12.1.2 垂线（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（人教版五四制）

12.1.2《垂线》 分层练习 考查题型一 垂线的定义理解 1．如图，于点O，直线经过点O，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点于点，且，则（    ）    A． B． C． D． 3．如图，直线相交于点O，平分，则为（   ）．    A． B． C． D． 4．如图，O为直线上一点，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 考查题型二 画垂线 1．如图，按要求画图． ①画出点到的垂线段；②过点画的垂线；③画出点到的垂线段．    2．作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹） 如图，外有一点，画出点到三角形三边的垂线分别交于点、、．    3．如图的正方形网格中，点A、B、C在各正方形的顶点上，按下列要求画出图形： (1)作射线、线段、直线； (2)过点B作直线，垂足为H． 4．如图，有A、B、C、D四个点，请按下列语句画出相应图形． (1)画射线； (2)画直线； (3)过点D画直线，垂足为点M，交直线于点N，连接． 考查题型三 垂线段最短 1．如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引，，，几条线段，其中只有与l垂直，这几条线段中长度最短的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，测量运动员跳远成绩选取的是的长度，其依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．垂直的定义 3．如图，，垂足为，则下列线段关系不一定成立的是（  ）    A． B． C． D． 4．如图，A村和B村之间有一条河流，为实现乡村振兴，某乡镇想在河堤两岸搭建一座桥，搭建路线最短的是（    ）    A．PM B．PN C．PC D．PQ 考查题型四 点到直线的距离 1．如图，点A，B，C，D在直线l上，，，，，，则点到直线l的距离为 ．    2．如图，图中已标明了三组互相垂直的线段，则点B到的距离是 的长度    3．如图，点P是直线l外一点，点A、B、C在直线l上，且直线l，，，，则点P到直线l的距离是 cm．    4．如图，是锐角三角形，过点作，垂足为，则点到直线的距离是线段 ．    1．如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．    (1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F； (2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______． 2．如图，、、相交于点，平分，，． (1)线段______的长度表示点到的距离； (2)比较与的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________； (3)求的度数． 3．如图，已知点P在∠AOC的边OA上， (1)过点P画OA的垂线交OC于点B； (2)画点P到OB的垂线段PM； (3)测量P点到OB边的距离：_______cm； (4)∠AOC与∠BPM之间的数量关系为_______________，理由为__________________________． 4．如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1.2《垂线》 分层练习 考查题型一 垂线的定义理解 1．如图，于点O，直线经过点O，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得出，再根据，由余角的定义可得出，再根据补角的定义可得出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，关键是利用和的数据进行计算． 2．如图，直线相交于点于点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】垂直得到，利用，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的数量关系，是解题的关键． 3．如图，直线相交于点O，平分，则为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平角的定义得到，再由对顶角相等得到，则由角平分线的定义得到，接着由垂线的定义得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，垂直的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 4．如图，O为直线上一点，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义得到，可得，继而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，掌握垂直的定义是解题的关键． 考查题型二 画垂线 1．如图，按要求画图． ①画出点到的垂线段；②过点画的垂线；③画出点到的垂线段．    【答案】作图见详解 【分析】根据钝角三角形中作垂线的方法即可求解． 【详解】解：①画出点到的垂线段，延长，过点作延长线于点，如图所示，    ∴线段即为点到的垂线段； ②过点画的垂线，作于点，如图所述，    ∴即为点到的垂线； ③画出点到的垂线段，延长，作延长线于点，如图所示，    ∴即为点到的垂线段． 【点睛】本题主要考查钝角三角形作垂线段，垂线的知识，掌握垂线段，垂线的概念，作图的方法是解题的关键． 2．作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹） 如图，外有一点，画出点到三角形三边的垂线分别交于点、、．    【答案】见解析 【分析】根据题意，过点分别作的垂线，垂足分别为， 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则即为所求        【点睛】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 3．如图的正方形网格中，点A、B、C在各正方形的顶点上，按下列要求画出图形： (1)作射线、线段、直线； (2)过点B作直线，垂足为H． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）根据射线、线段、直线的概念作图即可得； （2）利用网格的特征作图可得． 【详解】（1）解：如图所示，射线、线段、直线即为所求． （2）如图，线段即为所求． 【点睛】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握射线、线段、直线的概念． 4．如图，有A、B、C、D四个点，请按下列语句画出相应图形． (1)画射线； (2)画直线； (3)过点D画直线，垂足为点M，交直线于点N，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据射线的定义画图即可； （2）根据直线的定义画图即可； （3）根据垂线的定义画图，再按要求连接即可． 