专题06 椭圆、双曲线、抛物线（能力提升 考点清单+知识导图+ 12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

清单06 椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系） （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 【清单02】点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 【清单03】弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 【清单04】三角形面积问题 直线方程： 【清单05】焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 【清单06】平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【清单07】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 常考题型： ①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题； ④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题 【考点题型一】直线与圆锥曲线的位置关系的判断 核心方法：联立+判别法 【例1-1】（23-24高二上·黑龙江绥化·期中）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【例1-2】（多选）（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 【变式1-1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【变式1-2】（23-24高二·江苏·课后作业）判断直线与椭圆的公共点的个数． 【考点题型二】根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 核心方法：联立+判别法 【例2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交； (2)相切； (3)相离？ 【例2-2】（23-24高二·全国·课后作业）若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为（    ） A．(－2，2) B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）若过点且斜率为k的直线与双曲线只有一个公共点，则 . 【变式2-2】（23-24高二上·全国·课后作业）当取何值时，直线与椭圆. (1)无公共点； (2)有且仅有一个公共点； (3)有两个公共点？ 【考点题型三】中点弦问题 核心方法：点差法+韦达定理法 【例3-1】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 【例3-3】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点． (1)若直线的倾斜角为，试求的中点坐标； 【变式3-1】（多选）（23-24高二上·广东广州·期末）设为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【考点题型四】求弦长（定值） 核心方法：弦长公式 【例4-1】（24-25高二上·全国·课前预习）若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【例4-2】（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆的右焦点为，且经过点 (1)求椭圆C的标准方程： (2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长． 【例4-3】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【变式4-1】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线和椭圆交于两点，则线段的长为 ． 【变式4-2】（24-25高三上·云南·阶段练习）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则 . 【变式4-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【考点题型五】根据弦长求参数 核心方法： 【例5-1】（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程． 【例5-2】（23-24高二上·江西南昌·期中）已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的焦点到渐近线的距离； (2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值. 【例5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知直线与抛物线交于两点，且，求． 【变式5-1】（23-24高二上·山西运城·期中）设直线与抛物线相交于两点，若，求的值. 【变式5-2】（23-24高二上·重庆巴南·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值. 【变式5-3】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的上顶点，点在椭圆上，斜率为的直线过点交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)当的面积是时，求. 【考点题型六】抛物线焦点弦问题 核心方法： 【例6-1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【例6-2】（23-24高二下·四川自贡·期末）已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求该抛物线准线方程及． 【变式6-1】（23-24高二·全国·课后作业）已知斜率为2的直线过拋物线的焦点，求弦的长． 【变式6-2】（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）（1）求符合下列条件的双曲线的标准方程： ①顶点在轴上，两顶点间的距离是8，； ②渐近线方程是，虚轴长为4. （2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点．求线段的长． 【考点题型七】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（定值问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离 【例7-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【例7-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【例7-3】（23-24高二下·安徽宿州·期中）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 【变式7-1】（23-24高二上·河南商丘·期中）已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，． (1)求的方程； (2)过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【变式7-2】（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【变式7-3】（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【考点题型八】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（最值或范围问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离+基本不等式+一元二次函数 【例8-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 【例8-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上. (1)求C的方程； (2)若，求直线AB的方程； (3)若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值. 【例8-3】（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线：．，为上两点，且，分别在第一、四象限．            (1)直线与正半轴交于，与负半轴交于，若，求横坐标的取值范围； (2)直线与正半轴交于，与负半轴交于，记的重心为，直线，的斜率分别为，，且． 若，证明：为定值． (3)若过，作抛物线的切线，，交点在直线上，求面积的最小值. 【变式8-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 【变式8-2】（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线与交于不重合的两点. (1)若的离心率为2，求证：对于给定的或，以为直径的圆经过轴上一定点. (2)若，为轴上一点，四边形为平行四边形，求其面积的最小值. 【变式8-3】（2024·黑龙江大庆·三模）已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为. ①求直线的斜率： ②求面积的最大值. 【考点题型九】圆锥曲线中的向量问题 【例9-1】（23-24高三上·广西玉林·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，线段的中点分别为，．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求． 【例9-2】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 【例9-3】（2024·湖南·二模）已知抛物线，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于两点． (1)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． (2)若三点在抛物线上，且满足，证明三个顶点的横坐标均小于2． 