清单03 全等三角形（11个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

清单03 全等三角形（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】命题、定理与证明 1、命题 表示判断的语句叫做命题。命题的两层含义:(1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句;(2)命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。 二、命题的组成 命题是由条件和结论两部分组成。条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项这样的命题通常可写成“如果..那么...”的形式。 三、命题的分类 命题分为真命题和假命题两类: 真命题:有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。假命题:有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称为假命题。 四、定理 基本事实:人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 五、证明及证明的一般步骤 证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否 正确，这样的推理过程叫做证明 【清单02】 判定全等三角形（边边边） 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.判定全等三角形（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3. 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【清单03】 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【清单04】 全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【清单05】 角平分线 1.角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2. 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 【清单06】 线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【清单07】 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 【清单08】 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【清单09】逆命题与逆定理 一、互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 任何一个命题都有逆命题。 二、互逆命题 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做 另一个定理的逆定理。 【清单10】 五种基本作图 【考点题型一】命题 【典例1-1】下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【典例1-2】请将命题“对顶角相等”改写为“如果……，那么……”的形式： ． 【变式1-1】下列命题是真命题的是（    ）． A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行； B．对顶角相等，邻补角互补； C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式1-2】下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 【变式1-3】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【考点题型二】定理与证明 【典例2】如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【变式2-1】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【变式2-2】如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【变式2-3】【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【考点题型三】全等三角形的性质 【典例3】如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】若，且，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，已知，与是对应角，下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】如图，，，，，则 ． 【考点题型四】全等三角形的判定 【典例4】如图，已知，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在和中，如果，在下列条件中不能保证的是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于点O，已知AE＝AD，添加以下哪一个条件不能判定△ABE≌△ACD（　　） A．∠B＝∠C B．∠BEA＝∠CDA C．BE＝CD D．AB＝AC 【变式4-3】小明同学不小心把一块玻璃打碎,变成了如图所示的三块,现需要到玻璃店再配一块完全一样的玻璃,聪明的小明只带了图去,就能做出一个和原来一样大小的玻璃他这样做的依据是( ) A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【考点题型五】全等三角形的判定与性质 【典例5】如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【变式5-1】已知：如图，和都是等腰直角三角形，，为边上的一点． 求证： (1)； (2)． 【变式5-2】已知：如图，，，与相交于点，连接． 证明： (1)； (2)平分． 【变式5-3】如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且， (1)求证； (2)若，，求的长． 【变式5-4】如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值． 【考点题型六】角平分线的性质 【典例6】如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 【变式6-1】如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是 ． 【变式6-2】如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．    【变式6-3】如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处． 【考点题型七】角平分线的判定 【典例7】如图，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【变式7-1】如图在中，，点D是的中点，于点，于点F．求证：是的角平分线． 【变式7-2】如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)请判断是否平分，并说明理由； (3)若，，且，求的面积． 【变式7-3】如图，锐角的两条高、相交于点，且． (1)求证：； (2)判断点是否在的角平分线上，并说明理由． 【考点题型八】垂直平分线的性质 【典例8】如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式8-1】如图，在中，，，是边的垂直平分线，连接，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【变式8-3】如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【考点题型九】将军饮马之最短路径问题 【典例9】如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【变式9-1】如图，在等边三角形中，、是的两条中线，，是边上一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】如图，在中， 垂直平分，点 P为直线上的任意一点，则的最小值是（   ）    A．6 B．7 C．8 D．10 【考点题型十】尺规作图 【典例10-1】如图， (1)求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到的距离相等； (2)在上求一点Q，使最小． 【典例10-2】如图，点B在上，点C在外，连接，． (1)利用尺规，过点B作射线，使；（保留画图痕迹，作出所有符合条件的射线，不必写作法；不同的射线可用，，…来分别表示） (2)在（1）的条件下，若，请求出的度数． 