专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单+知识导图+ 10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

清单02 空间向量研究距离、夹角问题 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点. 过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量， 且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【清单02】用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点， ，为所成的角为，则 ①②. 【清单03】用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ①②.（注意此公式中最后的形式是：） 【清单04】用向量运算求平面与平面的夹角 若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量 ①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【考点题型一】利用空间向量求点面距 【解题方法】 【例1-1】（24-25高二下·全国·随堂练习）已知直线经过点，且向量所在直线与动直线垂直，则点到所在平面的距离为 ． 【变式1-1】.（23-24高二下·安徽·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为 . 【例1-2】（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为 . 【变式1-2】（23-24高二下·江苏南京·期末）平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为 . 【考点题型二】异面直线所成角 【解题方法】向量法 【例2-1】（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·上海·高考真题）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 【考点题型三】异面直线所成角的最值或范围 【解题方法】向量法 【例3-1】（23-24高二下·河南开封·期末）在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·重庆·期末）正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【例3-2】（23-24高二上·辽宁·期中）三棱锥中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值 ，若记直线与直线的所成角为，则的取值范围为 . 【变式3-2】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 . 【考点题型四】已知线线角求参数 【解题方法】向量法 【例4-1】（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，F，G分别是PB，AD的中点． (1)求证：平面PCB； (2)在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点的位置，若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是AB的中点． (1)求直线到平面的距离． (2)在线段AB上找一点，使得与CP所成角为60°，求的值． 【考点题型五】直线与平面所成角（定值） 【解题方法】向量法，法向量 【例5-1】（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·河南焦作·开学考试）在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24高一下·安徽六安·期末）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为 ． 【考点题型六】直线与平面所成角（最值或范围） 【解题方法】向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例6-1】（24-25高二上·江苏·假期作业）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是 . 【例6-2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上． (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【变式6-2】（23-24高一下·河南许昌·期末）在三棱锥中，若，，，且，，，为底面内部及边界上的动点，则与底面所成角的正弦值的取值范围为 ． 【考点题型七】直线与平面所成角（探索性问题） 【解题方法】向量法，法向量 【例7-1】（2025·广东深圳·一模）如图，平面ABCD，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． (1)求证：平面CPM； (2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求的值． 【变式7-1】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，. (1)求二面角的余弦值； (2)线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【例7-2】（2024·安徽·一模）如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. (1)证明：平面； (2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【变式7-2】.（24-25高三上·广东汕头·开学考试）多面体的底面为梯形，，，，，且四边形为矩形，点P为线段上一点（异于点）．    (1)若点P为线段中点，求证：平面； (2)是否存在点P，使直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【考点题型八】两个平面所成角（定值） 【解题方法】向量法，法向量 【例8-1】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 . 【变式8-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 【例8-2】（23-24高二下·江苏常州·期中）等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为 . 【变式8-2】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为 ，二面角的平面角的余弦值为 . 【考点题型九】两个平面所成角（最值或范围） 【解题方法】向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例9-1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二下·浙江衢州）长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（2024·浙江·模拟预测）如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以 为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面 所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高三上·浙江杭州）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】两个平面所成角（探索性问题） 【解题方法】向量法，法向量 【例10-1】（2024·广东·模拟预测）图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面ABC； (2)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 【变式10-1】（24-25高二上·山东东营·开学考试）如图，六面体中，面且面，. (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦. 