第03讲 基本不等式（九大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第03讲 基本不等式 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 重难点01直接法求最值 【解题必备】（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 例1．的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例2．设，则取最小值时的值为 ． 【跟踪练习】 练习1．“”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 练习2．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 练习3．若实数满足，则的最大值为 ． 练习4．已知，且，则的最小值为 ． 重难点02配凑法求最值 【解题必备】（1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 例3．已知函数，则函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例4．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【跟踪练习】 练习1．已知，则的最小值为 ． 练习2．的最大值为 . 练习3．若，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 练习4．已知，当时，取得最小值为b，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 重难点03 “1”的代换 【解题必备】出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 例5．若且，则的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 例6．已知，，，若的最小值为3，则（    ） A． B．1 C． D．3 【跟踪练习】 练习1．已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 练习2．当时，的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 练习3．已知，则 “” 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习4．已知正数，满足，则的最小值为 . 重难点04双换元法求最值 【解题必备】出现更复杂分式相加模型，可把两个分母看做一个整体进行换元，然后就得到了“1”的代换题型 例7．已知正实数，满足，则的最小值是 ． 例8．已知正数满足，则的最小值为 ． 【跟踪练习】 练习1．若实数，且，则的最小值为 . 练习2．若是正实数，且，则的最小值为 . 练习3．已知，且，则的最小值是 . 练习4．已知正数a，b满足，则的最小值为 . 重难点05条件等式有和有积求最值 【解题必备】（1）有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型； （2）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 例9．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 例10．（多选）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知，且，则（    ） A．的取值范围为 B．的最小值为8 C．无最小值 D．的最小值为16 练习2．（多选）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 练习3．已知，且，则的最大值为 . 练习4．若，，且，则的最小值为 ． 重难点06多次基本不等式求最值 【解题必备】运用多次基本不等式时，要注意多次“三相等”不矛盾 例11．已知x,y都是正实数,求的最值. 甲､乙两位同学分别给出了两种不同的解法: 甲:, 乙:, ①你认为甲､乙两人解法正确的是 . ②请你给出一个类似的利用均值不等式求最值的问题,使甲､乙的解法都正确: . 例12．已知，，且． (1)求的最小值； (2)是否存在实数，使得的值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪练习】 练习1．已知，则的最小值为 . 练习2．已知a，b都是正数，求证：. 练习3．且 (1)求证. (2)是否存在a，b使得？ 练习4．已知，，为正数，且满足.证明： （1）； （2） 重难点07消元法求最值 【解题必备】消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后利用基本不等式求解 例13．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 例14．已知，且，则的最小值为 ． 【跟踪练习】 练习1．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 练习2．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 练习3．已知实数a，b满足，则的最大值为 ． 练习4．已知正实数a，b，c满足，则的最大值为 ． 重难点08恒成立问题 【解题必备】恒成立问题常用分离参数法的方法： 将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 例15．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 例16．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【跟踪练习】 练习1．已知，满足（为常数），若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习2．若正数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 练习3．设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D． 练习4．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A．25 B．6 C．4 D．5 重难点09实际应用 【解题必备】利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点： （1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． （3）在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 例17．小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（    ）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中分别为左右盘中物体质量，分别为左右横梁臂长）. A．等于 B．小于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 例18．若直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为（　　） A． B．1 C．2 D．6 【跟踪练习】 练习1．为积极响应国家绿色可持续发展的战略方针，某公司花费8万元引进了一批污水处理设备，由于设备的长期使用会导致设备的寿命降低，为延长设备的使用年限，公司决定每年对设备进行维修．若维修年，，则每年的维修费用为万元．那么从引进该污水处理设备起算，要使此批设备年平均费用最少，应使用该批设备 年． 练习2．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，池底面积为.如果池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，若总造价不能超过90万元，则该贮水池的最大深度为 m.    练习3．某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ (2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 练习4．运货卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制速度为（单位：），假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元.令行车总费用为（元），当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第03讲 基本不等式 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 重难点01直接法求最值 【解题必备】（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 例1．