第11讲 勾股定理的简单应用（1个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第11讲 勾股定理的简单应用（1个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 题型强化 题型一．勾股定理的应用 1．（2023秋•丰县期中）如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米．为了避免行人穿过草地（走虚线，践踏绿草，管理部门分别在、处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走　　米，踏之何忍”． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023秋•六合区校级月考）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是 　　． 3．（2023秋•吴中区期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 题型二、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 4．（21-22八年级上·江苏常州·期中）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（   ） A．16米 B．20米 C．24米 D．25米 5．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 米． 6．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，一架梯子长米，斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子底端至墙的距离为米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ (3)若梯子的中点为，梯子在下滑的过程中，的长是否发生变化，如变化说明变化规律，如果不变直接写出的长度． 题型三、求旗杆高度(勾股定理的应用) 7．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆总长为24米，则旗杆顶部落在离旗杆底部 米处． 8．（19-20八年级上·江苏常州·期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 题型四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 10．（21-22八年级上·江苏连云港·期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（　　）尺． A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55 11．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断处到树顶的长度是 ． 12．（22-23八年级上·江苏南京·期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 题型五、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 13．（21-22八年级上·全国·单元测试）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 题型六、求最短路径(勾股定理的应用) 15．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，是长方形地面，长m，宽m． 中间竖有一堵砖墙高m，一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（    ）的路程． A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在一个长为20米，宽为18米的矩形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．    17．（2024八年级上·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 分层练习 一、单选题 1．一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动（　　） A．0m B．1m C．2m D．3m 2．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为(    ) ． A．24cm B．32cm C．40 cm D．45 3．如图，圆柱形杯子底面直径为，高为．将一根长的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为，则h的最小值是（    ）    A．9 B．11 C．12 D．14 4．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 5．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为(     ) A．25米 B．12米 C．13米 D．4米 6．如图，圆柱底面周长为4，圆柱高，圆柱内壁B处有一粒食物，，在圆柱外的A处有一蚂蚁，蚂蚁要沿外壁到B处吃食，它走的最短路径是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 8．海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为，这棵大树在折断前的高度为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，是一块长、宽、高分别是、和的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点出发，沿长方体的表面爬到和相对的顶点处吃食物，则它需要爬行的最短路线长是（ ）．    A． B．6 C． D． 10．如图，在离水面点A高度为的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（    ）（假设绳子是直的）． A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 二、填空题 11．如图,一棵大树在一次强台风中距地面5处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12,这棵大树在折断前的高度为 . 12．春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为 米． 13．如图，有一个圆柱形仓库，它的高为10m，底面半径为4m，在圆柱形仓库下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是50cm/min，那么蚂蚁吃到食物最少需要 min．（π取3） 14．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”（说明：1丈10尺）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度的长为 尺．    15．如图，直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm，则带阴影的正方形面积是 cm2． 16．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    17．在中，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为 秒． 18．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 三、解答题 19．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ 20．如图，一艘货轮在上午8：00时位于A处，沿A到B的方向航行，10：00时该货轮位于B处，求该货轮航行的速度． 21．