专题03 直线的方程及其位置关系（考点清单+知识导图+ 16个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

清单03 直线的方程及其位置关系 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【清单02】两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【清单03】两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【清单04】直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【清单05】直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【清单06】直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 【清单07】直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【清单08】两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【清单09】两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【清单10】点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【清单11】两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（） ：（）间的距离. 【清单12】对称问题 点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ②整理得： 【考点题型一】斜率与倾斜角变换关系 【解题方法】图象法 【例1-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【例1-2】（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】直线与线段有公共点，求斜率取值范围 【解题方法】图象法 【例2-1】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【例2-2】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【变式2-2】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 . 【考点题型三】利用斜率的几何意义求代数值（范围） 【解题方法】转化 【例3-1】（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【变式3-1】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【考点题型四】求直线方程 【解题方法】直线方程五种形式 【例4-1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【变式4-1】（23-24高一下·湖南株洲）已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线； (2)求AB边上的高所在的直线方程． 【例4-2】（23-24高二下·全国·课堂例题）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴． 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【考点题型五】两条位置关系的判定 【解题方法】斜率相等或斜率相乘为-1 【例5-1】（23-24高二上·辽宁鞍山）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【变式5-1】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【例5-2】（23-24高二上·新疆）直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【变式5-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【考点题型六】根据两条直线平行与垂直关系求参数 【解题方法】斜率相等或斜率相乘为-1 【例6-1】（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【变式6-1】（23-24高二上·四川雅安·期中）已知两条直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求a的值. 【例6-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线：，：． (1)若，求a的值； (2)若，求a的值． 【变式6-2】（23-24高二·全国·课后作业）（1）已知直线与直线平行，求实数m的值; （2）已知直线与直线垂直，求实数a的值. 【考点题型七】求平行，垂直的直线方程 【解题方法】斜率相等或斜率相乘为-1 【例7-1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 【变式7-1】（23-24高二下·全国·课后作业）已知点和直线l： ，求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程. 【例7-1】（23-24高二下·江苏扬州·开学考试）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【变式7-2】（23-24高一·浙江杭州）在平面直角坐标系中，已知点，直线． （1）求过P且平行于l的直线的方程； （2）求过P且垂直于l的直线的方程． 【考点题型八】直线过定点问题 【解题方法】两条直线相交交点坐标 【例8-1】（23-24高一下·全国·课后作业）无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 【例8-2】（23-24高二·全国·课后作业）求证：不论为何实数，直线恒过定点． 【变式8-2】（23-24高二·江苏·课后作业）求证：不论m为何实数，直线l: (m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点，并求出此定点的坐标. 【考点题型九】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值） 【解题方法】三角形面积公式 【例9-1】（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【变式9-1】（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 【例9-2】（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 【变式9-2】（23-24高二上·江西上饶·期中）已知的顶点. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 【考点题型十】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值） 【解题方法】三角形面积公式+基本不等式 【例10-1】（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【变式10-1】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【例10-2】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【变式10-2】（23-24高二上·广东清远·期中）已知直线. (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【考点题型十一】易错点根据截距求直线方程 【例11-1】（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 【变式11-1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点且横纵截距相等的直线方程为 .（写成一般式方程） 【例11-2】（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【变式11-2】（23-24高二上·浙江宁波·期中）经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是 . 