专题04 圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系（考点清单+知识导图+ 24个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

清单04 圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系 （24个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【清单02】点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 几何法:设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 【清单03】圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心， 点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【清单04】对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心， 以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【清单05】直线与圆的位置关系:几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 【清单06】直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【清单07】直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） （3）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 切线长公式 【清单08】圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【清单09】圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 【考点题型一】二元二次方程表示曲线与圆的关系 【解题方法】 【例1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高二上·全国·期中）“实数”是“方程表示圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值． 【考点题型二】求圆的方程 【解题方法】圆的一般方程或标准方程 【例2-1】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为 . 【例2-2】（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】由圆的方程确定圆心和半径 【解题方法】公式法或观察法 【例3-1】（24-25高三上·广东·开学考试）曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【例3-2】（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【变式3-2】（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】圆过定点问题 【例4-1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·上海）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【例4-2】（23-24高二下·上海徐汇）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【考点题型五】判断直线与圆的位置关系 【解题方法】几何法或代数法 【例5-1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【变式5-1】（23-24高一上·陕西宝鸡）直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 【例5-2】（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式5-2】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：及圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【考点题型六】由直线与圆的位置关系求参数 【解题方法】几何法 【例6-1】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·山东·开学考试）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（多选）（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（    ） A．0 B． C．1 D．3 【变式6-2】.（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）直线与圆的位置关系是 . 【考点题型七】直线与圆交点坐标 【解题方法】代数法联立 【例7-1】（23-24高二·江苏·假期作业）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系． 【变式7-1】.（2024高一上·全国·专题练习）直线l：2x+y–6=0与圆C：x2+y2–2y–9=0相交于A、B两点，则A、B的中点C的坐标为 ． 【例7-2】（23-24高二上·甘肃庆阳）已知直线和直线相交于点P，O是坐标原点，直线经过点P且与OP垂直． (1)求直线的方程； (2)求以O点为圆心10为半径的圆与直线的交点Q的坐标． 【变式7-2】（23-24高二·江苏·课后作业）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系. 【考点题型八】直线与圆相交（韦达定理应用） 【解题方法】代数法联立，求韦达定理 【例8-1】（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ． 【变式8-1】（23-24高二上·福建漳州·期中）过点的直线为，为圆与轴正半轴的交点．若直线与圆交于两点，则直线的斜率之和为 ． 【例8-2】（23-24高一上·陕西宝鸡）已知圆：，是否存在满足以下两个条件的直线:（1）斜率为；（2）直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由. 【变式8-2】（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知直线和圆交于，两点，为坐标原点，若，则实数 . 【考点题型九】过圆上一点作圆的切线 【解题方法】几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例9】（2024高三·全国·专题练习）过圆x2＋y2－4x＝0上点P(1，)的圆的切线方程为（    ） A．x＋y－4＝0 B．x－y＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＝1或x－y＋2＝0 【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为 . 【考点题型十】过圆外一点作圆的切线 几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例10】（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高二下·全国·随堂练习）已知圆C：．若点，求过点的圆的切线方程； 【考点题型十一】切线长 【解题方法】勾股定理 【例11】（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式11-1】（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， . 【考点题型十二】已知切线求参数 【解题方法】几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例12】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线. (1)当m为何值时，曲线C表示圆？ (2)若直线l：与圆C相切，求m的值. 【变式12-1】（23-24高二上·北京通州·期中）已知圆与直线相切，则（    ） A． B． C．，或 D．