专题01 空间向量的线性运算（考点清单+知识导图+16 个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

清单01 空间向量的线性运算 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【清单02】空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 【清单03】共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【清单04】空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 【清单05】空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【清单07】空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【清单07】空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【考点题型一】空间向量基本概念 【解题方法】向量的基本概念 【例1-1】（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式1-1】（23-24高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【例1-2】（多选）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）给出下列几个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，则或； ③对于任何向量，，必有． 其中正确命题的序号为 ． 【考点题型二】空间向量共线判断 【解题方法】共线定理 【例2-1】（23-24高二上·福建南平·阶段练习）下列各组向量中不平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·吉林·阶段练习）下列各组向量平行的是（     ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【变式2-2】（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【考点题型三】由空间向量共线求参数或值 【解题方法】共线定理 【例3-1】（23-24高二上·北京丰台·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知，.若，则与的值可以是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知，，不共面，若，，且三点共线，则 【变式3-2】（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【例3-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【变式3-3】（23-24高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【考点题型四】判断空间向量共面（四点共面） 【解题方法】空间向量共面定理 【例4-1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【例4-2】（多选）（23-24高二上·广东江门·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）（23-24高二上·广西贵港）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【考点题型五】由空间向量共面（四点共面）求参数 【解题方法】空间向量共面定理 【例5-1】（23-24高二下·河南许昌·阶段练习）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·辽宁丹东）已知空间向量，，，若，，共面，则实数 . 【例5-2】（23-24高二上·湖南郴州·阶段练习）为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·全国·课堂例题）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则 . 【考点题型六】用基底表示向量 【解题方法】空间向量的加减数乘运算 【例6-1】（24-25高二上·福建·开学考试）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【例6-2】（23-24高二下·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【考点题型七】空间向量数量积运算 【解题方法】定义法+坐标法 【例7-1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则 ． 【变式7-1】（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知正方体的棱长为1，且，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【例7-2】（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求的坐标； (2)求的值 【变式7-2】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量，，则 . 【考点题型八】求空间向量数量积的最值（范围） 【解题方法】坐标法，极化恒等式 【例8-1】（23-24高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·上海·期末）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【例8-2】（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，且，则球的表面积为 ，若是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，则的最大值为 ． 【考点题型九】求空间向量模 【解题方法】 【例9-1】（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】.（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【例9-2】（24-25高二上·山东泰安·开学考试）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【变式9-2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 【考点题型十】求空间向量模的最值（范围） 【解题方法】坐标法 【例10-1】（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式10-1】（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例10-2】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，点是线段上的点，，当为何值时，的长最小？    【考点题型十一】求空间向量夹角 【解题方法】夹角公式 【例11-1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二下·全国·随堂练习）如图，在长方体中，设，，是的中点，则与的夹角为 ， ．    【例11-2】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【变式11-2】（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 【考点题型十二】空间向量夹角为锐角（钝角） 【解题方法】向量点乘正负 【例12-1】（23-24高一下·湖南·期末）已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，夹角的余弦值； (2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围. 【例12-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知空间向量，. (1)若与共线，求实数的值； (2)若与所成角是锐角，求实数的范围． 