精品解析：2023年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学零模试题

2023年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学零模试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　） A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7 3. 一般地，如果（为正整数，且），那么叫做的次方根．下列结论中正确的是（ ） A. 32的5次方根是2 B. 16的4次方根是2 C. 的立方根是4 D. 5的平方根是 4. 如图，在中，，．以点C为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分． 7. 的相反数是________；________． 8. 计算： ________． 9. 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将10152.7万用科学记数法（精确到十万位）可表示为__________． 10. 分解因式：______． 11. 将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是_____ 12. 如图，一个圆锥的母线与底面圆直径的夹角为，若该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则的值为___________． 13. 圆外切四边形中，，，，则________． 14. 如图，在中，，点B在x轴上，C、D分别为、的中点，连接，E为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点A．若的面积为3，则k的值为 _______． 15. 如图，边长为6的正方形内接于，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接，分别与交于点G，H，且，有以下结论：①；②周长的最小值为；③随着点E位置的变化，四边形的面积始终为9．其中正确的是_______．（填序号） 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简再求值：，其中x是方程的根． 17. 已知方程组的解中，为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）当为何整数时，不等式的解集为？（直接写出答案） 18. 小王想从甲、乙两家快递公司中选一家做快递员，为了解这两家公司快递员的收入情况，小王从两家公司各抽取名快递员的月收入进行了一项抽样调查，利用收集的数据绘制成如图所示统计图：根据以上统计图，对数据进行分析如表： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 甲公司 乙公司 （1）直接写出表格中，的值： ， ； （2）计算乙公司名快递员月收入的方差； （3）根据表格，小王应选哪家快递公司做快递员？说明理由． 19. 某联欢会上有一个有奖游戏，规则如下：有5张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，其余3张是哭脸．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的纸牌中有笑脸就有奖，没有笑脸就没有奖． （1）小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张纸牌．小芳得奖的概率是 ． （2）小明获得两次翻牌机会，他同时翻开两张纸牌．小明认为这样得奖的概率是小芳的两倍，你赞同他的观点吗？请用树形图或列表法进行分析说明． 20. 如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）： （1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC； （2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长． 21. 如图，在山坡BC坡顶的平台CD上竖直立有一根旗杆MN，已知山坡BC的坡度为3：4．小明站在A处测得旗杆顶端M的仰角是，向前步行3米到达B处（米），再延斜坡BC步行5米至平台点C处（），测得点M的仰角是，若A、B、C、D、M、N在同一平面内，且A，B和C，D，N分别在同一水平线上，小明的眼睛距离脚底的高度米，求旗杆MN的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 22. 已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值． 23. 如图，⊙O的直径弦于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连接交⊙O于点，连接交于点，连接，． （1）若，求的长； （2）若，． ①求与之间的函数表达式； ②的最大值 ． 24. 如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处． （1）求证：∠EDO= ∠FBO； （2）求证：四边形DEBF是菱形； （3）如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP + DP的最小值． 25. 红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）是时间t（天）的一次函数，当时，；当时；未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数)，后20天每天的价格（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数)．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题： （1）求（件）与t（天）之间的函数关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求的取值范围． 26. 如图，已知锐角三角形内接于，于点D，连接． （1）若， ①求证：． ②当时，求面积的最大值． （2）点E在线段上，．连接，设（m，n是正数），若，试探索m、n之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学零模试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的乘法与除法法则对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是同底数幂的除法与乘法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键． 2. 下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　） A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边组成锐角三角形的条件进行判断可得答案． 【详解】解：在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形； 满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形． A项，因为32 +42 >42 ，所以这三条线段组成锐角三角形，故A项符合题意； B项，因为32 +4 2 =5 2 ，所以这三条线段组成直角三角形， 故B项不符合题意； C项，因为3 2 +4 2 <6 2 ，所以这三条线段组成钝角三角形，故C项不符合题意； D项，因为3+4=7，所以这三条线段不满足组成三角形的条件，故D项不符合题意． 