，或 【考点题型十三】切点弦及其方程 【例13-1】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ） A． B． C． D．4 【变式13-1】（23-24高二下·河南南阳·期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【例13-2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【变式13-2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【考点题型十四】圆的弦长 【解题方法】 【例14-1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 【变式14-1】（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例14-2】（2024·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ． 【变式14-2】（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【考点题型十五】已知圆的弦长求方程或参数 【解题方法】 【例15-1】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【变式15-1】（23-24高三上·北京西城·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 【例15-2】（23-24高二上·浙江衢州）已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【变式15-2】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A的方程； (2)当时，求直线l的方程． 【考点题型十六】直线与圆的实际应用 【解题方法】建系法 【例16-1】（23-24高二上·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 【变式16-1】（23-24高二·江苏·假期作业）据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h，台风将影响A城，持续时间约为 h(结果精确到0.1 h)． 【例16-2】（23-24高二上·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 【变式16-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为、高为的货车 驶入这个隧道（填“能”或“不能”）；假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为 ． 【考点题型十七】直线与圆的定点定值问题 【解题方法】韦达定理 【例17-1】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式17-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【例17-2】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 【变式17-2】（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点. (1)求AP的长； (2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由. 【考点题型十八】直线与圆的位置关系中的最值问题 【解题方法】几何法 【例18-1】（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆，则圆心到直线的最大距离为 . 【变式18-1】（2024高三·全国·专题练习）直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 【例18-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离d的取值范围为 . 【变式18-2】（23-24高二·全国·课堂例题）圆与直线的位置关系是 ，圆上的点到直线的最大距离是 ． 【考点题型十九】判断圆与圆的位置关系 【解题方法】几何法 【例19-1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【变式19-1】（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【例19-2】（23-24高二上·河南三门峡·阶段练习）圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相交 B．内含 C．外切 D．内切 【变式19-2】（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 【考点题型二十】由圆与圆的位置关系求参数 【解题方法】几何法 【例20-1】（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】（23-24高二上·全国·期末）若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例20-2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆有四条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 【考点题型二十一】圆的公切线条数 【解题方法】几何法 【例21-1】（23-24高二上·四川成都）圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式21-1】（23-24高二上·四川内江·期中）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例21-2】（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）圆：与圆：的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式21-2】（23-24高三上·吉林·阶段练习）两圆与的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【考点题型二十二】相交圆的公共弦方程 【解题方法】作差 【例22-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【变式22-1】（23-241高一上·陕西宝鸡·期末）已知两圆和相交于，两点，则直线的方程是 . 【例22-2】（23-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式22-2】（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【考点题型二十三】相交圆的公共弦长 【解题方法】 【例23-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式23-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 【例23-2】（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【变式24-2】（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 6．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 8．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 二、多选题 9．（2024高二上·江苏·专题练习）下列对动直线的四种表述正确的是（    ） A．与曲线C：可能相离，相切，相交 B．恒过定点 C．时，直线斜率是0 D．时，直线的倾斜角是 10．（23-24高三上·湖南·阶段练习）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 三、填空题 11．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是 12．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为 . 四、解答题 13．