【变式12-2】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十三】求投影向量 【解题方法】 【例13-1】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）空间向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例13-2】（23-24高三上·山东青岛·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）向量，向量在向量上的投影向量坐标是 . 【考点题型十四】空间向量平行与垂直关系 【解题方法】； （均非零向量） 【例14-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知向量，且，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 【例14-2】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，且，则的值是（    ） A．1 B．－1 C．3 D．－3 【变式14-2】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 【考点题型十五】证明线面平行和面面平行 【解题方法】⇔⇔，⇔⇔ 【例15-1】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【变式15-1】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【例15-2】（23-24高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【变式15-2】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．    (1)证明：平面ABCD； (2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【考点题型十六】证明垂直关系 【解题方法】⇔⇔⇔，⇔⇔⇔ 【例16-1】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：. (2)求证：平面. 【变式16-1】（2023·上海静安·二模）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若. (1)求五面体ABCDEF的体积； (2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD. 【例16-2】（24-25高二上·山东泰安·开学考试）如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【变式16-2】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【例16-3】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA＝2，底面ABC于点D，，且DB＝1．    (1)求证：平面PDB． (2)在棱PC上是否存在一点E，使得平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式16-3】（23-24高二下·新疆）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点． （1）求证：平面； （2）在平面内找一点，使平面． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·开学考试）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 3．（24-25高二上·湖北·阶段练习）平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东·期中）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知，则在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量，的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10．（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则 . 12．（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 四、解答题 13．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 14．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体中，分别是的中点    (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 空间向量的线性运算 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【清单02】空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 【清单03】共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【清单04】空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 【清单05】空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【清单07】空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【清单07】空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【考点题型一】空间向量基本概念 【解题方法】向量的基本概念 【例1-1】（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的相关概念逐项判断. 【详解】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确； 向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误. 综上所述，②③正确. 故选：B． 【例1-2】（多选）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【答案】ABD 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判定C. 【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不必相同， 对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误； 向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误； 由相反向量的定义可知C正确. 故选：ABD. 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）给出下列几个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，则或； ③对于任何向量，，必有． 其中正确命题的序号为 ． 【答案】③ 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量加减运算的几何表示 【分析】 根据相反向量的定义可以判断①；两个向量模相等，这两个不一定是相等向量或相反向量可以判断②；通过对，同向，反向，不共线进行分类讨论，结合三角形法则和三边关系则可以判定③. 【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错； 对于②，若，则与的长度相等，但方向没有任何联系，故②不正确； 对于③，若与同向，则，若与反向，，若与不共线，结合三角形法则和三角形三边关系，两边之和大于第三边，所以，综上必有，所以③正确．      故答案为：③ 【考点题型二】空间向量共线判断 【解题方法】共线定理 【例2-1】（23-24高二上·福建南平·阶段练习）下列各组向量中不平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共线定理，对每个选项进行逐一判断即可. 【详解】因为，故都不符合题意； 对：零向量与任意向量都平行，故不符合题意； 对：不存在实数，使得，故满足题意. 故选：D. 【点睛】本题考查空间向量的共线定理，属基础题. 【变式2-1】（23-24高二上·吉林·阶段练习）下列各组向量平行的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平行向量满足判断即可. 【详解】四个选项中仅有A中有.故平行. 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行向量的判定.