【例10-2】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）如图，四棱锥中，底面，，，．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【变式10-2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）如图，在四棱锥中，底面. (1)若，证明：平面； (2)若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由. 【例10-3】（24-25高三上·四川达州·开学考试）如图，在三棱柱中，平面．    (1)求证：平面； (2)设点满足，若平面与平面的夹角为，求实数． 【变式10-4】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，平面. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 提升训练 1．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 6．（23-24高一下·吉林·期末）在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 8．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·河南洛阳·期末）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题 11．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 12．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 . 13．（23-24高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 四、解答题 14．（2025·江苏南通·一模）如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求点E到平面的距离． 15．（23-24高三下·广西·阶段练习）在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.    (1)证明：平面； (2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ. 16．（22-23高二下·四川内江·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，PF=PC，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 空间向量研究距离、夹角问题 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点. 过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量， 且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【清单02】用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点， ，为所成的角为，则 ①②. 【清单03】用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ①②.（注意此公式中最后的形式是：） 【清单04】用向量运算求平面与平面的夹角 若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量 ①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【考点题型一】利用空间向量求点面距 【解题方法】 【例1-1】（24-25高二下·全国·随堂练习）已知直线经过点，且向量所在直线与动直线垂直，则点到所在平面的距离为 ． 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】由点到平面的距离公式计算得到答案. 【详解】， 由点到平面的距离公式. 故答案为：. 【变式1-1】.（23-24高二下·安徽·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建系，写出相关点的坐标，分别求出与平面的法向量的坐标，代入点到平面距离的向量计算公式计算即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则, 于是，，, 设平面的法向量为，则， 故可取，则点到平面的距离为. 故答案为： 【例1-2】（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】根据题意，利用空间向量的距离公式，即可求解. 【详解】由点和，可得， 又由平面的一个法向量为，所以点B到平面PAD的距离为. 故答案为：. 【变式1-2】（23-24高二下·江苏南京·期末）平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【知识点】点到平面距离的向量求法、空间向量的坐标运算 【分析】运用空间向量点到面的距离公式即可解题． 【详解】根据点到面的距离公式，且，， 可得点到平面的距离． 故答案为：． 【考点题型二】异面直线所成角 【解题方法】向量法 【例2-1】（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法求，则得线线角. 【详解】连接交于，连接， 由四棱锥是正四棱锥，则平面，且. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由，不妨设，则， 在中，， 则，则， ， 则， 由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】法一：以基底，表示，代入向量夹角公式计算即可； 法二：分别以所在的直线为轴，通过向量的坐标运算计算即可； 法三：由，将直线和夹角即为直线和所成角或其补角，通过余弦定理即可求解. 【详解】化为空间向量问题，以作为基底，则 ， 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于.进行向量运算 因为四面体为正四面体，所以且夹角均为， 所以 . 故选：C. 【法二】分别以所在的直线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 得 得. 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于. 进行向量运算得.. 故选：C 【法三】连接，易得， 则直线和夹角即为直线和所成角或其补角， 设正方体的棱长为2， 则中，， 由余弦定理得，. 故选：C 【例2-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】依题意分别为基底表示出，求出，，再结合数量积运算律求出，根据向量夹角计算公式可得结果. 