（23-24高二下·全国·课堂例题）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程； 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 14．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知圆，点，为坐标原点. (1)若，求圆过点的切线方程； (2)若直线与圆交于，两点，且，求的值； (3)若圆上存在点，满足，求的取值范围. 15．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点. (1)求点B的坐标； (2)O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系 （24个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【清单02】点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 几何法:设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 【清单03】圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心， 点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【清单04】对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心， 以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【清单05】直线与圆的位置关系:几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 【清单06】直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【清单07】直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） （3）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 切线长公式 【清单08】圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【清单09】圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 【考点题型一】二元二次方程表示曲线与圆的关系 【解题方法】 【例1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【详解】根据题意，若方程表示圆， 则有，解得． 故选：C. 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 【例1-2】（23-24高二上·全国·期中）“实数”是“方程表示圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】首先求实数的取值范围，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若方程表示圆，则，解得， 因为， 所以 “实数”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值． 【答案】 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程化为一般方程，利用方程表示的曲线为圆可得出关于实数的等式，求出的值，再代值检验即可得解. 【详解】解：由题意可知，则方程可化为. 所以，即，解得或， 当时，方程为，方程配方得，不符合题意； 当时，方程为，方程配方得，符合题意； 综上所述，. 【考点题型二】求圆的方程 【解题方法】圆的一般方程或标准方程 【例2-1】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求圆的一般方程 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 【变式2-1】（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为 . 【答案】 【知识点】求圆的一般方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】利用待定系数法及圆的一般方程即可求解. 【详解】设圆的一般式方程为：， 因为圆经过点, 所以,解得， 所以圆的一般式方程为：. 故答案为：. 【例2-2】（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可. 【详解】因为圆心在上，所以设圆心为, 因为圆的半径为， 所以设圆的标准方程为, 因为该圆过原点， 所以， 解得, 所以圆心为或, 当圆心为时，圆的标准方程为，D对; 当圆心为时，圆的标准方程为. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 【考点题型三】由圆的方程确定圆心和半径 【解题方法】公式法或观察法 【例3-1】（24-25高三上·广东·开学考试）曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】对方程进行化简，得到，进而可知或，其表示的是两个同心圆,进而可求其周长. 【详解】由， 得， 即， 即或， 所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为， 所以曲线C的周长为． 故选：C. 【变式3-1】（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】AC 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径. 【详解】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 【例3-2】（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 【变式3-2】（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 【考点题型四】圆过定点问题 【例4-1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆过定点问题 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式4-1】（23-24高二下·上海）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【答案】、 【知识点】圆过定点问题 【分析】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标. 【详解】由由得，故，解得或. 故填：、. 【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题. 【例4-2】（23-24高二下·上海徐汇）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【知识点】圆过定点问题 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【知识点】圆过定点问题 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 【考点题型五】判断直线与圆的位置关系 【解题方法】几何法或代数法 【例5-1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】利用圆心到直线的距离来确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：D 【变式5-1】（23-24高一上·陕西宝鸡）直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 【答案】B 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心在直线上，即可求解. 【详解】的圆心为， 符合直线方程，故直线过圆心， 故选：B 【例5-2】（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系 【分析】直线经过定点，然后证明定点在圆内可判断. 【详解】经过定点，由于，则定点在圆内. 