属于基础题型. 【例2-2】（2024高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明. 【详解】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 【变式2-2】（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量共线的判定 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    【考点题型三】由空间向量共线求参数或值 【解题方法】共线定理 【例3-1】（23-24高二上·北京丰台·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由向量的共线定理即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 可得，解得， 所以. 故选：C. 【变式3-1】（多选）（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知，.若，则与的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果. 【详解】根据题意，有且，得，解得，； 即可得，解得或； 因此与的值可以是或. 故选：AB 【例3-2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知，，不共面，若，，且三点共线，则 【答案】2 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案． 【详解】因为三点共线，所以， 因为，，不共面，三点共线， 所以有， 故，解得， 所以． 故答案为：2 【变式3-2】（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】先根据三点共线得出向量共线，再根据向量共线求参即可. 【详解】由已知得， ，B，D三点共线，与共线，即存在，使得． ， ，不共线，，． 故答案为：. 【例3-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 【变式3-3】（23-24高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【答案】/ 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 【考点题型四】判断空间向量共面（四点共面） 【解题方法】空间向量共面定理 【例4-1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可. 【详解】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 【变式4-1】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【知识点】平面向量基本定理的应用、判定空间向量共面 【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断. 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 【例4-2】（多选）（23-24高二上·广东江门·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量的共面定理判断即可. 【详解】A：，A是； B: ，B是； C：构成空间的一个基底，故无法用表示，C不是； D：，D是； 故选：ABD 【变式4-2】（多选）（23-24高二上·广西贵港）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量共面定理判断． 【详解】因为，，， 所以，，共面，，，共面，，，共面. 假设存在实数，满足， 则，此方程组无解，因此，，不共面. 故选：ABD． 【考点题型五】由空间向量共面（四点共面）求参数 【解题方法】空间向量共面定理 【例5-1】（23-24高二下·河南许昌·阶段练习）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面可设，由此可列出方程组，求得的值，即可得答案. 【详解】因为，，三向量共面，故设，（）, 即， 即有，解得， 故， 故选：D 【变式5-1】（23-24高二上·辽宁丹东）已知空间向量，，，若，，共面，则实数 . 【答案】1 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标表示 【分析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求. 【详解】因为，，共面且，不共线，所以可设， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：1. 【例5-2】（23-24高二上·湖南郴州·阶段练习）为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值. 【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线， 若、、、四点共面，则， 因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面， 所以，，解得. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二下·全国·课堂例题）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则 . 【答案】/0.125 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即， 由于，，，四点共面，则， 解得：； 故答案为： 【考点题型六】用基底表示向量 【解题方法】空间向量的加减数乘运算 【例6-1】（24-25高二上·福建·开学考试）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：A 【变式6-1】（23-24高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 【例6-2】（23-24高二下·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 【变式6-2】（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的数乘运算 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，， 又，所以，    故选：A. 【考点题型七】空间向量数量积运算 【解题方法】定义法+坐标法 【例7-1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】根据向量的线性运算、数量积的运算即可求解. 【详解】因为正四面体，底面边长为2，侧棱PB中点为E， 所以 . 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知正方体的棱长为1，且，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可. 【详解】根据题意知，则， 所以. 故选：B 【例7-2】（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求的坐标； (2)求的值 【答案】(1)，，， (2)6 【知识点】求空间图形上的点的坐标、求空间向量的数量积 【分析】（1）根据图形写出坐标即可； （2）写出向量的坐标，然后用数量积公式计算即可. 【详解】（1）∵， ∴，，，， （2）由（1）可知，， ∴. 【变式7-2】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量，，则 . 【答案】0 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标表示 【分析】先求与的坐标，再进行数量积运算即可. 【详解】由， 则， 则， 故答案为：0. 【考点题型八】求空间向量数量积的最值（范围） 【解题方法】坐标法，极化恒等式 【例8-1】（23-24高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用、求空间向量的数量积 【分析】根据空间向量共线定理即可表示出，进而再求的坐标即可运算. 【详解】∵，点Q在直线OP上运动， ∴可设. 又向量，， ∴，， 则. 易得当时，取得最小值. 故选：B. 【变式8-1】（24-25高二下·上海·期末）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并求点的坐标. 