【详解】根据题意以为基底表示出可得： ，， 又棱两两的夹角均为，不妨取，则； 所以； ； 又 ； 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 【变式2-2】（2024·上海·高考真题）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案为： 【考点题型三】异面直线所成角的最值或范围 【解题方法】向量法 【例3-1】（23-24高二下·河南开封·期末）在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】选取为基底，将进行分解，可表示出：，，，进一步结合向量夹角公式即可求解. 【详解】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点）， 选取为基底，由题意， 而， 从而， ， ， 所以， 设，因为，所以，而， 因为 ， 设，则，， 当且仅当，即，即时，的最小值为， 所以当且仅当时，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是表示出：，，，进一步得出，由此即可通过换元法得解. 【变式3-1】（23-24高二上·重庆·期末）正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】 设，以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系，从而得到和的坐标.又因为，从而得到异面直线BE与AF夹角余弦的最大值. 【详解】设， 以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，， 故所求角的余弦值为，当时取“”． 故选：D 【例3-2】（23-24高二上·辽宁·期中）三棱锥中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值 ，若记直线与直线的所成角为，则的取值范围为 . 【答案】 / 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、锥体体积的有关计算、异面直线夹角的向量求法 【分析】由题意先确定出点在平面内的轨迹，从而可求出三棱锥体积的最大值，根据题意建立空间直角坐标系，利用两直线方向向量夹角的余弦值，结合三角函数的性质可求得其范围. 【详解】因为两两垂直，且， 所以由三角形全等可得， 所以三棱锥为正三棱锥，设在底面内的投影为，为的中点， 因为，两两垂直， 所以， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以点点在平面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 所以的最大值为， 因为， 所以三棱锥体积的最大值为， 如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以, 所以， 因为， 所以，即， 即的取值范围为， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：此题考查棱锥的体积运算，考查线线角的求解，考查空间向量的应用，解题的关键是合理建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 【变式3-2】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】取中点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线与所成角余弦的取值范围. 【详解】因为， 则， 所以 ，是以为斜边的等腰直角三角形， 取中点，连接，则，， 所以即为二面角的平面角， 如图： 以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为， 则， 又，所以，则， 所以. 故答案为：. 【考点题型四】已知线线角求参数 【解题方法】向量法 【例4-1】（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，F，G分别是PB，AD的中点． (1)求证：平面PCB； (2)在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)在AP上存在一点M，点M为AP中点，使得DM与PC所成角为60° 【知识点】证明线面垂直、空间向量平行的坐标表示、已知线线角求其他量 【分析】（1）以点D为原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，建立平面PBC的法向量，证得，即GF⊥平面PCB; （2）设＝λ，求得点M坐标表示，使用空间向量数量积公式，求得的值，即得到点M的坐标. 【详解】（1）以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，， 设平面PCB的法向量为， 则，即，令，则，，∴， ∴，故平面PCB． （2）设，则，∴， ∵DM与PC所成角为60°，， ∴，解得， 故在AP上存在一点M，点M为AP中点，使得DM与PC所成角为60°． 【变式4-1】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是AB的中点． (1)求直线到平面的距离． (2)在线段AB上找一点，使得与CP所成角为60°，求的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】证明线面平行、已知线线角求其他量、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由已知条件可证得平面，从而直线到平面的距离即为点到平面的距离，建立空间直角坐标系, 求出平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可； （2）设，则，利用空间向量夹角余弦公式列出方程，即可解出答案． 【详解】（1）如图，连接交于点，连接DE， 在三棱柱中，四边形为平行四边形， ∴E是的中点，又是AB的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∴直线到平面的距离即为点到平面的距离， 因为在三棱柱中，侧棱平面，平面，， 则以CA为轴，CB为轴，为轴建立空间直角坐标系， 又，，， 故，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，得，，所以， 又， 所以点到平面的距离，即直线到平面的距离为； （2）因为，，， 所以，，， 设，所以， 因为与CP所成角为60°， 所以， 整理得，即， 解得，即． 【考点题型五】直线与平面所成角（定值） 【解题方法】向量法，法向量 【例5-1】（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高二上·河南焦作·开学考试）在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体， 点分别是和的中点， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B.    【例5-2】（23-24高一下·安徽六安·期末）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间中距离和角的计算、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】法一，作出直线在平面的射影为，得线面所成角，推导三余弦公式，代入计算即得；法二，建系，写出相关点和相关向量的坐标，运用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，则平面，直线与平面所成角为. 作于点H，连接，因平面，则， 又平面，则平面， 又平面，则. 于是有，， 即(*). 因由对称性知，，代入（*）得， ,故. 故选：A. 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以，所以. 