专题2.5 轴对称中的最值问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题2.5 轴对称中的最值问题 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 典例分析 【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是__________________； （3）应用：①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 【思路点拨】 （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【解题过程】 （1）解：作图如下： （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（）， 作点关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 3．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，中，于点D，且上方有一动点P满足，则点P到两点距离之和最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D．不确定 5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）    A．76° B．84° C．96° D．109° 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知，点P是射线上的一个动点，点M是射线上的一个定点，为点P到边的距离，则当最小时， ． 8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时， ． 9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 10．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，，点，分别在边，上，则的最小值为 ． 11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，P为边BC上方的一个动点．的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为 ． 12．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，，平分，点为上一定点，为上的一动点，为上一动点，当最小时，则的度数为 ． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 14．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为 ． 16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点P在内部，点M，N分别是边上的动点，点M，N不与点O重合． （1）若将点P在的内部移动位置，使平分，当，时，的长等于 ； （2）若，随着点M，N位置的变动，当周长最小时，点O到直线的距离等于 ．（用含a的代数式表示） 17．（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队（即选择点和），可以使得将军走的总路程最短？ 18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用： 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣 模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小． 作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小． 模型应用： （1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点． ①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）． ②则的最小值为 ． 模型变式： （2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    19．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． （1）如图1，当时，则______°； （2）当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 20．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． （1）与相等吗？为什么？ （2）与相等吗？为什么？ （3）如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 轴对称中的最值问题 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 典例分析 【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是__________________； （3）应用：①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 【思路点拨】 （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【解题过程】 （1）解：作图如下： （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（）， 作点关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出点．如图，作点关于直线的对称点，作于由，推出根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长，根据三角形的面积即可求得线段的长． 【解题过程】 解：如图中， 作点关于直线的对称点，作于， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长． 中，，，，， ． 故选：C． 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 【思路点拨】 本题主要考查轴对称的性质等知识，熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键． 如图：在上取一点G，使，连接，作于H，可得出得到的最小值为的长，再求出的长即可． 【解题过程】 解：如图：在上取一点G，使，连接，作于H， ∵平分， ∴直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，的面积为90， ∴，解得：， ∴的最小值为：12． 故选：A． 3．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，作点关于的对称点M，连接，当时．此时取得最小值． 【解题过程】 解：∵， ∴是的平分线， 作点关于的对称点M，连接， 由对称的性质可知，, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴M在上 由垂线段最短可知：当时．取得最小值， ∴此时也取得最小值． ∵， ∴， ∵ ∴ ∴的最小值为：． 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，中，于点D，且上方有一动点P满足，则点P到两点距离之和最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D．不确定 【思路点拨】 本题主要考查了轴对称变换最短距离问题，根据三角形的面积关系得出点P在过的中点E且平行于的直线l上是解决此题的关键． 根据得出点P到的距离等于的一半，即点P在过的中点且平行于的直线l上，则此问题转化成在直线l上求作一点P，使得点P到B、C两点距离之和最小，作出点C关于直线l的对称点，连接，然后根据条件证明是等腰直角三角形即可得出∠PBC的度数． 【解题过程】 解：∵， ∴点P到的距离， ∴点P在过的中点E且平行于的直线l上， 作C点关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，    则点P即为到B、C两点距离之和最小的点， ∵，E为的中点，，点C和点关于直线l对称， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）    A．76° B．84° C．96° D．109° 【思路点拨】 本题考查了最短路线问题．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值． 【解题过程】 解：如图，延长至，使，    延长至，使， 则垂直平分，垂直平分， ，， 根据两点之间，线段最短， 当，，，四点在一条直线时，最小， 则的值最小， 即的周长最小， ，， 可设，， 在中，， ，， ， 故选：A． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 【思路点拨】 本题考查轴对称最短问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解题过程】 解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，当三点共线时，最小， ，， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知，点P是射线上的一个动点，点M是射线上的一个定点，为点P到边的距离，则当最小时， ． 【思路点拨】 作点关于的对称点，连接，得到，进而得到当，，三点共线时，最小，推出为等边三角形，为等腰三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【解题过程】 解：作点关于的对称点，连接，则：， ∴，， ∴为等边三角形，当，，三点共线时，最小， ∴， ∵为点P到边的距离， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴； 故答案为：2． 8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时， ． 【思路点拨】 本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则，，证明出、为等腰直角三角形，得出，当、、在同一直线上时，的周长最小，最后由三角形面积公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解题过程】 解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 的周长， 当、、在同一直线上时，的周长最小，， 当的周长最小时，， 故答案为：3． 