【详解】因为点在直线上运动，， 所以，则，则，则，， 所以， 时，取最小值，此时， 故答案为： 【例8-2】（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解. 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可. 【变式8-2】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，且，则球的表面积为 ，若是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 10 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】第一空：得出球的半径后代入球的表面积公式即可得解；第二空：首先通过变形得到，进一步只需求出的最大值即可. 【详解】根据题意，球的半径为1，所以表面积为， ， 当球与平面相切，点为四边形顶点时，取得最大值， 所以. 故答案为：，10． 【考点题型九】求空间向量模 【解题方法】 【例9-1】（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积、空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 【变式9-1】.（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】首先表示向量，平方后，利用数量积公式，即可求解. 【详解】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 【例9-2】（24-25高二上·山东泰安·开学考试）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 【变式9-2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得. 【详解】单位向量两两夹角均为，则， 所以 . 故答案为： 【考点题型十】求空间向量模的最值（范围） 【解题方法】坐标法 【例10-1】（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解. 【详解】    如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 所以，则， 因为，又， 所以，即， 所以， 又，所以，当且仅当，此时时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：D. 【变式10-1】（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值. 【详解】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 【例10-2】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量模长的坐标表示、用和、差角的余弦公式化简、求值、求cosx（型）函数的最值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先求出向量坐标，再求出模长，最后求范围即可. 【详解】由已知可得, 则 , , 所以， 所以. 故选:A. 【变式10-2】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，点是线段上的点，，当为何值时，的长最小？    【答案】 【知识点】空间距离公式的应用、用空间向量求点的坐标、空间向量模长的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，由点在线段上设点坐标，再由两点间距离公式表示求最值即可. 【详解】以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，以1为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 由分别是的中点，得. 则，由点在线段上，即， 可设点的坐标为， 则， 所以当时，取最小值， 此时， 所以当时，的长最小.    【考点题型十一】求空间向量夹角 【解题方法】夹角公式 【例11-1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得. 【详解】向量，则， ， 所以，的夹角的余弦值为. 故选：C 【变式11-1】（24-25高二下·全国·随堂练习）如图，在长方体中，设，，是的中点，则与的夹角为 ， ．    【答案】 / 1 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、求空间向量的数量积 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，写出和得到数量积，利用公式得到夹角. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，， ，， 所以， ，， 所以， 因为，所以. 故答案为：；. 【例11-2】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得； （2）首先求出与的坐标，再求出，，，最后由夹角公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 则，， 所以，， ， 设向量与夹角为，所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 【变式11-2】（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据空间向量的垂直的坐标表示求出m的值，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】， 又，， 而，故与的夹角为， 故答案为： 【考点题型十二】空间向量夹角为锐角（钝角） 【解题方法】向量点乘正负 【例12-1】（23-24高一下·湖南·期末）已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据题意，只需限制：数量积为负数且向量不能反向共线，即可解题. 【详解】由题意可得，且不能反向共线， 即解得或. 故选：A． 【变式12-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，夹角的余弦值； (2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量数量积的应用 【分析】（1）求出向量，的坐标，再利用向量夹角公式求解即可； （2）利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）因为，，，所以，， 所以， 即，夹角的余弦值为； （2），， 因为与的夹角是钝角，所以且与不共线， 当时，即，解得， 当与共线时，存在实数t，有，于是得， 解得，因此与不共线，则， 所以k的范围是. 【例12-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知空间向量，. (1)若与共线，求实数的值； (2)若与所成角是锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2){且}． 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）利用空间向量共线的坐标表示计算即可； （2）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可. 【详解】（1）由已知可得，． 因为与共线，所以，解得． （2）由(1)知，． 所以，∴． 又当时，与共线， 所以实数的范围为{且}． 【变式12-2】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得. 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是. 故选：C 【考点题型十三】求投影向量 【解题方法】 【例13-1】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据题意，结合投影向量的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点，则，且， 所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 【变式13-1】（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）空间向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算 【分析】根据两个向量的坐标，结合投影向量概念，可以通过计算得出结果. 