【详解】（1）如图，射线即为所作； （2）如图，直线即为所作； （3）如图，直线，线段即为所作． 【点睛】本题考查作图—基本作图，解题的关键是理解射线、直线、垂线的定义． 考查题型三 垂线段最短 1．如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引，，，几条线段，其中只有与l垂直，这几条线段中长度最短的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答． 【详解】解：∵直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短， ∴最短的是， 故选：B． 【点睛】本题垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 2．如图，测量运动员跳远成绩选取的是的长度，其依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．垂直的定义 【答案】B 【分析】本题主要考查垂线段的性质，根据垂线段的性质即可求解． 【详解】解：测量运动员跳远成绩选取的是的长度，其依据是：垂线段最短． 故选：B． 3．如图，，垂足为，则下列线段关系不一定成立的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、不一定大于，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线的性质：垂线段最短． 4．如图，A村和B村之间有一条河流，为实现乡村振兴，某乡镇想在河堤两岸搭建一座桥，搭建路线最短的是（    ）    A．PM B．PN C．PC D．PQ 【答案】B 【分析】由垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解：四条路线，，，（其中，要使搭建路线最短，可以选择的路线为． 故选：B． 【点睛】本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段最短． 考查题型四 点到直线的距离 1．如图，点A，B，C，D在直线l上，，，，，，则点到直线l的距离为 ．    【答案】5 【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴P到l的距离是垂线段的长度． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，掌握点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度是关键． 2．如图，图中已标明了三组互相垂直的线段，则点B到的距离是 的长度    【答案】线段 【分析】根据点到直线的距离是过直线外的点作直线的垂线，这点与垂足间线段的长度，可得答案． 【详解】解：图中已标明了三组互相垂直的线段，那么点B到的距离是线段的长度， 故答案为：线段． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题词关键是熟练掌握点到直线的距离是过直线外的点作直线的垂线，这点与垂足间线段的长度． 3．如图，点P是直线l外一点，点A、B、C在直线l上，且直线l，，，，则点P到直线l的距离是 cm．    【答案】4 【分析】根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离判断，准确理解垂线段的概念进行判断是关键． 4．如图，是锐角三角形，过点作，垂足为，则点到直线的距离是线段 ．    【答案】的长 【分析】根据点到直线的距离的含义，可得点到直线的距离是线段的长． 【详解】解：，垂足为，则点到直线的距离是线段的长， 故答案为：的长． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是垂线段的长是解题的关键． 1．如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．    (1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F； (2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______． 【答案】(1)图见解析 (2)，，，垂线段最短 【分析】（1）如图，找点，连接，与交点即为，过点作竖直的线，与交点即为； （2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：由题意作图如下，是的垂线，是的垂线．    （2）解：线段的长度是点P到的距离，线段的长度是点E到直线OB的距离， 由垂线段最短可知，， 故答案为：，，，垂线段最短． 【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．如图，、、相交于点，平分，，． (1)线段______的长度表示点到的距离； (2)比较与的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________； (3)求的度数． 【答案】(1) (2)，是因为垂线段最短 (3) 【分析】（1）根据点到直线的距离求解即可； （2）根据垂线段最短求解即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度表示点到的距离， 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，是因为垂线段最短， 故答案为：，是因为垂线段最短； （3）解：，平分， ， ． 【点睛】本题考查了点到直线的距离、角平分线、垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离． 3．如图，已知点P在∠AOC的边OA上， (1)过点P画OA的垂线交OC于点B； (2)画点P到OB的垂线段PM； (3)测量P点到OB边的距离：_______cm； (4)∠AOC与∠BPM之间的数量关系为_______________，理由为__________________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)1.5 (4)相等，等角的余角相等 【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线段的定义画出图形即可； （3）利用测量法解决问题即可； （4）根据垂直的定义及等角的余角相等即可求解． 【详解】（1）如图，直线PB即为所求作； （2）如图，线段PM即为所求作； （3）P点到OB边的距离为PM的长度，通过测量可得PM约为1.5cm长， 故答案为：1.5； （4）， ，， ， ∠AOC=∠BPM， 故答案为：相等，等角的余角相等． 【点睛】本题考查作图一基本作图，垂线，垂线段及点到直线的距离，等角的余角相等，解题 的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 【答案】(1)8，6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）根据垂线段最短进行判断． 【详解】（1）解：点B到的距离是，点A到的距离是； 故答案为：8，6； （2）如图，为所作；    （3），理由是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$