9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【思路点拨】 本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：8． 10．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，，点，分别在边，上，则的最小值为 ． 【思路点拨】 作点关于直线的对称点，连接、、，作于点，由，，求得，，则，所以，由，，且，得，即可得出答案． 【解题过程】 解：作点关于直线的对称点，连接、、，作于点， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，且， ∴， 即， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，P为边BC上方的一个动点．的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为 ． 【思路点拨】 由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AC的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，然后证明△BB′C≌△CAB（SAS），得出∠B′CB＝∠ABC，然后由已知求出∠ABC＝70°即可． 【解题过程】 解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，∠ACB＝90°， ∴P在与BC平行，且到BC的距离为AC的直线l上， ∴l∥BC， 作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，BB′交l于D，如图所示： 则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小， ∵BB′⊥l，l∥BC， ∴BB′⊥BC，即∠B′BC＝90°， ∵BD＝B′D＝BB′，BD＝AC， ∴BB′＝AC， 又∵BC＝BC， ∴△BB′C≌△CAB（SAS）， ∴∠B′CB＝∠ABC， ∵∠ACB＝90°，∠A＝20°， ∴∠B′CB＝∠ABC＝70°， 即∠PCB＝70°， 故答案为：70°． 12．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，，平分，点为上一定点，为上的一动点，为上一动点，当最小时，则的度数为 ． 【思路点拨】 找到点M关于对称点，过点作于点N，交干点P，则此时的值最小． 【解题过程】 解：如图，作点M关于对称点， ∵平分， ∴点一定在上， 过点作于点，交干点P，则此时的值最小 ∵， ∴此时， ∵点M与点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂线段最短，作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过C作于N，根据三线合一定理求出的长和，根据三角形面积公式求出，根据对称性求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【解题过程】 解：作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过C作于N， ， ∵，，是边上的中线， ∴，，平分， ∴M在AB上， 在中，， ∴， ∴， ∵E关于的对称点M， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【思路点拨】 根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是的值最小，的面积是，，由此即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且， ∵， ∴，即， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴当点在一条直线上时，周长，即最小就是的值最小， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为 ． 【思路点拨】 作点关于的对称点，关于的对称点，连接，易证为等边三角形，得到，根据的周长，进而得到当四点共线时，的周长最小，为的长，即为的长，进而得到当最小时，的周长最小，过点作，过点作，根据三角形的面积公式求出的长，进而得到点在平行于且距离等于的直线上，进而得到当为与的交点时，的长度最小，进行求解即可． 【解题过程】 解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接， 则：， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，的周长最小，为的长，即为的长， ∴当最小时，的周长最小， 过点作，过点作， ∴，， ∴，， ∴点在平行于且距离等于的直线上， ∴当为与的交点时，的长度最小， 此时， ∴周长的最小值为； 故答案为：． 16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点P在内部，点M，N分别是边上的动点，点M，N不与点O重合． （1）若将点P在的内部移动位置，使平分，当，时，的长等于 ； （2）若，随着点M，N位置的变动，当周长最小时，点O到直线的距离等于 ．（用含a的代数式表示） 【思路点拨】 本题考查了轴对称最短线路问题、平行线性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，作辅助线找到M，N的位置是解题的关键． （1）如图：平分，当，，得到，根据等腰三角形的判定即可解答． （2）如图：作P关于的对称点C，D，连结，交于M，N两点，作于E．此时当周长最小时，，可求垂线段的长即可． 【解题过程】 解：（1）如图：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． （2）如图：作P关于的对称点C，D，连结，交于M，N两点，作于E． ∴， ∴周长， 假设随着点M，N位置的变动，不在CD上时，， ∴周长的最小值=CD． ∵作P关于的对称点C，D， ∴垂直平分， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点O到直线MN的距离等于． 故答案为：． 17．（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队（即选择点和），可以使得将军走的总路程最短？ 【思路点拨】 的值最小，其中是定值，问题转化为最小，先作，使得，再作对称点，连接对称点和即可求解． 【解题过程】 解：如图，作，使得，作点关于的对称点，连接交于点，在上截取，连接，线路时，的值最小， ． 18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用： 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣 模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小． 作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小． 模型应用： （1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点． ①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）． ②则的最小值为 ． 模型变式： （2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    【思路点拨】 此题是几何变换综合题，考查轴对称的性质和最短路径问题， （1）①根据轴对称的性质点，关于对称，进而连接交于点即可； ②根据轴对称的性质，进而解答即可； （2）分别作点关于，的对称点，，连接，，，交，于点，，连接，，此时周长的最小值等于，利用轴对称的性质解答即可． 解题的关键是根据轴对称的性质得出线段相等解答． 【解题过程】 （1）①如图所示点为所求的点：    ②，关于对称， ， ， 的最小值， 故答案为：8； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点，，连接，，，交，于点，，连接，，此时周长的最小值等于．    由轴对称性质可得，，，， ， 则为等边三角形， 即． 即周长的最小值等于． 19．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． （1）如图1，当时，则______°； （2）当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 【思路点拨】 （1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①证明即可推出为等边三角形；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【解题过程】 （1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②． 证明：∵为等边三角形, ∴,, 如图，作点D关于直线的对称点，连接． ∴, ∴，则点P在的延长线上时，的值最大，此时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵,, ∴， ∴． 20．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． （1）与相等吗？为什么？ （2）与相等吗？为什么？ （3）如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 【思路点拨】 （1）利用等角的补角相等即可证得； （2）过点作，，分别交于，，通过证得，即可得到结论； （3）易证得为等边三角形，则，求最小值即为求的最小最小值，作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，求最小值即为求最小值，最小值为的长度，求得的长即可． 【解题过程】 （1）解：，， ； （2）解：过点作，，分别交于，，如图所示： 是线段的中点且为等腰三角形， 平分， ，， ，， 在和中， ， ， ； （3）解：由（2）可知， ， 为等边三角形， ， 求的最小值，即为求的最小值， 作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得， 求最小值即为求最小值， 最小值为的长度， 则最小值为的长度， 由对称的性质可得． ，，， 为等腰三角形，， ， ， 为等边三角形， 由等边三角形对称性可得， 是线段的中点， ， ， ，， ， 最小值为15． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$