清单01 有理数（22个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版2024）

清单01 有理数（22个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【清单02】 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 【清单03】数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 【清单04】相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【清单05】绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【清单07】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单08】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单09】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单10】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单11】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加 即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单12】 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单13】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单01】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单01】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单01】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点题型一】正负数 【典例1】两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入100元记作元，那么支出60元应记作（    ） A．元 B．40元 C．元 D．元 【变式1-1】下列各数中，属于正整数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】有关正负数的概念和运算法则的系统论述，记载于我国古代数学名著《九章算术》一书中，书中明确提出“正负数”，这是世界上至今发现的最早详细的记载．如果水位上升5米记作米，那么水位下降8米记作（    ） A． B．3 C．13 D． 【考点题型二】 相反意义的量表示 【典例2】如果收入100元记作元，则元表示（    ） A．支出70元 B．收入70元 C．支出80元 D．收入80元 【变式2-1】中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利元记作元，那么亏本元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2-2】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表． 数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：，则“”表示的数是 ． 【变式2-4】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．一次数学测试，以80分为基准简记，90分记作分，那么70分应记作 ． 【考点题型三】有理数的概念辨析 【典例3】下列说法中，正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数 C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数 【变式3-1】在下列数，，，0，，中，属于负数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-2】下列说法中正确的是（    ） A．没有最小的有理数 B．既是正数也是负数 C．整数只包括正整数和负整数 D．是最小的负整数 【变式3-3】下列各数：0，，3.151151115，，中，有理数有 个． 【考点题型四】有理数的分类 【典例4】把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，， 正数集合：｛ ｝； 分数集合：｛ ｝； 非负整数集合：｛ ｝． 【变式4-1】把下列各数填在相应的大括号内： ． 整数集合{ …} 分数集合{ …} 正有理数集合{ …} 负有理数集合{ …} 【变式4-2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，6，，，0，，，78． 整数集合｛                                   …｝； 分数集合｛                                   …｝； 非负数集合｛                                 …｝； 负有理数集合｛                               …｝． 【变式4-3】把，，，，，，0，填在相应的大括号内． 正数集合：{            …}； 整数集合：{            …}； 非负数集合：{          …}； 负分数集合：{          …}． 【考点题型五】有理数的大小比较 【典例5】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式5-1】比较大小：（1） ，（2） 【变式5-2】大于且小于3的整数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式5-3】如图，数轴上的点A，B对应有理数a，b，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】数轴的三要素及其画法 【典例6】下列图形中是数轴的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型七】利用数轴比较有理数的大小 【典例7-1】如图，有理数a，b，c在数轴上的位置，结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例7-2】（1）在如图所示的数轴上表示下列各数：，，，，，； （2）按从小到大的顺序用“”号把（）中的这些数连接起来． 【变式7-1】已知a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（1）把有理数3，0，，，表示在如图所示的数轴上； （2）请将上面的数用“＜”连接起来． 【考点题型八】数轴上两点之间的距离 【典例8】在数轴上，距离表示数的点4个单位长度的点是（    ） A． B．6 C．2 D．或2 【变式8-1】已知点A，B在数轴上，点A与原点的距离是7，点B与原点的距离是16，则点A，B之间的距离为 ． 【变式8-2】如图，在数轴上与点的距离为的点表示的数是 ． 【变式8-3】如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点，则点B表示的数是 ． 【考点题型九】数轴上的动点问题 【典例9】如图所示，点A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边，且距A点4个单位长度，点B所对应的数是______． (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点时，求A、B两点间距离． (3)在（2）的条件下，A点静止不动，B点沿数轴向左运动，经过t秒点A与点B相距4个单位长度，求t的值． 【变式9-1】如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为t s． (1)OA=__________cm，OB=__________cm； (2)当Q从O向A运动时，若，求t的值． (3)当时，直接写出t的值． 