清单01 数的开方（15个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

清单01数的开方（15个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【清单02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【清单03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【清单04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【清单05】二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 3.二次根式的性质 (1)有最小值，为0 (2) 【清单06】 二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 【清单07】最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【清单08】 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单09】 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【清单10】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】平方根 【典例1】16的平方根是（    ） A． B．4 C． D． 【变式1-1】的平方根为（    ） A．5 B． C．25 D．5或 【变式1-2】平方等于4的数是（   ） A．2 B．-2 C． D．4 【变式1-3】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】算术平方根 【典例2】49的算术平方根为（    ） A． B． C．7 D．-7 【变式2-1】的算术平方根是（  ） A．4 B．8 C．16 D． 【变式2-2】的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【变式2-3】化简 【考点题型三】非负数的性质:算术平方根 【典例3】若，则 ． 【变式3-1】已知实数满足，则的值为 ． 【变式3-2】若，则的值为 ． 【变式3-3】若，则的值是 ； 【考点题型四】立方根 【典例4】的立方根是（   ） A． B．4 C．16 D． 【变式4-1】的立方根是 ． 【变式4-2】 【变式4-3】的立方根是 ． 【考点题型五】平方根与立方根综合 【典例5】求下列各式中的值： （1） （2） 【变式5-1】求下列各式中x的值： (1)． (2)． 【变式5-2】求下列各等式中的值． (1)； (2)． 【变式5-3】解方程 (1)； (2)． 【典例6】一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【变式6-1】已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式6-2】已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式6-3】已知的平方根是，的立方根是3． (1)求m、n的值； (2)求的平方根． 【变式6-4】已知x的两个平方根分别是与，且的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【考点题型六】无理数 【典例7】在下列实数，，，（相邻两个7之间依次多一个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】下列的各数中，无理数是（ ） A．3.141526 B． C． D． 【变式7-2】在实数 ，，，，中，无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】在实数：3.14159，，1.010010001，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型七】实数 【典例8】下列语句中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．实数与数轴上的点是一一对应的 C．无理数分为正无理数、0和负无理数 D．无理数的平方一定是无理数 【变式8-1】关于实数，下列说法错误的是（    ） A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数 【变式8-2】实数，，，中，负整数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】绝对值为2的实数是（    ） A．2 B． C． D． 【考点题型八】实数的性质 【典例9】的绝对值是 ，的相反数是 ． 【变式9-1】的相反数是 ． 【变式9-2】的绝对值是 ，的相反数是 ． 【考点题型九】实数与数轴 【典例10】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【变式10-1】，，在数轴上对应点的位置如图，化简： ． 【变式10-2】在数轴上，如果点、点所对应的数分别为、，那么、两点的距离 ． 【变式10-3】如图，数轴上A，B点对应的实数分别是1和．若点A关于点B的对称点为点C（即），则点C所对应的实数为 ．    【变式10-4】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴上表示的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是 ． 【考点题型十】实数大小比较 【典例11】比较大小： ．（填“”或“”）． 【变式11-1】比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【变式11-2】我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【考点题型十一】与实数运算相关的规律题 【典例12】有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【变式12-4】将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【考点题型十二】实数的运算 【典例13-1】计算： (1)； (2)． 【变式13-1】计算： (1)； (2)． 【变式13-2】计算 (1)； (2)． 【变式13-3】计算 (1)； (2) 【考点题型十三】程序设计与实数运算 【典例14】如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【变式14-1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为81时，输出的y是（    ） A． B．9 C． D． 【变式14-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，是一个计算流程图：    (1)求的取值范围； (2)当输入的为时，输出的是多少？ (3)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． 【考点题型十四】新定义下的实数运算 【典例15】定义新运算：我们规定．则（  ） A．32 B．36 C．68 D．64 【变式15-1】对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式15-2】对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算：．如，那么的结果为（   ） A． B．2 C． D．4 【考点题型十五】实数的实际应用 【典例16】数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． (1)有多大呢？ 完成下列问题． 在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的． 我们知道面积是2的正方形边长是，且因为，， 所以， 设，画出示意图①． 由面积公式，可得． 因为x值很小，所以更小，略去， 解方程得______（保留到0.001）， 即______． