第一次月考卷02（测试范围：10.1-11.2）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（2024沪教版，上海专用）

2024-2025年七年级数学上册第一次月考卷02（测试范围：10.1-11.2） 一、单选题 1．在中，不是整式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列说法正确的是（    ） A．的次数是3 B．的常数项是1 C．的系数是5 D．是按的升幂排列的 4．下列运算中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．现有下列算式：①；②；③；④，其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图1所示，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个矩形如图2所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．用代数式表示：比的一半少3的数是 ． 8．单项式﹣的系数是 ． 9．的二次项是 ． 10．将整式按字母x的降幂排列为 ． 11．计算： ． 12．整式减去的差是 ． 13．一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 14．若整式是完全平方式，则 ． 15．如果代数式的值为，那么代数式的值为 ． 16．已知，，则 ． 17．阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ． 18．观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； 请你猜想的展开式中含项的系数是 三、解答题 19．去括号合并同类项 (1) (2) 20．计算： (1) (2)； (3) (4) (5) (6)． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．计算： (1)． (2) (3) 23．先化简，再求值：，其中． 24．已知，=2，求： (1)+的值； (2)的值． 25．如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积． 26．已知代数式，，． (1)当时，求代数式M的值． (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值． 27．已知，求（1）的值；（2）的值． 28．阅读材料：若x满足，试求的值． 解：设，， 则，且． ∵， ∴， 即的值为508． 同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程： 若x 满足 ，试求的值． 29．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 30．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； (4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年七年级数学上册第一次月考卷02（测试范围：10.1-11.2） 一、单选题 1．在中，不是整式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据单项式和整式统称整式，判断即可． 本题考查了整式，熟练掌握定义是解题的关键． 【解析】中，不是整式的是有2个， 故选C． 2．下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义：字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此进行判断即可． 【解析】解：A、与，字母不同，不是同类项，不符合题意； B、与，是同类项，符合题意； C、与，相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意； D、与，字母不同，不是同类项，不符合题意； 故选B． 3．下列说法正确的是（    ） A．的次数是3 B．的常数项是1 C．的系数是5 D．是按的升幂排列的 【答案】A 【分析】依据单项式和整式的相关概念解答即可．本题主要考查的是单项式和整式的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【解析】解：A、的次数是3，原说法正确，故此选项符合题意； B、的常数项是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、的系数是5，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是按的升幂排列的，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．下列运算中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整式乘以整式法则分别计算并判断，正确掌握整式乘以整式法则是解题的关键． 【解析】解：A. ，故正确； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：A． 5．现有下列算式：①；②；③；④，其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据合并同类项、单项式乘以单项式、单项式乘以整式法则计算进行选择． 【解析】解：①；正确，不符合题意； ②，符合题意； ③，符合题意； ④，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、整式的乘法，熟练掌握运算法则及符号的处理是解题的关键． 6．如图1所示，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个矩形如图2所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．左图中阴影部分的面积，右图中矩形面积，根据二者相等，即可解答． 【解析】解：左图中阴影部分的面积，右图中矩形面积， ∴ 故选：A． 二、填空题 7．用代数式表示：比的一半少3的数是 ． 【答案】 【分析】根据题意，直接用代数式表示比的一半少3的数是即可． 【解析】解：用代数式表示：比的一半少3的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，读懂题意，弄清关系，准确列代数式是解决问题的关键． 8．单项式﹣的系数是 ． 【答案】 【分析】直接根据单项式的系数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【解析】单项式﹣的系数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的系数，理解单项式的系数是解题的关键． 9．的二次项是 ． 【答案】 【分析】先整理，即可确定整式的二次项． 【解析】解：整理得， 整式有三项，分别是，，三项，其中二次项是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的项，熟知相关知识是解题关键． 10．将整式按字母x的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】先分清各项，然后按降幂排列的定义解答． 【解析】解：整式的各项是，，，， 按x降幂排列为， 故答案为：． 【点睛】此题考查的整式的次数排列，掌握降幂排即从x的最高次幂排到最低次幂是解题的关键． 11．计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用．先变形得出，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可． 【解析】解： 故答案为：． 12．整式减去的差是 ． 【答案】 【分析】用括号将两个整式括起来相减，然后再去括号，合并同类项，即可得到答案． 【解析】解： 故答案为． 【点睛】本题考查整式的加减运算，关键是掌握去括号与合并同类项法则，需要注意用括号将整式括起来． 13．一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用单项式乘整式的运算法则． 根据长方形的面积为长宽，即可求解． 【解析】解：长方形的面积 故答案为：． 14．若整式是完全平方式，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【解析】解：∵整式是完全平方式， ∴， 故答案为：16． 15．如果代数式的值为，那么代数式的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据可得，从而得到 ，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，根据题意得到是解题的关键． 16．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的逆运算即可求解，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 17．阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据平方差公式对所求式子进行化简．根据平方差公式对所求式子进行化简得到，再代入值计算即可． 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， 原式， 故答案为：． 18．观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； 请你猜想的展开式中含项的系数是 【答案】28 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字的规律变化，整式．