【变式9-2】已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位到达A点，再从A点向右移动12个单位到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点． (1)点C表示的数是 ； (2)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒， ①点C表示的数是 （用含有t的代数式表示）； ②当t=2秒时，求CB-AC的值； ③试探索：CB-AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【变式9-3】如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm； (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ； (3)由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？ 【考点题型十】相反数的概念 【典例10】2024的相反数是（ ） A． B．2024 C． D． 【变式10-1】的相反数是（    ） A． B． C．4 D．4 【变式10-2】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】相反数的性质运用 【典例11】已知，互为相反数，互为倒数，那么的值等于（　　） A．2 B． C．1 D． 【变式11-1】若a，b互为相反数，c的倒数是2，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【变式11-2】若，互为相反数，，互为倒数，则的结果为（    ） A． B．1 C．或2 D．2 【变式11-3】已知a，b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式2（a＋b）－3cd的值为（      ）． A．2 B．－1 C．－3 D．0 【考点题型十二】绝对值定义、绝对值的性质 【典例12】已知，，，则的值为（   ） A． B． C．1或5 D．或 【变式12-1】若，，则等于（　　） A．8 B． C．8或 D．或 【变式12-2】的绝对值是（  ） A． B． C． D．2024 【考点题型十三】化简绝对值 【典例13】，，三个数在数轴上的位置如图所示， 且 (1)比较，， 的大小； (用连接) (2)化简 【变式13-1】已知有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： 【变式13-2】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式13-3】在数轴上对应点的位置如图所示， (1)判断下列各式与的大小：① ；② ；③ ； (2)化简式子：． 【考点题型十四】非负性的性质 【典例14】已知有理数n、m满足，则（   ） A． B．1 C． D．2023 【变式14-1】若，则的值是（    ） A． B．2023 C．1 D． 【变式14-2】如果与互为相反数，那么代数式的值是（   ） A． B． C． D．2023 【变式14-3】若，则（    ） A．16 B． C． D．4 【考点题型十五】有理数的加减运算 【典例15-1】计算： (1)； (2)； (3) ） (4)． 【典例15-2】把写成省略加号和的形式为（ ） A． B． C． D． 【变式15-1】把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】计算： (1)； (2)． 【变式15-3】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式15-4】计算下列各题： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【考点题型十六】有理数乘除法运算 【典例16】计算： (1) (2)； (3)． 【变式6-1】计算： (1) (2)； (3)． 【变式16-2】乘除计算： (1) (2) (3)； (4) 【考点题型十七】有理数的乘方 【典例17】下列各组算式中，计算结果相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式17-1】下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式17-2】已知，且，那么（　　） A．或1 B．或 C．3或1 D．3或 【变式17-3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是（    ）天． A．520 B．515 C．513 D．500 【考点题型十八】有理数混合运算 【典例18】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式18-1】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式18-2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型十九】算“24”点 【典例19】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式19-1】“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 【变式19-2】有一种“24点”游戏，其游戏规则是：将4个整数（每个数必须用一次且只能用一次，可以加括号）进行加减乘除四则运算，使运算结果为24，例如，整数1，2，3，4可列运算式子： 现有整数，，，请运用上述规则，写出一种运算式子，使其结果等于24，运算式子为 【变式19-3】“巧算24点”是一种数学游戏，游戏方式简单易学，能健脑益智．比如给出四个数字3、8、8、9，就可用加、减、乘、除（可加括号）把这四个数算成24，而且每个数字必须用一次且只能用一次，那么算式是或者，下面给出数字1、3、4、6，请你用加减乘除列出算式，算出24，此算式是 ． 【考点题型二十】科学计数法 【典例20】我国祝融号火星探测器成功登陆火星，中国成为世界上第二个有能力在火星实现软着陆的国家．据有关数据显示，火星和地球最近的时候，相距千米，数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】数据显示，2023年通过青藏铁路进出藏旅客共计295.9万人次，创下青藏铁路通车运营17年以来的历史新高．将数据2959000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式20-3】是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二十一】近似数的表示 【典例21】用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式21-1】将四舍五入精确到千分位是（    ） A． B． C． D． 【变式21-2】对于近似数，它有 个有效数字． 【考点题型二十二】有理数实际应用 【典例22】世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过米（不包括米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 【变式22-1】学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如下： 每袋与标准重量的差（千克） 0 2 2.5 袋数 1 4 2 3 5 5 (1)20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻多少? (2)与标准重量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克? (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 【变式22-2】某自行车厂计划一周生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出人，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制度，每辆车元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式22-3】小明爸爸上个星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）．