变式5-2】若，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据已知不等式求出的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【变式5-3】关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，根据的意义得到方程有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：因为， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选B． 【考点06】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【典例6】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意． 【详解】解：由题意得， 解得：且， 故选：D． 【变式6-1】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．，且 D． ，且 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且 故选：D． 【变式6-2】若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 【变式6-3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根则得判别式，且二次项系数不为0，列含k的不等式，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴，， 解得：且， 故选：B． 【考点07】一元二次方程根与系数的关系 【典例7】已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（       ） A．18 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得，把变形后代入计算即得． 【详解】∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， ∴． 故选：C． 【变式7-1】若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出，的值是解题的关键根据根与系数的关系，可得出，，再根据得出一个关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】 一元二次方程的两个实数根， ，， ∵，即， ∴， ， 故选． 【变式7-2】已知关于x的方程的两个根分别为，则的值为 . 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方的根与系数的关系及代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再将变形为，最后将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：方程的两个根分别为， ，． ． 故答案为：． 【变式7-3】若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则，． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故答案为：． 【考点08】有关一元二次方程增长率问题 【典例8】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】（1）设进馆人次的月增长率为，利用第三个月进馆人次数第一个月进馆人次数月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用第四个月进馆人次数第三个月进馆人次数月平均增长率），可求出第四个月进馆人次数，再将其与400比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设进馆人次的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率． （2）解：学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下： 进馆人次的月平均增长率， 第四个月的进馆人次为（人次）． ， 学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【变式8-1】电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解． 【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， ∴ 故选：D． 【变式8-2】某机械厂七月份生产零件100万个，九月份生产零件144万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将八、九月份的产量表示出来，难度不大．根据题意表示出八、九月份的产量，再结合九月份生产零件144万个即可列出方程． 【详解】解：该厂八、九月份平均每月的增长率为，七月份生产零件100万个， 九月份生产零件万个， 九月份生产零件144万个， ， 故选：B． 【变式8-3】某小区新增了一家快递店，据统计第一天揽件件，第三天揽件件．若设第二天，第三天的日平均增长率为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是要找到等量关系，同时要注意增长率的一般规律，利用，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：∵第一天揽件件，第三天揽件件．设该快递店揽件的日平均增长率是， ∴， 故答案为：． 【考点09】有关一元二次方程传播问题 【典例9】甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设每天平均一个人传染了x人，根据“经过两天的传染后共有81人患了甲型流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 ， 解得：，（舍去）， （人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 【变式9-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键. 设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有个，从而可得答案. 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则 , 故选：A． 【变式9-2】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．6人 B．8人 C．10人 D．12人 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得， 解方程得（舍去）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式9-3】若一个人感冒可传染个人，经过两轮传染后有人感冒，求，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意求出第一轮传染后患流感的人数，再求出第二轮传染后患流感的人数，相加等于总人数即可列出方程，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染后患流感的人数为，第二轮传染后患流感的人数为， 由题意可得，， 故答案为：． 【考点10】有关一元二次方程单双循环问题 【典例10】某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意即可得到答案． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张照片. 又∵是互送照片， ∴． 故选：C． 【变式10-1】2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总票张数作为等量关系列方程求解． 设有个站点，根据每两个站点之间有来往两种车票，共要设计132中往返票，可列出方程． 【详解】解：设有个站点，则 ． 故选：B． 