故应选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的基本概念和直角三角形，其中在能够组成三角形的条件下， 如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形； 满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形；掌握直角三角形的判断条件是解题的关键． 3. 一般地，如果（为正整数，且），那么叫做的次方根．下列结论中正确的是（ ） A. 32的5次方根是2 B. 16的4次方根是2 C. 的立方根是4 D. 5的平方根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查次方根的定义，根据定义求解即可． 【详解】解：A、，32的5次方根是，故本选项符合题意； B、，16的4次方根是，故本选项不符合题意； C、，的立方根是，故本选项不符合题意； D、5的平方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，在中，，．以点C为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积是扇形的面积的面积的面积扇形的面积，代入数值解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵把逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用． 5. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后证明可得，根再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ∴， ， ∴， 将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，， 故选：C． 6. 用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析4个选项，即可得出结论． 【详解】解：：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确； ②③正四面体的截面不可能是直角三角形或钝角三角形，不正确； ④若正四面体的截面是可以是平行四边形，正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查了正方体的截面，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分． 7. 的相反数是________；________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】此题考查了相反数的定义以及有理数的乘方，只有符号不同的数互为相反数． 根据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：的相反数是；． 故答案为：，． 8. 计算： ________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的除法计算，先把分子的两个分式化简，再合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：5． 9. 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将10152.7万用科学记数法（精确到十万位）可表示为__________． 【答案】1.015×108 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数． 【详解】解：10152.7万＝1.01527×108≈1.015×108． 故答案为：1.015×108． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用提公因式法提出公因式xy，再利用平方差公式法进行变形即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查． 11. 将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标的平移变换规律，把得到的点倒推即可求解． 【详解】解：由题意得： 点，先向由平移2个单位，得到， 再向下平移3个单位，得到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的平移变换，熟练掌握坐标的平移变换的规律是解题的关键． 12. 如图，一个圆锥的母线与底面圆直径的夹角为，若该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为，母线长为，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长得，即，所以． 【详解】解：如图，连接，则， 设圆锥底面半径为，母线长为， 侧面展开图是圆心角为的扇形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键． 13. 圆外切四边形中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了切线长定理，根据切线长定理可以得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形是圆的切线． ，，， 即： 即 故答案为：． 14. 如图，在中，，点B在x轴上，C、D分别为、的中点，连接，E为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点A．若的面积为3，则k的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质． 根据等腰，中位线得出，，应用的几何意义求k． 【详解】解：如图：连接， 在中，，点B在x轴上，C、D分别为、的中点， ，为中位线， ， ， 的面积为3， ， ， 反比例函数的图象经过点A， ． 点A且在第二象限， ． 故答案为：． 15. 如图，边长为6的正方形内接于，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接，分别与交于点G，H，且，有以下结论：①；②周长的最小值为；③随着点E位置的变化，四边形的面积始终为9．其中正确的是_______．（填序号） 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】连接．由正方形的性质结合题意易证，即得出，可判断①；由可推出，从而得出的周长为，即当最小时，周长的最小．由勾股定理可知当最小时，最小，此时，由此可求出，即得出的周长的最小值为，可判断②；由，可推出，从而得出．进而得出，可判断③． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴． ∵四边形为正方形， ∴,，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴当最小时，周长的最小． ∵， ∴当最小时，最小，此时． 如图，过点O作于点M，作于点N， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为，故②错误； ∵， ∴． ∴． ∵， ∴，故③正确． 综上可知①③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简再求值：，其中x是方程的根． 【答案】-x2-x+2，2 【解析】 【分析】先利用分式的运算法则进行化简，再解方程求得x的值，然后代入求值． 【详解】原式 解得： （分式无意义，舍去） 当时，原式 17. 已知方程组的解中，为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）当为何整数时，不等式的解集为？