故直线与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：及圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据给定条件，利用直线与圆的位置关系，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】圆的圆心，半径为， 由直线与圆相切，得，而，解得， 所以“”是“直线l与圆C相切”的充要条件. 故选：C 【考点题型六】由直线与圆的位置关系求参数 【解题方法】几何法 【例6-1】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解. 【详解】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·山东·开学考试）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由直线与圆的位置关系求参数、已知两点求斜率、直线过定点问题 【分析】先得到曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围. 【详解】，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最小值，最小值为， 当与相切时，由到直线距离等于半径可得 ，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则. 故选：B 【例6-2】（多选）（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（    ） A．0 B． C．1 D．3 【答案】AC 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用点到直线的距离小于半径可求参数的范围，从而可得正确的选项. 【详解】圆即为：， 故圆心，半径为， 因为直线与圆有两个不同的交点，故， 故，结合选项可知AC符合题意. 故选：AC. 【变式6-2】.（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 【考点题型七】直线与圆交点坐标 【解题方法】代数法联立 【例7-1】（23-24高二·江苏·假期作业）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系． 【答案】坐标为或，直线和圆相交 【知识点】判断直线与圆的位置关系、求直线与圆交点的坐标 【分析】联立直线与圆的方程，求出交点坐标，即可得解. 【详解】直线和圆的公共点的坐标就是 方程组的解， 解这个方程组，得或， 所以公共点的坐标为或． 因为直线和圆有两个公共点，所以直线和圆相交． 【变式7-1】.（2024高一上·全国·专题练习）直线l：2x+y–6=0与圆C：x2+y2–2y–9=0相交于A、B两点，则A、B的中点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】判断直线与圆的位置关系、求直线与圆交点的坐标 【分析】直线与圆联立，求出A（1，4），B（3，0），则两点的中点求出. 【详解】解方程组，得或，所以A、B的坐标分别为 （1，4），（3，0），则A、B的中点C的坐标为（2，2） 故答案为（2，2）． 【点睛】本题考查的是求直线与圆的交点坐标的中点坐标问题，属于基础题. 【例7-2】（23-24高二上·甘肃庆阳）已知直线和直线相交于点P，O是坐标原点，直线经过点P且与OP垂直． (1)求直线的方程； (2)求以O点为圆心10为半径的圆与直线的交点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线与圆交点的坐标、求直线交点坐标 【分析】 （1）解方程组求得点坐标，求出直线斜率后，由点斜式得直线方程并整理； （2）由直线方程设，然后由可得． 【详解】（1）由得，即， ，∴，的方程为，即； （2）设，由，解得或， 所以点坐标为或． 【变式7-2】（23-24高二·江苏·课后作业）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系. 【答案】，，相交 【知识点】判断直线与圆的位置关系、求直线与圆交点的坐标 【分析】联立直线与圆的方程，求出交点坐标，即可得解； 【详解】解：直线和圆的公共点的坐标就是方程组的解，消去得，解得或， 所以方程组的解为或. 所以公共点的坐标为，. 因为直线和圆有两个公共点， 所以直线和圆相交. 【考点题型八】直线与圆相交（韦达定理应用） 【解题方法】代数法联立，求韦达定理 【例8-1】（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ． 【答案】 【知识点】直线过定点问题、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】先确定直线过定点，再设坐标及直线l方程并与圆方程联立，利用韦达定理计算即可. 【详解】由直线得， 令，解得， 直线l恒过定点. 圆的圆心为，半径为，直线过点， 直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在， 设直线l方程为， 联立，得， 设，，则，， 是定值，定值为 故答案为： 【变式8-1】（23-24高二上·福建漳州·期中）过点的直线为，为圆与轴正半轴的交点．若直线与圆交于两点，则直线的斜率之和为 ． 【答案】 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】设，与圆方程联立可得韦达定理的结论，利用两点连线斜率公式表示出直线的斜率之和，结合韦达定理化简整理可得结果. 【详解】由题意得：， 当直线斜率为时，与圆相切于点，不合题意； 设直线，， 由得：， 则，解得：， ，， ， 直线的斜率之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是采用设线法联立圆的方程得到韦达定理式，并化简得，再将韦达定理式代入计算即可. 【例8-2】（23-24高一上·陕西宝鸡）已知圆：，是否存在满足以下两个条件的直线:（1）斜率为；（2）直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由. 【答案】存在，是或. 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】设直线方程,联立与圆的刚才得到韦达定理，即可根据向量垂直的坐标关系，代入求解. 【详解】设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为、 则由， 得（＊） ∴ ∴ 由得， ∴， 即，解得， ∴或 容易验证或时方程（＊）有实根. 故存在这样的直线有两条，其方程是或. 【变式8-2】（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知直线和圆交于，两点，为坐标原点，若，则实数 . 【答案】 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】联立，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积求出. 【详解】联立可得， ，解得， 设，，则，， 所以， 所以， 解得， 故答案为：. 【考点题型九】过圆上一点作圆的切线 【解题方法】几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例9】（2024高三·全国·专题练习）过圆x2＋y2－4x＝0上点P(1，)的圆的切线方程为（    ） A．x＋y－4＝0 B．x－y＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＝1或x－y＋2＝0 【答案】C 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【详解】 注意到P(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，将点(1，)代入公式(x0－2)(x－2)＋(y0－0)(y－0)＝4，得直线方程x－y＋2＝0. 【考查意图】过圆上一点的圆的切线. 【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】根据条件得到点在圆上，从而得到切线的斜率为，即可求出结果. 【详解】因为圆的圆心为，， 易知点在圆上，又，所以切线的斜率为， 故切线方程为，即. 故答案为：. 【考点题型十】过圆外一点作圆的切线 几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例10】（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，即，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，解得，此时切线方程为. 