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图②的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【变式16-1】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【变式16-2】如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【变式16-3】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01数的开方（15个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【清单02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【清单03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【清单04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【清单05】二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 3.二次根式的性质 (1)有最小值，为0 (2) 【清单06】 二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 【清单07】最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【清单08】 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单09】 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【清单10】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】平方根 【典例1】16的平方根是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是， 故选：A． 【变式1-1】的平方根为（    ） A．5 B． C．25 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查求绝对值，平方根．熟练掌握会求一个数的绝对值和平方根是解题的关键． 先求出，再求25的平方根即可． 【详解】解：，则的平方根为5或． 故选：D． 【变式1-2】平方等于4的数是（   ） A．2 B．-2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念是解本题的关键． 平方等于4的数为． 【详解】解：平方等于4的数为． 故选：C． 【变式1-3】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，再根据平方根的定义求2的平方根． 此题主要考查了平方根的定义，知道一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵，的平方根是， ∴的平方根是， 故选：D． 【考点题型二】算术平方根 【典例2】49的算术平方根为（    ） A． B． C．7 D．-7 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．根据题意计算即可． 【详解】解：， 故选C． 【变式2-1】的算术平方根是（  ） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】D 【分析】此题考查了算术平方根，根据算术平方根的意义进行解答即可. 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故选：D 【变式2-2】的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是2， ∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故答案为：2；． 【变式2-3】化简 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算以及求一个数的算术平方根，理解并掌握算术平方根的性质是解题关键．根据乘方运算法则和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：． 故答案为：4． 【考点题型三】非负数的性质:算术平方根 【典例3】若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，首先根据非负数的性质，可求出x、y的值，即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性、代数式的值，根据非负数的性质得到，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据算术平方根，绝对值的非负性可得到，求出的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】若，则的值是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质，根据非负数的性质进行化简求出代入求值即可 【详解】解：∵， ∴ ∴，， ∴， 故答案为： 【考点题型四】立方根 【典例4】的立方根是（   ） A． B．4 C．16 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据题意可得，再根据立方根的性质，即可求解． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 【变式4-1】的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键；先求出的值，再求出其立方根即可． 【详解】解：， 的立方根是2， 故答案为：2． 【变式4-2】 【答案】 【分析】本题考查了立方根的运算法则，掌握立方根的运算法则是解答本题的关键． 根据立方根的求解法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-3】的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的求解，先将带分数化为假分数，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【考点题型五】平方根与立方根综合 【典例5】求下列各式中的值： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先移项、然后运用平方根的定义解答即可； （2）先运用立方根的定义求得x-1，然求得x即可． 【详解】解：（1） ； （2） x=4． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的计算，掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． 【变式5-1】求下列各式中x的值： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． （1）移项后，根据平方根定义求解即可； （2）根据立方根定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 或； （2）解：∵ ∴， 解得：． 【变式5-2】求下列各等式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的运用．掌握利用开平方和开立方解方程是解题的关键． （1）根据开平方解方程即可求出答案； （2）根据开立方解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：， 变形为：， 开平方，得：或； （2）解：， 变形为：， 开立方，得：， 解得：． 【变式5-3】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【典例6】一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 【变式6-1】已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a＝5，b＝4； (2)． 【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是． 【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． 【变式6-2】已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为4的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， 则的平方根是． 【变式6-3】已知的平方根是，的立方根是3． (1)求m、n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义可得，，再方程即可求解； （2）把，代入得，，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，； （2）解：把，代入得， ， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查平方根、立方根的定义、代数值求值、解一元一次方程，熟练掌握平方根、立方根的定义求得m、n的值是解题的关键． 