【变式9-1】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)延长交椭圆于，若，求直线的方程. 【变式9-2】（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【变式9-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【考点题型十】圆锥曲线中的定点问题 【例10-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为． (1)求的方程； (2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点． 【例10-2】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值. 【例10-3】（23-24高三上·海南儋州·开学考试）已知动点M到定点的距离比点M到定直线的距离小1. (1)求点M的轨迹C的方程. (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【变式10-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是 (1)求动点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； (2)记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 【变式10-2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C． (1)证明：曲线C为双曲线的一支； (2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由． 【变式10-3】（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3． (1)求抛物线E的方程； (2)过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点． 【考点题型十一】圆锥曲线中的定值问题 【例11-1】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）如图，已知抛物线：上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点． (1)求抛物线的方程； (2)试求的长是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【例11-2】（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，是平面内的动点，且内切圆的圆心在直线上. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作三条不同的直线，，，且轴，与交于，两点，与交于，两点，，都在第一象限，直线，与分别交于点，，证明：为定值. 【例11-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 【变式11-1】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与相交于，两点，为上任意一点且直线，与直线分别交于，两点.求证：直线，的斜率之积是定值. 【变式11-2】（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线，的左、右焦点分别为，且与椭圆有相同的焦点，点到直线的距离为. (1)求的标准方程 (2)直线与C交于两点，点是的平分线上一动点，且，试探究是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由， 【变式11-3】6．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 【考点题型十二】圆锥曲线中新定义题 【例12-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆，椭圆与是“相似椭圆”，已知椭圆的短半轴长为． （1）写出椭圆的方程（用表示）； （2）若椭圆的焦点在轴上，且上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围． 【例12-2】（23-24高二·全国·课后作业）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． (1)设椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，M是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程； (2)如图，已知“盾圆”D的方程为设“盾圆”D上的任意一点M到的距离为，M到直线：的距离为，求证：为定值． 【变式12-1】（23-24高二下·山东青岛·期中）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点，的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 【变式12-2】（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆：. (1)若椭圆：，试判断与是否相似?如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； (2)写出与椭圆相似且短半轴长为b，焦点在x轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求实数的取值范围. 提升训练 1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 3．（24-25高三上·河北保定·开学考试）设抛物线的焦点为，准线为，点上一点到的距离等于，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、多选题 5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为 D．曲线上的点到直线的距离的最大值为 6．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 三、填空题 7．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知抛物线，点，过点作两条相互垂直的直线交于和，其中的中点为的中点为，则面积的最小值为 . 四、解答题 9．（四川省德阳市高中2024-2025学年高三上学期质量监测考试（一）数学试卷）已知和为椭圆上两点. (1)求的离心率； (2)若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程. 10．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线， ①求直线和直线的斜率之积； ②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 11．（24-25高三上·云南普洱·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在C上. (1)求C的离心率； (2)设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 12．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点，直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率分别为. (1)求证：为定值； (2)直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标． 13．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．    14．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为． (1)求椭圆C的方程； (2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围． 15．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系） （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 【清单02】点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 【清单03】弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 【清单04】三角形面积问题 直线方程： 【清单05】焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 【清单06】平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【清单07】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 常考题型： ①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题； ④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题 【考点题型一】直线与圆锥曲线的位置关系的判断 核心方法：联立+判别法 【例1-1】（23-24高二上·黑龙江绥化·期中）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系； 方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系. 【详解】方法1： ∵，即：， ∴直线l恒过定点， 又∵椭圆 ∴， ∴定点M在椭圆内， ∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交. 故选：A. 【例1-2】（多选）（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 【答案】ABD 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】由题意得直线过双曲线左焦点，比较直线斜率和渐近线斜率即可得解. 