清单04 解直角三角形（9个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

清单04解直角三角形（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 注意： (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 【清单02】解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【考点题型一】锐角三角函数的相关概念 【典例1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是（　　） A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．tanB= 【典例1-2】在 Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（ ） A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA= 【变式1-1】如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 【考点题型二】特殊角的三角函数值 【典例2】的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算的结果为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2-2】的值等于（　　） A．0 B． C． D．1 【变式2-3】计算的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【考点题型三】同角的三角函数关系 【典例3】在中，，，那么的值等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，，则等于（       ） A． B． C． D． 【变式3-2】若α为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，是锐角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】互余的三角函数关系 【典例4】在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】在中，，若，则（  ）． A． B． C． D． 【变式4-2】Rt△ABC中，，，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 【变式4-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 【考点题型五】解直角三角形 【典例5】如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【变式5-1】如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，，垂足为D，求的余切值． 【变式5-4】如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【考点题型六】解直角三角形的应用 【典例6】阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【变式6-1】如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 【变式6-2】如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与．若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点间的距离为，求点到地面的距离．（结果保留一位小数参考数据：，，） 【变式6-3】如图1是某地红色广场标牌，将其红色主体部分拍象为图2，，，，米，米，求该标牌的高（精确到米，参考数据：，，， 【考点题型七】解直角三角形的应用-坡度坡角 【典例7】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【变式7-1】和平路中学一年一度的校运会正在如火如荼的进行中，负责通讯报道的小明和小亮使用无人机采集一组航拍画面． 在航拍时，小明在C处测得无人机A的仰角为，同时小亮登上看台上的D处测得无人机A的仰角为． 若小亮所在看台的坡比为，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【变式7-2】某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m． (1)求改造后背水坡的长； (2)求所需土石方的体积．（结果精确到，） 【考点题型八】 解直角三角形应用-仰角俯角问题 【典例8】如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【变式8-1】如图，为了测量山坡上一棵树的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为，然后他沿着正对树的方向前进到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是和，设垂直于，且垂足为C． (1)求的度数； (2)求树的高度（结果精确到，）． 【变式8-2】如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： ， ； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【变式8-3】如图，在综合与实践活动中，小辰所在的数学兴趣小组要利用测角仪测量塔的高度，塔前有一座高为的观景台，已知，点在同一条水平直线上，且．小辰在处用测角仪测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．请你根据以上数据，帮小辰求出塔的高度． (结果保留整数；参考数据：)      【考点题型九】 解直角三角形应用-方向角问题 【典例9】如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 【变式9-1】如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）    (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【变式9-2】如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）    【变式9-3】湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处． (1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04解直角三角形（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 注意： (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 【清单02】解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【考点题型一】锐角三角函数的相关概念 【典例1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是（　　） A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．tanB= 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行分析即可． 【详解】A、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，csinA=a，正确； B、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，故B选项错误； C、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，btanA=a，故C选项错误； D、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，故D选项错误， 故选A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义．解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义． 【典例1-2】在 Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（ ） A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA= 【答案】B 【详解】试题分析：因为sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，故选B． 考点：锐角三角函数的定义． 