[注：正负数表示与前一交易日比较的涨跌情况，如周一收盘时每股（元），如周二收盘时每股（元），另股票周六、周日休盘不交易] 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)通过上表你认为周三收盘时，每股是（    ）元． (2)本周内每股最多是（    ）元，最低是（    ）元． (3)若买进股票需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果在星期五收盘前将股票全部卖出，小明爸爸盈亏多少元？请通过计算说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 有理数（22个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【清单02】 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 【清单03】数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 【清单04】相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【清单05】绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【清单07】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单08】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单09】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单10】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单11】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加 即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单12】 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单13】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单01】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单01】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单01】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点题型一】正负数 【典例1】两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入100元记作元，那么支出60元应记作（    ） A．元 B．40元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．本题考查了正负数的意义． 【详解】解：根据题意，如果收入100元记作元，那么支出60元应记作元． 故选：A． 【变式1-1】下列各数中，属于正整数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正整数的概念的识别，熟练掌握正数和负数、整数的概念是解题的关键．利用正整数的概念依次判别即可． 【详解】解：A中，是负整数，不符合题意； B中，是正整数，符合题意； C中，是小数，不符合题意； D中，是分数，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的认识，比0小的数为负数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴负数的个数为4个， 故选：C． 【变式1-3】有关正负数的概念和运算法则的系统论述，记载于我国古代数学名著《九章算术》一书中，书中明确提出“正负数”，这是世界上至今发现的最早详细的记载．如果水位上升5米记作米，那么水位下降8米记作（    ） A． B．3 C．13 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，如果水位上升5米记作米，那么水位下降8米记作米． 故选：A． 【考点题型二】 相反意义的量表示 【典例2】如果收入100元记作元，则元表示（    ） A．支出70元 B．收入70元 C．支出80元 D．收入80元 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，根据收入为正，则支出为负，进行判断即可． 【详解】解：由题意，元表示支出80元； 故选C． 【变式2-1】中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利元记作元，那么亏本元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：盈利元记作元，那么亏本元记作 元， 故选：B． 【变式2-2】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表． 数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：，则“”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算筹计数法，根据题意用算筹计数法计数即可． 【详解】 解：千位上“”对应横式中的7，百位上“”对应纵式中的6，十位上“”对应横式中的2，个位上“”对应纵式中的8， “”表示的数是． 故答案为： 【变式2-4】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．一次数学测试，以80分为基准简记，90分记作分，那么70分应记作 ． 【答案】分 【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义及结合题意可直接进行求解． 【详解】解：∵以80分为基准简记，90分记作分， ∴70分应记作分． 故答案为：分． 【考点题型三】有理数的概念辨析 【典例3】下列说法中，正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数 C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数 【答案】A 【分析】此题考查了有理数，利用分数，整数，以及有理数定义判断即可． 【详解】解：A、正分数和负分数统称为分数，选项说法正确； B、0是整数，选项说法错误； C、正整数、负整数和0统称为整数，选项说法错误； D、正数、负数和0统称为有理数，选项说法错误， 故选：A． 【变式3-1】在下列数，，，0，，中，属于负数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查负数的识别，有理数概念和分类．根据题意逐一对数字进行识别即可得到本题答案． 【详解】解：负数：，，即负数有2个， 故选：C． 【变式3-2】下列说法中正确的是（    ） A．没有最小的有理数 B．既是正数也是负数 C．整数只包括正整数和负整数 D．是最小的负整数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的分类和意义，逐一分析即可判断求解，掌握有理数的分类和意义是解题的关键． 【详解】解：、没有最小的有理数，该选项正确，符合题意； 、既不是正数也不是负数，该选项错误，不合题意； 、整数包括了正整数、负整数和，该选项错误，不合题意； 、是最大的负整数，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式3-3】下列各数：0，，3.151151115，，中，有理数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的概念，根据有理数是整数和分数的统称逐个判断即可． 【详解】解：所给的数中，0，，3.151151115，是有理数，有4个， 故答案为：4． 