【详解】由题意直线过定点，即双曲线的左焦点. 当时，与的渐近线平行，与只有一个交点， 当时，与的左支和右支各有一个交点， 当时，与的左支有两个交点. 故选：ABD. 【变式1-1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高二·江苏·课后作业）判断直线与椭圆的公共点的个数． 【答案】个 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，计算，即可得出结论. 【详解】联立，消去可得，则， 故直线与椭圆只有个公共点. 【考点题型二】根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 核心方法：联立+判别法 【例2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交； (2)相切； (3)相离？ 【答案】(1) (2) (3)或. 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线与椭圆方程，并计算，根据直线与椭圆的位置关系，求解，和，即可求解对应的值. 【详解】（1）联立，得， ， 当直线与椭圆相交，即，则，解得：； （2）当直线与椭圆相切，即，则，解得：； （3）当直线与椭圆相离，即，则，解得：或. 【例2-2】（23-24高二·全国·课后作业）若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为（    ） A．(－2，2) B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 【答案】A 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】由直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则，联立方程，消元的一元二次方程，则，从而可得答案. 【详解】解：因为直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则， 将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0， 由，解得－2<k<2. 故选：A. 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）若过点且斜率为k的直线与双曲线只有一个公共点，则 . 【答案】或 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】设直线方程，与双曲线联立，转化为方程只有一个根，此时要考虑到二次项系数为0的情况，分别解得k的值即可. 【详解】由题意可得，代入双曲线方程得. 当，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 当时，，解得. 综上，当或时，直线与双曲线只有一个公共点. 故答案为：或 【变式2-2】（23-24高二上·全国·课后作业）当取何值时，直线与椭圆. (1)无公共点； (2)有且仅有一个公共点； (3)有两个公共点？ 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）（2）（3）联立直线与椭圆方程，消去后利用判别式判断即可. 【详解】（1）依题意，联立，消去，得， 所以， 要使直线与椭圆无公共点， 则，即，解得或， 所以当或时，直线和椭圆无公共点. （2）要使直线与椭圆有且仅有一个公共点， 则，即，解得， 所以当时，直线和椭圆有且仅有一个公共点. （3）要使直线与椭圆有两个公共点， 则，即，解得， 所以当时，直线和椭圆有两个公共点. 【考点题型三】中点弦问题 核心方法：点差法+韦达定理法 【例3-1】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求弦中点所在的直线方程或斜率、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得 【详解】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即. 故选：B. 【例3-2】（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线，则，结合已知用表示出的坐标，消去参数即可得曲线的方程，由点差法即可得解. 【详解】 显然斜率均存在， 设直线，则，联立，得，同理， 设，则，化简可得，曲线. 设，则，两式相减可得，， 则. 故答案为：. 【例3-3】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点． (1)若直线的倾斜角为，试求的中点坐标； 【答案】(1)； 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据解析式直接判断函数的单调性、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）先求出直线的方程，再联立方程组，消去，结合韦达定理可得的中点坐标； 【详解】（1）椭圆的左、右焦点为，， 过且倾斜角为的直线为，设，， 联立方程组：，消去得：， 则，所以， 则的中点坐标为； 【变式3-1】（多选）（23-24高二上·广东广州·期末）设为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】考虑直线斜率不存在时，中点在上，可判定A；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程消元后，利用韦达定理，得到中点坐标之间的关系，再根据二次项系数不等于零及验证B,C,D即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，设为， 依题知或，此时线段的中点为， 则选项A中点满足题意，则A正确； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去得， 由题知①，， 化简为②， 设，的中点为， 则， 所以， 即， 对于B,可得，不满足条件①，故B错误； 对于C,可得，满足条件①②故C正确； 对于D，可得不满足条件②，故D错误； 故选：AC. 【变式3-2】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程． 【详解】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 【考点题型四】求弦长（定值） 核心方法：弦长公式 【例4-1】（24-25高二上·全国·课前预习）若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【答案】C 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算即得. 【详解】由消去y并整理得，， 设，，则，， . 故选：C 【例4-2】（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆的右焦点为，且经过点 (1)求椭圆C的标准方程： (2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据椭圆右焦点，且过点，从而可求解. （2）根据题意求出直线方程为，与椭圆方程联立后，利用根与系数关系从而可求解. 【详解】（1）由题意得， 解得， 故椭圆的标准方程为． （2）由题意可得直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则， 故 ． 【例4-3】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解； （2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 【变式4-1】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线和椭圆交于两点，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】联立直线和椭圆方程后，利用弦长公式求解. 【详解】由消y得． 设，，则，， 所以． 故答案为： 【变式4-2】（24-25高三上·云南·阶段练习）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则 . 【答案】6 【知识点】求抛物线的轨迹方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】设点，由题意得到，化简得圆心的轨迹方程为，将其与直线联立，写出韦达定理，利用弦长公式计算即得. 【详解】 如图，设动圆的圆心，由题意得， 两边取平方，，化简得，故圆心的轨迹方程为. 联立方程，消去整理得， 设，则， 故. 故答案为：6. 【变式4-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【答案】(1)方程为，左、右焦点坐标分别为 (2) 【知识点】求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得. 【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 【考点题型五】根据弦长求参数 核心方法： 【例5-1】（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据弦长求参数 【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，根据求得直线的方程. 【详解】（1）由题意得，解得，， 椭圆方程为. （2）设直线：，， 联立并整理得，，， ， 解得，符合， 直线方程为，即． 【例5-2】（23-24高二上·江西南昌·期中）已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的焦点到渐近线的距离； (2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求双曲线中的弦长、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式得解. （2）直线方程代入双曲线方程，得到关于的一元二次方程，运用韦达定理弦长公式列方程得解. 【详解】（1）双曲线离心率为，实轴长为2， ，，解得，， ， 所求双曲线C的方程为； ∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为， ∴双曲线的焦点到渐近线的距离为. （2）设,, 联立，，， ，． ， ， 解得． 