设直线与平面所成角为，所以， 故选:A 【变式5-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】线面角的向量求法、求空间图形上的点的坐标、求平面的法向量、已知线线角求其他量 【分析】设，由题意求出长方体的棱，的长，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】设，，，则， 由于，所以异面直线与AD所成角为，而，从而， 由于，所以异面直线与AB所成角为，从而， 所以，． 如图，以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，取， 所以直线和平面所成的角的正弦值为， 从而直线和平面所成的角的余弦值为． 故答案为： 【考点题型六】直线与平面所成角（最值或范围） 【解题方法】向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例6-1】（24-25高二上·江苏·假期作业）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、线面角的向量求法 【分析】设正方体的棱长，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，求出的坐标，求出向量，的夹角的余弦值，进而求出直线与平面所成的角的正弦值，进而可得它的余弦值，再由函数的单调性，可得余弦值的取值范围． 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长2，，，0，，，2，，，1，，，2，， 则，1，，，， 则，0，，，2，， 设平面的法向量，，， 则，即，令， 可得，1，， ，，， ， 设直线与平面所成的角为，，， 所以， 所以 ， 设， 则， 设，，， 当时，即， 则，时，函数单调递减，，时，函数单调递增， 而时，；当时，； 当时，， 所以，时，，，所以，， 进而可得， 所以，． 故选：D． 【变式6-1】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是 . 【答案】 【知识点】线面角的向量求法、立体几何中的轨迹问题、求线面角 【分析】因为平面 平面 ，所以可知 的移动轨迹，进而可以通过建立空间直角坐标系求解直线与平面所成角正弦值的取值范围. 【详解】如图，连接 ， 易知 ， 所以平面 平面 . 因为点 与平面 的距离保持不变， 所以点 的移动轨迹为三角形 的三条边， 建立如图所示的空间直角坐标系，假设正方体的边长为2 则 所以 设平面的一个法向量为 则，令则，所以 当点在线段时，设， 所以 设直线与平面所成角为 则 令，则 所以 所以当，即时， 此时点为线段的中点. 当在线段时，同理可求得 此时点与点重合. 综上所述，直线与平面所成角正弦值的取值范围为 故答案为： 【例6-2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上． (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、判定空间向量共面 【分析】（1）利用共面向量定理可证明； （2）建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦可得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，，，四点共面． （2）因为， 所以点在底面的射影落在上，过点作，过点作，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，又平面， 则，在中，， 又因为底面是边长为4的菱形，且， 所以，则， 设与的交点为，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 由，可求得，， 所以，， 设为平面的法向量， 由，即，取，则，， 所以， 因为，所以， 设，所以， 所以， 设直线与平面所成角的为， 所以， 因为，所以，， 所以． 【变式6-2】（23-24高一下·河南许昌·期末）在三棱锥中，若，，，且，，，为底面内部及边界上的动点，则与底面所成角的正弦值的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求线面角、用两点间的距离公式求函数最值、线面角的向量求法 【分析】利用空间向量法来确定坐标，再利用空间向量法来求线面角正弦值，最后利用解析几何思想，数形结合找到最优解求值即可. 【详解】 因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又因为，，则，，设， ，， 又由，，可得， ，解得，则， 由为底面内部及边界上的动点，可设，且， 则，设与底面所成角为， 由于平面的法向量可取为， 则， 把看成动点到定点的距离的平方， 利用数形结合可得： 在底面内部及边界上的动点中，最小值最优解是，代入得， 最大值是优解是，代入得， 故答案为：. 【考点题型七】直线与平面所成角（探索性问题） 【解题方法】向量法，法向量 【例7-1】（2025·广东深圳·一模）如图，平面ABCD，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． (1)求证：平面CPM； (2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】平行公理、已知线面角求其他量、证明线面平行 【分析】（1）连接EM，利用平行公理、线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面PQM的法向量，设出点的坐标，利用线面角的向量求法列式计算即得. 【详解】（1）连接EM，由，得， 又，则四边形为平行四边形， 由点E和M分别为AP和BQ的中点，得且， 而，F为CD的中点，则且， 四边形为平行四边形，则，又平面MPC，平面MPC， 所以平面MPC． （2）由平面，，得直线两两垂直， 以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设为平面PQM的法向量，则， 取，得， 设，即， 则，， 由直线DN与平面PMQ所成的角为，得， 即，整理得，而，解得， 所以. 【变式7-1】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，. (1)求二面角的余弦值； (2)线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【知识点】面面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理证平面，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解； （2）利用共线关系表示点的坐标，利用列式求解即可求解. 【详解】（1）取的中点为. 平面平面平面，平面平面，平面. 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴， 建立如图的空间直角坐标系， ， ，，， 设平面的法向量为 即 令，则. 又平面的法向量为，则， 设二面角的平面角为，由图形知为锐角， ，即二面角的余弦值为. （2）设，， . 又平面的法向量为平面，∴， ∴，，即. ∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是. 【例7-2】（2024·安徽·一模）如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. (1)证明：平面； (2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）取的中点，连接，推导出平面，再利用线面垂直的性质定理结合勾股定理逆定理可证得结论成立； （2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，其中，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接，与交于Q点， 在底面矩形中，易知， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 易知，所以， 由题意可知, 所以，而相交，且平面， 所以平面； （2）由上可知，，， 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 解得，即. 