（直接写出答案） 【答案】（1） （2）或0 【解析】 【分析】（1）先采用加减消元法求出的值，再根据为非正数，为负数列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （2）根据不等式的解集为可得，再结合（1）中的的取值范围，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由方程组， 得， 为非正数，为负数， ， 解得，， 即的取值范围是； 【小问2详解】 解：由不等式， 得， 不等式的解集为， ， 得， 又，且为整数， ， 即的值是或． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、不等式的性质，熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法以及不等式的性质是解题的关键． 18. 小王想从甲、乙两家快递公司中选一家做快递员，为了解这两家公司快递员的收入情况，小王从两家公司各抽取名快递员的月收入进行了一项抽样调查，利用收集的数据绘制成如图所示统计图：根据以上统计图，对数据进行分析如表： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 甲公司 乙公司 （1）直接写出表格中，的值： ， ； （2）计算乙公司名快递员月收入的方差； （3）根据表格，小王应选哪家快递公司做快递员？说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 选甲公司，理由如下： 因为甲、乙两家快递公司平均数相差不大，但是甲公司的中位数、众数都大于乙公司，且甲公司的方差小，更稳定， 所以小王应选甲公司做快递员收入会较高． 【解析】 【分析】本题考查了数据的分析，熟练掌握数据分析中平均数、众数、中位数、方差的定义以及意义是解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义进行解答即可； （2）根据加权平均数和方差公式即可得出答案； （3）根据平均数、中位数、众数和方差的意义进行选择即可． 【小问1详解】 解：， 乙公司的中位数（千元）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：乙公司名快递员月收入的平均数为：， 则； 【小问3详解】 解：略． 19. 某联欢会上有一个有奖游戏，规则如下：有5张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，其余3张是哭脸．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的纸牌中有笑脸就有奖，没有笑脸就没有奖． （1）小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张纸牌．小芳得奖的概率是 ． （2）小明获得两次翻牌机会，他同时翻开两张纸牌．小明认为这样得奖的概率是小芳的两倍，你赞同他的观点吗？请用树形图或列表法进行分析说明． 【答案】（1） （2）不是，理由见详解 【解析】 【分析】（1）运用概率公式直接计算即可； （2）采用列表法列举即可求解． 【小问1详解】 根据题意有：， 故答案为：； 【小问2详解】 不赞同他的观点．理由如下： 用、分别代表两张笑脸，、、分别代表三张哭脸，根据题意列表如下： 由表格可以看出，可能的结果有20种，其中得奖的结果有14种， 即小明得奖的概率， ∵， ∴小明得奖的概率不是小芳的两倍． 【点睛】本题主要考查了运用简单的概率公式以及列举法求解概率的知识，掌握列举法求解概率是解答本题的关键．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．注意翻2张牌的时候的实验可看作是不放回实验． 20. 如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）： （1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC； （2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长． 【答案】 （1）点P即为所求作； （2）Rt△DEF即为所求 【解析】 【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点P，点P即为所求作； （2）①在BC上取点D，过点D作BC的垂线， ②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC， ③作EC的垂直平分线交BC于点F； Rt△DEF即为所求． 【详解】解：（1）略； （2）略； 点睛：本题考查了线段垂直平分线的作法以及垂线的作法．解题的关键是熟练掌握基本作图． 21. 如图，在山坡BC坡顶的平台CD上竖直立有一根旗杆MN，已知山坡BC的坡度为3：4．小明站在A处测得旗杆顶端M的仰角是，向前步行3米到达B处（米），再延斜坡BC步行5米至平台点C处（），测得点M的仰角是，若A、B、C、D、M、N在同一平面内，且A，B和C，D，N分别在同一水平线上，小明的眼睛距离脚底的高度米，求旗杆MN的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆MN的高度约为7.6米 【解析】 【分析】作EG⊥MN于点G，FH⊥MN于点H，延长FC交AB于点P，EG、FP交于点Q，根据矩形的性质和解直角三角形求出HG和EQ的长度，设MH＝x，则MG＝x＋3，在Rt△FMH中，利用用x表示出FH，再在Rt△MEQ中，利用 建立关于x的方程，从而求出MN长，即可解决问题． 【详解】解：作EG⊥MN于点G，FH⊥MN于点H，延长FC交AB于点P，EG、FP交于点Q， 由题意知，四边形APQE、FHGQ、CQGN是矩形，tan∠PBC＝，∠MEG＝37°，∠MFH＝50°， ∴AE＝PQ＝CF＝HN＝1．6， ∵tan∠PBC＝＝， ∴sin∠PBC＝＝，cos∠PBC＝＝， ∴CP＝BC＝×5＝3，BP＝BC＝×5＝4， ∴HG＝FQ＝CP＝3，EQ＝AP＝AB＋BP＝3＋4＝7， 设MH＝x，则MG＝MH＋HG＝x＋3， 在Rt△FMH中，tan∠MFH＝， ∴FH＝＝， ∴EG＝EQ＋QG＝7＋FH＝7＋， 在Rt△MEQ中，， 解得x≈6.9， ∴MN＝MH＋HN≈6＋1.6＝7.6． 答：旗杆MN的高度约为7.6米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角和俯角、坡度和坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值． 【答案】（1）k的取值范围是k≤2（2）①k值为﹣1②y的最大值为，最小值为﹣3 【解析】 【详解】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点， 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0． △=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且， 综上所述，k的取值范围是k≤2． （2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且． 由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1．（*） 将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得： 2k（x1+x2）=4x1x2． 又∵x1+x2=，x1x2=， ∴， 解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）． ∴所求k值为﹣1， ②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=． 且﹣1≤x≤1， 由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大= ∴y的最大值为，最小值为﹣3. 