【考点题型十二】点关于直线对称点 【解题方法】中点坐标公式+斜率 【例12-1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【例12-2】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且经过点． (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【变式12-2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线过点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程 (2)若已知直线，点关于直线的对称点的坐标． 【考点题型十三】直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 【解题方法】方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 【例13-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【变式13-1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【例13-2】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【变式13-2】（23-24高一·全国·单元测试）已知直线l: . (1)求点P（3， 4)关于直线l对称的点Q； (2)求直线l关于点（2， 3)对称的直线方程． 【考点题型十四】直线关于直线对称问题（两直线相交） 【解题方法】直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 【例14-1】（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2023高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【例14-2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【变式14-2】（23-24高二上·广东佛山·期中）直线关于直线的对称直线的方程为 . 【考点题型十五】直线关于直线对称问题（两直线平行） 【解题方法】直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【例15-1】（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【变式15-1】（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； 【考点题型十六】将军饮马问题 【解题方法】对称性 【例16-1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【变式16-1】（23-24高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 二、多选题 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 三、填空题 11．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ． 四、解答题 13．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 14．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 直线的方程及其位置关系 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【清单02】两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【清单03】两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【清单04】直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【清单05】直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【清单06】直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 【清单07】直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【清单08】两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【清单09】两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【清单10】点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【清单11】两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（） ：（）间的距离. 【清单12】对称问题 点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ②整理得： 【考点题型一】斜率与倾斜角变换关系 【解题方法】图象法 【例1-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，结合图象可得答案. 【详解】在上的图象如图所示， 由图可知，当时， 倾斜角的取值范围为. 故选：C. 【变式1-1】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据的图象，得出倾斜角θ的取值范围. 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 【例1-2】（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 【考点题型二】直线与线段有公共点，求斜率取值范围 【解题方法】图象法 【例2-1】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 【变式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】求出直线的斜率，结合图象即可得解. 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， ， 因为直线过点且与射线相交， 由图可知，所以直线的斜率或. 故选：D. 【例2-2】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 【变式2-2】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出BC，AC的斜率，然后画出图形分析可得或，，根据斜率变化规律求解即可. 【详解】由、、，得，， 如图所示： 因为过点C的直线l与线段AB有公共点，所以直线l的斜率或， 即直线l的斜率或，所以直线l斜率k的取值范围 故答案为： 【考点题型三】利用斜率的几何意义求代数值（范围） 【解题方法】转化 【例3-1】（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【答案】 【知识点】斜率公式的应用 【分析】理解所求式的几何意义，作出已知函数图象，得出边界点，求出斜率范围即得. 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．         分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 【变式3-1】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 【考点题型四】求直线方程 【解题方法】直线方程五种形式 【例4-1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    【变式4-1】（23-24高一下·湖南株洲）已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线； (2)求AB边上的高所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）由直线的斜率公式可得，再由点斜式方程代入计算，即可求解. （2）由题意可得AB边上的高所在的直线斜率，再由点斜式方程代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为，由直线的点斜式方程可得， 化简可得. （2）由（1）可知，，则AB边上的高所在的直线斜率为， 由直线的点斜式方程可得， 化简可得. 【例4-2】（23-24高二下·全国·课堂例题）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴． 