【变式1-1】如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 【变式1-3】在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 【答案】D 【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可． 【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a， 则cosA＝＝，故A错误； sinB＝＝，故B错误； tanA＝，故C错误； tanB＝＝，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键． 【考点题型二】特殊角的三角函数值 【典例2】的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 【变式2-1】计算的结果为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟知计算法则是解题的关键．根据零指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则计算即可解答． 【详解】解： ； 故选：B． 【变式2-2】的值等于（　　） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的运算，先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2-3】计算的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【考点题型三】同角的三角函数关系 【典例3】在中，，，那么的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式cos2A+sin2A=1解答． 【详解】∵ ， ∴ ∴sinA=. 故选B. 【点睛】考查同角三角函数之间的关系，掌握cos2A+sin2A=1是解题的关键. 【变式3-1】如图，在中，，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据sin2B+cos2B=1及∠B为锐角，可得出cosB的值． 【详解】∵sin2B+cos2B=1，sinB=， ∴cosB=±， ∵∠B为锐角， ∴cosB= ． 故选D． 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式，属于基础题，注意掌握sin2B+cos2B=1． 【变式3-2】若α为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系，可得α的余弦函数，根据正弦、余弦、正切的关系，可得答案． 【详解】解：由α为锐角，且，得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，利用了，． 【变式3-3】已知，是锐角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α， 由于，因此设BC=5k，则AC=12k， 由勾股定理得，， ∴， 故选 C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出各条边的长是解决问题的关键． 【考点题型四】互余的三角函数关系 【典例4】在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【变式4-1】在中，，若，则（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质，结合题意，可得，通过假设并利用勾股定理计算得AB，最后根据三角函数定义，即可完成求解． 【详解】∵且 ∴ 假设，则 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数和勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 【变式4-2】Rt△ABC中，，，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据30°的正弦值是求出∠A，根据直角三角形的性质求出∠B，根据60°的正切值计算． 【详解】sinA＝， 则∠A＝30°， ∵∠C＝90°， ∴∠B＝60°， ∴tanB＝tan60°＝， 故选D． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式4-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，进而表示出AC，BC，AB的长即可． 【详解】如图所示：∵cosA＝， ∴设AC＝7x，AB＝25x，则BC＝24x， 则tanB＝． 故选C． 【点睛】本题考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解题的关键． 【考点题型五】解直角三角形 【典例5】如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，由正切的定义求出，再根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 【变式5-1】如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故选：． 【变式5-2】如图，在中，，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过C作于D，证明，可得，再求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，过C作于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选D． 【变式5-3】如图，在中，，垂足为D，求的余切值． 【答案】． 【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积，求余切值，先由勾股定理求出，然后通过等面积法求出，再由勾股定理求出，根据线段和差得出即可求解，熟练掌握勾股定理，利用等面积法求线段长是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得： ， ∵是边上的高， ∴即， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 【变式5-4】如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)； ； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦、余弦的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键． （）运用正弦函数、余弦函数解直角三角形即可； （）先求出的长，再根据正切函数的定义即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， 在中，，， ，； （2）∵，， ∴， 在中， ，，， ∴． 【考点题型六】解直角三角形的应用 【典例6】阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又 ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 【变式6-1】如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，即求的长，求得∠BAC＝30°，进而解即可求解． 【详解】如图，    ∵底部是边长为120m的正方形， ∴BC＝×120＝60m， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴AB＝＝120m， ∴AC＝＝m． 答：这个金字塔原来有米高． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 【变式6-2】如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与．若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点间的距离为，求点到地面的距离．（结果保留一位小数参考数据：，，） 【答案】点到地面的距离约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．过点作于点，过点作垂直的延长线于点，设，则，，由知，解之求得的长，再由根据点E到地面的距离为可得答案． 【详解】解：过点作于点，过点作垂直的延长线于点． 设，则，． 由知， 解得． ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 【变式6-3】如图1是某地红色广场标牌，将其红色主体部分拍象为图2，，，，米，米，求该标牌的高（精确到米，参考数据：，，， 【答案】高约为7.6米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再根据题意可得：米，，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， 由题意得：米，， ， ， ， ， 在中，米， （米， （米， 米，（米， 在中，（米， （米， 该标牌的高约为7.6米． 