精品解析：湖南省常德市西洞庭管理区第一中学2024-2025学年高一上学期9月入学中考摸底考试数学试题

2024年秋高一入学中考摸底卷·数学 说明:1.全卷满分120分，考试时间120分钟. 2.请把答案写在答题卡上，否则不给分. 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内） 1. 把方程的分母化为整数的方程是（    ） A. B. C. D. 2. 若一个三角形三边长之比为．则这个三角形三边上的高之比为（    ） A. B. C. D. 3. 如图，在同一块矩形草地上，修一条小路（小路任何地方的水平宽度都是1），关于四条小路的面积，下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，点、是反比例函数图像上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若阴影部分的面积为，则（    ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 下列命题：（1）等腰三角形角平分线、中线、高线互相重合；（2）在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上；（3）直角三角形的两个锐角互余；（4）有一个角等于的三角形是等边三角形；（5）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的命题个数有（   ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》（又有资料为《倡只律》）解释:一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟.照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒.则一天24小时有（   ） A. 4.8×104刹那 B. 4.8×106刹那 C. 4.8×105刹那 D 4.8×107刹那 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点与点关于轴对称，则的值为___________． 8. 对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为__________． 9. 定义一种新运算“”，即，例如：.则的值是______． 10. 已知为实数，则的最大值为____________． 11. 中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”由此求得圆周率π的近似值．设圆的半径为r，圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d．如图1，当n=6时，π≈===3;如图2，当n=12时，π≈=____．(结果精确到0.01;参考数据：sin 15°≈0.259，sin 75°≈0.966) 12. 如图，，是上的一点，，点为上的一动点，点为上的一动点，则的最小值为 ______，当的值取最小值时，则的面积为______. 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知，． （1）化简（结果用含x，y的式子表示）； （2）当，时，求（1）式的值； （3）若（1）式的结果与无关，求（1）式的值． 14. 阏伯台又叫火星台、火神台，位于商丘古城西南1.5公里处，是距今4000多年的观星台遗址，火神台为圆形夯土筑成．某数学小组想要测量火神台的高度，如图，数学小组用测角仪在点处测得火神台顶端的仰角为，用无人机在点处测得火神台顶端的仰角为，，求火神台的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：，，) 15. 如图，现有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．将标有1，2的小球放入不透明的甲袋中，标有3，4的小球放入不透明的乙袋中．从甲袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作指数，再从乙袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作底数，从而得到一个乘方，并计算其值，记作m． （1）用列表或画树状图的方法，表示m的所有可能结果． （2）老师说：“如果我再放进一个标有数字0的小球，那么放到甲袋中得到的m是奇数的概率和放到乙袋中得到的m是偶数的概率是一样的．”请判断老师的结论是否正确，并说明理由． 16. 如图1，AB是☉O直径，C是☉O上异于点A，B的一点，连接AC，BC，并延长BA至点E，使得∠ECA=∠B． （1）求证：CE是☉O的切线． （2）如图2，若∠B=30°，请直接写出三个你认为正确的结论(注：不另外添加辅助线)． 17. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级开展“国家安全法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制，80分及以上为优秀)进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：A.，B.，C.，D．)．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，84，85，90，95，98． 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 82 100 a 25% 八年级 82 b 88 35% 七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b的值． （2）该校七、八年级共有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商店销售一种纪念册，每本进价元，规定销售单价不低于元，且获利不高于，在销售期间发现销售数量（件）与销售单价（元）的关系如下表： （1）请你根据表格直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利元? （3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润（元）最大?最大利润是多少元? 19. 