【变式10-1】如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． (1)用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：． 【考点题型十一】逆命题逆定理 【典例11】下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．对顶角相等 C．若两直线垂直，则两直线有交点 D．如果两个数相等，那么它们的平方相等 【变式11-1】以下命题的逆命题为真命题的是（      ） A．若，则 B．对顶角相等 C．对应角相等的三角形全等 D．若，则 【变式11-2】下面各命题都成立，那么逆命题成立的是（    ） A．邻补角互补 B．全等三角形的面积相等 C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．同位角相等，两直线平行 【变式11-3】命题“如果，那么”的逆命题为 ，此逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【变式11-4】命题：“如果，那么”的逆命题是： ；原命题是 （填“真命题”或“假命题”）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 全等三角形（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】命题、定理与证明 1、命题 表示判断的语句叫做命题。命题的两层含义:(1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句;(2)命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。 二、命题的组成 命题是由条件和结论两部分组成。条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项这样的命题通常可写成“如果..那么...”的形式。 三、命题的分类 命题分为真命题和假命题两类: 真命题:有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。假命题:有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称为假命题。 四、定理 基本事实:人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 五、证明及证明的一般步骤 证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否 正确，这样的推理过程叫做证明 【清单02】 判定全等三角形（边边边） 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.判定全等三角形（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3. 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【清单03】 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【清单04】 全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【清单05】 角平分线 1.角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2. 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 【清单06】 线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【清单07】 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 【清单08】 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【清单09】逆命题与逆定理 一、互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 任何一个命题都有逆命题。 二、互逆命题 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做 另一个定理的逆定理。 【清单10】 五种基本作图 【考点题型一】命题 【典例1-1】下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了真假命题的判断，根据对顶角的性质、旋转的性质、垂线段的性质、平行公理分别进行判断即可. 【详解】解：A. 对顶角相等是真命题，不符合题意； B. 两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等是真命题，不符合题意； C. 垂线段最短是真命题，不符合题意； D. 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项是假命题，符合题意； 故选：D 【典例1-2】请将命题“对顶角相等”改写为“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等． 【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 【变式1-1】下列命题是真命题的是（    ）． A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行； B．对顶角相等，邻补角互补； C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假、平行公理、对顶角、邻补角，根据平行公理、对顶角、邻补角的相关知识点逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； B、对顶角相等，邻补角互补，故原说法正确，为真命题，符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 【答案】D 【分析】本题考查了命题，根据命题的概念逐项判断即可得出答案，熟练掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解此题的关键． 【详解】解：A、如果，那么，是命题，不符合题意； B、对顶角相等，是命题，不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，不符合题意； D、过一点作已知直线的垂线，不是命题，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两条直线垂直于同一条直线 这两条直线相互平行 【分析】本题考查了命题与定理，平行线公理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行， 故答案为：两条直线垂直于同一条直线，这两条直线相互平行． 【考点题型二】定理与证明 【典例2】如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到 ，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到 ，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 【变式2-1】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 【变式2-2】如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】已知：，，平分， 求证：平分． 证明：如图所示， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【变式2-3】【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 【考点题型三】全等三角形的性质 【典例3】如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得出答案．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ∵两个三角形全等， ∴， ∴的度数为． 故选：A． 【变式3-1】若，且，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，根据全等三角形的对应边相等，得到，再根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 【变式3-2】如图所示，已知，与是对应角，下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角、对应边相等是解题关键．根据全等三角形的性质，得出，，，即可判断作答． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴，， 故①②③结论正确， 由题意可知，AD与CD的关系不能确定，④结论错误， 故选：C． 