【考点题型四】有理数的分类 【典例4】把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，， 正数集合：｛ ｝； 分数集合：｛ ｝； 非负整数集合：｛ ｝． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的定义即可求解，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：正数集合：｛，｝； 分数集合：｛，｝； 非负整数集合：｛，｝； 故答案为：；；． 【变式4-1】把下列各数填在相应的大括号内： ． 整数集合{ …} 分数集合{ …} 正有理数集合{ …} 负有理数集合{ …} 【答案】，，，，；，，，；，，，；，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类即可解答，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：； 整数集合{，，，， } 分数集合{，，， } 正有理数集合{，，， } 负有理数集合{，，， } 故答案为：，，，，；，，，；，，，；，，，． 【变式4-2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，6，，，0，，，78． 整数集合｛                                   …｝； 分数集合｛                                   …｝； 非负数集合｛                                 …｝； 负有理数集合｛                               …｝． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：由有理数的分类方法可得： 整数集合｛6，，0，，78｝； 分数集合｛，，，｝； 非负数集合｛，6，，0，，78｝； 负有理数集合｛，，｝． 【变式4-3】把，，，，，，0，填在相应的大括号内． 正数集合：{            …}； 整数集合：{            …}； 非负数集合：{          …}； 负分数集合：{          …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类．熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据有理数的分类作答即可． 【详解】解：正数集合：； 整数集合：； 非负数集合：； 负分数集合：． 【考点题型五】有理数的大小比较 【典例5】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较有理数大小，掌握有理数的大小比较方法是解决问题的关键．根据两个负数，绝对值大的反而小，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】比较大小：（1） ，（2） 【答案】 【分析】本题考查了正负数比较大小，化简绝对值和相反数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据负数的绝对值越大的数反而越小，即可作答． （2）分别化简绝对值和相反数，再结合正数大于负数进行比较，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ 故答案为：； （2），且 ∴ 故答案为： 【变式5-2】大于且小于3的整数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的大小比较，写出大于且小于3的所有整数，即可进行解答. 【详解】解：大于且小于3的整数有：，，，，，共5个， 故选：C 【变式5-3】如图，数轴上的点A，B对应有理数a，b，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，绝对值，由，两数在数轴上表示点的位置判断、的符号和绝对值是解题关键．由，两数在数轴上表示点的位置，可以得出、的符号和绝对值的大小，进而逐项进行判断即可． 【详解】解：由，两数在数轴上表示点的位置，可知， ，且， ，因此选项A错误，不符合题意； ，因此选项B正确，符合题意； ，因此选项C错误，不符合题意； ，因此选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【考点题型六】数轴的三要素及其画法 【典例6】下列图形中是数轴的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据数轴三要素一一判断即可． 【详解】解：A、缺少了正方向，故错误； B、缺少了原点，故错误； C、单位长度不统一，故错误； D、符合数轴三要素，故正确． 故选：D． 【变式6-1】如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画数轴，数轴有三要素，正方向，原点和单位长度，据此求解即可． 【详解】解：A、该数轴没有原点，不符合题意； B、该数轴的单位长度不一致，不符合题意； C、该数轴没有正方向，不符合题意； D、该数轴正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-2】如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的三要素和画法，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答本题的关键． 根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：（1）（3）单位长度不统一，错误；（2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误；（4）符合数轴的特点，正确． 故选：A． 【变式6-3】以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键．根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】解：A．没有正方向，错误，不符合题意； B．单位长度不相等，错误，不符合题意； C．有正方向，原点，单位长度相等，正确，符合题意； D．选项没有原点，错误，不符合题意． 故选：C． 【考点题型七】利用数轴比较有理数的大小 【典例7-1】如图，有理数a，b，c在数轴上的位置，结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，把相关数标到数轴上，根据右边的数总比左边的数进行比较，是常用的解题方法．根据各个数在数轴上的位置，得到相应的大小关系，比较各个选项，得到结论正确的选项即可． 【详解】 解： 对于A，由数轴可知，故A选项错误，不符题意， 对于B，由数轴可知，故B选项错误，不符题意， 对于C，由数轴可知，故C选项错误，不符题意， 对于D，由数轴可知，故D选项正确，符合题意， 故选：D． 【典例7-2】（1）在如图所示的数轴上表示下列各数：，，，，，； （2）按从小到大的顺序用“”号把（）中的这些数连接起来． 【答案】（）在数轴上表示见解析；（）． 【分析】（）根据在数轴表示有理数的方法表示有理数即可； （）根据数轴上点的特点即可比较大小； 本题考查了在数轴上表示有理数及利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握用数轴表示有理数的方法及数轴上点的特点是解题的关键． 【详解】解：（）在数轴上表示如图： （）根据数轴特点可知， ． 【变式7-1】已知a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据a、b在数轴上的位置得到，，然后分别求解判断即可． 【详解】解：由图得：，， ∴，故A不正确； ∴，故B不正确； ∴，故C正确； ∴，故D不正确． 故选：C． 【变式7-2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据数轴可以得到，且，再利用实数的运算法则即可判断．本题主要考查了利用数轴来进行实数大小比较．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【详解】解：根据点在数轴的位置，知：，且． A、，且，，故本选项错误； B、，，故本选项正确； C、，，，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：B． 