【变式7-2】.（24-25高三上·广东汕头·开学考试）多面体的底面为梯形，，，，，且四边形为矩形，点P为线段上一点（异于点）．    (1)若点P为线段中点，求证：平面； (2)是否存在点P，使直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】证明线面平行、已知线面角求其他量、证明面面平行、证明线面垂直 【分析】（1）先用余弦定理证明为等腰直角三角形，取的中点F，证明，结合条件可判定面面平行，再证线面平行即可； （2）取的中点O，利用勾股定理及逆定理结合线面垂直的判定先证底面，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】（1）由条件可知， 则 即为等腰直角三角形，所以， 取的中点F，连接， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为四边形为矩形，点P为线段中点，所以， 同理有平面， 而平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面；    （2）    取的中点O，连接， 根据题意知，即为等腰直角三角形， ， 则， 因为底面，所以底面， 过O作，易知， 如图所示建立空间直角坐标系，易知， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线与平面所成的角为，， 解之得，即. 【考点题型八】两个平面所成角（定值） 【解题方法】向量法，法向量 【例8-1】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 . 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可. 【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 所以， 当时，最小，此时，为中点，则， 取的中点，连接，则， 因为，，所以，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 因为，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值是， 所以平面与平面夹角的正弦值是． 【变式8-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面所成的角的大小. 【详解】 因为平面，底面为正方形，， 所以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 由题知，平面PAD的法向量为， 设平面PBC的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面与平面所成的角为，则， 又，所以， 所以平面与平面所成的角的大小为， 故答案为：. 【例8-2】（23-24高二下·江苏常州·期中）等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】取中点，中点，则平面，推导出，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】取中点，中点，则平面，, 所以，，， ，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，取， 得， 平面的法向量为，设二面角的平面角为， 所以， 故答案为： 【变式8-2】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为 ，二面角的平面角的余弦值为 . 【答案】 五边形； /. 【知识点】面面角的向量求法、判断正方体的截面形状 【分析】记上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为，以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量平行证明五点共面，可判断截面形状；求出平面和平面的法向量，根据二面角的向量公式，结合图形直观判断可得. 【详解】记上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 因为，所以四点共面，且四点共面， 又两平面有不共线的三个公共点，所以两平面重合， 即过，，做该正方体的截面为五边形. 设平面的法向量为， 则，取，得， 易知平面的一个法向量为， 所以， 记二面角的平面角为，由图可知为钝角， 所以. 故答案为：五边形；. 【考点题型九】两个平面所成角（最值或范围） 【解题方法】向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例9-1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可． 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时， 当，时，则，此时， 综上， 故选：A. 【变式9-1】（23-24高二下·浙江衢州）长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】面面角的向量求法、求二面角 【分析】根据题中的线面关系建立空间坐标系，运用空间向量求解即可. 【详解】如图以点D为坐标原点建立空间坐标系 设点P的坐标为 图中各点的坐标表示如下： B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0) ，又 即，，所以 所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段， 且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角B-AD-P逐渐增大 当点P位于C点处时，二面角B-AD-P最小，最小值为0 当点P为与BB1四等分点处时，二面角B-AD-P最大，此时， 即为二面角B-AD-P的平面角， 所以二面角B-AD-P正切值的取值范围为[0，].选项ACD错误，选项B正确 故选：B. 【例9-2】（2024·浙江·模拟预测）如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以 为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面 所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】面面角的向量求法 【分析】连接，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用即可求解. 【详解】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形， 则，所以 设， 由为线段的中点， 则， 由， 所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，设， ，，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则，， 所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 解得，令，则， 所以， 平面与平面所成锐二面角的平面角为， 则， 将分子、分母同除以，可得 令， 当时，， 则的最大值为：. 故选：D 【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题. 【变式9-2】（23-24高三上·浙江杭州）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】面面角的向量求法 【分析】设面与底面所成的二面角的平面角为，设边长为,建立直角坐标系，设可求得平面的一个法向量为,而底面的一个法向量为,由,化简讨论即可求得范围. 