【例5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知直线与抛物线交于两点，且，求． 【答案】 【知识点】由弦长求参数 【分析】利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程，结合弦长公式列出方程求解即可. 【详解】设， 联立可得，， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 即，因为，解得：． 经检验，满足，故. 【变式5-1】（23-24高二上·山西运城·期中）设直线与抛物线相交于两点，若，求的值. 【答案】 【知识点】由弦长求参数 【分析】 联立方程，韦达定理，利用弦长公式建立方程求解即可. 【详解】设，将代入， 消去得， ，，. 则， 化简得，解得，又，故. 【变式5-2】（23-24高二上·重庆巴南·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求双曲线中的弦长、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据题意建立关于方程即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，利用弦长公式即可求出. 【详解】（1）由题得顶点到渐近线，即的距离为， 即， 离心率，又， 则可解得， 故双曲线方程为； （2）设， 联立可得， 则，解得 ， 则，解得. 【变式5-3】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的上顶点，点在椭圆上，斜率为的直线过点交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)当的面积是时，求. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据弦长求参数、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据椭圆上顶点的坐标得到的值，由在椭圆上，代入椭圆方程求出的值； （2）联立直线和椭圆的方程得到点的横坐标，由弦长公式得到，由点到直线的距离公式得到点到的距离，从而用表示出的面积，由面积为，解出的值. 【详解】（1）因为椭圆的上顶点为，所以， 则椭圆方程为， 因为在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2） 设直线的方程为，， 联立消去并整理得， 由，得， 则， 到直线的距离， 则， 解得或. 【考点题型六】抛物线焦点弦问题 核心方法： 【例6-1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 【例6-2】（23-24高二下·四川自贡·期末）已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求该抛物线准线方程及． 【答案】；8 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线方程即可确定焦准距，继而可得抛物线准线方程；求出过焦点且倾斜角为的直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用抛物线的弦长公式即可求得. 【详解】由题意抛物线可知焦准距为， 则焦点，抛物线准线方程为； 过焦点且倾斜角为的直线的方程为， 联立可得， 设，则， 故. 【变式6-1】（23-24高二·全国·课后作业）已知斜率为2的直线过拋物线的焦点，求弦的长． 【答案】 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知得答案； 【详解】解：抛物线的焦点为，则直线方程为，设、，则消去整理得， 所以根据抛物线的定义可知． 【变式6-2】（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）（1）求符合下列条件的双曲线的标准方程： ①顶点在轴上，两顶点间的距离是8，； ②渐近线方程是，虚轴长为4. （2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点．求线段的长． 【答案】（1）①；②或；（2） 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）根据双曲线的性质求解即可； （2）由抛物线方程可得，进而得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线的弦长公式求解即可. 【详解】（1）①由题意，，解得，，则， 所以双曲线的标准方程为. ②由题意，当双曲线焦点在轴上时，，解得，， 所以双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，，解得，， 所以双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为或. （2）由题意，抛物线的焦点，， 则直线的方程为，设，， 联立，得， 所以， 所以. 【考点题型七】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（定值问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离 【例7-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得 设， 则， 点到直线的距离 ∴    【例7-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求椭圆的焦点、焦距、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    【例7-3】（23-24高二下·安徽宿州·期中）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据韦达定理求参数、由弦长求参数、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示焦点弦长公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，利用点到直线的距离公式表示三角形的高，即可求解面积. 【详解】（1）设方程为，， 由并化简得， 则， ，故 所以抛物线方程为. （2）由（1）知方程为， 则原点O到的距离 所以. 【变式7-1】（23-24高二上·河南商丘·期中）已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，． (1)求的方程； (2)过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设直线的方程为，代入抛物线方程，利用弦长公式计算出，再根据点到直线的距离公式计算出点到直线的距离，根据面积公式建立等式计算即可求解. 【详解】（1）由题知，， 由抛物线的定义知，， ，的方程为． （2）由（1）知，设，， 直线的方程为，代入，整理得， 由题易知，，， ， 到直线的距离为， ，解得， 直线的方程为或． 【变式7-2】（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或． 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的弦长、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案． （2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案． 【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程为，， 又双曲线经过点， 所以，即， 所以双曲线的方程为，即． （2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 所以直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 联立，得， 所以且， 所以，且， 所以， 所以的面积为， 所以，解得，所以， 所以直线的方程为或． 【变式7-3】（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. （2）由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 【考点题型八】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（最值或范围问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离+基本不等式+一元二次函数 【例8-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点；② 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆过的点列方程求解即可； （2）①先联立方程组得出韦达定理再计算斜率和即可；②结合定点列出面积再换元得出面积的最大值. 【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为， 所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆过点， ∴， ∴，， ∴椭圆的标准方程为. （2）设直线：（）， 由，得， 设，，所以，， 所以 ， 因为直线和的斜率互为相反数， 所以，所以， 所以， 所以. 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点 ②由①知，， 且，即， 又 令，则， ∴ （当且仅当时取“＝”） ∴. 【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令换元得出再结合基本不等式计算即可得出最值. 