【答案】(1) (2) (3)不能用点斜式， 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程； （3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程； 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程； （2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程. 【详解】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 【考点题型五】两条位置关系的判定 【解题方法】斜率相等或斜率相乘为-1 【例5-1】（23-24高二上·辽宁鞍山）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可. 【详解】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B. 【变式5-1】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【答案】D 【知识点】直线斜率的定义、由斜率判断两条直线平行 【分析】分和两种情况讨论直线的位置关系. 【详解】直线可化为， 所以当时，两直线重合； 当时，两直线相交. 故选：D 【例5-2】（23-24高二上·新疆）直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】法一：分别求得两直线的斜率，由可判断两者垂直； 法二：由直线一般式得，故两者垂直. 【详解】法一：由得其斜率为，由得其斜率为，故，所以这两条直线互相垂直. 法二：因为，所以这两条直线互相垂直. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 【考点题型六】根据两条直线平行与垂直关系求参数 【解题方法】斜率相等或斜率相乘为-1 【例6-1】（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【详解】（1）因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 【变式6-1】（23-24高二上·四川雅安·期中）已知两条直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求a的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据两直线平行列方程求解即可； （2）根据两直线垂直列方程求解即可. 【详解】（1）由于，所以，解得或（舍去），所以，检验符合； （2）因为，所以则，解得. 【例6-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线：，：． (1)若，求a的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）利用直线的一般式方程及两直线平行的条件即可求解； （2）利用直线的一般式方程及两直线垂直的条件即可求解. 【详解】（1）因为直线：，：，有， 所以，即． 解得或， 当时，：，：，所以，符合题意； 当时，：，：，所以，符合题意； 综上，a的值为或． （2）因为，所以．解得. 所以a的值为． 【变式6-2】（23-24高二·全国·课后作业）（1）已知直线与直线平行，求实数m的值; （2）已知直线与直线垂直，求实数a的值. 【答案】（1）或；（2）或. 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）利用在一般式方程下，两直线平行的条件，列出方程，即可求解； （2）利用在一般式方程下，两直线垂直的条件，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线与直线平行， 可得，解得或， 当时，，，显然与不重合，此时， 当时，，，显然与不重合，此时， 所以或. （2）由题意，直线与直线垂直 可得，解得或， 即当或时，直线. 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的条件及应用，其中解答中熟记两直线平行和垂直的条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 【考点题型七】求平行，垂直的直线方程 【解题方法】斜率相等或斜率相乘为-1 【例7-1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）首先根据两直线垂直求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）首先根据两直线平行求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）因为垂直于直线，所以所求直线斜率为， 所求直线方程为，即. （2）因为平行于直线所以斜率.所求直线方程为，即. 【变式7-1】（23-24高二下·全国·课后作业）已知点和直线l： ，求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）可知直线l的斜率，根据平行关系结合点斜式方程运算求解； （2）根据垂直关系结合点斜式方程运算求解. 【详解】（1）因为直线l：y＝，则直线l的斜率， 可知与直线l平行的直线的斜率， 过点且与直线l平行的直线方程为. （2）由（1）可知：与直线l平行的直线的斜率， 过点且与直线l垂直的直线方程为. 【例7-1】（23-24高二下·江苏扬州·开学考试）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）依据两直线平行充要条件即可解决； （2）依据两直线垂直充要条件即可解决. 【详解】（1）因为，且，所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. （2）因为，且， 所以直线的斜率为，又直线过点， 所以直线的方程为，即. 【变式7-2】（23-24高一·浙江杭州）在平面直角坐标系中，已知点，直线． （1）求过P且平行于l的直线的方程； （2）求过P且垂直于l的直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【解析】（1）根据直线平行求出直线的斜率，再利用点斜式可得答案； （2）根据直线的垂直关系求出直线的斜率，再利用点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）因为直线的斜率为， 且所求直线与已知直线平行， 所以，所求直线的斜率为 因为直线过点，故所求直线的方程为：， 即； （2）因为直线的斜率为， 且所求直线与已知直线垂直， 所以，所求直线的斜率为 因为直线过点，故所求直线的方程为：， 即． 【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行、垂直，斜率之间的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2）． 【考点题型八】直线过定点问题 【解题方法】两条直线相交交点坐标 【例8-1】（23-24高一下·全国·课后作业）无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求直线交点坐标、直线交点系方程及应用 【分析】把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解. 【详解】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为． 故选：D． 【变式8-1】（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 【答案】 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解. 【详解】直线方程化简为， 即， 当，解得：， 所以直线恒过定点. 故答案为： 【例8-2】（23-24高二·全国·课后作业）求证：不论为何实数，直线恒过定点． 【答案】详见解析. 【知识点】直线过定点问题、直线交点系方程及应用 【分析】由，可得，即得. 【详解】由， 解得， 故当时，不论为何实数，恒成立， 即不论为何实数，直线恒过定点. 【变式8-2】（23-24高二·江苏·课后作业）求证：不论m为何实数，直线l: (m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点，并求出此定点的坐标. 【答案】证明见解析，(9, －4) 【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标、直线交点系方程及应用 【分析】取不同的两值得两不同直线，求直线交点代入检验即可得证，该交点即为所求定点. 【详解】令得，令得， 两条直线和的交点为. 