【详解】 设面与底面所成的二面角的平面角为，如图所示，建立直角坐标系， 设平面的一个法向量为,则取,而底面的一个法向量为,则, 结合选项，当时, ， 当时, ,时，取到， 故. 故选:. 【点睛】本题主要考查在空间直角坐标系中二面角的求法，考查学生的转化能力和计算求解能力.难度一般. 【考点题型十】两个平面所成角（探索性问题） 【解题方法】向量法，法向量 【例10-1】（2024·广东·模拟预测）图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面ABC； (2)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】已知面面角求其他量、证明面面垂直 【分析】（1）取中点为，连接，利用勾股定理证明，再结合，即可由线线垂直证明线面垂直； （2）根据（1）中所证，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，以及两个平面的法向量，利用夹角公式，即可求得参数的值. 【详解】（1）由于正方形ABCD的边长为，所以． 取AC的中点O，连接PO，BO， 由题意，得，再由，可得，即． 由题易知，又，面，所以平面ABC， 又平面PAC，所以平面平面ABC． （2）由（1）可知，，又， 故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，． 所以，，， 由题意知，所以． 所以． 设平面MBC的法向量为， 则令，得； 设平面的法向量为， ，令，得； 则， 设，，则上式可化为， 即，所以（舍去）， 所以，解得． 【变式10-1】（24-25高二上·山东东营·开学考试）如图，六面体中，面且面，. (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、已知面面角求其他量、证明线面垂直 【分析】（1）先证和，得，再由余弦定理，求出，得证，由即可证得平面； （2）取中点，连接，证明两两垂直，建系，设，写出相关点和向量坐标，利用已知二面角列方程求出值，继而通过空间向量夹角公式即可求得所求线面角余弦值. 【详解】（1）因为面且面面且面， 所以且，在面中，，同理，在面中，， 因为，所以，又， 由余弦定理，，则， 由可得， 由面面，知， 又因为面面，所以面. （2） 取中点，连接,由题可知，且， 所以四边形为平行四边形，则，因面，故面， 又因为正三角形，所以两两垂直， 以为坐标原点，以的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则 易得，故有，， 设面的法向量为，则有， 不妨设，则得，， 又面，故面的法向量可设为， 由题意，解得， 于是，， 设面的法向量为，则有 不妨设，得， 设直线与平面所成角为，则. 又，故，则直线与平面所成角的余弦值为. 【例10-2】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）如图，四棱锥中，底面，，，．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量 【分析】（1）由题意推出，再由线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，由空间角的向量求法，列式计算，可得.答案 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以， 而平面，所以． 因为，所以， 又平面，故， 又平面，平面，所以平面． （2）以，为，轴，过点作平面垂直的线为轴，建立如图所示空间直角坐标系：    令，则，，， ，， ， 设平面的法向量，所以， 设，则，，所以， 设平面CPD的法向量为，所以， 设，则，，所以， 因为二面角A-CP-D的正弦值为，则余弦值为， 又二面角为锐角，所以， 解得，所以 【变式10-2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）如图，在四棱锥中，底面. (1)若，证明：平面； (2)若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点是线段上靠近点的三等分点. 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定证得，再利用线面平行的判定推理即得. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，于是，由，得， 则，又平面平面， 所以平面. （2）由（1）知，过点作平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 假设存在点满足条件，令， ， 设平面的法向量，则，令，得， 由平面，得为平面的法向量， 由二面角的正弦值为，得， 即，而，解得， 所以点是线段上靠近点的三等分点，使得二面角的正弦值为. 【例10-3】（24-25高三上·四川达州·开学考试）如图，在三棱柱中，平面．    (1)求证：平面； (2)设点满足，若平面与平面的夹角为，求实数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据题意由线面垂直求出，再利用线面垂直即可求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用空间向量法求出面面夹角，从而可求解. 【详解】（1）证明：平面平面，． 又，且平面， 平面． 平面． 又平面， 平面． （2）由（1）知四边形为正方形，即，且有， 以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则． ， ． 设平面的一个法向量为，由得： ，取． 由（1）知平面平面的一个法向量为， ，解得. 所以. 【变式10-4】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，平面. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)存在，. 【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量、证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）只需结合已知证明平面，由面面垂直的判定定理即可进一步得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，引入参数，进一步表示两个平面的法向量，由向量夹角公式建立方程即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以，又， 所以两两互相垂直， 所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 如图，， 设， 则， ，设平面的法向量为， 则，即，取，满足条件， 所以可取， ，，设平面的法向量为， 则，即，取，解得， 所以， 由题意， 化简并整理得，解得或（舍去）， 所以， 综上所述，棱上是否存在一点E，且，使得二面角的余弦值为. 提升训练 1．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以.    故选：C. 2．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法，列公式求解即可； 【详解】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴， 设直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为； 故选: A 3．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为正三棱锥的侧面都是直角三角形， 所以可以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 因为分别是的中点， 所以， ， 设平面的法向量为， 则有， 所以与平面所成角的正弦值为：， 故选：C    4．