关键要能够写出8次方时候每一项的系数，将a、b分别换成x、．按照题目所给规律依次写出6，7，8次方的等式，就可以发现系数之间的规律，结合所要求的式子a换成x，把b换成．即可得到答案． 【解析】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为： 1，6，15，20，15，6，1； 1，7，21，35，35，21，7，1； 1，8，28，56，70，56，28，8，1； 故含项的系数为：． 故答案为：28． 三、解答题 19．去括号合并同类项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算中的去括号以及合并同类项． （1）根据合并同类项得法则直接合并同类项即可， 合并同类项得法则：把同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变， （2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，再根据合并同类项法则合并同类项，可得答案； 【解析】（1）解： （2） 20．计算： (1) (2)； (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，注意：（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．同时考查了实数的运算． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； （2）根据幂的乘方计算即可求解； （3）逆用积的乘方计算即可求解； （4）先算同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并同类项即可求解； （5）先算幂的乘方，再算积的乘方； （6）先算积的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：． ． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘整式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． （1）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可； （2）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可； （3）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可； （4）根据单项式乘整式的运算法则进行运算，再合并同类项即可． 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 22．计算： (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法： （1）根据整式乘整式的运算法则计算，再合并同类项即可； （2）根据整式乘整式的运算法则计算，再合并同类项即可； （3）根据整式乘整式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【解析】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查整式的乘法运算，原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【解析】解：原式              ．                                     当时， 24．已知，=2，求： (1)+的值； (2)的值． 【答案】(1)33 (2)2000 【分析】本题主要考查同底数幂乘法、幂的乘方运算能力，恰当地选择运算法则是解题关键，属中档题． （1）根据幂的乘方变形，代入计算即可； （2）先根据同底数幂乘法变形，再根据幂的乘方变形，最后代入计算可得． 【解析】（1）解：当，时， ； （2）解： ． 25．如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为3 【分析】设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【解析】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 【点睛】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积． 26．已知代数式，，． (1)当时，求代数式M的值． (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，非负数的性质，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先计算出代数式的值，再求出x、y的值，代入求解即可． （2）先将变形为，根据的值与字母x的取值无关，让，的系数为0，求出a、b的值，再代入求值即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴，， 解得，， 将，代入原式，得： ． （2）解： ， ∵代数式的值与字母x的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 27．已知，求（1）的值；（2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形公式的应用，求解代数式的值； （1）把化为，再整体代入计算即可； （2）先根据求解，再整体代入计算即可． 【解析】解：（1）∵， ∴ ； （2）∵， ∴ ， ∴． 28．阅读材料：若x满足，试求的值． 解：设，， 则，且． ∵， ∴， 即的值为508． 同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程： 若x 满足 ，试求的值． 【答案】2019 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 结合阅读材料中的方法将原式变形，求出值即可． 【解析】解：设，， 则，且， ∵，即， ∴， ∴． 29．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【解析】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 30．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； (4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (2)155 (3)9 (4)a+2b； (5)见解析 【分析】（1）大长方形的面积=长×宽，也等于3个小正方形和3个小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式． （2）用（1）的结论变形后代入求值． （3）观察（2a+b）（a+2b）长方形找到x、y、z对应的值，代入求值． （4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大， （5）通过构造边长为k的正方形，用3个长方形的面积表示al+bm+cn，用面积直观地说明al+bm+cn<k2． 【解析】（1）解：由图2知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b）， 大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab， ∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； 由图3知，大正方形的面积=（a+b+c）2， 大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）由图3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）， 当，时， a2+b2+c2=152-2×35=155； 故答案为：155 （3）解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2， ∴长方形可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形， ∴x=2，y=2，z=5， ∴x+y+z=9； 故答案为：9 （4）解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2， ∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， ∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）2， ∴此时正方形的边长=a+b； 选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）2， ∴此时正方形的边长=a+2b， ∵a+b＜a+2b， ∴拼成的正方形的边长最长为a+2b； 故答案为：a+2b； （5）解：如图， 如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k， 在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c， ∵a+m=b+n=c+l=k， ∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l， ∴3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2， ∴． 【点睛】本题用“等积法”解决整式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$