【变式10-2】初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 【变式10-3】有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 设每人给y人发短信，则第一轮有y人收到短信，第二轮有人收到短信，据此列方程即可． 【详解】解：设每人给y人发短信， 由题意得：， 故答案为：． 【考点11】有关一元二次方程面积问题 【典例11】社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】(1)6m (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 【变式11-1】如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为米、米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解； 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为，宽为， 则， 故选：A 【变式11-2】被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为、宽为的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】解：根据题意，塑封后的长为，宽为，面积为， ∴列方程为： 故选：D ． 【变式11-3】如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： (1)______米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形场地面积为240平方米，求栅栏的长． (3)矩形场地面积能不能等于280平方米，为什么？ 【答案】(1) (2)栏的长为10米 (3)矩形场地面积不能等于280平方米，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，根据题意，正确列出一元二次方程并正确求解是解答的关键，注意要检验解符合题意． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解答； （3）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解答． 【详解】（1）根据题意，米， 故答案为：； （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为10米． （3）依题意得：， 整理得：， ∴方程无实数根 ∴矩形场地面积不能等于280平方米． 【考点12】有关一元二次方程利润问题 【典例12】栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； (2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元， ∴月销售量为：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元． 【变式12-1】济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1)头盔销售量的月增长率为； (2)该品牌的头盔每个应涨价5元. 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元 【变式12-2】某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对居住过的每个房间每天支出元的各种费用． (1)若每个房间定价增加元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ (2)若宾馆某一天获利元，则房价定为多少元？ 【答案】(1)元 (2)元或元 【分析】（1）根据利润房价的净利润入住的房间数可得； （2）设每个房间的定价为元，根据以上关系式列出方程求解可得； 【详解】（1）若每个房间定价增加元，则这个宾馆这一天的利润为 (元)； （2）设每个房间的定价为元， 根据题意，得： ， 解得：或， 答：若宾馆某一天获利元，则房价定为元或元； 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出方程． 【变式12-3】某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)直接写出y与的函数关系式________（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若该玩具某天的销售利润是750元，则当天玩具的销售单价是多少元？ 【答案】(1) (2)当天玩具的销售单价是35元或25元 【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程，是解答本题的关键． （1）设一次函数的关系式为，采用待定系数法即可求解； （2）设当天玩具的销售单价是x元，由题意得，，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的关系式为， 由题图可知，函数图象过点和点把这两点的坐标代入一次函数， 得， 解得， ∴一次函数的关系式为． （2）设当天玩具的销售单价是x元， 由题意得，， 解得：，， ∴当天玩具的销售单价是35元或25元． 【考点13】有关一元二次方程动点问题 【典例13】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点处开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止． ‍ (1)如果点，分别从，同时出发，经几秒钟，？ (2)如果点从点先出发，点再从点出发，则点出发几秒后，？ 【答案】(1)点，分别从，同时出发，经2秒钟或4秒钟，． (2)点从点先出发，点再从点出发，则点出发4秒后，． 【分析】（1）设P、Q同时出发时，而，，可得，，，再利用面积公式建立方程即可； （2）设P出发时，则Q运动的时间为秒，再利用面积公式建立方程即可． 【详解】（1）解：设P、Q同时出发时，而，， ∴，，， ， 由题意得：， ∴， 解得：，． ∴点，分别从，同时出发，经2秒钟或4秒钟，． （2）设P出发时，则Q运动的时间为秒， 由题意得： ， ∴， 解得：． ∴点从点先出发，点再从点出发，则点出发4秒后，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，利用三角形的面积公式建立一元二次方程是解本题的关键． 【变式13-1】如图， 在矩形 中， ，点从点沿向点以的速度移动，同时点从点沿边向点以的速度移动． 当其中一点达到终点时，另一点也随之停止． 设，两点移动的时间为．    (1)当为何值时，； (2)当为何值时，的面积为． 【答案】(1)当时， (2)为或时，的面积为 【分析】（1）由题意得，得，当，得出方程，解方程即可； （2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即当时，； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当为或时，的面积为； 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、掌握以上知识是解题的关键． 【变式13-2】如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动（到达点即停止运动）．    (1)如果，两点分别从，两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的面积的三分之一？ (2)如果，两点分别从，两点同时出发，经过几秒钟后，，两点相距6厘米？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)秒 【分析】（1）根据的面积等于的面积的三分之一列方程求解即可； （2）根据，两点相距6厘米结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于的面积的三分之一， 根据题意得：， 解得：或， 答：经过2秒或4秒后，的面积等于的面积的三分之一； （2）设经过秒时，，两点相距， 根据题意得：， 解得：（含去）或， 答：经过秒后，两点相距6厘米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，找出合适的等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式13-3】如图，在矩形中，，，动点分别从点 同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．