如图，在中，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒（），过点作于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当为何值时，动点恰好在的垂直平分线上； （3）点、E在运动过程中是否存在值，使是直角三角形，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 20. 如图，四边形内接于⊙O，对角线为的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，点F为的中点，连接，，. （1）求证：是的切线； （2）若，求的值. 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做等补四边形． （1）概念理解∶①根据上述定义举一个等补四边形的例子： ． ②如图1，四边形中，对角线平分，，求证：四边形是等补四边形． （2）性质探究：①小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形内接于⊙O，，则　 　（填“＞”“＜”或“＝”）； ②若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：　 ． （3）问题解决∶在等补四边形中，，等边角，等补对角线与等边垂直，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，顶点为C的抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1）若点B的坐标为(3，0)，求b的值． （2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知抛物线的对称轴为y轴． ①求抛物线与x轴所围成封闭图形G内部(不包括边界)整点的个数; ②若双曲线y=与抛物线在第四象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数m的取值范围． （3）若点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，直线y=与抛物线在x轴下方的部分有两个交点，直接写出t的取值范围． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）.老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）. 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点D的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点B的对应点落在边上，折痕为. （1）根据以上操作可知的度数为　　　　.  （2）如图2，小明折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状并说明理由. （3）如图，在小华的矩形纸片中，，，若经过小华折叠后的，请直接写出的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋高一入学中考摸底卷·数学 说明:1.全卷满分120分，考试时间120分钟. 2.请把答案写在答题卡上，否则不给分. 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内） 1. 把方程的分母化为整数的方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分子与分母都乘以10得到答案. 【详解】把方程两边含分母的项的分子与分母都乘以10得， . 故选：D． 2. 若一个三角形的三边长之比为．则这个三角形三边上的高之比为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形特征结合对应成比例计算即可. 【详解】因为边长之比满足，设三边分别为3x、5x、7x， 设三边上的高为a，b，c，由题意得： 故这个三角形三边上的高之比为：． 故选：C． 3. 如图，在同一块矩形草地上，修一条小路（小路任何地方水平宽度都是1），关于四条小路的面积，下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设矩形的长为a，宽为b（）,求出，，，，得到大小关系. 【详解】设矩形的长为a，宽为b（）． 如图1，； 如图2，将小路分为两段，则； 如图3，虽然小路是弯曲的，但由于任何地方的水平宽度都是1， 所以它的面积仍等于底为1，高为a的平行四边形的面积，即：； 如图4，同理，． ∵， ∴． 故选：C. 4. 如图，点、是反比例函数图像上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若阴影部分的面积为，则（    ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得. 【详解】因为点、是反比例函数图像上的点， 所以， 因为，所以 故选：A． 5. 下列命题：（1）等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；（2）在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上；（3）直角三角形的两个锐角互余；（4）有一个角等于的三角形是等边三角形；（5）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的命题个数有（   ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可判断；（2）利用角平分线集合的定义可判断；（3）利用直角三角形的性质可判断；（4）利用等边三角形的判定方法可得结论；（5）分类讨论可求三角形的周长可判断. 【详解】（1）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，故（1）是假命题． （2）在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，故（2）是真命题． （3）直角三角形的两个锐角互余，故（3）是真命题． （4）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故（4）是假命题． （5）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，当腰长为5时，这个等腰三角形的周长为16， 当腰长为6时，这个等腰三角形的周长为17，所以这个等腰三角形的周长为16或17.故（5）是假命题． 故选：B． 6. 