的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】要使根式有意义，则，解得，则， 又，当且仅当时取等号， 则的最大值为1． 故选：B 例2．设，则取最小值时的值为 ． 【答案】2 【详解】由，可得，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：2 【跟踪练习】 练习1．“”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【详解】若，则，当且仅当，即时，等号成立， 所以充分性成立； 若，例如，则，符合题意， 但，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 练习2．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 反之，，，，取，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 练习3．若实数满足，则的最大值为 ． 【答案】20 【详解】根据题意可得，得，当且仅当或时，等号成立，故的最大值为20． 故答案为： 练习4．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为： 重难点02配凑法求最值 【解题必备】（1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 例3．已知函数，则函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即，即时取等号． 故选：B 例4．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 【跟踪练习】 练习1．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：. 练习2．的最大值为 . 【答案】 【详解】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式. 练习3．若，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】由题意得. 由，得，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为14. 故选：C. 练习4．已知，当时，取得最小值为b，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故，. 故选：C 重难点03 “1”的代换 【解题必备】出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 例5．若且，则的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【详解】若且，则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：D. 例6．已知，，，若的最小值为3，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【详解】， 当且仅当时等号成立，依题意，即． 故选:D 【跟踪练习】 练习1．已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 练习2．当时，的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】因为，所以,, 因为， 所以， ， 当且仅当时，即时，取得最小值. 故选：B. 练习3．已知，则 “” 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故充分性成立， 当时，满足，但不满足，故必要性不成立， 故“” 是“”的充分不必要条件. 故选：A 练习4．已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由正数，满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 重难点04双换元法求最值 【解题必备】出现更复杂分式相加模型，可把两个分母看做一个整体进行换元，然后就得到了“1”的代换题型 例7．已知正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】正实数，满足， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 例8．已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意得，则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．若实数，且，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】由可得， 因为，所以，即，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 练习2．若是正实数，且，则的最小值为 . 【答案】/0.8 【详解】因为， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 练习3．已知，且，则的最小值是 . 【答案】9 【详解】，所以， ， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以的最小值是9. 故答案为： 练习4．已知正数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】因为正数a，b满足，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2 重难点05条件等式有和有积求最值 【解题必备】（1）有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型； （2）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 例9．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为，，，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C 例10．（多选）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意得，解得，当且仅当时等号成立，故A正确，B错； ，解得，当且仅当时等号成立，故C错，D正确. 故选：AD. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知，且，则（    ） A．的取值范围为 B．的最小值为8 C．无最小值 D．的最小值为16 【答案】ABD 【详解】对于A项：因为：，所以．因为，所以，故A项正确． 对于B、C项：，即，解得， 当且仅当时，等号成立，故B项正确，C项错误． 对于D项：，即，解得， 即，当且仅当时，等号成立，故D项正确． 故选：ABD. 练习2．（多选）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 【答案】ABD 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 练习3．已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由，可得，即， 因为，可得， 整理得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 练习4．若，，且，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】由， 得，整理得， 当且仅当时等号成立. 则，故， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为6. 故答案为：6 重难点06多次基本不等式求最值 【解题必备】运用多次基本不等式时，要注意多次“三相等”不矛盾 例11．已知x,y都是正实数,求的最值. 甲､乙两位同学分别给出了两种不同的解法: 甲:, 乙:, ①你认为甲､乙两人解法正确的是 . ②请你给出一个类似的利用均值不等式求最值的问题,使甲､乙的解法都正确: . 【答案】 甲 答案不唯一,见解析 【解析】①甲正确，乙的解法中两次利用均值不等式时取等号的条件不相同，得到答案. ②只需保证乙的解法中两次利用均值不等式时取等号的条件相同即可. 【详解】①甲正确,乙的解法中两次利用均值不等式时取等号的条件不相同; ②已知x,y都是正实数,求的最小值. 甲:, 乙: 【点睛】本题考查了均值不等式求最值，没有考虑两次均值不等式取等号条件不相同的情况是容易发生的错误. 例12．已知，，且． (1)求的最小值； (2)是否存在实数，使得的值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以． 因为，当且仅当时取等号． 所以的最小值为． （2）因为，，又由（1）知， 所以， 当且仅当时取等号． 