设移动的时间为．    (1)当为何值时，两点的距离最小？最小距离是多少？ (2)当为何值时，两点的距离是 ？ 【答案】(1)当时，最小，的最小值为 (2)当或时，两点的距离是 【分析】（1）根据矩形的性质及垂直的定义可知四边形是矩形，再根据路程速度时间列方程解方程即可解答； （2）根据矩形的性质及垂直的定义可知四边形是矩形，再根据路程速度时间及勾股定理列方程解方程即可解答． 【详解】（1）解：∵在矩形中， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点以的速度向点移动， ∴， ∵点以的速度向点移动， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴当时，最小， 的最小值为，    （2）解：过点作，垂足为， ∴， ∵在矩形中， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵点以的速度向点移动， ∴， ∵点以的速度向点移动， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 解得， ， ∵， ∴ 当时，， 当时，， ∴两个解都符合实际 答：当或时，两点的距离是．    【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，路程速度时间，一元一次方程与几何问题，一元二次方程与几何问题，掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 1．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项变形为，再将两边同时加4，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．方程的根的情况是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 先求出判别式的值，再根据判别式的值判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，．利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 4．据工信部数据，2021年我国新能源汽车销售完成352.1万辆，2023年销量创历史新高，达到949.5万辆．设2021年到2023年的年平均增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设2021年到2023年的年平均增长率为x，根据2021年及2023年新能源汽车年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设2021年到2023年的年平均增长率为x， 根据题意得：， 故选：B． 5．已知、是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2017 B．2018 C．2022 D．2024 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ， ． ∵、是方程的两个实数根， ， ． 故选：． 6．某工厂一月份的产值是万元，之后每个月产值的平均增长率为，已知第一季度的总产值是万元．为了求出，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用.每个月产值的平均增长率为，根据一月份的产值是万元，表示之后两个月的产值，根据已知第一季度的总产值是万元列方程即可. 【详解】解：每个月产值的平均增长率为，则二月份产值为，三月份产值为，则 故选：D 7．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意； B、是分式方程，故B不符合题意； C、是二元二次方程，故C不符合题意； D、是一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 8．如果非零实数，满足，则有一根是1的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，把分别代入四个选项中的方程，看是否能够得到即可． 【详解】解：A、当时，则，故本选项不符合题意； B、当时，则，故本选项不符合题意； C、当时，则，故本选项符合题意； D、当时，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共发多少条拜年短信，首先确定一个人发多少条拜年短信是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要发出条短信，共有x名学生，那么总共发送的条数数应该是条，即可列出方程． 【详解】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学， ∴每位同学需发送条拜年短信． 根据题意得：． 故选：C． 10．一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 用因式分解法求解即可． 【详解】解： 解得：或， ∴原方程的解为：． 故答案为：． 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 故答案为：且． 12．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均一人传染了x人，一轮传染后有人，根据经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解即可． 【详解】解：设平均一人传染了x人， 由题意得：， 解得或（舍去）． ∴平均一人传染12人． 故答案为：12． 13．设方程的一个正实数根为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将正实数根代入方程，可得，根据，再将代入上式即可解答． 【详解】解：∵方程的一个正实数根为， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键。 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 15．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将展开，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：， ， 对于方程， 可得， ∴， 解得：． 16．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题，先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，再把和6分别代入得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【详解】解：设，则，即， ∴ 解得：， 当时，，即， 解得：，; 当时，，即， 解得：，. 所以原方程的解为，，， 17．某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． (1)求A，B两款电器每台的售价； (2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【答案】(1)A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元 (2)每台A款电器应降价40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据“顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台”列出分式方程，解方程即可； （2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元； （2）解：设每台A款电器应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽可能减少库存， 取． 答：每台A款电器应降价40元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$