【详解】与方向相同的单位向量为， 由，，则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 【例13-2】（23-24高三上·山东青岛·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算、求投影向量 【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可. 【详解】根据题意在上的投影向量为， ， 故选：A. 【变式13-2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）向量，向量在向量上的投影向量坐标是 . 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算 【分析】根据投影向量的概念计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量坐标为： . 故答案为：. 【考点题型十四】空间向量平行与垂直关系 【解题方法】； （均非零向量） 【例14-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解. 【详解】向量，则， 因，于是得，解得， 所以. 故选：B. 【变式14-1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知向量，且，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量平行的坐标表示即可得结果. 【详解】根据可得存在实数满足，即， 即可得，解得. 故选：D 【例14-2】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，且，则的值是（    ） A．1 B．－1 C．3 D．－3 【答案】AD 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由可求出的值，再由，得，可求出的值，从而可求出的值. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 即， 所以当时，；当时，． 所以或． 故选：AD 【变式14-2】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 【答案】C 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】因为，所以， 解得， 故选：C. 【考点题型十五】证明线面平行和面面平行 【解题方法】⇔⇔，⇔⇔ 【例15-1】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）取基底，根据图形将与用向量表示出来，进而可推出，从而得证； （2）要证明面面平行，首先要证线线平行，由（1）知，只需证明即可，方法同（1），用向量表示出与的线性关系；结合，即可证明结论. 【详解】（1）取基， 因为 ， ， 所以， 又，无公共点，所以． （2）因为 ， ， 所以， 又，无公共点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 又由（1）知， 同理可得平面， 又， 平面， 所以平面平面． 【变式15-1】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）只需证明平面的法向量与平面中的两个向量垂直即可. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为，所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 【例15-2】（23-24高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 【变式15-2】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．    (1)证明：平面ABCD； (2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】面面垂直证线面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）直接利用面面垂直的性质定理得到线面垂直； （2）利用题中的已知条件建立空间直角坐标系，首先假设存在点M，设，求出平面ABF的法向量，进一步利用线面平行建立等量关系，求解即可． 【详解】（1）因为，点G是EF的中点，所以， 又因为，所以， 由平面平面ABCD，平面平面，平面ADEF， 所以平面ABCD． （2）由（1）得平面ABCD，平面ABCD，∴， 四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG、AD、AB两两垂直， 以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，    所以， 假设线段AC上存在一点M，使平面ABF， 设，则， ∵，∴， 设，则, 所以， , 设平面ABF的法向量为 ，取 由于平面ABF，所以，即，解得 所以，此时， 即当时，平面ABF． 【考点题型十六】证明垂直关系 【解题方法】⇔⇔⇔，⇔⇔⇔ 【例16-1】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：. (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，然后以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法证明线线垂直； （2）先求出平面的法向量，然后利用直线AM的方向向量与法向量共线即可证明线面垂直. 【详解】（1）因为四边形为矩形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系， 由，，得，，，， ，，. 所以，， 所以，所以， 所以 （2）由（1）知，，，. 设是平面的法向量，则，， 所以，得， 取，得，，则. 因为，所以，即与共线. 所以平面. 【变式16-1】（2023·上海静安·二模）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若. (1)求五面体ABCDEF的体积； (2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、求组合体的体积、证明面面垂直 【分析】（1）取AD中点N，连接EN，，易证得EN⊥平面ABCD，五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积，分别求出棱柱的体积和棱锥的体积即可得出答案. （2）证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系.由垂直向量的坐标运算可证得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明；证法2：由题意证得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明； 【详解】（1）因为，取AD中点N，连接EN，， 因为，所以， 又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，， 所以EN⊥平面ABCD，又因为，即，， 平面，所以平面， 所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱， 高等于1，三棱锥是高等于1底面是等腰直角三角形. 五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积. 即： （2）证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系. 点，，，， 所以 得到： 所以，，平面AMD， 所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD. 证法2：因为，所以为等腰三角形，M为EC的中点，所以； 同理在中，，（N为AD中点）又AM、MN平面AMD， ，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE， 平面⊥平面AMD. 【例16-2】（24-25高二上·山东泰安·开学考试）如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 【变式16-2】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)在线段上不存在一点，使平面平面，理由见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、已知面面角求其他量、证明线面垂直 【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面、平面的法向量，根据得到方程，解得，即可判断. 