人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》（又有资料为《倡只律》）解释:一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟.照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒.则一天24小时有（   ） A. 4.8×104刹那 B. 4.8×106刹那 C. 4.8×105刹那 D. 4.8×107刹那 【答案】B 【解析】 【分析】24小时为秒，根据一刹那为0.018秒即可计算. 【详解】24小时刹那. 故选：. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点与点关于轴对称，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于轴对称的点的关系计算即可得. 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴，，∴． 故答案为：. 8. 对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法，求得，结合题意得到，即可求解. 【详解】由方程一元二次方程，可得， 因为其中一个一元一次方程是，所以，解得. 故答案为：. 9. 定义一种新运算“”，即，例如：.则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义代入求解即可. 【详解】根据题意得：， 所以. 故答案为： 10. 已知为实数，则的最大值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】平方后结合二次函数知识求解． 【详解】由题意可得，解得，令， 则=， ∵，∴，∴时，的最大值为4，∴y的最大值为2， 即的最大值为2． 故答案为：2. 11. 中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”由此求得圆周率π的近似值．设圆的半径为r，圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d．如图1，当n=6时，π≈===3;如图2，当n=12时，π≈=____．(结果精确到0.01;参考数据：sin 15°≈0.259，sin 75°≈0.966) 【答案】3.11 【解析】 【分析】根据圆内接十二边形性质结合锐角三角函数可求边长，进而可根据π的近似值求解公式求解. 【详解】当n=12时,, 所以, 所以正十二边形的周长为， 故， 故答案为：3.11 12. 如图，，是上的一点，，点为上的一动点，点为上的一动点，则的最小值为 ______，当的值取最小值时，则的面积为______. 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】根据题意，作出D点关于AO的对称点，利用对称性得出的最小值即，结合图形知，当且仅当时，最小，利用三角函数的定义即可求得的最小值；此时，再作，通过求出，通过求出，即得，可求的面积. 【详解】 如图，作D点关于AO的对称点， 显然当在同一直线上时，取最小值， 由图知，当时，最小，∵∴， ∵，∴在中，， 即的最小值为2； 过点作于，∵平分，∴， ∵在中，， ∴在中， ，故， 此时 故答案为：； 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知，． （1）化简（结果用含x，y的式子表示）； （2）当，时，求（1）式的值； （3）若（1）式的结果与无关，求（1）式的值． 【答案】（1） （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）先求，再根据多项式减法运算法则求解； （2）将，，代入（1）的结果即可； （3）将（1）的结果按变量降幂排列，结合条件可得，由此可得结论. 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，， 当，时， ； 【小问3详解】 由（1）可知，， ∵上式的结果与无关，∴，∴， ． 14. 阏伯台又叫火星台、火神台，位于商丘古城西南1.5公里处，是距今4000多年的观星台遗址，火神台为圆形夯土筑成．某数学小组想要测量火神台的高度，如图，数学小组用测角仪在点处测得火神台顶端的仰角为，用无人机在点处测得火神台顶端的仰角为，，求火神台的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：，，) 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意得，运用锐角三角函数求出的值即可求解. 【详解】设， 在中，， ， ， ，， ， ，， 在中，， 解得，经检验，是原方程的根， ， 答：火神台的高度约为. 15. 如图，现有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．将标有1，2的小球放入不透明的甲袋中，标有3，4的小球放入不透明的乙袋中．从甲袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作指数，再从乙袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作底数，从而得到一个乘方，并计算其值，记作m． （1）用列表或画树状图的方法，表示m的所有可能结果． （2）老师说：“如果我再放进一个标有数字0的小球，那么放到甲袋中得到的m是奇数的概率和放到乙袋中得到的m是偶数的概率是一样的．”请判断老师的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）树状图见详解，3、4、9、16； （2）正确，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）直接画树状图（或列表）可得； （2）分别求出放入甲袋和乙袋中m的所有情况，然后可得. 【小问1详解】 （1）根据题意画树状图如下： 则m共有4种等可能的结果，分别为3、4、9、16. 【小问2详解】 老师结论正确. 当放到甲袋中时，m分别是3、4、9、16、1、1，奇数的概率是=; 当放到乙袋中时，m分别是0、0、3、4、9、16，偶数的概率是= 故放到甲袋中得到的m是奇数的概率与放到乙袋中得到的m是偶数的概率是相同的，老师的结论正确. 16. 如图1，AB是☉O的直径，C是☉O上异于点A，B的一点，连接AC，BC，并延长BA至点E，使得∠ECA=∠B． （1）求证：CE是☉O的切线． （2）如图2，若∠B=30°，请直接写出三个你认为正确的结论(注：不另外添加辅助线)． 