【变式7-3】（1）把有理数3，0，，，表示在如图所示的数轴上； （2）请将上面的数用“＜”连接起来． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据数轴的特点确定各点位置即可； （2）根据数轴上的数左边小于右边用“＜”连接即可； 此题考查了利用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确理解有理数与数轴上点的对应关系是解题的关键 【详解】解：（1）将各数表示在数轴如下： （2） 【考点题型八】数轴上两点之间的距离 【典例8】在数轴上，距离表示数的点4个单位长度的点是（    ） A． B．6 C．2 D．或2 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 将数分别向左或向右移动4个单位长度，即可解答． 【详解】解：由题意知：将数向左移动4个单位长度，对应的点表示的数是；将数向右移动4个单位长度，对应点表示的数是． 故选：D． 【变式8-1】已知点A，B在数轴上，点A与原点的距离是7，点B与原点的距离是16，则点A，B之间的距离为 ． 【答案】23或9/9或23 【分析】本题主要考查了数轴上点、数轴上两点间的距离等知识点，掌握数轴上的点表示的数成为解题的关键． 先根据题意确定A、B在数轴上表示的数，然后根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵点A与原点的距离是7，点B与原点的距离是16， ∴点A表示，点B表示， 当点A表示，点B表示，则点A，B之间的距离为； 当点A表示，点B表示16，则点A，B之间的距离为； 当点A表示7，点B表示，则点A，B之间的距离为； 当点A表示7，点B表示16，则点A，B之间的距离为； 综上，点A，B之间的距离为23或9． 故答案为：23或9． 【变式8-2】如图，在数轴上与点的距离为的点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，在数轴上正确表示数进行准确计算是解题的关键；根据表示的数为，通过点距离为进行有理数加减运算即可； 【详解】解：根据图示，表示的数为， ∵，， ∴与点距离为的点表示的数为或， 故答案为：或． 【变式8-3】如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点，则点B表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数轴上两点的中点计算公式，根据数轴上两点中点计算公式求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点， ∴点B表示的数是， 故答案为：． 【考点题型九】数轴上的动点问题 【典例9】如图所示，点A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边，且距A点4个单位长度，点B所对应的数是______． (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点时，求A、B两点间距离． (3)在（2）的条件下，A点静止不动，B点沿数轴向左运动，经过t秒点A与点B相距4个单位长度，求t的值． 【答案】(1)2 (2)A，B两点间距离是12个单位长度； (3)经过4秒或8秒，A，B两点相距4个单位长度． 【分析】本题考查了数轴，行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程的问题的数量关系建立方程是关键． （1）根据左减右加可求点B所对应的数； （2）先根据时间=路程÷速度，求出运动时间，再根据路程=速度×时间求解即可； （3）分两种情况：运动后的B点在A点右边4个单位长度；运动后的B点在A点左边4个单位长度；列出方程求解即可． 【详解】（1）解：． 故点B所对应的数为2； 故答案为：2； （2）解：（秒）， （个单位长度）． 故A，B两点间距离是12个单位长度； （3）解：运动后的B点在A点右边4个单位长度， 设经过t秒长时间，A，B两点相距4个单位长度，依题意有 ， 解得； 运动后的B点在A点左边4个单位长度， 设经过t秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有 ， 解得． 故经过4秒或8秒，A，B两点相距4个单位长度． 【变式9-1】如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为t s． (1)OA=__________cm，OB=__________cm； (2)当Q从O向A运动时，若，求t的值． (3)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）直接按比例求解即可； （2）根据数量关系列方程即可； （3）分类讨论两点的位置关系，列方程求解即可． 【详解】（1），点O为线段AB上一点，且， 那么． 故答案为：； （2）动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，则， 点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止， 则从到时，， 从到时，． 因为当Q从O向A运动时，若， 所以，解得． （3）当则从到时，， ， 可得，解得， 从到时，在左侧时，． ， 可得，解得， 从到时，在右侧时，． ， 可得，解得． 综上所述： 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是找出每段线段的长，用速度表示点的路程，然后找出等量关系列方程． 【变式9-2】已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位到达A点，再从A点向右移动12个单位到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点． (1)点C表示的数是 ； (2)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒， ①点C表示的数是 （用含有t的代数式表示）； ②当t=2秒时，求CB-AC的值； ③试探索：CB-AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)-1 (2)①−1＋t；②0；③CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，CB−AC的值为0． 【分析】（1）根据题意可以求得点C表示的数； （2）①根据题意可以用代数式表示点C运动时间t时表示的数；②根据题意可以求得当t＝2秒时，CB−AC的值；③先判断是否变化，然后求出CB−AC的值即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，AC＝12×＝6， ∴点C表示的数为：0−7＋6＝−1， 故答案为：−1； （2）解：①由题意可得，点C移动t秒时表示的数为：−1＋t， 故答案为：−1＋t； ②当t＝2时， CB−AC ＝[（0−7＋12＋4t）−（−1＋t）]−[（−1＋t）−（0−7−2t）] ＝（5＋4t＋1−t）−（−1＋t＋7＋2t） ＝6＋3t−6−3t ＝0； ③CB−AC的值不随着时间t的变化而改变， ∵CB−AC ＝[（0−7＋12＋4t）−（−1＋t）]−[（−1＋t）−（0−7−2t）] ＝（5＋4t＋1−t）−（−1＋t＋7＋2t） ＝6＋3t−6−3t ＝0， ∴CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，CB−AC的值为0． 【点睛】点评：本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式9-3】如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm； (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ； (3)由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？ 【答案】(1)8 (2)14，22 (3)37岁 【分析】（1）根据图象可知3倍的长为（cm），这样长就可以求出来了． （2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值． （3）运用上边的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】（1）观察数轴可知三根木棒长为（cm），则这根木棒的长为（cm）； 故答案为8． （2）， ． 