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 22．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．    (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中补全木块的侧面展开图，并画出蚂蚁所走的最短路线，依据是 ． (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 23．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？ 24．如图1，一个梯子长为5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C之间的距离是4米． (1)求梯子的顶端与墙角C之间的距离． (2)如图2，将梯子的底端B向C方向挪动1米，若在墙的上方点E处须悬挂一个广告牌，点E与C之间的距离是4.2米，试判断：此时的梯子的摆放位置能否够到点E处？ 25．七年级松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图所示的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． (1)求风筝的高度； (2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 26．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． （）如图，四边形中，平分，．求证：四边形为等邻边四边形． （）如图，中，，，，将沿的平分线的方向平移，得到，连接、，若平移后的四边形是等邻边四边形，求平移的距离． （）如图，在等邻边四边形中，，，和为四边形对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 勾股定理的简单应用（1个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 题型强化 题型一．勾股定理的应用 1．（2023秋•丰县期中）如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米．为了避免行人穿过草地（走虚线，践踏绿草，管理部门分别在、处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走　　米，踏之何忍”． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由矩形的性质得，再由勾股定理得出的长，进而得出答案． 【解答】解：四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：（米， （米， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 2．（2023秋•六合区校级月考）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是 　5　． 【分析】利用勾股定理，得出牙刷在水杯内的长度为，再根据牙刷长度牙刷在水杯内的长度牙刷露在杯子外面的长度，即可得到答案． 【解答】解：由图形可知，牙刷在水杯内的长度为， 牙刷的长为， ， 即牙刷露在杯子外面的长度是， 故答案为：5． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，求出牙刷在水杯内的长度是解题关键． 3．（2023秋•吴中区期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：（1）在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为21.6米； （2）由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线8米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 题型二、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 4．（21-22八年级上·江苏常州·期中）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（   ） A．16米 B．20米 C．24米 D．25米 【答案】C 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度． 【详解】解：如图所示，AB=25米，BC=7米， 由勾股定理可得，AC==24(米)． 则云梯可以达该建筑物的最大高度是24米． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，要求学生善于利用题目信息构成直角三角形，从而运用勾股定理解题． 5．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 米． 【答案】/ 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】设较高端点距离地面的高度为h米，此时，跷跷板长即为直角三角形的斜边长，两端端点在水平方向的距离的最小值即为一条直角边长，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：设较高端点距离地面的高度为h米， 根据勾股定理得：h2＝3.92﹣3.62＝2.25， ∴h＝1.5（米）， 故答案为：1.5． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键． 6．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，一架梯子长米，斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子底端至墙的距离为米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ (3)若梯子的中点为，梯子在下滑的过程中，的长是否发生变化，如变化说明变化规律，如果不变直接写出的长度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)不变，米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质； （1）直接由勾股定理即可求解； （2）由勾股定理求出的长即可得出结果； （3）根据始终是以斜边长为米的直角三角形的斜边上的中线可得出结论． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得米； （2）解：米， 在中，米， ∴米， ∴梯子的底端在水平方向滑动了米； （3）不变， ∵始终是以斜边长为米的直角三角形的斜边上的中线， ∴的长为定值，米． 题型三、求旗杆高度(勾股定理的应用) 7．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆总长为24米，则旗杆顶部落在离旗杆底部 米处． 【答案】 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】如图所示，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴在中由勾股定理得， ∴旗杆顶部落在离旗杆底部12米处， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意利用勾股定理求解是解题的关键． 8．（19-20八年级上·江苏常州·期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 【答案】B 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 【详解】设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m， 根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22， 如图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52， ∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题． 