23. 如图，⊙O的直径弦于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连接交⊙O于点，连接交于点，连接，． （1）若，求的长； （2）若，． ①求与之间的函数表达式； ②的最大值 ． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，垂径定理和勾股定理求得线段，，，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）①利用相似三角形的判定与性质得到与的关系，利用等高的三角形的面积等于它们底的比的性质得到与的关系，最后代入运算即可得出结论； ②利用（1）和（2）①的结论，相似三角形的判定与性质求得，，计算的值，再利用的性质解答即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接，，如图， 的直径弦于点， ，， ， ，， ， ，． ，． 为的直径， ， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①四边形为圆的内接四边形， ， 由（1）知：， ， ， ． 与为等高的三角形， ， ， ． 与之间的函数表达式为． ②由（1）知：，， ， ． 由（1）知：， ， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ． ， 当时，取得最小值， 当时，取得最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，完全平方公式，反比例函数的应用等知识，解决问题的关键根据相似表示出相关线段的长． 24. 如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处． （1）求证：∠EDO= ∠FBO； （2）求证：四边形DEBF是菱形； （3）如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP + DP的最小值． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=90°，AD=BC，， ∴∠ODF=∠OBE，∠OFD=∠OEB， 由折叠的性质可知AD=OD，OB=BC，∠EOD=∠A=90°，∠BOF=∠C=90°， ∴OD=OB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴OE=OF， 又∵∠EOD=∠FOB=90°，OD=OB， ∴△EOD≌△FOB（SAS）， ∴∠EDO=∠FBO； （2） 证明：由（1）得△DOF≌△BOE， ∴∠DOF=∠BOE， ∵∠EOD=∠FOB=90°，∠DOF+∠BOE+∠EOD+∠FOB=360°， ∴∠DOF=∠BOE=90°， ∴∠DOE+∠DOF=180°， ∴E、O、F三点共线， 又∵OE=OF，OB=OD，EF⊥BD， ∴四边形DEBF是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明△DOF≌△BOE得到OE=OF，再证明△EOD≌△FOB即可得到∠EDO=∠FBO； （2）先证明∠DOF=∠BOE=90°，从而推出E、O、F三点共线，再由OE=OF，OB=OD，EF⊥BD，即可证明四边形DEBF是菱形； （3）如图所示，连接OA，先证明△AOB是等边三角形，得到∠ADO=60°，则由折叠的性质可得，过点P作PH⊥BD于H，得到，则，要使2AP+DP最小，即要使AP+PH最小，则当A、P、H三点共线且与BD垂直时AP+PH有最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接OA， 由（1）得OD=AD，OB=BC，BC=AD， ∴BD=2AD， ∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴OA=OD， ∴OA=OD=AD， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠ADO=60°， ∴由折叠的性质可得， 过点P作PH⊥BD于H， ∴， ∴， 要使2AP+DP最小，即要使AP+PH最小， ∴当A、P、H三点共线且与BD垂直时AP+PH有最小值， 过点A作AG⊥BD， 在Rt△ABD中，BD=2AD=4，AD=2， ∴， ∴由等面积法可知， ∴， ∴， ∴2AP+DP的最小值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等等，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）是时间t（天）的一次函数，当时，；当时；未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数)，后20天每天的价格（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数)．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题： （1）求（件）与t（天）之间的函数关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）第14天时，销售利润最大，为578元；（3）2.75＜a＜4 【解析】 【分析】（1）设把两组t，m的值代入解析式中，求出m和t值即可得到结论； （2）设前20天日销售利润为元，后20天日销售利润为元，分别求出P1,P2的函数解析式，分别求出其取值范围内的最大值，比较大小即可求出第14天的利润最大和最大的日利润； （3）根据题意求出捐赠后P1的函数解析式化成顶点式，根据前20天中，要求每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，根据二次函数的增减性可得对称轴必须大于等于20，再结合a<4，即可得到结论； 【详解】解：（1）设一次函数为 将和代入一次函数中， 有． ∴， ∴． （2）设前20天日销售利润为元，后20天日销售利润为元． 由， ∵， ∴当时，有最大值578（元）． 由． ∵且对称轴为， ∴函数在上随t的增大而减小． ∴当时，有最大值为（元）． ∵，故第14天时，销售利润最大，为578元． （3） 对称轴为． 则函数W的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为t=14+2a， ∵1≤t≤20，且t为整数，W随t的增大而增大， ∴t=14+2a＞19.5， 解得：a＞2.75， 又∵a＜4， ∴a的取值范围是2.75＜a＜4 【点睛】本题考查二次函数应用销售问题，充分理解题意，找到正确的函数关系式是解题的关键，属中考常考题型． 26. 如图，已知锐角三角形内接于，于点D，连接． （1）若， ①求证：． ②当时，求面积的最大值． （2）点E在线段上，．连接，设（m，n是正数），若，试探索m、n之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） ①连接、， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ， ； ② （2） 解：，证明如下： 如图2，连接，， 设， 则，， 则， ， ， ， ∴， ∴， 即：， 化简得：． 【解析】 【分析】（1）①连接、，则，即可求解；②长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，即可求解； （2）设，则，，，，即可求解． 【小问1详解】 解：①略 ②∵，， ∴， ∴， ∵长度为定值， ∴面积的最大值，要求边上的高最大， 当过点O时，最大，即：， ∴面积的最大值； 【小问2详解】 略 【点睛】本题为圆的综合运用题，还涉及到勾股定理、角直角三角形的性质等知识，其中（2），是本题容易忽视的地方． 第1页/共1页 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