【变式6-4】已知x的两个平方根分别是与，且的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)4． 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义． （1）根据平方根的意义列方程即可求得a的值，然后利用立方根的意义即可求出b的值； （2）将a，b的值代入中计算后利用算术平方根的定义即可求得答案． 熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 【详解】（1）∵x的平方根分别是与， ∴， 解得． ∵的立方根是－3， ∴， 解得． （2）∵，， ∴， ∴的算术平方根是4． 【考点题型六】无理数 【典例7】在下列实数，，，（相邻两个7之间依次多一个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，（相邻两个7之间依次多一个0）中，无理数有，，（相邻两个7之间依次多一个0），共3个； 故选C． 【变式7-1】下列的各数中，无理数是（ ） A．3.141526 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式． 由于无限不循环小数为无理数，所以根据无理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：A、3.141526是有限小数，不是无理数，故不符合题意； B、开不尽，是无理数，故符合题意； C、不是无理数，故不符合题意； D、是分数，不是无理数，故不符合题意． 故选：B． 【变式7-2】在实数 ，，，，中，无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数，求解算术平方根，立方根，能够区别有理数与无理数是解题的关键．根据无理数的概念逐一进行判定即可． 【详解】解：都是有理数， 是无理数， 所以无理数有2个， 故选：B． 【变式7-3】在实数：3.14159，，1.010010001，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：， 在实数：3.14159，，1.010010001，，，中，无理数有，，共2个． 故选：B． 【考点题型七】实数 【典例8】下列语句中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．实数与数轴上的点是一一对应的 C．无理数分为正无理数、0和负无理数 D．无理数的平方一定是无理数 【答案】B 【分析】根据有理数、无理数、实数与数轴上点的关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A项，无限小数中，无限循环小数就是有理数，A选项说法错误； B项，实数与数轴上的点是一一对应的，B选项正确； C项，无理数分为正无理数、负无理数，0是有理数；C选项说法错误； D项，无理数的平方一定是无理数说法错误．比如是无理数，的平方是2，不是无理数，D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系．关键要看说法的不同，而导致的结果也不相同． 【变式8-1】关于实数，下列说法错误的是（    ） A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数 【答案】D 【分析】根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、有理数与无理数统称实数，选项正确，故不符合题意； B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，故不符合题意； C、无理数就是无限不循环小数，选项正确，故不符合题意； D、带根号的数不一定都是无理数，例如：是有理数，选项错误，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【变式8-2】实数，，，中，负整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负整数是在自然数前加上负号进行判断． 【详解】A.-3是负整数，正确； B.不是整数，错误； C.不是整数，错误； D.2是正整数，错误； 故选 ：A． 【点睛】本题考查了实数，应熟练掌握有理数、无理数、正整数、负整数等基本概念． 【变式8-3】绝对值为2的实数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义，设绝对值为2的实数是，列出关于的绝对值方程，即可求解 【详解】依题意 解得 故选D 【点睛】本题考查了实数的绝对值，列方程求解是解题的关键． 【考点题型八】实数的性质 【典例9】的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是； 的相反数是 故答案为：；． 【变式9-1】的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 【变式9-2】的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键．根据绝对值和相反数知识求解即可． 【详解】解：绝对值是， 的相反数是：． 故答案为：； 【考点题型九】实数与数轴 【典例10】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 故答案为： 【变式10-1】，，在数轴上对应点的位置如图，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据数轴得到，则，据此求算术平方根和化简绝对值后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】在数轴上，如果点、点所对应的数分别为、，那么、两点的距离 ． 【答案】 【分析】此题考查两点间的距离，实数与数轴，求数轴上两点之间的距离：数轴上表示两个点所对应的两个数的差的绝对值，即用较大的数减去较小的数即可． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 【变式10-3】如图，数轴上A，B点对应的实数分别是1和．若点A关于点B的对称点为点C（即），则点C所对应的实数为 ．    【答案】/ 【分析】此题的考查了实数与数轴，一元一次方程的应用等知识，点C所对应的实数为x，根据列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设点C所对应的实数为x， ∵， ∴ 解得 即点C所对应的实数为． 故答案为： 【变式10-4】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴上表示的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．先根据勾股定理求出AC的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴对角线长为：， ∴则点A表示的数为： 故答案为：． 【考点题型十】实数大小比较 【典例11】比较大小： ．（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，利用作差法得到，再判断的符号即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-1】比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 【变式11-2】我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 【考点题型十一】与实数运算相关的规律题 【典例12】有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：A． 【变式12-1】按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，， ， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 【变式12-2】有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，找到实数的变化规律是解题的关键．根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，再按分子、分母分别找规律求解即可． 【详解】解：根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，该列数的分子是，分母是， 第个数是 故选B． 