【答案】（1）证明见解析 （2）AB=2AC，∠E=30°，EA=AC(符合题意即可) 【解析】 【分析】（1）将问题转化为证明，然后利用圆的性质证明可得； （2）结合（1）中证明过程，写出三个正确结论即可. 【小问1详解】 如图，连接OC． ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°， ∴∠B+∠CAB=90° ∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO， ∴∠B+∠ACO=90° ∵∠B=∠ECA， ∴∠ECA+∠ACO=90°， ∴∠ECO=90°，∴EC⊥OC ∵OC为☉O的半径，∴CE是☉O的切线 【小问2详解】 AB=2AC，∠E=30°，EA=AC(符合题意即可) 由（1）知，直角三角形，因为，所以AB=2AC. 因为，所以 由外角定理知， 又，所以 由上知，，所以EA=AC. 17. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级开展“国家安全法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制，80分及以上为优秀)进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：A.，B.，C.，D．)．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，84，85，90，95，98． 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 82 100 a 25% 八年级 82 b 88 35% 七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b的值． （2）该校七、八年级共有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数． 【答案】（1） （2）520人 【解析】 【分析】（1）找出七年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出，找出八年级成绩出现次数最多的数为八年级成绩的众数； （2）分别求出七、八年级学生竞赛成绩的优秀人数即可求解． 【小问1详解】 七年级抽取的学生竞赛成绩从小到大排列后， 处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是82分，即． 八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数是88， 因此在及以上的应有10人，可得100分的有(人)， 因此竞赛成绩的众数为100，即． 【小问2详解】 七年级抽取的学生竞赛成绩为优秀的人数是， 八年级抽取的学生竞赛成绩为优秀的人数是， 则优秀人数为人. 所以参加此次竞赛活动成绩优秀的学生约有520人. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商店销售一种纪念册，每本进价元，规定销售单价不低于元，且获利不高于，在销售期间发现销售数量（件）与销售单价（元）的关系如下表： （1）请你根据表格直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利元? （3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润（元）最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）元 （3）元，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）借助利润与销售数量及销售单价的关系可得与有关一元二次方程，结合的范围计算即可得； （3）借助利润与销售数量及销售单价的关系可得与之间的函数关系式，借助二次函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 由表可知，与为一次函数关系，故可设， 则有，解得， 即， 又，即， 即y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意，可列出方程为， 整理并化简得，， 解得，或，由，故， 即销售单价是元时，商店每天获利元； 【小问3详解】 ， ，开口向下，，当时，随的增大而增大， 当时，，   即销售单价定为元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是元． 19. 如图，在中，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒（），过点作于点，连接、． （1）求证：四边形平行四边形； （2）当为何值时，动点恰好在的垂直平分线上； （3）点、E在运动过程中是否存在的值，使是直角三角形，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）5秒 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）依题意，用表示出，得到，再由，即得； （2）利用线段的垂直平分线的性质，得到，求解方程即得； （3）结合图形，分和两种情况分析求解即得. 【小问1详解】 根据题意得：， ∵，∴， ∵ ，∴，∴ ，∴， 又∵，∴， 即有 ，且，故四边形是平行四边形； 【小问2详解】 若点恰好在的垂直平分线上，则有，即有，解得. 即当为5秒时，动点恰好在的垂直平分线上； 【小问3详解】 存在，理由如下： 如图1，当时，， ∵∴四边形是矩形，∴， ∴，∴， 又∵，故得，解得； 如图2，当时， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵，∴，∴，即，解得. 综上所述，当或时，是直角三角形． 20. 如图，四边形内接于⊙O，对角线为的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，点F为的中点，连接，，. （1）求证：是的切线； （2）若，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形和直角三角形性质可依次得和，进而得即可得证. （2）先由得，设，从而结合以及可得，再在中由勾股定理得即可求解. 【小问1详解】 连接， ∵，∴， ∵为的直径，∴， ∵点F为的中点，∴，∴，∴， 又∵，∴， ∵是半径，∴是的切线. 【小问2详解】 由题， ∵，∴， ∴，∴，∴， 设，则， ∴，∴或（舍去）， ∵，∴， ∴. 