（23-24高二下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故， 设直线与平面所成角为，则. 故选：B 5．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【知识点】已知面面角求其他量 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 6．（23-24高一下·吉林·期末）在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】法一：利用坐标法可得异面直线夹角余弦值；法二：根据异面直线夹角的定义可得角. 【详解】法一： 如图，以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 从而，， 故， 即异面直线与所成角的余弦值是； 法二： 如图所示，取中点，连接，，，， 由正方体可知， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 设，则，， 由正方体可知，平面， 即，， 则， 在中，由余弦定理， 则直线与所成角的余弦值为， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 7．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】先求出与同方向的单位向量的坐标，继而计算和，代入点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由可知, 则与同方向的单位向量为， 又 , , 故点到直线的距离为. 故选：D. 8．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】利用点到直线距离的向量表示可直接求得答案. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以点C到直线AB的距离=， 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高二上·河南洛阳·期末）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】面面角的向量求法 【分析】计算，即可得出答案. 【详解】， 所以二面角的大小可能为或． 故选：BC 10．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABC 【知识点】线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】A项，求出和面的法向量即可得出结论；B项，求出的坐标即可求出的长；C项，D项，求出和平面的法向量即可求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为2，，分别是，的中点 作空间直角坐标系如下图所示， , ， A项，， 面的一个法向量为， ∵， ∴平面，A正确； B项，，B正确； ∵，平面的一个法向量为， 设线与平面所成角为， ， ∴C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 11．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】根据向量数量积、模的运算、夹角等知识来求得正确答案. 【详解】由于底面，平面，所以， 而底面是矩形，所以， ， ， 所以， . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 12．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】根据条件建立空间直角坐标系，先求得平面与平面的法向量，再求出向量夹角的余弦值. 【详解】因为平面，平面，平面，所以，， 又，故以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则， 设平面法向量， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 13．（23-24高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法求点到直线的距离. 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 取，，则，， 所以点到直线的距离为. 故答案为：.    四、解答题 14．（2025·江苏南通·一模）如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求点E到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为为直三棱柱，所以， 又D，E，分别为AB，BC的中点，所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）    因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，且，则， 则，， 由可得，即，且，解得， 设，则，即， 设平面的法向量为， 则，解得，取，则， 所以平面的一个法向量为， 又，即， 所以点E到平面的距离. 15．（23-24高三下·广西·阶段练习）在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.    (1)证明：平面； (2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）题意先证明平面，得到，根据线面垂直判定定理得证； （2）作，垂直为Q，由（1）得，证得平面，以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，根据与平面所成角正弦值为，解得参数的值； 【详解】（1）证明：由题意知，， 又，所以平面， 又平面，所以， 又，，所以平面 （2）作，垂直为Q，由（1）知，平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面 故以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，则，，，， 又， 所以，故， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则 设与平面所成角为θ， 则， 解得或， 由题意知，故.    16．（22-23高二下·四川内江·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，PF=PC，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，从而证明，得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，利用二面角大小列出方程，求出，得到结论. 【详解】（1）在PD上取中点G，连接AG，EG，如图： ∵G和E分别为PD和PC的中点，∴，且， 又∵底面ABCD是直角梯形，，， ∴且．即四边形ABEG为平行四边形， ∴， ∵平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD； （2） 因平面，平面，故，又， 故可以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 易得，，，， 则， 由F为棱PC上一点，设则， ， 设平面FAD的法向量为， 由故可取，， 取平面ADC的法向量为， 设二面角的平面角为，则， 化简得，，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点F，此时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$