【变式3-3】如图，，，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，有全等三角形的性质可得出，再利用三角形内角和定理可得出，最后再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点题型四】全等三角形的判定 【典例4】如图，已知，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 【变式4-1】如图，在和中，如果，在下列条件中不能保证的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，能熟记并掌握判定定理是解题关键，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．利用三角形全等的判定定理即可求解． 【详解】A、可用判定三角形全等； B、可用判定三角形全等； C、所给的条件构成，不能判定三角形全等； D、由可得，所以可用判定三角形全等． 故选：C． 【变式4-2】点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于点O，已知AE＝AD，添加以下哪一个条件不能判定△ABE≌△ACD（　　） A．∠B＝∠C B．∠BEA＝∠CDA C．BE＝CD D．AB＝AC 【答案】C 【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．在△ABE和△ACD中，已知了AE=AD，公共角∠A，因此只需添加一组对应角相等或AC=AB即可判定两三角形全等． 【详解】解：A．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠B＝∠C可依据“AAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意； B．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠BEA＝∠CDA可依据“ASA”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意； C．由BE＝CD、AE＝AD、∠A＝∠A不能判定△ABE≌△ACD，此选项符合题意； D．由AE＝AD、∠A＝∠A、AB＝AC可依据“SAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式4-3】小明同学不小心把一块玻璃打碎,变成了如图所示的三块,现需要到玻璃店再配一块完全一样的玻璃,聪明的小明只带了图去,就能做出一个和原来一样大小的玻璃他这样做的依据是( ) A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】D 【分析】此题根据全等三角形的判定方法ASA进行分析即可得到答案． 【详解】解：第一块,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不符合任何判定方法； 第二块,仅保留了原三角形的一部分边,所以该块不行； 第三块,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边,所以符合ASA判定,所以应该拿这块去． 故选D． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的运用,要求对常用的几种方法熟练掌握． 【考点题型五】全等三角形的判定与性质 【典例5】如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得，则对应角，可证明结论； （2）根据，可以证得，进而得出结论． 【详解】（1）证明：如图：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式5-1】已知：如图，和都是等腰直角三角形，，为边上的一点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“”证明，然后根据全等三角形对应边相等即可证明． （2）先由等腰直角三角形的性质得，再由全等三角形的性质得，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明： 和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 在和中，， ， ； （2）是等腰直角三角形，， ， 由（1）得：， ， ， ． 【变式5-2】已知：如图，，，与相交于点，连接． 证明： (1)； (2)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分线的性质，即可． （1）根据，，得，推出，则，根据，则，则，即可得； （2）由（1）得，，，推出，则，即可． 【详解】（1）证明如下： ∵，， ∴， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 即平分． 【变式5-3】如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且， (1)求证； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】（1）求出，再由AAS证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，，然后根据进行计算． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，求出是解题的关键． 【变式5-4】如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 【考点题型六】角平分线的性质 【典例6】如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．过点分别作、的垂线交、于点、点，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线交、于点、点，连接， ，分别平分和，，，，， ， ， 的周长， ， 故答案为：． 【变式6-1】如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， 为的角平分线，，， ， 的面积， 故答案为：15． 【变式6-2】如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，根据垂线段最短得出时，的值最小，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可，能熟记垂线段最短和角平分线上的点到这个角两边的距离相等是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，    当时，有最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式6-3】如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处． 【答案】4． 【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断． 【详解】解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故答案是：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【考点题型七】角平分线的判定 【典例7】如图，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，过点E作于F，先由线段中点的定义得到，再由角平分线的性质得到，则，据此根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：如图所示，过点E作于F， ∵E是的中点， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴是的平分线． 【变式7-1】如图在中，，点D是的中点，于点，于点F．求证：是的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理， 证明，得到，即可得证． 【详解】证明：∵点D是的中点 ∴ ∵， ∴ 在和中， ∴ ∴ 又∵， ∴平分 即是的角平分线． 【变式7-2】如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)请判断是否平分，并说明理由； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)9 【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． （1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解； （2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论； （3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）平分，理由如下： 过点分别作于，与， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分； （3），，， ， 即， 解得， ， ． 