【点睛】关键点睛：求关键在于将转化到的中，进而简化问题，从而求出和即可得解. 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做等补四边形． （1）概念理解∶①根据上述定义举一个等补四边形的例子： ． ②如图1，四边形中，对角线平分，，求证：四边形是等补四边形． （2）性质探究：①小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形内接于⊙O，，则　 　（填“＞”“＜”或“＝”）； ②若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：　 ． （3）问题解决∶在等补四边形中，，等边角，等补对角线与等边垂直，求的长． 【答案】（1）①正方形；②证明见解析 （2）①；②等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角” （3）2或4 【解析】 【分析】（1）①正方形是等补四边形． ②如图1中，作于，于，则，证明，推出，即可解决问题． （2）③根据弦，弧，圆周角之间的关系解决问题即可． ④根据“等补对角线”，“等边补角”等定义，利用③中结论即可解决问题． （3）分两种情形：①如图中，当时．②如图中，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 ①解：正方形是等补四边形． 故答案为：正方形． ②证明：如图1中，作于，于，则， ，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是等补四边形． 【小问2详解】 ③解：如图2中， ， ， ． 故答案为． ④解：由题意，等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”． 故答案为等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”． 【小问3详解】 解：如图中，当时， ，， ， ， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， ． 如图中，当时， ， 是的直径， ，， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为2或4． 22. 在平面直角坐标系中，顶点为C的抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1）若点B的坐标为(3，0)，求b的值． （2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知抛物线的对称轴为y轴． ①求抛物线与x轴所围成封闭图形G内部(不包括边界)整点的个数; ②若双曲线y=与抛物线在第四象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数m的取值范围． （3）若点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，直线y=与抛物线在x轴下方的部分有两个交点，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）； （2）① 7；②； （3）<t<． 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可, （2）根据对称轴可得抛物线方程，根据列举法即可求将所有的整数点，结合抛物线和双曲线的图象特征即可确定两个整数点为，即可求解， （3）根据C到x轴的距离为可得抛物线方程，根据直线与抛物线的相切只有一个公共点时可得t=，进而结合图形特征即可求解. 【小问1详解】 把B(3，0)代入，得，解得 【小问2详解】 抛物线的对称轴为y轴，∴b=0，∴． 令，解得，∴点A的坐标为，点B的坐标为, ①∵当x=1时，，∴点,在区域G的内部; ∵当时，，∴点在区域G的内部; ∵当时，，∴点在区域G的内部; ∴在区域G的内部(不包括边界)的整点的个数为7 ②抛物线过点， ∴抛物线在第四象限内的部分是0<x<2之间的图象． ∵由题意可得整点坐标只能为， ∴解得 【小问3详解】 <t< ∵点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，抛物线， ∴其顶点C的纵坐标为，解得(舍去)， ∴，令，解得， ∴． 当直线y=经过点B时，即有0=，解得t=; 当直线y=与抛物线在x轴下方的部分只有一个交点时， 方程有两个相等的实数根，∴，解得t=， ∴<t<． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）.老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）. 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点D的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点B的对应点落在边上，折痕为. （1）根据以上操作可知的度数为　　　　.  （2）如图2，小明折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状并说明理由. （3）如图，在小华的矩形纸片中，，，若经过小华折叠后的，请直接写出的长. 【答案】（1）； （2）是等腰直角三角形，理由见解析； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，由此可求结论； （2）观察图象判断形状，由条件先证明，再证明，，由此可证明结论； （3）过点作交的延长线于点，设，在中由勾股定理求，由关系列方程求可得结论. 【小问1详解】 由条件结合对称性质可得，， 又， 所以， 所以； 【小问2详解】 是等腰直角三角形. 理由：如图，连接. ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴. 由折叠知， ∴. ∵， ∴，∴. ∵， ∴，∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴，∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形 ； 【小问3详解】 的长为或. 提示:如图，过点作交的延长线于点，设， 由已知得四边形为矩形， ∴，. 由折叠的性质可知，. ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴，∴，∴ . 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$