因为当且仅当时取等号时，， 所以 又，所以不存在实数，使得的值为． 【跟踪练习】 练习1．已知，则的最小值为 . 【答案】12 【详解】根据题意，由可得，所以利用基本不等式可得： 当且仅当，时取“=”，即，时“=”成立， 所以的最小值为12. 故答案为：12. 练习2．已知a，b都是正数，求证：. 【答案】证明见解析. 【详解】∵，∵由均值不等式得，. 由不等式的性质，得， 当且仅当且时，等号成立.即证. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，属基础题. 练习3．且 (1)求证. (2)是否存在a，b使得？ 【答案】(1)见解析； (2)不存在． 【详解】（1）由题，因为，，所以，解得，仅当时取得等号 所以， 仅当取得等号. （2） 仅当取得等号，又仅当取得等号， 所以，仅当取得等号，与题目条件矛盾 所以不存在a，b使得． 练习4．已知，，为正数，且满足.证明： （1）； （2） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据分析法，结合不等式关系中，，，即可证明不等式成立； （2）根据题中条件，直接构造基本不等式进行证明即可. 【详解】（1）， ， 又由均值不等式， 得，，， 则， ， 即得证； （2），，，， ，，， 则 ， 又由均值不等式得， 同理可得，， 则， 当且仅当时等号成立，得证. 【点睛】本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题. 重难点07消元法求最值 【解题必备】消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后利用基本不等式求解 例13．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【详解】由题意得，所以， 所以（当且仅当时取等号）， 所以的最小值为． 又因为，且，所以的最小值是，故D正确. 故选：D. 例14．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】,，则有， ， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故选：B. 练习2．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 练习3．已知实数a，b满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【详解】由得，则 ， 当且仅当时，此时，，或者，时等号成立， 所以的最大值为2． 故答案为：2. 练习4．已知正实数a，b，c满足，则的最大值为 ． 【答案】/0.25 【详解】由，得， ∵正实数a，b，c ∴则 则， 当且仅当，且a，b>0，即a=3b时，等号成立 则 所以，的最大值为. 故答案为：. 重难点08恒成立问题 【解题必备】恒成立问题常用分离参数法的方法： 将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 例15．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以或（舍去）， 即，当且仅当时取得， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 例16．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】不等式恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当时取等号， 所以，解得． 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．已知，满足（为常数），若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，可得，当且仅当时等号成立， 又由， 因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 练习2．若正数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， ， ∴ 当且仅当，即时等号成立，解得，时等号成立， 因为不等式恒成立， 所以，即 所以，实数的最大值为. 故选：D． 练习3．设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】∵，，不等式恒成立， 即恒成立，∴只需, ∵，当且仅当时取等号. 所以， ∴，∴m的最小值为， 故选：D 练习4．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A．25 B．6 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5， 故选：D． 重难点09实际应用 【解题必备】利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点： （1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． （3）在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 例17．小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（    ）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中分别为左右盘中物体质量，分别为左右横梁臂长）. A．等于 B．小于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，小明两次称得的黄金总重量大于. 故选：C 例18．若直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为（　　） A． B．1 C．2 D．6 【答案】C 【详解】如图所示：    在中，， 而直角三角形周长， 由勾股定理可知， 若要使最大， 只需即最大即可， 又，等号成立当且仅当， 所以，，， 等号成立当且仅当， 此时，其面积为. 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．为积极响应国家绿色可持续发展的战略方针，某公司花费8万元引进了一批污水处理设备，由于设备的长期使用会导致设备的寿命降低，为延长设备的使用年限，公司决定每年对设备进行维修．若维修年，，则每年的维修费用为万元．那么从引进该污水处理设备起算，要使此批设备年平均费用最少，应使用该批设备 年． 【答案】6 【详解】设此批设备年平均费用为万元， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使此批设备年平均花费最少，应使用该批设备6年． 故答案为：6 练习2．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，池底面积为.如果池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，若总造价不能超过90万元，则该贮水池的最大深度为 m.    【答案】15 【详解】设该贮水池的高为，池底的长为， 则， 即，当且仅当时，等号成立， 所以该贮水池的最大深度为15m. 故答案为：15 练习3．某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ (2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 【答案】(1)长和宽均为时，所用篱笆最短，总面积为. (2) 【详解】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为， 则所需篱笆的长度为，又， 当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短， 此时该菜园的总面积为； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，菜园的总面积为， 则， 当且仅当即时，等号成立， 此时另一边为， 即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小. 练习4．运货卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制速度为（单位：），假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元.令行车总费用为（元），当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 【答案】当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元 【详解】行车所用时间，根据汽油的价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元， 可得行车总费用为. ，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$