【变式12-3】任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】255 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到，，进而得到对只需进行3次操作后变成1，对只需进行4次操作后变成1，据此可得答案． 【详解】解：，，， ，，，， ，， ， ∴对只需进行3次操作后变成1． ，，，， ∴对只需进行4次操作后变成1． ∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是． 故答案为：． 【变式12-4】将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律的探究问题，解题的关键是根据题意，找到规律，进行解答，涉及有理数的乘方等知识． 【详解】第一排的个数为：，前一排的总数为：； 第二排的个数为：，前两排的总数为：，从右往左依次增大排列； 第三排的个数为：，前三排的总数为：，从左往右依次增大排列； 第四排的个数为：，前四排的总数为：，从右往左依次增大排列； ……， ∴第排的个数为：个，前排的总数为：个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左依次增大排列， ∵，， ∴在第排，即；第排为奇数排，从左往右依次增大排列； ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点题型十二】实数的运算 【典例13-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)1 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根的定义，立方根的定义、绝对值的意义，是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算乘方、绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式13-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)6 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握有理数乘方的意义、有理数的加法法则、减法法则、立方根的定义、算术平方根的定义和绝对值是解题关键． （1）根据绝对值、算术平方根的定义和乘方运算计算即可． （2）根据立方根的定义、算术平方根的定义和乘方运算计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式13-2】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算， （1）利用平方根的性质、算术平方根、绝对值进行化简计算即可； （2）利用平方根的性质、算术平方根、立方根进行化简计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式13-3】计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先开方、乘方、除法运算转化为乘法运算，再计算乘法运算和减法运算； （2）先开方、去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十三】程序设计与实数运算 【典例14】如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 【变式14-1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为81时，输出的y是（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的分类．解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．把64按给出的程序逐步计算即可． 【详解】解：由题中所给的程序可知：把81取算术平方根，结果为9， 因为9是有理数，所以再取算术平方根，结果为3， 因为3是有理数，所以再取算术平方根，结果为，是无理数，故． 故选：A． 【变式14-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数； 然后求得4的算术平方根是2，它是有理数； 则2的立方根为，它是无理数，输出答案； 故选：C． 【变式14-3】如图，是一个计算流程图：    (1)求的取值范围； (2)当输入的为时，输出的是多少？ (3)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）根据非负数才有算术平方根列出不等式即可解得． （2）把代入即可解得． （3）为0和1时，有效，始终输不出值． 【详解】（1）解：∵取算术平方根，负数没有算术平方根， ∴ 解得， （2）， 取算术平方根：， 2是有理数继续取算术平方根， 是无理数，输出即可， 故答案为：． （3）当时， 0的算术平方根是0， 始终输不出值， 解得， 当时， 1的算术平方根是1， 始终输不出值， 解得． 【点睛】此题考查了程序设计与实数运算，解题的关键是熟悉实数运算规则． 【考点题型十四】新定义下的实数运算 【典例15】定义新运算：我们规定．则（  ） A．32 B．36 C．68 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算转化成实数的混合运算进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故选：C． 【变式15-1】对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数运算，根据题意可先求出，再根据题意求解即可. 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故选：A 【变式15-2】对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算：．如，那么的结果为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算．根据定义的新运算可得12※，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故选：A． 【考点题型十五】实数的实际应用 【典例16】数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． (1)有多大呢？ 完成下列问题． 在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的． 我们知道面积是2的正方形边长是，且因为，， 所以， 设，画出示意图①． 由面积公式，可得． 因为x值很小，所以更小，略去， 解方程得______（保留到0.001）， 即______． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图②的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】(1)；；； (2)过程见详见，黄金分割数； (3)见详解． 【分析】本题考查了估算无理数的大小，勾股定理与无理数的应用，考查数形结合的思想， （1）根据图形中大正方形的面积列方程，然后解方程求解即可． （2）根据的探究过程，估算出的取值范围，设，画出示意图②，再根据图形中大正方形的面积列方程，然后解方程求解，再计算即可． （3）利用勾股定理在网格中分别找到的长方形，依次连接顶点即可 【详解】（1）解：． 解方程得（保留到）， 即． 故答案为：；；； （2）∵，， ∴， 设，画出示意图②， 由面积公式，可得． 因为x值很小，所以更小，略去， 解方程得（保留到）， 即． ∴黄金分割数． （3）如图：排列形式如图（3），画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形， 【变式16-1】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 【变式16-2】如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【答案】1.2平方米 【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。 【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则 剩下的木料的面积 ， ， ， ， （平方米） 答：剩下的木料的面积约为平方米． 【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系． 【变式16-3】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$