9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 【答案】木马上升的高度为1米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得： 米， 则米， 即木马上升的高度为1米． 题型四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 10．（21-22八年级上·江苏连云港·期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（　　）尺． A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55 【答案】D 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意作出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，根据勾股定理求解即可。 【详解】如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺， 设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 即折断处离地面4.55尺． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程求解是解题的关键． 11．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断处到树顶的长度是 ． 【答案】/米 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度．根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】解：如图，∵是直角三角形，，， 故答案为： 12．（22-23八年级上·江苏南京·期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 【答案】4.55尺 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】设尺，则尺，由勾股定理可列式，求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 由勾股定理，得 ， 解得， ∴ 折断处离地面4.55尺． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构建直角三角形是解题关键． 题型五、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 13．（21-22八年级上·全国·单元测试）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ． 【答案】15 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可． 【详解】解：设，则， ， ， 故， 解得；． 故答案为：15． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【答案】，． 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 题型六、求最短路径(勾股定理的应用) 15．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，是长方形地面，长m，宽m． 中间竖有一堵砖墙高m，一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（    ）的路程． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，最短路径问题．将砖墙展开，利用勾股定理求出的长即可．掌握勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：如图，将图展开，图形长度增加，即：原图长度增加4厘米，则，连接， ∵是长方形， ∴， ∴； 即：它至少要走26cm的路程； 故选B． 16．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在一个长为20米，宽为18米的矩形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．    【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查平面展开﹣最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为18米． 于是最短路径为：米． 故答案为．    17．（2024八年级上·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 【答案】13公里 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了轴对称中最短路径问题在生活中的应用，将此题转化为轴对称问题，作出点关于河岸的对称点，根据两点之间线段最短得出的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可． 【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则， 则最短，故将军应将马赶到河边的地点． 作，且， ，，， 四边形是矩形， ， 在中， ， 答：将军最短需要走13公里． 分层练习 一、单选题 1．一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动（　　） A．0m B．1m C．2m D．3m 【答案】B 【分析】在Rt△ACB中，运用勾股定理，求出AC的长；根据题意，在Rt△A'CB'中，再利用勾股定理，求出B'C的长，从而求出BB'即为所求． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=5 m，BC=3 m． 由勾股定理，得AB2=AC2+BC2． ∴AC2=AB2-BC2=52-32=42． ∴AC=4． 在Rt△A'CB'中，∠C=90°，A'C=AC-AA'=4-1=3，A'B'=5． 由勾股定理，得A'B'2=A'C2+B'C2． ∴B'C2=A'B'2-A'C2=52-32=42． ∴B'C=4． ∴BB'=B'C-BC=4-3=1(m)． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 2．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为(    ) ． A．24cm B．32cm C．40 cm D．45 【答案】C 【分析】桶内能容下的最长的木棒是圆桶内最长的对角线的长，利用勾股定理求出圆桶内最长的对角线的长度，即可解答题目. 【详解】圆桶内最长对角线的长为：AB==40（cm）， 则桶内能容下的最长的木棒为40cm． 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解，这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它. 3．如图，圆柱形杯子底面直径为，高为．将一根长的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为，则h的最小值是（    ）    A．9 B．11 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 即h的最小值是． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 4．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿x尺，则图中． ∴，， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 所以， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∵， ∴． 