所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22． 故答案为：14，22． （3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为岁， 所以奶奶与妙妙的年龄差为：（岁）， 所以奶奶现在的年龄为（岁）． 【点睛】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄． 【考点题型十】相反数的概念 【典例10】2024的相反数是（ ） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，根据“只有符号相反的两个数互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：2024的相反数是， 故选：C． 【变式10-1】的相反数是（    ） A． B． C．4 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 【变式10-2】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，掌握相反数和倒数的定义是解答本题的关键． 根据题意利用相反数和倒数的定义计算即可． 【详解】解：， 的倒数为， 故选：D． 【考点题型十一】相反数的性质运用 【典例11】已知，互为相反数，互为倒数，那么的值等于（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，相反数，倒数的性质．关键是根据题意，将已知条件转化为等式． 将已知条件转化为等式，再整体代入求值． 【详解】解：依题意，得， 则． 故选：B． 【变式11-1】若a，b互为相反数，c的倒数是2，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是2，可得 ，代入即可求解． 【详解】∵a，b互为相反数， ∴， ∵c的倒数是2， ∴， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得，是解题的关键． 【变式11-2】若，互为相反数，，互为倒数，则的结果为（    ） A． B．1 C．或2 D．2 【答案】B 【分析】由，互为相反数，则有；由，互为倒数，则有，直接代入即可求得代数式的值． 【详解】因，互为相反数，则有；因，互为倒数，则有； 所以； 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数及倒数的意义，求代数式的值，关键是根据相反数及倒数的意义得出及，然后整体代入求值即可．因而也体现了整体思想的运用． 【变式11-3】已知a，b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式2（a＋b）－3cd的值为（      ）． A．2 B．－1 C．－3 D．0 【答案】C 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0可得a+b=0，乘积是1的两个数叫做互为倒数可得cd=1，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴a+b=0， ∵c与d互为倒数， ∴cd=1， ∴2（a+b）-3cd=2×0-3×1=-3． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式求值，主要利用了相反数的定义，倒数的定义，熟记概念是解题的关键． 【考点题型十二】绝对值定义、绝对值的性质 【典例12】已知，，，则的值为（   ） A． B． C．1或5 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，首先根据：，，可得：，；然后根据，求出、的值是多少，再根据有理数的加法的运算方法，求出的值为多少即可．熟练掌握绝对值的定义是关键． 【详解】解：，， ，； ， ，， 或． 的值为或． 故选：． 【变式12-1】若，，则等于（　　） A．8 B． C．8或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，代数式求值，掌握根据一个数的绝对值，求这个数是解题的关键． 根据绝对值意义求出a的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ． 又， 则或． 故选：C． 【变式12-2】的绝对值是（  ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 根据负数的绝对值等于它的相反数，计算即可求出值． 【详解】解：， 故选：D． 【考点题型十三】化简绝对值 【典例13】，，三个数在数轴上的位置如图所示， 且 (1)比较，， 的大小； (用连接) (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察数轴，可知且，由此可知，，便可解决； （2）结合，，的大小关系分别判断出绝对值符号内各式的正负，然后去掉绝对值符号进行化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴上，，三个数的位置，可得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，，，， ∴． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴，绝对值以及有理数比较大小，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【变式13-1】已知有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先观察数轴，得到，从而得到，，，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ 【变式13-2】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【变式13-3】在数轴上对应点的位置如图所示， (1)判断下列各式与的大小：① ；② ；③ ； (2)化简式子：． 【答案】(1) ①；②；③ (2) 【分析】（）根据数轴可得，，，再根据有理数的运算法则即可求解； （）由，，判断出的符号，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并即可得到结果； 本题考查了绝对值、数轴及有理数的运算，通过数轴判断出绝对值符号里面式子的符号是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式， ， ． 【考点题型十四】非负性的性质 【典例14】已知有理数n、m满足，则（   ） A． B．1 C． D．2023 【答案】A 【分析】此题主要考查了非负数的性质，代数式求值．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 根据，可以求得m、n的值，从而代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式14-1】若，则的值是（    ） A． B．2023 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求代数式的值，绝对值和平方的非负性，根据绝对值和平方的非负性，可得，，再代入即可求解，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题关键． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式14-2】如果与互为相反数，那么代数式的值是（   ） A． B． C． D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式的值等知识点，根据非负性求出字母的值是解题的关键． 根据非负数的性质求出，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【变式14-3】若，则（    ） A．