【例8-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上. (1)求C的方程； (2)若，求直线AB的方程； (3)若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3)12 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线的焦半径与焦点弦问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由双曲线的性质结合题意可得结果； （2）设出直线的方程，直曲联立表示出韦达定理，再结合得到，解出，即可求出直线方程； （3）结合已知作出图象，设出直线和的方程，由弦长公式表示出弦长，再求出直线与间的距离进而求出，最后求导分析其单调性再求出取值范围即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故曲线的方程为， （2）根据题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 得，都在右支上， 由，消去可得， 易知，其中恒成立， ， 代入，消元得， 所以，解得，满足， 所以直线的方程为， （3），， 则分别在两支上，且都在的上方或的下方， 不妨设都在的上方，又， 则在第二象限，在第一象限，如图所示， 延长交双曲线与点，延迟交双曲线于点， 由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍， 由题设直线的方程为，直线的方程为， 由第（2）问易得， 因为，所以， 两条直线与间的距离， 所以， 令，， 所以， 设，则，在上恒为减函数， 所以在上恒为增函数， 当时即，取得最小值为12， 所以四个点所构成的四边形的面积的最小值为12. 【点睛】方法点睛： （1）本题第二问给出向量关系让求直线方程时，常用直曲联立，表示出韦达定理，再根据向量关系求出参数m即可； （2）本题第三问再求四边形面积的取值范围时，先由弦长公式表示出一条边，再由两平行线间距离公式表示出高，最后再求导分析. 【例8-3】（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线：．，为上两点，且，分别在第一、四象限．            (1)直线与正半轴交于，与负半轴交于，若，求横坐标的取值范围； (2)直线与正半轴交于，与负半轴交于，记的重心为，直线，的斜率分别为，，且． 若，证明：为定值． (3)若过，作抛物线的切线，，交点在直线上，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）设直线：，与抛物线联立，得到根与系数的关系，再由，得到关于的不等式，求解即可得到横坐标的取值范围； （2）求出直线，的斜率，结合，可得，再结合，求出为定值； （3）求出切线，切线的方程，再求出切点弦的方程，再把的面积看成同底的两个三角形的面积和，利用基本不等式即可面积的最小值. 【详解】（1）设，，由题意知，设直线：， 又直线与正半轴交于，与负半轴交于， 则，， 联立，整理得， 所以，， 则， ， 若，则， 解得，， 又，则横坐标的取值范围为； （2）因为为重心，所以， 由（1）可得 设，， 又直线与正半轴交于，与负半轴交于， 则，， 由直线：，则，，， 所以， 由，则，即， 又， ， 因此时，为定值． （3）设过点的切线方程为， 则联立方程，化简可得， 因为直线与抛物线相切，则，得， 而为抛物线上一点，则， 代入可得，得， ，则，即， 即过点的切线方程为． 因此过的切线：, 过的切线： , 又切线与切线的交点在直线上，可设， ，， 即，的坐标都满足方程， 所以，直线方程为， 故直线过定点，因此, 由联立可得，, 可得，， 则， 当且仅当时取等号. 所以面积的最小值为. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式8-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）①联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与已知条件得到关于的方程，解之即可得解；②利用三角形面积公式，结合韦达定理与基本不等式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则， 因为，所以， 则，解得， 因为圆上， 所以，则，即， 所以曲线的方程为. （2）①依题意，设直线的方程为，， 联立，消去，得， 则，即， 所以， 则 ， 则， 则， 整理得，解得或（此时直线过点，舍去）， 所以直线过定点； ②由①得，， 则， 所以， 令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，满足， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式8-2】（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线与交于不重合的两点. (1)若的离心率为2，求证：对于给定的或，以为直径的圆经过轴上一定点. (2)若，为轴上一点，四边形为平行四边形，求其面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求双曲线中的最值问题、双曲线中存在定点满足某条件问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）首先由条件得到，，并设出直线与椭圆的方程，并方程联立，利用韦达定理表示，即可判断圆过定点； （2）直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示的中点坐标，以及弦长，面积，利用基本不等式求面积的最值. 【详解】（1），即，， 故可设，，， 设，， 联立，得，且， 所以，则， 设，易知：，所以，， 有， 即， 所以，得，且该解同时满足以上方程，故该圆经过定点. （2）时，，令， 联立，得， ，， 设中点为，， ，又在轴上， 所以，得，， 由于斜率为正的渐近线为：，，故在的异支上， ，， 所以，， 故，当且仅当，即时等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键转化几何意义得到代数关系，第一问的关键是由垂直关系转化为数量积为0；第二问的关键是由平行四边形对角线互相平分，转化为坐标关系得到. 【变式8-3】（2024·黑龙江大庆·三模）已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为. ①求直线的斜率： ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题、求抛物线的轨迹方程 【分析】（1）设动圆圆心，根据题意结合距离公式运算求解； （2）①设，根据中点利用同构可得为方程的两根，利用韦达定理分析证明；②根据题意可得，结合圆的方程可得，进而可得最值. 【详解】（1）设动圆圆心， 当时，由已知得，即； 当时，点的轨迹为点，满足. 综上可知，点的轨迹方程为. （2）①设. 由题意得，的中点在抛物线上，即. 又，将代入得， 同理可得， 可知为方程的两根，所以. 所以直线的斜率为0； ②由得， 所以， 又因为， 所以. 又因为点在圆上，则，且. 设的面积为S，则， 当时，S有最大值48. 所以面积的最大值为48. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【考点题型九】圆锥曲线中的向量问题 【例9-1】（23-24高三上·广西玉林·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，线段的中点分别为，．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据左顶点坐标、离心率和椭圆关系可求得椭圆方程； （2）将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；由中点坐标公式可表示出， 并进一步求得坐标，由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可化简得到，由此可得结论. 【详解】（1） 椭圆左顶点为，， 又因为离心率， ， ， 的方程为：. （2）如图所示： 设，， 则， 由                           得：， 则， ，； 直线方程为：，， ； 同理可得：，又， ，， ， 为定值. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式； ④化简所得函数式，消元可得定值. 【例9-2】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中向量点乘问题 【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得：，解得：，，. 双曲线的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，，， 此时，，所以， 当直线的斜率存在时，设，，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ，， ， 令，则，令， 在，上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是设直线，再将其联立双曲线方程，得到韦达定理式，计算相关向量，代入韦达定理式再利用换元法求出函数值域即可. 【例9-3】（2024·湖南·二模）已知抛物线，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于两点． (1)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． (2)若三点在抛物线上，且满足，证明三个顶点的横坐标均小于2． 【答案】(1)是定值， (2)证明见解析 【知识点】抛物线中的参数范围问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理代入，整理计算可得答案； （2）利用坐标计算，设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理可得点坐标，代入抛物线方程结合判断式可得其横坐标的范围，同理可得两点的横坐标，进而可证明结论. 【详解】（1）由题意不妨设直线的方程为，设， 联立，消去得，， 所以， 因为直线与关于直线对称， 所以，且， 所以，即， 即，将代入得 解得，所以直线的斜率为定值； （2）由已知， 因为，， 所以，所以， 设直线的方程为，联立，消去得，， 所以，所以， 所以，即点的坐标为， 又点在抛物线上所以，得， 又，所以，解得， 所以点的横坐标， 同理可得两点的横坐标也小于， 所以三个顶点的横坐标均小于2. 【点睛】方法点睛：直线和圆锥曲线相交的问题，通常将圆锥曲线和直线联立，然后利用韦达定理结合题目中的条件来解答. 【变式9-1】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)延长交椭圆于，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据离心率和面积关系列式求，进而可得方程； （2）设直线，联立方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算求解即可，注意讨论直线的斜率是否存在. 