故选：C. 【变式10-1】（23-24高二下·全国·随堂练习）已知圆C：．若点，求过点的圆的切线方程； 【答案】或 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存在和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程； 【详解】解：由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为． 由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切． 当过点的直线的斜率存在时，设方程为， 即．由题意知， 解得，∴方程为． 故过点的圆的切线方程为或． 【考点题型十一】切线长 【解题方法】勾股定理 【例11】（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、切线长 【分析】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径， 如图，切线长，当最小时，最小， 最小值为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值. 故选：C.    【变式11-1】（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， . 【答案】 【知识点】切线长、由标准方程确定圆心和半径 【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果. 【详解】设圆的圆心为，半径为4， 如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接， 则，，而， 由勾股定理得， 所以当最小时，. 故答案为：. 【考点题型十二】已知切线求参数 【解题方法】几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例12】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线. (1)当m为何值时，曲线C表示圆？ (2)若直线l：与圆C相切，求m的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、已知切线求参数 【分析】 （1）配方得，根据可得答案； （2）根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解. 【详解】（1）由曲线C：，得 ， 若曲线C表示圆，则，得， ∴当时，曲线C表示圆； （2）圆C的圆心坐标为 ，半径为. ∵直线l：与圆C相切，直线l的一般式方程为， ∴，解得 ，满足， ∴. 【变式12-1】（23-24高二上·北京通州·期中）已知圆与直线相切，则（    ） A． B． C．，或 D．，或 【答案】A 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】由直线与圆相切，根据即可求得，要注意斜率为0的情况. 【详解】将化为标准形式为，所以圆心，半径，因为与直线相切，当时，不合题意；当时，由得，. 故选：A 【考点题型十三】切点弦及其方程 【例13-1】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】切线长、切点弦及其方程、求点到直线的距离 【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答. 【详解】连接，由切圆于知，， 因为直线与平行，则，，而圆半径为， 于是，由四边形面积，得， 所以.    故选：C 【变式13-1】（23-24高二下·河南南阳·期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】切点弦及其方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】 根据题意可得为等边三角形，可得结果. 【详解】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1，    由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 【例13-2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】切点弦及其方程 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 【变式13-2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】切点弦及其方程 【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 【考点题型十四】圆的弦长 【解题方法】 【例14-1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆的弦长与中点弦 【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案. 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中最短弦，. 故选：B. 【变式14-1】（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【详解】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 【例14-2】（2024·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案. 【详解】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，解得， 所以弦长为，因为， 所以，所以弦长， 当即时，弦长有最大值. 故答案为：. 【变式14-2】（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线过定点问题 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 【考点题型十五】已知圆的弦长求方程或参数 【解题方法】 【例15-1】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 【变式15-1】（23-24高三上·北京西城·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 （2）过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 【例15-2】（23-24高二上·浙江衢州）已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【详解】（1）由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. （2）由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 【变式15-2】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A的方程； (2)当时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可； （2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）选①：因为圆A与直线相切， 所以圆A的半径为， 因此圆A的方程为； 选②：因为圆A与圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为， 所以圆A的方程为. （2）两种选择圆A的方程都是， 当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为， 把代入中，得， 显然，符合题意， 当过点的动直线l存在斜率时，设为， 直线方程为， 圆心到该直线的距离为：， 因为，所以有， 即方程为： 综上所述：直线l的方程为或. 【考点题型十六】直线与圆的实际应用 【解题方法】建系法 【例16-1】（23-24高二上·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 【答案】 【知识点】直线与圆的实际应用 【分析】首先根据已知条件作出图形，圆半径，利用锐角三角函数的定义可求出BE的长，易知是直角三角形，运用勾股定理可求出的长，进而求出弦长，最后用弦长除以台风的移动速度即可求解. 