将代入直线方程得恒成立， 所以直线l恒过定点. 【考点题型九】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值） 【解题方法】三角形面积公式 【例9-1】（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 【变式9-1】（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 【答案】（1）；（2） 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）由题意可知所求直线经过两点，求出直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）由题意可设直线的方程为，再利用待定系数法求出即可. 【详解】（1）由题意可知所求直线经过两点， 则直线的斜率， 所以直线方程为，即； （2）由题意可设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 【例9-2】（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】(1)， (2)25 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）由截距式直线方程与两点式直线方程即可写出直线方程； （2）先将直线方程求出，再写出截距式直线方程即可求三角形面积. 【详解】（1）由截距式，得边所在直线的方程为，即. 由两点式，得边所在直线的方程为，即. （2）由题意，得点的坐标为， 由两点式，得边所在直线的方程为， 即，所以. 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积. 【变式9-2】（23-24高二上·江西上饶·期中）已知的顶点. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）根据题意，由直线的点斜式，即可得到结果； （2）根据题意，由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再由两点间距离公式可得，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 由直线的点斜式可得， 化简可得. （2）由（1）可知，直线的方程为， 则点到直线的距离， 且, 则. 【考点题型十】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值） 【解题方法】三角形面积公式+基本不等式 【例10-1】（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线过定点问题、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解. （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 【变式10-1】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 【例10-2】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）首先确定直线过定点，再根据条件，求斜率的取值范围； （2）首先分别求直线与坐标轴的交点，并表示的面积，即可求直线的斜率和方程. 【详解】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 【变式10-2】（23-24高二上·广东清远·期中）已知直线. (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2)S的最小值为16，直线的方程为 【知识点】直线过定点问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点； （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【详解】（1）直线，可化为 故直线过定点. （2）由（1）得直线过定点， 又直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点则， 令，得,所以， 令得所以， 所以 ， （当且仅当即时等号成立，） 此时直线的方程是即 【考点题型十一】易错点根据截距求直线方程 【例11-1】（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 【答案】或 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可. 【详解】当时，直线方程为，不符合题意， 当时，令时，令时， 依题意有：，解得：或， 综上：或， 故答案为：或. 【变式11-1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点且横纵截距相等的直线方程为 .（写成一般式方程） 【答案】或 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，在第一种情形下，直接求出直线的斜率，结合点斜式可得出所求直线的方程；在第二种情形下，设所求直线方程为，将点的坐标代入直线方程，求出的值，可得出直线的方程，综合可得结果. 【详解】当直线过原点时，直线的斜率为，此时，直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设所求直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线方程可得，此时，直线的方程为. 因此，所求直线方程为或. 故答案为：或. 【例11-2】（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】由直线的斜率存在，把直线方程设为点斜式，求出在两坐标轴上的截距，利用截距相等得方程求出斜率k，可得直线方程. 【详解】依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为， 令得纵截距为，令得横截距为， 依题意得，，解得或， 所以直线方程为或. 【变式11-2】（23-24高二上·浙江宁波·期中）经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是 . 【答案】和； 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据直线过原点和不经过原点两种情况，即可由待定系数的方法求解. 【详解】若直线经过原点，则设直线方程为，将代入可得， 若直线不经过原点，设直线方程为， 将代入可得，所以直线方程为，即， 故答案为：和； 【考点题型十二】点关于直线对称点 【解题方法】中点坐标公式+斜率 【例12-1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设所求对称点的坐标为，根据垂直平分列方程组求解即可. 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 【变式12-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【答案】 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小，转化为“将军饮马”问题，即可求解. 【详解】解：因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得， 因为点，故所求点. 故答案为： 【例12-2】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且经过点． (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】（1）由倾斜角和斜率的关系求斜率，根据点斜式求直线的方程； （2）设点的坐标为，由条件列方程求即可. 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的倾斜角为， 所以， 所以直线的方程为，即 （2）设点的坐标为， 则，解得， 所以点的坐标为． 【变式12-2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线过点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程 (2)若已知直线，点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点 【分析】（1）根据垂直关系得到斜率，结合点坐标得到直线方程. （2）设出对称点，根据斜率的关系和中点坐标得到方程组，解得答案. 【详解】（1）直线与直线垂直，则， 故直线的方程为，即 （2）设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，故对称点坐标为. 