答：竹竿为10尺． 故选：A 5．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为(     ) A．25米 B．12米 C．13米 D．4米 【答案】B 【分析】在Rt△ABC中，直接运用勾股定理即可求出A点和B点之间的距离． 【详解】解：∵∠ABC=90°，AC=20米，BC=16米， ∴AB==12米， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 6．如图，圆柱底面周长为4，圆柱高，圆柱内壁B处有一粒食物，，在圆柱外的A处有一蚂蚁，蚂蚁要沿外壁到B处吃食，它走的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，将圆柱体展开，分别求得，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将圆柱体展开， ∵ ∴， ∵圆柱底面周长为4， ∴, 在中，． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理求最短路径问题，掌握勾股定理是解题的关键． 7．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理计算求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 又∵（海里），（海里）， 在Rt中，（海里） ∴此时两舰的距离是海里． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是解题关键． 8．海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为，这棵大树在折断前的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，勾股定理求出的长，利用求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，    ∴， ∴这棵大树在折断前的高度为； 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．如图，是一块长、宽、高分别是、和的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点出发，沿长方体的表面爬到和相对的顶点处吃食物，则它需要爬行的最短路线长是（ ）．    A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体的侧面展开计算：沿前表面和上表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿前表面和右表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿左表面和上表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿左表面和后表面所构成矩形的对角线爬行距离，再比较大小即可； 【详解】解：如图1，当蚂蚁由点经前表面和上表面所构成矩形的对角线到达点时，    由勾股定理可得， 如图2，当蚂蚁由点经前表面和右表面所构成矩形的对角线到达点时，    由勾股定理可得， 如图3，当蚂蚁由点经左表面和上表面所构成矩形的对角线到达点时，    由勾股定理可得， 如图4，当蚂蚁由点经左表面和后表面所构成矩形的对角线到达点时，    由勾股定理可得， ∵， 故选： A． 【点睛】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理；根据长方体的侧面展开分类讨论是解题关键． 10．如图，在离水面点A高度为的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（    ）（假设绳子是直的）． A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 先在中运用勾股定理求得，再运用勾股定理求得，最后根据线段的和差求得即可解答． 【详解】解:在中，，, ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴，即船向岸边移动了． 故选A． 二、填空题 11．如图,一棵大树在一次强台风中距地面5处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12,这棵大树在折断前的高度为 . 【答案】18米 【详解】如图，由题意知BC=5,AB=12, ∴AC= ∴树原高13+5=18米. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用. 12．春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为 米． 【答案】5 【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则彩灯带长为2个长方形的对角线长， 圆柱高3米，底面周长2米， ， ， 每根柱子所用彩灯带的最短长度为． 故答案为5． 【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 13．如图，有一个圆柱形仓库，它的高为10m，底面半径为4m，在圆柱形仓库下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是50cm/min，那么蚂蚁吃到食物最少需要 min．（π取3） 【答案】26 【分析】要想求得最少时间，则需要求得最短路程．首先展开圆柱的半个侧面，即是矩形．此时AB所在的三角形的直角边分别是5m,12m,根据勾股定理求得AB的长．再根据时间=路程÷速度，求得蚂蚁吃到食物最少需要的时间． 【详解】解：首先展开圆柱的半个侧面，即是矩形． 此时AB所在的三角形的直角边分别是5m，12m． 根据勾股定理求得AB＝13m＝1300cm， 故蚂蚁吃到食物最少需要的时间是1300÷50＝26min． 【点睛】本题考查由立体图形的展开图形，利用勾股定理求最短路径，此题的难点在于求得最短路径，是中等题． 14．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”（说明：1丈10尺）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度的长为 尺．    【答案】4.55 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 即， 解得：，即的长为4.55尺； 故答案为：4.55． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理得出方程是解题的关键． 15．如图，直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm，则带阴影的正方形面积是 cm2． 【答案】100cm2． 【分析】设带阴影的正方形面的边长为a，在该直角三角形中，由勾股定理可求出a2，正方形的面积=边长×边长=a2，将求出的a2代入即可求出该正方形的面积． 【详解】解：设带阴影的正方形面的边长为a，如图所示： 在直角三角形中，由勾股定理可得： a2=62+82=100cm2， 该正方形的面积为a2=100cm2． 【点睛】本题考查了勾股定理和求正方形的面积公式，根据在直角三角形，由勾股定理可求出正方形边长的平方，即求出了正方形的面积． 16．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 17．在中，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为 秒． 【答案】5、和16 【分析】求出当△ADB是等腰三角形时BD的长，用其除以点D运动的速度即可，注意分情况讨论． 【详解】解：分三种情况 如下图1所示，当AD=DB时． ∵BC=8，∴CD=8-BD 又AC=4 在RT△ACD中，由勾股定理得 解得 除以点D运动的速度得所用时间t为秒； 如下图2所示，当AB=DB时． 由勾股定理得DB=AB=， 除以点D运动的速度得t为秒； 如下图3所示，当AD=AB时． ∵AC⊥BC ∴CD=BC=8 ∴BD=16 除以点D运动的速度得t为16秒． 