【详解】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点. 在中，由锐角三角函数， 得， 在中，由勾股定理， 得， 所以， 因为台风中心的移动速度为， 所以B城市处于危险区内的时间为. 故答案为：2. 【变式16-1】（23-24高二·江苏·假期作业）据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h，台风将影响A城，持续时间约为 h(结果精确到0.1 h)． 【答案】 2.0 6.6 【知识点】直线与圆的实际应用 【分析】以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心的移动轨迹方程是，可得受台风影响的区域边界的曲线方程是，再由可得答案. 【详解】以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心的移动轨迹方程是，设台风中心为， 受台风影响的区域边界的曲线方程是， 由，可得， 解得， 令， 当时， ∴， ， ∴从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h． 故答案为：①；②.    【例16-2】（23-24高二上·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 【答案】 【知识点】直线与圆的实际应用、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求得的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点的纵坐标，进而即可计算出的长． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为， 由勾股定理可得， 又，即，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为， 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以(米)． 故答案为：． 【变式16-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为、高为的货车 驶入这个隧道（填“能”或“不能”）；假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为 ． 【答案】 能 【知识点】直线与圆的实际应用、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出圆的方程，将代入圆的方程求出的值与比较大小即可判断能否通过隧道，将代入圆的方程求出的值即可求解. 【详解】以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为． 将代入得， 即在离中心线处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道． 将代入得， 所以货车要驶入该隧道，最大高度为， 故答案为：能；. 【考点题型十七】直线与圆的定点定值问题 【解题方法】韦达定理 【例17-1】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、直线与圆中的定点定值问题、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案. （2）若 是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可. （3）设，，分别表示出，由为定值得出答案. 【详解】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. （2） 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： （3）假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值，     且定值为，故存在定点，且的坐标为. 【变式17-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程； （2）设，定点，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标． 【详解】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为， 则，解得， 所以圆的方程为 （2）设，且，即， 设定点，,不同时为，为常数）． 则, 两边平方，整理得 代入后得恒成立 化简得 所以，解得或(舍去） 即． 【点睛】方法点睛：解析几何中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 【例17-2】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)或． (2)为定值2． 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、直线与圆中的定点定值问题、已知直线垂直求参数、求直线交点坐标 【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）设直线l的方程为，与直线联立求出点坐标，根据垂径定理得到直线CP与直线l垂直，表达出直线CP的方程，与直线l联立得到点坐标，计算出. 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直l的方程为，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以，解得． 故直线l的方程为或． （2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为． 联立，解得，即． 因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直， 故直线CP方程为， 联立，解得，即． 则 ． 故为定值2． 【变式17-2】（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点. (1)求AP的长； (2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)4； (2)存在点B，为定值. 【知识点】切线长、直线与圆中的定点定值问题、轨迹问题——圆 【分析】（1）利用勾股定理求出切线长. （2）设出点、点坐标，根据题意列出等式化简，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】（1）依题意，，且，而， 所以. （2）设，则， 假设存在这样的点，使得为常数，且，则， 即，将代入消去, 得对恒成立， ，而，解得， 所以存在点B ，使得对于上任一点，都有为定值. 【考点题型十八】直线与圆的位置关系中的最值问题 【解题方法】几何法 【例18-1】（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆，则圆心到直线的最大距离为 . 【答案】 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意，由题意可得直线过定点，当定点与圆心的连线与直线垂直时，距离最大，再由两点间距离公式，即可得到结果. 【详解】因为直线，即，令，解得， 所以直线经过的定点为，当圆心与定点的连线与直线垂直时， 距离最大为. 故答案为： 【变式18-1】（2024高三·全国·专题练习）直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值、直线过定点问题 【分析】首先根据两条直线所过的定点，以及位置关系，确定点的轨迹方程，即可利用几何关系求最值. 【详解】直线过定点，直线过定点， 且直线与直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 其方程为． 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为： 【例18-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离d的取值范围为 . 【答案】 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、轨迹问题——圆 【分析】先求得点的轨迹为圆，再利用圆的性质即可求得点到直线的距离d的取值范围. 【详解】设，则， 两边平方得，整理得， 则点在以为圆心半径为的圆上运动， 圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离d的取值范围为 故答案为： 【变式18-2】（23-24高二·全国·课堂例题）圆与直线的位置关系是 ，圆上的点到直线的最大距离是 ． 