【详解】（1）由条件得，即，则， 则，， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知：，则，且直线与椭圆必相交，    若直线的斜率不存在，可知， 联立方程，解得， 不妨取，则， 可得，不合题意； 若直线的斜率存在，设直线， 则，， 与椭圆联列方程得，消去y得， 可得， 则 ， 可得，解得 所以直线的方程为； 综上所述：直线的方程为. 【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横（纵）坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解. 【变式9-2】（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由双曲线的离心率求参数的取值范围、双曲线中向量点乘问题、判断点和双曲线的位置关系、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据离心率公式计算即可； （2）分三角形三边分别为底讨论即可； （3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可. 【详解】（1）由题意得，则，． （2）当时，双曲线，其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，则 , 联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，，设，其中， 则有，解得，即． 综上所述：. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数， 其中， ①，②，   ， 则，因为在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以 , 代入到 , 得 , 所以 , 且，解得，又因为，则， 综上知，，． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0. 【变式9-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）先得到，由抛物线定义得到方程，求出，设，则，作出辅助线，得到，从而得到方程，求出答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，得到两根之和，两根之积，由得，求出，转化为对有解，而，所以，求出解集，因为，所以. 【详解】（1）因为，，则在中，， 由抛物线的定义得，， 故，则，即， 设，则，解得， 过点作⊥于点， 因为，所以， 因为，所以， 故，， 所以，解得； （2）由（1）可知抛物线方程为：，设，， 设，联立，整理得：， 因为，所以， 由韦达定理得，， 因为，则，故， 故， 将代入（*）式得， 因为存在，使得， 所以有对有解， 而，所以， 解得，或， 因为，所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【考点题型十】圆锥曲线中的定点问题 【例10-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为． (1)求的方程； (2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得； （2）对直线的斜率分等于0和不等于0讨论，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得. 【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得， 解得， 由三角形面积为，得，则，， 所以的方程是. （2）由（1）知，点，当直线的斜率为0时，设直线， 则，，且，即， ，不合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设， 由消去x得：， 则， 直线与的斜率分别为，， 于是 ，整理得，解得或， 当时，直线过点，不符合题意，因此， 直线：恒过定点.    【例10-2】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求双曲线中的最值问题、双曲线中的直线过定点问题、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】（1）根据双曲线与双曲线有相同的渐近线方程求出可得答案； （2）可设其方程为，与双曲线方程联立，设，，由韦达定理代入的坐标运算可得答案； （3）设点在直线上的投影为，当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最值. 【详解】（1）双曲线与双曲线有相同的渐近线方程， 所以，即，又，从而， 所以双曲线的方程为； （2）显然直线不与轴平行，可设其方程为， 由，得， 设，，则由韦达定理可得，， 因为，所以， 即， 整理得，即， 而显然直线不经过点，所以，， 故直线经过定点，得证. （3）设点在直线上的投影为，由（2）知直线经过定点， 所以当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最大值， 此时，所以点到直线距离的最大值为. 【例10-3】（23-24高三上·海南儋州·开学考试）已知动点M到定点的距离比点M到定直线的距离小1. (1)求点M的轨迹C的方程. (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数，进而求出； （2）先依据（1）的结论分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【详解】（1）由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离. 根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线. ∵，∴抛物线方程为：. （2）设两点坐标分别为， 则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得. . 因为直线与曲线于两点，所以. 所以点的坐标为. 由题知，直线的斜率为，用替换可得点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用采用设线法并联立抛物线方程得到，再根据垂直关系替换得到，最后求出直线方程即可. 【变式10-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是 (1)求动点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； (2)记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)的轨迹方程为，即点的轨迹是除去两点的椭圆 (2)证明见解析 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆中的直线过定点问题、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）设点的坐标为，把点满足的条件用坐标表示，列出方程，再化简即可得轨迹方程，再结合轨迹方程说明点的轨迹. （2）设，对直线有无斜率分情况讨论.当直线有斜率时，设直线：，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得与，结合，确定的关系，可确定直线所过的定点. 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率， 同理，直线的斜率， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为， 即点的轨迹是除去两点的椭圆. （2）设 如图： ①当直线斜率不存在时，可知， 且有， 解得或，当时，则直线经过点，与题意不符，舍去，故，此时直线为， ②当直线斜率存在时，设直线，则 . 联立直线方程与椭圆方程， 消去可得：， 根据韦达定理可得：， 所以， 即 整理得：， 所以，则或， 当时，则直线恒过点，与题意不符，舍去， 故，直线恒过原点， 结合①②可知，直线恒过原点，原命题得证. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题. 【变式10-2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C． (1)证明：曲线C为双曲线的一支； (2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线恒过定点，， 【知识点】利用双曲线定义求方程、双曲线中的直线过定点问题、双曲线定义的理解、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意利用圆与圆的位置关系结合双曲线的定义，即可证明结论； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，根据数量积的坐标运算求出的表达式，化简，即可求得t的值，即可求得答案. 【详解】（1）证明：由题意知圆M：的圆心为，圆N：的圆心为 如图，设圆E的圆心为，半径为r， 由题可得圆M半径为3，圆N半径为1，则，， 所以， 由双曲线定义可知，E的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支 又，，所以动圆的圆心E的轨迹方程为，， 即曲线的方程为.    （2）设直线的方程为， 联立，消去得，    由题意直线与曲线有两个交点，则，, 设，，其中，， 由韦达定理得：，， 又点，所以，， 因为，所以， 则 ， 即，解得（舍去）， 当，直线的方程为，， 故直线恒过点，． 【变式10-3】（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3． (1)求抛物线E的方程； (2)过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、已知方程求双曲线的渐近线、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点的坐标，由此可求抛物线方程； （2）联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设，，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点. 【详解】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，，则， 因为点A、B在第一象限，所以，故， 设B关于x轴的对称点为， 则直线的方程为， 令得： ． 