16 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据绝对值与完全平方的非负性，解得：，，代入即可求解，本题考查了绝对值与完全平方的性质，解题的关键是：熟练掌握绝对值与完全平方的非负性． 【详解】解： ，，， ，，解得：，， ， 故选：． 【考点题型十五】有理数的加减运算 【典例15-1】计算： (1)； (2)； (3) ） (4)． 【答案】(1)66 (2)0.6 (3)10 (4) 【分析】此题主要考查了有理数的加减．正确掌握相关运算法则是解题关键．两个数相加，同号取原来的符号，绝对值相加；异号取绝对值较大加数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值；两个数相减，减去一个数等于加上这个数的相反数；多个数相加，适当运用加法交换律和结合律，使运算简便． （1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （2）先把减法化为加法，再运用加法法则进行计算，负数结合，即可作答； （3）先把减法化为加法，再运用加法法则进行计算，正、负数分别结合，即可作答； （4）先把减法化为加法，再运用加法法则进行计算，小数部分相同的数结合，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【典例15-2】把写成省略加号和的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 根据有理数的减法法则把原式变形，根据去括号法则解答即可． 【详解】解： ． 故选C． 【变式15-1】把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，其中去括号是解答本题的关键．即：括号前是正号，去掉括号及正号不变号；括号前是负号，去掉括号及负号要变号．据此即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 【变式15-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)5 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算； （1）先去括号，再把分数通分成分母相同的分数，最后根据有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）先去括号，再运用加法结合律把分母相同的分数结合，最后根据有理数的加减混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式15-3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则即可求解； （2）把各数统一为小数，即可求解； （3）利用结合律即可求解； （4）先求绝对值，再各数统一为小数，即可求解． 本题考查了有理数的加减混合运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式15-4】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （2）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （3）去掉括号，然后将同分母分数结合，即可求解； （4）去掉括号，将同分母分数结合，结合有理数的加减混合运算，即可求解本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点题型十六】有理数乘除法运算 【典例16】计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式6-1】计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘法和除法法则是解题的关键，注意运算顺序． （1）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可； （2）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可； （3）根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式16-2】乘除计算： (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，乘法分配律的应用，掌握“同级运算，按照从左至右的运算顺序进行计算与乘法分配律的应用”是解本题的关键． 【考点题型十七】有理数的乘方 【典例17】下列各组算式中，计算结果相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，正确化简各数是解答本题的关键． 直接利用有理数的乘方运算法则进而得出答案． 【详解】解：A．，，两数不相等，故此选项错误； B．，，两数相等，故此选项正确； C．，，两数不相等，故此选项错误； D．，，两数不相等，故此选项错误． 故选：B． 【变式17-1】下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方、绝对值、相反数等知识点，掌握乘方运算成为解题的关键． 根据乘方、绝对值、相反数的知识逐项判定即可． 【详解】解：A. 与不是相反数，不符合题意；     B. 与是相反数，符合题意；     C. 与不是相反数，不符合题意；     D. 与不是相反数，不符合题意． 故选B． 【变式17-2】已知，且，那么（　　） A．或1 B．或 C．3或1 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查的是绝对值的意义、乘方的意义、乘法法则和减法运算．根据绝对值和有理数的乘方求出，的值，根据，分两种情况分别计算即可． 【详解】解：∵，， ，， ， ∴，， 当，时，； 当，时，； 故选：B． 【变式17-3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是（    ）天． A．520 B．515 C．513 D．500 【答案】B 【分析】此题考查了用数字表示事件，以及有理数的乘方，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据图1的计算方法，表示出图2中的天数，计算即可得到结果． 【详解】解：根据图1的方法得： 图2中孩子出生后的天数是（天． 故选：B 【考点题型十八】有理数混合运算 【典例18】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2)6 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式18-1】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则运算求解即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行运算即可； （3）根据有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律进行运算即可； （4）根据有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律进行运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式18-2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）把原式变为省略加号和括号的加法，进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用加法交换律和乘法分配律进行计算即可； （4）先计算乘方，再用乘法分配律，最后计算加减法即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【考点题型十九】算“24”点 【典例19】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式19-1】“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】 解：根据有理数的运算可得：，，等． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式19-2】有一种“24点”游戏，其游戏规则是：将4个整数（每个数必须用一次且只能用一次，可以加括号）进行加减乘除四则运算，使运算结果为24，例如，整数1，2，3，4可列运算式子： 现有整数，，，请运用上述规则，写出一种运算式子，使其结果等于24，运算式子为 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：（答案不唯一）． 【变式19-3】“巧算24点”是一种数学游戏，游戏方式简单易学，能健脑益智．比如给出四个数字3、8、8、9，就可用加、减、乘、除（可加括号）把这四个数算成24，而且每个数字必须用一次且只能用一次，那么算式是或者，下面给出数字1、3、4、6，请你用加减乘除列出算式，算出24，此算式是 ． 【答案】 【分析】根据加减乘除运算法则列出算式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点题型二十】科学计数法 【典例20】我国祝融号火星探测器成功登陆火星，中国成为世界上第二个有能力在火星实现软着陆的国家．据有关数据显示，火星和地球最近的时候，相距千米，数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式，为整数，当原数大于等于时，将原数变为时，小数点向左边移动几位，的值就是几，由此即可求解． 【详解】解：． 故选：． 【变式20-1】数据显示，2023年通过青藏铁路进出藏旅客共计295.9万人次，创下青藏铁路通车运营17年以来的历史新高．将数据2959000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 【详解】解：将数据2959000用科学记数法表示为 故选：C 【变式20-2】中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式20-3】是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，由此进行求解即可得到答案．熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 【考点题型二十一】近似数的表示 【典例21】用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到即对千分位上的数字进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是， 故选：D． 【变式21-1】将四舍五入精确到千分位是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了近似数，用到的知识点是近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度． 【详解】解：将用四舍五入法精确到千分位的近似数是； 故选：C． 【变式21-2】对于近似数，它有 个有效数字． 【答案】 【分析】考查了有效数字的概念，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，据此作答即可． 【详解】近似数的有效数字有4、5、0三个． 故答案是：3． 【考点题型二十二】有理数实际应用 【典例22】世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过米（不包括米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 【答案】(1)守门员最后正好回到球门线上； (2)守门员离开球门线的最远距离达米； (3)对方球员有三次挑射破门的机会． 【分析】（）根据有理数的加法可得答案； （）根据有理数的加法，可得每次守门员与球门线的距离，再进行比较可得答案； （）根据有理数的加法，可得每次守门员与球门线的距离，再进行比较可得答案； 本题考查了有理数加法的应用，掌握有理数的加法运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：守门员最后正好回到球门线上； （2）解：第一次，第二次，第三次，第四次，第五次，第六次，第七次，第八次， ∵， ∴守门员离开球门线的最远距离达米； （3）解：第一次，第二次，第三次，第四次，第五次，第六次，第七次，第八次， ∴对方球员有三次挑射破门的机会． 【变式22-1】学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如下： 每袋与标准重量的差（千克） 0 2 2.5 袋数 1 4 2 3 5 5 (1)20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻多少? (2)与标准重量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克? (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1)最轻的一袋比最重的要轻千克 (2)超过千克 (3)元 【分析】本题考查正负数的意义解实际应用题，涉及有理数加减运算、有理数加减乘法运算等知识，熟练掌握有理数混合运算法则是解决问题的关键 （1）根据题意，列出式子，由有理数加减运算直接计算即可得到答案； （2）根据题意，列出式子，由有理数加减乘法运算直接求解即可得到答案； （3）根据题意，求出土豆总重量，利用有理数乘法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：（千克）， 答：最轻的一袋比最重的要轻千克； （2）解： （千克）， 答：与标准重量比较，袋土豆总计超过千克； （3）解： （千克）， （元）， 答：买这袋土豆共需元． 【变式22-2】某自行车厂计划一周生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出人，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制度，每辆车元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)辆 (2)元 【分析】此题考查了正数与负数的应用，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据表格及题意求出七天的生产情况，即可求出产量最多的一天比产量最少的一天多生产的； （2）求出七天共生产的辆数，然后根据工资总额的计算方法即可得到结果． 【详解】（1）解：辆． 所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆． （2）解：辆， 所以这一周实际共生产自行车辆． 故该厂工人这一周的工资总额为元． 【变式22-3】小明爸爸上个星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）．[注：正负数表示与前一交易日比较的涨跌情况，如周一收盘时每股（元），如周二收盘时每股（元），另股票周六、周日休盘不交易] 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)通过上表你认为周三收盘时，每股是（    ）元． (2)本周内每股最多是（    ）元，最低是（    ）元． (3)若买进股票需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果在星期五收盘前将股票全部卖出，小明爸爸盈亏多少元？请通过计算说明． 【答案】(1)28 (2)30，25.5 (3)小明爸爸盈利了2884.5元 【分析】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义、有理数的加法运算是解题关键． （1）利用正数与负数的意义可得到星期三收盘时每股的价格； （2）分别计算出这周每天的股价，然后比较即可； （3）先计算以30元每股卖出所得，再计算买进股票所需费用，然后求出它们的差即可． 【详解】（1）星期三收盘时每股的价格为：（元）， 故答案为：28； （2）星期一收盘时每股的价格为：（元）， 星期二收盘时每股的价格为：（元）， 星期三收盘时每股的价格为：（元）， 星期四收盘时每股的价格为：（元）， 星期五收盘时每股的价格为：（元）， 所以本周内最高价是每股元，最低价是每股25.5元． 故答案为：30，25.5； （3）小明爸爸在星期五收盘前将全部股票卖出所得（元）， 小明爸爸买进股票的费用（元）， （元）， 所以小明爸爸盈利了2884.5元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$