【答案】 相交 【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较大小即可判定位置关系，圆上的点到直线的最大距离为亦可求出. 【详解】圆一般方程， 圆的标准方程为， 则圆的半径，圆心到直线的距离，故直线与圆相交，且圆上的点到直线的最大距离是． 故答案为：相交；. 【考点题型十九】判断圆与圆的位置关系 【解题方法】几何法 【例19-1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断圆与圆的位置关系、求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解. 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 【变式19-1】（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案. 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 【例19-2】（23-24高二上·河南三门峡·阶段练习）圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相交 B．内含 C．外切 D．内切 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆：，圆心，半径， 圆：，即，圆心，半径， 因为，所以圆与圆外切. 故选：C 【变式19-2】（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 【答案】外离 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】由圆和圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，再求圆心距，比较与半径和，半径差的绝对值的大小，可得结论. 【详解】设圆的半径为，圆的半径为，则 圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，，， 所以， 所以圆和圆外离. 故答案为：外离. 【考点题型二十】由圆与圆的位置关系求参数 【解题方法】几何法 【例20-1】（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 【变式20-1】（23-24高二上·全国·期末）若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据题意得到两圆位置关系，从而得到不等式，解出即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为. 因为两圆有公共点，所以两圆相切或相交，则有， 即，解得，又，所以. 故选：C. 【例20-2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆有四条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据两圆有四条公切线得两圆外离，由两圆的位置关系可得答案. 【详解】因为两圆有四条公切线，所以两圆外离， 因为圆的圆心为，半径为4， 圆，可得， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故选：B. 【变式20-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 【答案】B 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程 【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，即可判断结果. 【详解】圆：， 所以圆心为，半径为， 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在圆与圆的公共弦上， 将圆：与圆：作差， 得两圆公共弦所在直线方程， 代入得. 故选：B 【考点题型二十一】圆的公切线条数 【解题方法】几何法 【例21-1】（23-24高二上·四川成都）圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2． 两圆的圆心距为，所以两圆外切， 故两圆的公切线的条数为3，故C正确. 故选：C 【变式21-1】（23-24高二上·四川内江·期中）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 【例21-2】（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）圆：与圆：的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据两圆的标准方程，可得出圆心和半径，求出两圆的圆心距，可知两圆相交，则可得答案. 【详解】圆的标准方程为， 则圆心，半径， 圆的标准方程为， 则圆心，半径， 则两圆的圆心距， ， 所以两圆相交，此时有2条公切线. 故选：. 【变式21-2】（23-24高三上·吉林·阶段练习）两圆与的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距离，然后判断两圆的位置关系，从而可求得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为4， 所以圆心距． 又，所以两圆相交，所以公切线只有2条． 故选：B 【考点题型二十二】相交圆的公共弦方程 【解题方法】作差 【例22-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 【变式22-1】（23-241高一上·陕西宝鸡·期末）已知两圆和相交于，两点，则直线的方程是 . 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】将两个圆的方程变形为一般方程，两个圆的方程相减计算可得答案. 【详解】可得， 联立两个圆的方程相减可得：， 即直线的方程为， 故答案为：. 【例22-2】（23-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 【变式22-2】（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、求点到直线的距离 【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解. 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 【考点题型二十三】相交圆的公共弦长 【解题方法】 【例23-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 【变式23-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】D 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】求出两圆的公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆圆心，半径， 而，则两圆相交， 于是得两圆的公共弦所在的直线方程为，圆心到此直线距离， 所以公共弦长为. 故选：D 【例23-2】（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】根据题意，两圆方程相减即可得到直线的方程，再由弦长公式，即可得到结果. 【详解】因为圆与圆交于A，B两点， 则直线的方程即为两圆相减，可得， 且圆，半径为， 到直线的距离， 所以. 故选：C 【变式24-2】（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】先确定两圆相交，再将两圆做差可得公共弦所在直线方程，然后利用垂径定理求弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距离为，故两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线方程为，即， 所以公共弦的长度为. 故选：D. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设动点坐标，找到动点坐标与曲线上点坐标的关系，通过已知解析式得出动点的轨迹方程. 【详解】设，因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以，所以． 