直线过定点． 【点睛】方法点睛：联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设，，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点. 【考点题型十一】圆锥曲线中的定值问题 【例11-1】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）如图，已知抛物线：上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点． (1)求抛物线的方程； (2)试求的长是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题 【分析】（1）根据抛物线的定义得到，即可求出，从而得解； （2）设直线：，联立直线与抛物线方程，消元整理，根据求出，不妨令直线，则直线：，即可求出的坐标，设，设直线：，联立直线与抛物线方程，即可得到点坐标，再求出点的坐标，即可得解. 【详解】（1）抛物线：的焦点，准线， 则，则，抛物线的方程为； （2）（ⅰ）设直线：，由，可得， 则，解得， 则，解得， 不妨令直线：，直线：， 则，设，， 设直线：， 由，可得， 由，可得或（舍）， 则，直线：，由，可得， 故，为定值． 【例11-2】（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，是平面内的动点，且内切圆的圆心在直线上. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作三条不同的直线，，，且轴，与交于，两点，与交于，两点，，都在第一象限，直线，与分别交于点，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【知识点】求双曲线的轨迹方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据内切圆的性质分析可得，结合双曲线的定义分析求解； （2）设直线方程和交点坐标，利用韦达定理整理可得，，再求，的坐标，代入化简整理即可得结果. 【详解】（1）设内切圆的圆心为，且与三边切于点， 则， 可得， 且，，，即， 可得， 可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支（顶点E除外）， 则， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由题意可知：，双曲线的渐近线为， 设，，且， 联立方程，消去x可得， 则， 可得，整理可得， 同理可得， 则直线， 令，可得 ， 则， 同理可得， 则 ， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【例11-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，2 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由已知可得圆的方程，设，，，根据，可得，，代入圆的方程即可求解； （2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线和椭圆构成方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）    由题意，点在圆上运动，设，，， 由得，， 又，所以，所以的方程为； （2）直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为； （3）    由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 故， . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式11-1】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与相交于，两点，为上任意一点且直线，与直线分别交于，两点.求证：直线，的斜率之积是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）联立方程组，得到，结合，求得，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，由，求得或，再求得的方程为，求得，结合斜率公式，即可求解. 【详解】（1）解：联立方程组，整理得， 因为此直线与抛物线相切，则，解得， 故抛物线的方程为. （2）解：设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得， 由，可得或， 设，，，则，， 由，，两式相减得， 则直线的方程为， 则令，可得， 同理， 所以， 故直线，的斜率之积为定值.    【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 【变式11-2】（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线，的左、右焦点分别为，且与椭圆有相同的焦点，点到直线的距离为. (1)求的标准方程 (2)直线与C交于两点，点是的平分线上一动点，且，试探究是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由， 【答案】(1) (2)是定值，1 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】（1）利用给定条件求出基本量，再写出标准方程即可. （2）依据题意结合韦达定理每一条线段的长度，再证明定值即可. 【详解】（1）由椭圆方程知得， 所以，则， 到直线的距离， 双曲线C的标准方程为． （2）由（1）知：， 与双曲线C的左右半支各交于一点， 如图，设，    设中点为，则， 又为的角平分线，； 由得：， ， ， ，即，解得：， ； ， ， ， ， 所以，为定值. 【变式11-3】6．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据离心率定义和三角形面积公式列方程组求解可得； （2）①直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理求解即可；②利用韦达定理代入化简即可得证. 【详解】（1）因为满足，， 由已知得． 联立以上三式，解得，， 所以椭圆方程为． （2）证明：①将代入中， 消元并整理得， ， 设点，，， 因为中点的横坐标为，所以，解得． ②由①知，， 所以 ， 故为定值． 【考点题型十二】圆锥曲线中新定义题 【例12-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆，椭圆与是“相似椭圆”，已知椭圆的短半轴长为． （1）写出椭圆的方程（用表示）； （2）若椭圆的焦点在轴上，且上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的参数及范围、圆锥曲线新定义 【分析】（1）根据相似椭圆的定义有，分焦点在x或y轴上写出椭圆方程. （2）设，，，的中点为，联立椭圆，应用韦达定理求，可得的坐标，根据在上求m，由即可求的取值范围． 【详解】（1）由椭圆与是相似椭圆，得， ∴椭圆的方程为或． （2）由题设知：椭圆为， 设，，，的中点为，． ∴联立与椭圆的方程，整理得， ∴，即且， ，， 由在直线，得，于是， ∴的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第二问，设点M、N及其中点、直线，联立椭圆方程应用韦达定理求坐标，由在已知直线上求参数，进而根据判别式的符号求的范围. 【例12-2】（23-24高二·全国·课后作业）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． (1)设椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，M是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程； (2)如图，已知“盾圆”D的方程为设“盾圆”D上的任意一点M到的距离为，M到直线：的距离为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、圆锥曲线新定义 【分析】(1)设椭圆的半焦距为，结合椭圆定义和条件列方程求可得椭圆方程； 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 因为的周长为6， 所以a＋c＝3， 因为椭圆与双曲线：有相同的焦点， 所以c＝1， 所以，． 所以椭圆的方程为． （2）设“盾圆”D上的任意一点M的坐标为，． 当时，，， 即； 当时，，， 即． 所以为定值． 【变式12-1】（23-24高二下·山东青岛·期中）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点，的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、圆锥曲线新定义 【分析】（1）焦点，，由题意可得，求出即可； （2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即，设直线OA的方程为，直线OB的方程为，求出的范围，再根据即可得出结论. 【详解】（1）方法一：设焦点，， 曲线与x轴正半轴交于点， 由题意知， 于是，， 因此，； 方法二：设焦点，， 由题意知， 即， 整理得，于是，. 因此，，； （2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即， 由题意知直线OA，OB斜率均存在， 不妨设直线OA的方程为，直线OB的方程为， 将直线OA的方程与曲线C联立，得， 即. 解得，同理， 因此不可能成立，于是假设不成立， 即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O. 【变式12-2】（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆：. (1)若椭圆：，试判断与是否相似?如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； (2)写出与椭圆相似且短半轴长为b，焦点在x轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求实数的取值范围. 【答案】(1)相似，相似比为； (2)，. 