综上所述，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，D所用时间t为5秒、秒或16秒． 故答案为：5、或16． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和性质，分情况讨论和用勾股定理列方程是关键． 18．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 【答案】 【分析】先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案 【详解】解：在Rt中，，，， ∴ 小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分) ∴小明、小亮同时到达C时， 小明、小亮同时到达D时， ∴a的取值范围是： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键 三、解答题 19．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ 【答案】8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，据勾股定理，计算，后根据树高为计算即可． 【详解】如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：根旗杆被吹断裂前高为8米． 20．如图，一艘货轮在上午8：00时位于A处，沿A到B的方向航行，10：00时该货轮位于B处，求该货轮航行的速度． 【答案】25海里/小时 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出，则代表的实际距离为海里，再根据速度路程时间进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该货轮航行的速度为海里/小时． 21．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 【答案】(1)4米 (2)米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算． （1）设墙高x米，则米，米，在和中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可； （2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：设墙高x米，则米，米， 在中，， 在中，， 由题意可知， ∴， 解得：， 答：墙的高度为4米； （2）解：米． 答：竹竿的长度为米． 22．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．    (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中补全木块的侧面展开图，并画出蚂蚁所走的最短路线，依据是 ． (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 【答案】(1)图形见解析；两点之间，线段最短 (2) 【分析】（1）根据题意画出正三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间，线段最短连接即可； （2）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）解： 如图所示，即为所求：    依据是：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间，线段最短 （2）解：根据题意得：展开图中的， 在中，由勾股定理得： ， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． 23．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？ 【答案】梯子底部外移0.8米． 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在中，根据已知条件运用勾股定理可将的长求出，又知的长可得的长，在中再次运用勾股定理可将求出，的长减去的长即为底部外移的距离． 【详解】解：在中，，， 米， 又， ， 在中，米， 则米． 故：梯子底部外移0.8米． 24．如图1，一个梯子长为5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C之间的距离是4米． (1)求梯子的顶端与墙角C之间的距离． (2)如图2，将梯子的底端B向C方向挪动1米，若在墙的上方点E处须悬挂一个广告牌，点E与C之间的距离是4.2米，试判断：此时的梯子的摆放位置能否够到点E处？ 【答案】(1)3米 (2)不能 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长； （1）根据勾股定理求边长即可； （2）先求出底端B向C方向挪动1米后底端到墙角C的距离，再由勾股定理求解梯子的顶端到达的高度，再与E的高度进行比较即可； 【详解】（1）解：由题意知米，， 在中，米， 梯子的顶端与墙角C之间的距离是3米； （2）不能，理由如下： 设B向C方向挪动1米到，此时A向上挪动到，则米，米，米， 米， 米， 在中，米， ， ， 梯子的摆放位置不能够到点E处； 25．七年级松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图所示的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． (1)求风筝的高度； (2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为16.6米 (2)他应该往回收线7米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，米， 答：风筝的高度为16.6米； （2）如图， 由题意得，， ， ， ， 他应该往回收线7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 26．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． （）如图，四边形中，平分，．求证：四边形为等邻边四边形． （）如图，中，，，，将沿的平分线的方向平移，得到，连接、，若平移后的四边形是等邻边四边形，求平移的距离． （）如图，在等邻边四边形中，，，和为四边形对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）平移距离可为、2、、；（3）. 【详解】试题分析： （1）由已知条件通过证△ABC≌△ADC可得结论； （2）由已知易得：平移距离，由，，，易得．再分以下四种情况讨论计算即可：①时；②；③时；④时； （3）如图，把△ABC绕点逆时针转到△ADC′处，连接CC′，通过证△ACC′∽△ABD及证△C′CD是等腰直角三角形即可求得AC与AB间的数量关系. 试题解析： （）∵平分， ∴， ∵，， ∴≌， ∴，， ∴是等邻边四边形． （）由平移可知平移距离， 由，，， ∴由勾股定理可得：． ①时， ∴． ②时， ∴． ③时，如图1，延长C′B′交AB于点H，设B′H=x， 则在Rt△BC′H中，有， 易得，（舍）， ∴． ④时，如图1， 则在Rt△BC′H中，有， 易得，（舍）， ∴， ∴综上，平移距离可为、、、； （），理由如下： 将绕旋转至处，连接， 则由旋转的性质和已知可得：∠C′AC=∠DAB，AC′=AC，AD=AB，C′D=BC=DC， 由此可得：， ∵，∠5=∠2，∠6=∠4， ∴∠1+∠5+∠3+∠6=90°， ∴∠ADC′+∠ADC=180°+180°-90°=270°， ∴∠C′DC=360°-270°=90°. 又∵C′D=BC=DC， ∴△C′DC是等腰直角三角形， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∴． 点睛：解第（2）小问时，需注意两点：①根据“等邻边四边形”的定义可知：使四边形是等邻边四边形，存在四种可能性，每种都要分析讨论到，不要忽略了任何一种情况；②在讨论后两种情况时，抓住BB′是直角的平分线这一点，通过延长CB′交AB于点H构造等腰直角三角形问题就很容易解决了. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$