【变式7-3】如图，锐角的两条高、相交于点，且． (1)求证：； (2)判断点是否在的角平分线上，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)在的角平分线上，理由见解析． 【分析】（）由，，得，再证明，根据相似三角形的性质和角度和差得即可求证； （）连接，由（）得，根据线段和差得，根据角平分线的判定即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等角对等边，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：在的角平分线上，理由： 连接， 由（）得， ∵， ∴，即， ∵，， ∴点在的平分线上． 【考点题型八】垂直平分线的性质 【典例8】如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用， 根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式8-1】如图，在中，，，是边的垂直平分线，连接，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质．由直角三角形两锐角互余求出的度数，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据角的和差求出的度数即可． 【详解】解；∵，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式8-2】如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【变式8-3】如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，再由等腰三角形的性质，可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【考点题型九】将军饮马之最短路径问题 【典例9】如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，将求的最小值转化为求的长是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点是边的中点， ， ∴，解得， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为的最小值， 的最小值为6． 故选：C． 【变式9-1】如图，在等边三角形中，、是的两条中线，，是边上一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查线段最值问题，涉及等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系的应用等知识，根据题意得，且，，则，那么，，且，当P、C、E共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：如图，连接． ∵三角形为等边三角形， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为， 故选：B． 【变式9-2】如图，在中， 垂直平分，点 P为直线上的任意一点，则的最小值是（   ）    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线可得，故当点P在上时，有最小值． 【详解】连接，    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C在一条直线上，即当点P在上时，有最小值，最小值． 故选：C． 【考点题型十】尺规作图 【典例10-1】如图， (1)求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到的距离相等； (2)在上求一点Q，使最小． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线，利用轴对称解决线段和最小问题： （1）作的中垂线，的角平分线，两线的交点即为点； （2）作关于的对称点，连接与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 【典例10-2】如图，点B在上，点C在外，连接，． (1)利用尺规，过点B作射线，使；（保留画图痕迹，作出所有符合条件的射线，不必写作法；不同的射线可用，，…来分别表示） (2)在（1）的条件下，若，请求出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【分析】（1）利用平行线的判定定理，作，注意射线包括两条； （2）利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：射线和就是所要求做的射线. （2）解：当时，， 所以 当时，， 综上所述：为或． 【点睛】本题考查射线的定义，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意射线有两条． 【变式10-1】如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． (1)用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得是正确解答本题的关键． （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图； （2）要证可证，根据三线合一得出． 【详解】（1）作图如下： （2）是等边三角形，是的中点 平分（三线合一） 又 又 又 ． 【考点题型十一】逆命题逆定理 【典例11】下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．对顶角相等 C．若两直线垂直，则两直线有交点 D．如果两个数相等，那么它们的平方相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题逆命题的真假，熟知三角形内角和定理，对顶角性质，两直线位置关系等知识是解题的关键．先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，符合题意； B、原命题的逆命题为：两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； C、原命题的逆命题为：若两直线有交点，则两直线垂直，是假命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为：如果两个数的平方相等，那么它们相等，是假命题，不符合题意； 故选A． 【变式11-1】以下命题的逆命题为真命题的是（      ） A．若，则 B．对顶角相等 C．对应角相等的三角形全等 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题，真假命题判断，写出各个命题的逆命题，再依次判断即可． 【详解】解：A、逆命题为若，则，为假命题，不符合题意； B、逆命题为相等的角是对顶角，为假命题，不符合题意； C、逆命题为全等三角形对应角相等，是真命题，符合题意； D、逆命题为若，则，为假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式11-2】下面各命题都成立，那么逆命题成立的是（    ） A．邻补角互补 B．全等三角形的面积相等 C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，写一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换后的新命题就是这个命题的逆命题． 逐个写出逆命题，再进行判断即可． 【详解】解：A选项，逆命题：互补的两个角是邻补角．互补的两个角顶点不一定重合，该逆命题不成立，故A选项错误； B选项，逆命题：面积相等的两个三角形全等．例如：底为4高为6的等腰三角形和底为6高为4的等腰三角形面积相等，但这两个等腰三角形不全等，该逆命题不成立，故B选项错误； C选项，逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．这两个实数也有可能互为相反数，该逆命题不成立，故C选项错误 D选项，逆命题：如果两直线平行，则同位角相等，这是平行线的基本性质，故D选项正确． 故答案选：D． 【变式11-3】命题“如果，那么”的逆命题为 ，此逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果，那么 假 【分析】本题主要考查了真假命题，命题以及逆命题，根据逆命题就是将条件和结论互换写出逆命题．根据条件判断结论，结论成立为真命题，反之为假命题． 【详解】解：如果，那么的逆命题为如果，那么． 如果，那么或者，则该命题为假命题， 故答案为：如果，那么；假． 【变式11-4】命题：“如果，那么”的逆命题是： ；原命题是 （填“真命题”或“假命题”）． 【答案】 如果，那么 假命题 【分析】本题主要考查了真假命题和互逆命题，根据逆命题的定义解答并判断真假即可． 【详解】如果,那么的逆命题是：如果，那么； 如果a=b,那么，故原命题是假命题． 故答案为：如果，那么；假命题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$