所以点的轨迹方程为即． 故选：B 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】对方程配方整理，结合圆的标准方程求的取值范围，以及半径的最大值，即可得结果. 【详解】由题意整理可得：， 则，解得， 且圆的半径， 当且仅当时，等号成立， 即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为. 故选：B. 3．（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】根据题意列出等式并化简即可. 【详解】由题可知, 所以, 化简得, 故选：C, 4．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解. 【详解】由化简可得， 则该圆圆心为，半径为， 由题意可得，解得，故实数的取值范围是. 故选：A. 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案. 【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为， 可得（正根舍去）， 当直线过时，， 如图，直线与曲线恰有1个交点，则或. 故选：D. 6．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出圆心，设出直线方程，再由点到直线的距离公式求解即可； 【详解】圆的圆心为， 设直线的方程为，，即， 因为圆心与直线上一动点之间距离的最小值为， 即，整理可得，解得或（舍去）， 故选：B. 7．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 8．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 【答案】D 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 二、多选题 9．（2024高二上·江苏·专题练习）下列对动直线的四种表述正确的是（    ） A．与曲线C：可能相离，相切，相交 B．恒过定点 C．时，直线斜率是0 D．时，直线的倾斜角是 【答案】BCD 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据过定点的直线系求出恒过点可判断B，由点与圆的位置关系可判断A，由直线方程可判断C、D. 【详解】直线可化为， 令，，解得，，所以直线恒过定点，故B正确； 而该定点在圆C：内部，所以必与该圆相交，故A错误； 当时，直线方程为，斜率为0，故C正确； 当时，直线方程为，斜率为，倾斜角为，故D正确. 故选：BCD. 10．（23-24高三上·湖南·阶段练习）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 【答案】ABD 【知识点】判断点与圆的位置关系、判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程 【分析】A项，由圆心在圆内可知两圆内切；B项，由两圆内切条件建立关于的方程求解即可；CD项，法一由两圆心连线斜率求出切线斜率，再求出切点可得方程，法二由两圆方程作差化简即得公切线方程. 【详解】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切. 圆：的圆心为，半径为， 圆：（）， 即，圆心，半径为. A项，将代入方程左边得， 则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确； B项，圆， 由圆与内切，所以， 由，即，解得，故B正确； CD项， ，得，则公切线斜率为， 法一：联立方程和，解得， 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 法二： ①；②， 两圆方程作差得，即． 设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程， 又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直， 故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线. 故C错误，D正确． 故选：ABD．    三、填空题 11．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是 【答案】或． 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得． 【详解】圆，则圆心为，半径， 设两切点为，则，因为，在中，，所以, 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故答案为：或．    12．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围）、过圆外一点的圆的切线方程、切点弦及其方程 【分析】利用圆外一点引圆的切线对应切点弦直线方程的二级结论可确定直线过定点，结合垂径定理确定Q轨迹，数形结合计算即可. 【详解】圆心，半径， 设，则切点弦所在直线的方程为， 化简得：， 所以直线过定点， 如图，显然，所以点Q的轨迹是以为直径的圆， 其圆心为，， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高二下·全国·课堂例题）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程； 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】选择见解析； 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求圆的一般方程 【分析】设圆方程为，利用待定系数法即可得解； 【详解】若选①： 依题意，设圆方程为，，， 则，解得， 所以圆方程为，标准方程为． 若选②： 依题意，设圆方程为，， 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆方程为，标准方程为. 若选③： 依题意，点E为AB中点，故E点坐标为，圆E的半径， 所以圆标准方程为. 14．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知圆，点，为坐标原点. (1)若，求圆过点的切线方程； (2)若直线与圆交于，两点，且，求的值； (3)若圆上存在点，满足，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）把代入，设出切线方程，利用点到直线距离公式计算即得. （2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理及给定的数量积计算即得. （3）求出点的轨迹方程，利用两圆有公共点列出不等式求解即得. 【详解】（1）当时，圆的圆心，半径， 而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为， 则，解得或， 所以所求切线方程为或. （2）由消去得，， 设，则， 由，得，则， 整理得，则，即，解得，满足， 所以. （3）设点，由，得， 整理得，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 依题意，圆与圆有公共点，即，则， 整理得，解得， 所以的取值范围是. 15．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点. (1)求点B的坐标； (2)O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）点B与点A关于直线对称，则直线直线，且线段的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标； （2）利用关系式可以得出点的轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可. 【详解】（1）设，，因为点B与点A关于直线的对称，则有 线段的中点在直线上，即①， 又直线直线，且直线的斜率为，则①， 联立①①式子解得， 故点B的坐标 （2）设，由，则， 故，化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径. 又因为直线与圆有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径，则， 解得. 故的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$