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、圆锥曲线新定义、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆与的“特征三角形”的边长，再判断并求出相似比. （2）由（1）求出椭圆的方程，设出直线的方程，并与的方程联立，利用韦达定理及判别式求解即得. 【详解】（1）椭圆与相似. 如图，在同一平面直角坐标系中作出椭圆，，    椭圆的“特征三角形”是腰长为4，底边长为的等腰三角形， 而椭圆的“特征三角形”是腰长为2，底边长为的等腰三角形， 因此椭圆与椭圆的“特征三角形”的三边对应成比例，即两个“特征三角形”相似，且相似比为， 所以椭圆和相似，且相似比为. （2）由（1）设椭圆的方程为， 设直线的方程为，，，的中点为. 由消去并整理得， 则，即，，， 由的中点在直线上，得，解得， 因此，而，解得， 所以实数的取值范围是.      提升训练 1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、由弦长求参数 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 3．（24-25高三上·河北保定·开学考试）设抛物线的焦点为，准线为，点上一点到的距离等于，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线的方程求参数 【分析】根据抛物线的几何性质，求点的坐标，即可求三角形的面积. 【详解】如图：由题意得，到的距离为，， 即点在线段的垂直平分线上， 所以点的横坐标为2，不妨设点在轴上方，代入得，， 所以面积为. 故选：B 4．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】由于在抛物线外部，当直线与抛物线相切时，有两条直线与抛物线只有一个公共点，又点在轴上，轴与抛物线只有一个公共点，因此，一共有三条直线. 【详解】    过点且斜率不存在的直线，与抛物线C无交点， 因此，直线斜率存在时，设直线，与联立，得：，当直线与抛物线只有一个公共点， 则，得：，则直线方程为或与抛物线C相切，即此时与抛物线C有且只有一个公共点； 又点在轴上，轴与抛物线只有一个公共点， 则共三条直线与抛物线C有且只有一个公共点， 故选：C. 二、多选题 5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为 D．曲线上的点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——椭圆、求椭圆中的最值问题 【分析】对于A，B由椭圆的定义即可判断，对于C，由通径的概念即可判断， 对于D，将问题转换成求与平行，且与椭圆相切的直线即可判断. 【详解】对A选项与B选项，由题意知圆与圆交于点， 则，，所以， 所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，， 所以，所以曲线的方程为，故A选项错误，B选项正确； 对C选项，通径的长度为，故C选项正确； 对D选项，设与直线平行的直线为，， 将与联立得， 令，解得，此时直线与椭圆相切， 当时，切点到直线的距离最大， 直线的方程为，此时两平行线的距离为， 故曲线上的点到直线的距离的最大值为，故D选项正确. 故选：BCD. 6．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 【答案】AD 【知识点】椭圆的对称性、根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】A选项，求出；B选项，由对称性和椭圆定义可判断， C先设，计算出，从而得到即可判断；D选项，由三角形面积求出点坐标，得到，即可判断. 【详解】对于A，椭圆中，，离心率为，A正确； 对于B，由对称性可得，所以，B错误； 对于C，设且，则， 故，所以C错误； 对于D，不妨设在第一象限，，则，得，则， 则，故，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 7．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，无实数解， 综上所述：符合题意的取值为， 故答案为：. 8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知抛物线，点，过点作两条相互垂直的直线交于和，其中的中点为的中点为，则面积的最小值为 . 【答案】1 【知识点】基本不等式求和的最小值、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设的直线方程为，联立曲线方程得到韦达定理，再由中点坐标得到点，然后由同理得到最后再由点到直线的距离公式和基本不等式求出结果即可； 【详解】 设的直线方程为， 联立，则由与抛物线的方程消得：， ， ，所以的直线方程为， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为 ， 当且仅当，即时，面积有最小值为1. 故答案为：1. 四、解答题 9．（四川省德阳市高中2024-2025学年高三上学期质量监测考试（一）数学试卷）已知和为椭圆上两点. (1)求的离心率； (2)若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆上两点列方程可求出，即可得出离心率； （2）分直线斜率不存在，存在讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组， 由根与系数的关系得出弦长，再由点到直线距离得出高，求出三角形面积，解方程即可得解. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）如图， 当的斜率不存在时，，，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设，设， 则，消可得， 当时， ，又，所以， ， 又点到直线的距离， 所以， 整理可得或(无解）， 即，解得或， 此时代入检验，均满足， 或，即或. 10．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线， ①求直线和直线的斜率之积； ②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析,定点的坐标为, 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）判断点，点在椭圆上，点或在直线上，代入椭圆方程，即可求出椭圆的方程； （2）设,，当时，设,、,，利用点差法求出直线和直线的斜率之积；由此得直线的方程，结合方程确定直线恒过定点即可得结论． 【详解】（1）由题可知，一定在椭圆上，其中一个在椭圆上， 当椭圆过点可得， 则椭圆的方程为； 当椭圆过点可得，方程组无解， 综上，椭圆的方程为； （2）①由题可设,，当时，设,、,，显然， 联立，则，即， 因为为线段的中点，所以， 又， 所以，即直线和直线的斜率之积为； ②由①可得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为， 即， 显然恒过定点,， 当时，直线即，此时为轴亦过点,； 综上所述，恒过定点,． 11．（24-25高三上·云南普洱·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在C上. (1)求C的离心率； (2)设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）由题意得到关于的方程组，从而得到椭圆方程，进而求得其离心率； （2）设，，直线与椭圆联立，由根与系数关系可得k，从而得直线AB的方程. 【详解】（1）由题意得，解得，， 所以椭圆C的方程为， 故C的离心率； （2）设，， 联立，消去y得， 故， 由直线化为，恒过， 故，即，所以，解得， 此时二次方程为，满足题意， 故所求直线的方程为 12．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点，直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率分别为. (1)求证：为定值； (2)直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2)过定点，定点为(4,0) 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题 【分析】（1）联立直线与抛物线方程可得，联立与抛物线方程可得，进而可得，同理可得，即可利用两点斜率公式求解， （2）根据对称性可设在轴上，根据三点共线可得，，则.联立直线与抛物线方程，即可求解. 【详解】（1）证明：设且,，, 直线，联立的方程可得①， 由斜率公式可得，， 可设直线，代入抛物线方程可得， ②，联立①②得，同理可得， 所以⇒. （2）设， 若三点共线， 由, 所以，化简得， 由三点共线，得 由三点共线，得， 结合（1）题设知. 设直线， 由，得， 所以直线过定点.    【点睛】方法点睛： （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 13．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，且定值为 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    14．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为． (1)求椭圆C的方程； (2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据点在椭圆上，代入即可列方程求解， （2）根据点点的距离可得，即可根据模长公式以及数量积的运算，结合二倍角公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆方程为 （2）设，则， 由于，故， 故，由于故，因此， 故 15．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）由和，及点在双曲线上，求出，即可求出的方程； （2）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用，即可求出四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为，又由题意得 ，则有， 又点在双曲线上，故，解得， 故的方程为. （2） 根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 当，即时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$