【详解】（1），， ， ，，平面， 平面，平面， ， ，，平面， 平面； （2）由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令， 则， 设，，则，， 设平面的法向量为，则，取， 平面平面， ，解得， ， 在线段上不存在一点，使平面平面．    【例16-3】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA＝2，底面ABC于点D，，且DB＝1．    (1)求证：平面PDB． (2)在棱PC上是否存在一点E，使得平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析. 【知识点】空间位置关系的向量证明、判断线面平行 【分析】（1）推导出，又为平面四边形，从而，由此能证明平面； （2）由点在平面上的射影为可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出，由，得出在线段上不存在点使得平面. 【详解】（1）证明：因为， 所以，所以. 因为为正三角形，所以. 又由已知：在四边形中，由内错角相等，即. 因为平面平面， 所以平面； （2）假如存在平面，面，则， 由面，面，则， 又，面， 所以平面，又平面，所以， 以下建系判断AB、PC是否垂直： 因为平面，面，所以. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则 所以， 因为，所以与不垂直， 所以在棱上不存在点，使得平面. 【变式16-3】（23-24高二下·新疆）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点． （1）求证：平面； （2）在平面内找一点，使平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【知识点】空间线段点的存在性问题、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出平面； （2）设是平面内一点，由平面得出，可求得、的值，进而可确定点的坐标. 【详解】（1）证明：底面，，． 以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 由于． 所以，，，，，， 易知，平面的一个法向量为， 又，，则. 又平面，平面； （2）设是平面内一点， 则，，， 若平面，则，，即. 因此，在平面内存在点，使平面． 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解动点问题，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】立体几何新定义、用空间基底表示向量 【分析】借助待定系数法设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标计算即可得. 【详解】由题意可得， 设， 即有， 即可得，解得，即， 即向量在基底下的斜坐标为. 故选：A. 2．（24-25高三上·上海·开学考试）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 【答案】B 【知识点】空间中的点（线）共面问题、判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数量积的概念辨析 【分析】A由空间向量的概念及性质判断；B注意同向共线的情况；C由向量共面定理判断；D根据空间向量共面的推论判断. 【详解】A：若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向量共面，对； B：对于两个同向共线的非零向量也有，但它们的夹角为0度，不是锐角，错； C：若、、是共面的向量，则存在且， 显然无解，所以、、是不共面的向量，对； D：由，且，根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，对. 故选：B 3．（24-25高二上·湖北·阶段练习）平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解； 【详解】如图： 由平行六面体的性质可得 ， 故选：D. 4．（23-24高二上·广东·期中）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 5．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知，则在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】运用投影的概念，结合数量积和求模公式求解即可. 【详解】在方向上的投影为. 故选：C. 6．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】根据向量线性运算，利用向量表示，再根据向量的模的性质，数量积的运算律求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 又，，，，， 所以 所以. 故选：C. 7．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】直接利用空间向量的基地概念判断选项即可. 【详解】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误； 故选：B 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】求出，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计算，即可求得答案. 【详解】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量，的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【知识点】空间中的点（线）共面问题、判定空间向量共面、向量夹角的计算、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D. 【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误； 对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确. 对C，因为，且，所以四点共面,故C正确. 对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由题意可得，，利用计算可得结论. 【详解】因为平面，平面，所以，， 所以，，    因为，所以， 因为，所以， 因为， ． 故答案为：. 12．（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 【答案】1 【知识点】用空间基底表示向量、三角形的心的向量表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】结合是的重心，根据向量的线性运算，代入即可得出． 【详解】D为AB中点，连接OD，CD，有， 是的重心，则G在CD上，且， 即，则有， 所以， 可得，则有. 故答案为：1 四、解答题 13．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）求出的坐标，计算得出，即可得出证明； （2）求出的坐标，根据空间向量的数量积运算，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，， 所以，，，， 则，， ， ，即. （2）当时，，，， 则，， 所以 . 故：. 14．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体中，分别是的中点    (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)存在，满足，理由见解析 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系出，利用向量垂直的坐标表示及线面垂直判定定理求证； （2）根据向量法判断线面是否平行即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， 由中点坐标公式可得， 则，，， ， ， ，， 即，， 又，平面， 平面. （2）假设存在，使平面，设， 则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 则， 解得， 故存在，满足，使平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$