【考点题型七】解直角三角形的应用-坡度坡角 【典例7】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米 (2)货物需要搬走，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题． （1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可； （2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； （2）解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 【变式7-1】和平路中学一年一度的校运会正在如火如荼的进行中，负责通讯报道的小明和小亮使用无人机采集一组航拍画面． 在航拍时，小明在C处测得无人机A的仰角为，同时小亮登上看台上的D处测得无人机A的仰角为． 若小亮所在看台的坡比为，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】此时无人机的高度约为米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点D作于点H，设米，四边形是矩形，则，米，得到米．证明米，进一步得到米．在中，，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于点H，设米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， 米． 小亮所在看台的坡比为，铅垂高度米， （米）． ， 米， 米． 在中， ， ， 解得， 米． 答：此时无人机的高度约为米． 【变式7-2】某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m． (1)求改造后背水坡的长； (2)求所需土石方的体积．（结果精确到，） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，坡比，勾股定理，对于（1），作，，根据勾股定理及坡比求出，再结合坡比，及勾股定理可得答案； 对于（2），先求出在，再根据体积公式可得答案． 【详解】（1）如图，分别过点A，E作于点于点． 在中，坡比为， ， 根据勾股定理，得， 解得. 在中，坡比为， ∴， 根据勾股定理，得． 答：的长为； （2）根据题意可知四边形是矩形， ∴． 在中， ，，， 土石方体积． 答：所需土石方约为． 【考点题型八】 解直角三角形应用-仰角俯角问题 【典例8】如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【答案】约为71米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），． ∵, ∴为等腰直角三角形． ∴（米）． 在中，，得 （米） ∴ （米）．   答：乙楼的高度约为71米． 【变式8-1】如图，为了测量山坡上一棵树的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为，然后他沿着正对树的方向前进到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是和，设垂直于，且垂足为C． (1)求的度数； (2)求树的高度（结果精确到，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，，则，，根据，计算求解即可； （2）由（1）可知，，则，，则，，，，由，可得，即，计算求解，进而可求的值． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴，， ∴， ∴的度数为； （2）解：由（1）可知，， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴树的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等角对等边，正弦、余弦、正切等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等角对等边，正弦、余弦、正切是解题的关键． 【变式8-2】如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： ， ； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)75；60； (2)米 (3)此时无人机距离地面BC的高度为110米 【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求； （2）在中，求出的长度再根据计算即可； （3）作于点G，交于点F，证明即可． 此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 【详解】（1）解：过点A作于点E， 由题意得： ∴， ， （2）解：由题意得：米，米． 在中，， ∴， ∴ ∴楼的高度为米． （3）作于点G，交于点F， 则 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴米． ∴ ∴无人机距离地面的高度为110米． 【变式8-3】如图，在综合与实践活动中，小辰所在的数学兴趣小组要利用测角仪测量塔的高度，塔前有一座高为的观景台，已知，点在同一条水平直线上，且．小辰在处用测角仪测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．请你根据以上数据，帮小辰求出塔的高度． (结果保留整数；参考数据：)      【答案】塔的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 首先求出，过点作，垂足为点，设，则，然后在中解直角三角形求解即可． 【详解】解∶在中，， ∴． 如图，过点作，垂足为点，    由题意得，， 在中，， ， 故可设， ． 在中，， ． ， ， 解得∶， 故塔的高度约为． 【考点题型九】 解直角三角形应用-方向角问题 【典例9】如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 【答案】处距离处有140海里． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， 答：处距离处有140海里． 【变式9-1】如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）    (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)千米 (2)甲选择的路线较近 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）过点B作于E，先求出，再解得到千米，进一步解即可得到千米； （2）过点C作于D，先解得到千米，则千米，再得到千米，千米，最后解 得到千米，千米，即可得到千米，千米，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴， 在中，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴的长度约为千米； （2）解：如图所示，过点C作于D，    在中，千米， ∴千米， 在中，千米， 千米， 在中，， ∴千米， 千米， ∴千米，千米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 【变式9-2】如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）    【答案】千米 【分析】过点作于点，由垂线段最短可得的长即为所求，先求出，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，    由垂线段最短可知，的长即为所求， 由题意得：，千米， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，千米，千米， 千米， 在中，千米， 答：输油管道的最短长度是千米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 【变式9-3】湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处． (1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 【答案】(1)湖岸A与码头C的距离为1559米 (2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船 【分析】（1）过点作垂线，交延长线于点，设，则，，，在中，，即可求出，根据中，即可求出湖岸与码头的距离； （2）设快艇将游客送上救援船时间为分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= ，列出方程，求出时间，再和5分钟进行比较即可求解． 【详解】（1）解：过点作垂线，交延长线于点，如图所示， 由题意可得：，，米，则， 设，则，，， 在中，， ∴，解得， 在中，， ∴（米）， ∴湖岸与码头的距离为1559米； （2）解：设快艇将游客送上救援船时间为分钟， 由题意可得：， ， ∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$