【考点题型十三】直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 【解题方法】方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 【例13-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【变式13-1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 【例13-2】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线关于点的对称直线、求点关于直线的对称点 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 【变式13-2】（23-24高一·全国·单元测试）已知直线l: . (1)求点P（3， 4)关于直线l对称的点Q； (2)求直线l关于点（2， 3)对称的直线方程． 【答案】(1)Q (2)x－2y＋10＝0 【知识点】求直线关于点的对称直线、求点关于直线的对称点、已知直线平行求参数 【分析】（1）利用PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上列方程求出Q； （2）在直线l上任取一点，如M（0，-1)，求出点M关于点（2， 3)对称的点N（4， 7)．利用平行，求出斜率，即可求出所求的直线方程. 【详解】（1）设Q（x0， y0)． 由于PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上， 则，解得，所以Q. （2）在直线l上任取一点，如M（0， －1). 设点M关于点（2， 3)对称的点为N（x， y)， 所以，解得：，所以N（4， 7) 因为所求直线与l平行，所以, 所以所求的直线方程为，即x－2y＋10＝0. 【考点题型十四】直线关于直线对称问题（两直线相交） 【解题方法】直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 【例14-1】（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程. 【详解】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 【变式14-1】（2023高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线关于直线对称问题 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：A. 【例14-2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、由距离求已知直线的平行线、直线关于直线对称问题 【分析】（1）利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. 【详解】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 【变式14-2】（23-24高二上·广东佛山·期中）直线关于直线的对称直线的方程为 . 【答案】 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】 设出为所求直线上一点，找出其关于的对称点，代入直线即可求出. 【详解】设为所求直线上一点，它关于的对称点为， 则可得， 由题可得在直线上， 所以，整理可得所求的对称直线方程为. 故答案为：. 【考点题型十五】直线关于直线对称问题（两直线平行） 【解题方法】直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【例15-1】（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【知识点】求关于平行直线对称的直线 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【变式15-1】（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； 【答案】（1） ； 【知识点】求关于平行直线对称的直线、直线关于直线对称问题 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． 【考点题型十六】将军饮马问题 【解题方法】对称性 【例16-1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C 【变式16-1】（23-24高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】根据点关于直线的对称，进而根据两点距离公式即可求解. 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围， 再利用正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案. 【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则 故选：C. 3．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 5．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，由直线不经过第二象限，得到关于实数的不等式，求解不等式，即可得到答案． 【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件； 若，直线方程可化为 ，此时若直线不经过第二象限，则且，解得， 综上满足条件的实数的范围是. 故选：D 6．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 7．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线过定点问题 【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到到直线的最远距离为，此时直线垂直于，即可求出直线方程． 【详解】因为直线， 所以可将直线方程变形为， ，解得，， 由此可得直线系恒过点 到直线的最远距离为，此时直线垂直于，， 直线的斜率为， ，， 直线的一般方程为． 故选：A 8．（23-24高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【知识点】求直线交点坐标 【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得. 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直、直线过定点问题 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A，利用直线过定点的求解判断B，利用直线平行与垂直的性质判断CD，从而得解. 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 10．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】BD 【知识点】由直线的交点坐标求参数、求直线交点坐标 【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果. 【详解】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点； 当平行时可得，此时不合题意，因此； 联立，即，解得交点坐标为， 因此不在上，即可得，可得； 所以若三条直线围成一个三角形，只需且即可. 故选：BD 三、填空题 11．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ． 【答案】1或4 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线互相垂直的公式，即可求解. 【详解】由，可知，， 解得：或. 故答案为：或 四、解答题 13．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    14．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点关于直线的对称点、由距离求已知直线的平行线、求直线交点坐标、直线关于直线对称问题 【分析】（1）利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. 【详解】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$